广西柳州市、钦州市2017届高三第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
柳州市2017届高中毕业班1月份模拟考试卷
理科数学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}2230A x x x =--≤，{}
2x B y y ==，则A B = （ ） A.(]0 3，
B.()0 3，
C.[]0 3，
D.[)3 +∞，
2.已知 a b R ∈，，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则()2
a bi -=（ ） A.34i +
B.34i -
C.54i -
D.54i +
3.甲、乙、丙三名同学6次数学测试成绩及班级平均分（单位：分）如下表：
下列说法错误的是（ ）
A.甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定
B.乙同学的数学成绩平均值是81.5
C.丙同学的数学学习成绩低于班级平均水平
D.在6次测验中，每一次成绩都是甲第一、乙第二、丙第三
4.已知平面向量a ，b 满足()
3a a b ?+= ，且 2 1a b == ，，则向量a 与b 夹角的余弦值为
（ ）
B. C.
12
D.12
-
5.《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”（ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
6.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a ，b 分别为14，18，则输出的a =（ ）
A.0
B.2
C.4
D.14
7.将函数()3sin 46f x x π?
?=+ ??
?图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移6π个单
位，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的图象的一条对称轴是（ ） A.12
x π
=
B.6
x π
=
C.3
x π
=
D.23
x π
=
8.在ABC △中，6
B π
=，BC ，则cos A =（ ）
B.
C. 9.若1x y >>，01a b <<<，则下列各式中一定成立的是（ ） A.a b x y >
B.a b x y <
C.x y a b <
D.x y a b >
10.过双曲线()22
2210 0x y a b a b -=>>，的左焦点F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，使得
4AB b =，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e 的取值范围是（ ）
A. 1 ? ?
B.
)
+∞，
C.
D.)
1 ?+∞ ? ，
11.已知函数()()lg 1f x x =-，若1a b <<且()()f a f b =，则2a b +的取值范围为（ ）
A.()
3 ++∞，
B.)
3 ?++∞?，
C.()6 +∞，
D.[)6 +∞，
12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（ ）
A.48
B.16
C.32
D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知实数 x y ，满足条件001x y x y y -≤??
+≥??≤?
，则25z x y =+-的最小值为 ．
14.已知tan 2α=，则3cos 2sin cos 22ππααα????
++-= ?
????? ． 15.
已知2
1
a π
-=
?
，则在10
的展开式中，所有项的系数和为 ．
16.已知圆C 的方程为()2
231x y -+=，圆M 的方程为
()
()2
2
33cos 3sin 1x y θθ--+-=()R θ∈，过M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，
切点分别为A 、B ，则APB ∠的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n S a λλ=-，其中0λ≠且1λ≠-. （1）证明：{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （2）若415
16
S =
，求λ. 18.某市公租房的房源位于 A B C D ，，，四个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，在该市的甲、乙、丙三位申请人中： （1）求恰有1人申请A 片区房源的概率；
（2）用x 表示选择A 片区的人数，求x 的分布列和数学期望. 19.在四棱锥P ABCD -中，2
DBA π
∠=
，AB CD ∥
，PAB △和PBD △都是边长为2的等边三角形，设P 在底面ABCD 的射影为O .
（1）求证：O 是AD 中点； （2）证明：BC PB ⊥；
（3）求二面角A PB C --的余弦值.
20.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>经过点(2 ，点 A B ，分别为椭
圆C 的左右顶点，点P 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；
（2） M N ，是椭圆C 上非顶点的两点，满足 OM AP ON BP ∥，∥，求证：三角形MON 的面积是定值.
21.已知函数()()22ln f x x x a x a R =++∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）当1t ≥时，不等式()()2123f t f t -≥-恒成立，求实数a 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.已知曲线C 在平面直角坐标系xOy 下的参数方程为1
x y θ
θ
?=+??=??（θ为参数），以O 为
极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的普通方程及极坐标方程；
（2）直线l 的极坐标方程是cos 6πρθ?
?-= ??
?射线():03OT πθρ=>与曲线C 交于点A ，
与直线l 交于点B ，求线段AB 的长.
23.已知关于x 的不等式231x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M . （1）求M 的值；
（2）正数 a b c ，，满足2a b c M ++=，求证：
11
1a b b c
+≥++.
柳州市2017届高中毕业班1月份模拟考试卷
理科数学（参考答案）
一、选择题
1-5:ABDDA 6-10:BCBCD 11、12：CB
二、填空题
13.6- 14.1- 15.103 16.
3
π
三、解答题
17.解：（1）当1n =时，11a a λλ=-， ∵0λ≠且1λ≠-，∴11a λ
λ
=
+，
当2n ≥时，11n n S a λλ--=-，n n S a λλ=-， 两式相减得()11n n a a λ-+=，因为1λ≠-， ∴
()
11
1n n a a λ-=+， 因此{}n a 是首项为11a λ
λ
=
+，公比为
()
1
1λ+的等比数列， ∴()
1
111n n n
a λλλ
λλλ-??
==
?
++??
+. （2）由n n S a λλ=-得 441
1S a λ
=-，
()
4
1
11λ=-
+
∴()
4
1
15116
1λ-
=
+， ∴1λ=或3λ=-.
18.解：（1）本题是一个等可能事件的概率，实验发生包含的事件是3位申请人中， 每一个有四种选择，共有34种结果.
满足条件的事件恰有1人申请A 片区房源有1233C ?，
根据等可能事件的概率12
33327
464
c p ==.