因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值1－k
2－2k ＋k 2.
3．（2012江西，14分）若函数h (x )满足 ①h (0)＝1，h (1)＝0；
②对任意a ∈[0,1]，有h (h (a ))＝a ； ③在(0,1)上单调递减．
则称h (x )为补函数，已知函数h (x )＝(1－x p 1＋λx p )1p (λ>－1，p >0)．
(1)判断函数h (x )是否为补函数，并证明你的结论；
(2)若存在m ∈[0,1]，使h (m )＝m ，称m 是函数h (x )的中介元．记p ＝1
n (n ∈N ＋)时h (x )的
中介元为x n ，且S n ＝∑i ＝1
n
x i ，若对任意的n ∈N ＋，都有S n <1
2，求λ的取值范围；
(3)当λ＝0，x ∈(0,1)时，函数y ＝h (x )的图像总在直线y ＝1－x 的上方，求p 的取值范围． 解：(1)函数h (x )是补函数，证明如下： ①h (0)＝(1－01＋0)1p ＝1，h (1)＝(1－11＋λ)1
p ＝0；
②对任意a ∈[0,1]，有
h (h (a ))＝h ((1－a p 1＋λa p )1
p )＝(1－
1－a p
1＋λa p 1＋λ
1－a p 1＋λa p )1p ＝((1＋λ)a p 1＋λ)1p
＝a ；
③令g (x )＝(h (x ))p ，
有g ′(x )＝－px p －
1(1＋λx p )－(1－x p )λpx p －
1
(1＋λx p )2
＝－p (1＋λ)x p －
1(1＋λx p )2
.
因为λ>－1，p >0，所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，所以函数g (x )在(0,1)上单调递减，故函数h (x )在(0,1)上单调递减．
(2)当p ＝1
n (n ∈N ＋)时，由h (x )＝x ，
得：λx 2n ＋2x 1
n
－1＝0 (*)，
(ⅰ)当λ＝0时，中介元x n ＝(1
2
)n ；
(ⅱ)当λ>－1且λ≠0时，由(*)得x 1n ＝11＋λ＋1∈(0,1) 或x 1n ＝1
1－1＋λ?[0,1]；
得中介元x n ＝(
1
1＋λ＋1
)n .
综合(ⅰ)(ⅱ)：对任意的λ>－1，中介元为x n ＝(
1
1＋λ＋1
)n .(n ∈N ＋)，
于是，当λ>－1时，有S n ＝ i ＝1
n
(
11＋λ＋1)i ＝11＋λ[1－(11＋λ＋1)n ]<1
1＋λ
，
当n 无限增大时，(
11＋λ＋1)n 无限接近于0，S n 无限接近于11＋λ
，
故对任意的n ∈N ＋，S n <12成立等价于11＋λ≤1
2，
即λ∈[3，＋∞)．
(3)当λ＝0时，h (x )＝(1－x p )1p ，中介元为x p ＝(12)1
p ，
(ⅰ)当0
2，
所以点(x p ，h (x p ))不在直线y ＝1－x 的上方，不符合条件； (ⅱ)当p >1时，依题意只需(1－x p )1
p >1－x 在x ∈(0,1)时恒成立，
也即x p ＋(1－x )p <1在x ∈(0,1)时恒成立，
设φ(x )＝x p ＋(1－x )p ，x ∈[0,1]，则φ′(x )＝p [x p －
1－(1－x )p －
1]，
由φ′(x )＝0得x ＝12，且当x ∈(0，1
2)时，φ′(x )<0，
当x ∈(1
2
，1)时，φ′(x )>0，
又因为φ(0)＝φ(1)＝1，所以当x ∈(0,1)时，φ(x )<1恒成立． 综上：p 的取值范围是(1，＋∞)．
4．(2011广东，14分)在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：y ＝1
4x 2.实数p ，q 满足
p 2－4q ≥0，x 1，x 2是方程x 2－px ＋q ＝0的两根，记φ(p ，q )＝max{|x 1|，|x 2|}．
(1)过点A (p 0，14p 2
0)(p 0≠0)作L 的切线交y 轴于点B .证明：对线段AB 上的任一点Q (p ，
q )，有φ(p ，q )＝|p 0|
2
；
(2)设M (a ，b )是定点，其中a ，b 满足a 2－4b >0，a ≠0.过M (a ，b )作L 的两条切线l 1，
l 2，切点分别为E (p 1，1
4p 21
)，
E ′(p 2，1
4p 22
)，l 1，l 2与y 轴分别交于F ，F ′.线段EF 上异于两端点的点集记为X .证明：
M (a ，b )∈X ?? |p 1|>|p 2| ?? φ(a ，b )＝|p 1|
2
；
(3)设D ＝{(x ，y )|y ≤x －1，y ≥14(x ＋1)2－5
4}．当点(p ，q )取遍D 时，求φ(p ，q )的最小值
(记为φmin )和最大值(记为φmax )．
解：(1)证明：过点A 的切线方程是y ＝12p 0x －14p 2
0，
所以B (0，－1
4p 20
)，
Q 在线段AB 上，所以q ＝12p 0p －1
4p 20(|p |≤|p 0|)，
所以现方程为x 2－px ＋12p 0p －1
4p 20＝0，
可得x 1＝12p 0，x 2＝p －1
2p 0，
因为p 0、p 同号，易得φ(p ，q )＝|p 0|
2
.
(2)证明：y ′＝12x ，易得l 1：y －14p 21＝1
2p 1(x －p 1)，
即y ＝12p 1x －1
4p 21
，
∵M (a ，b )∈l 1，∴b ＝12p 1a －14p 21且0<|a |<|p 1|.
因为E ′(p 2，1
4p 22
)，
所以k ME ′＝14p 22－(12p 1a －14p 21)p 2－a ＝1
2p 2，
有14p 22－(12p 1a －14p 21)＝1
2p 2(p 2－a )， 则14p 21－12p 1a ＝14p 22－12p 2a ，即p 1＋p 2＝2a ， 由于a 与p 1同号，与p 2异号，∴|p 1|>|p 2|. 反之，也成立．故M (a ，b )∈X ?? |p 1|>|p 2|， 由(1)证可知M (a ，b )∈X ?φ(a ，b )＝|p 1|2
，
当φ(a ，b )＝|p 1|
2
时，逆推(1)证也可得M (a ，b )∈l 1＝X ，
综上，M (a ，b )∈X ?? |p 1|>|p 2| ?? φ(a ，b )＝|p 1|
2.
(3)由于点(p ，q )必在曲线f (x )＝x 2－px ＋q 上，
故此题即求当函数f (x )＝x 2－px ＋q 经过D 时，方程f (x )＝0的根的最大值与最小值． 易求得l ：y ＝1
4x 2在点(2,1)处的切线方程为y ＝x －1，
由前证可知：
当点(p ，q )∈{(x ，y )|y ＝x －1}时恒有φ(p ，q )＝1， 令f (x )＝0可得x 2－px ＋q ＝0，
则x ＝p ±p 2－4q 2?φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2，
∵点(p ，q )∈D ，
∴14(p ＋1)2－5
4≤q ≤p －1?(p ＋1)2－5≤4q ≤4p －4， ∴(p －2)2≤p 2－4q ≤－2p ＋4， ∴1≤φ(p ，q )≤p ＋(－2p ＋4)2
，
而当q ＝14(p ＋1)2－5
4时p 2－4q ＝－2p ＋4，
∴φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2＝p ＋－2p ＋4
2
，
设g (x )＝x ＋－2x ＋4
2(0≤x ≤2)，令t ＝－2x ＋4，
x ＝4－t 22
(0≤t ≤2)，
故g (t )＝－14t 2＋12t ＋1＝－14(t －1)2＋5
4，
∴1≤g (x )≤54，即1≤φ(p ，q )≤5
4，
∴φmin ＝1，φmax ＝5
4
.
高中数学：函数模型及其应用练习
高中数学:函数模型及其应用练习 1．已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P 运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S＝f(x)的图象是(D) 解析:依题意知当0≤x≤4时,f(x)＝2x；当4＜x≤8时,f(x)＝8；当8＜x≤12时,f(x)＝24－2x,观察四个选项知D项符合要求． 2．在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(B) x 1.99234 5.15 6.126 y 1.517 4.041 87.51218.01 A.y＝2x－2 B．y＝1 2(x 2－1) C．y＝log2x D．y＝log 1 2x 解析:由题中表可知函数在(0,＋∞)上是增函数,且y的变化随x的增大而增大的越来越快,分析选项可知B符合,故选B. 3．我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4,[5]＝5；{4.3}＝5,{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元,超过一小时,不超过2小时(包括2小时)收费4元,以此类推．若李刚停车时间为x小时,则李刚应付费为(单位:元)(C) A．2[x＋1] B．2([x]＋1) C．2{x} D．{2x} 解析:如x＝1时,应付费2元,此时2[x＋1]＝4,2([x]＋1)＝4,排除A、B；当x＝0.5时,付费为
2元,此时{2x }＝1,排除D,故选C. 4．(福建质检)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是( C ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 解析:设死亡生物体内原有的碳14含量为1,则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为? ???? 12n , 由? ?? ?? 12n ＜11 000得n ≥10.所以,若探测不到碳14含量,则至少经过了10个“半衰期”．故选C. 5．(贵州遵义模拟)某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产,第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加3万元．该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n (n ∈N *)年后,盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本),则n 等于( B ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．7或8 解析:盈利总额为21n －9－?????? 2n ＋12×n (n －1)×3＝－32n 2＋412n －9.因为其对应的函数的图 象的对称轴方程为n ＝41 6.所以当n ＝7时取最大值,即盈利总额达到最大值,故选B. 6．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装,包装费用、销售价格如下表所示: ①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．
高中数学函数模型及其应用练习题(含答案)
高中数学函数模型及其应用练习题(含答案) 数学必修1(苏教版) 2．6 函数模型及其应用 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，于是商场经理决定每件衬衫降价15元，经理的决定正确吗？ 基础巩固 1．某商场售出两台取暖器，第一台提价20%以后按960卖出，第二台降价20%以后按960元卖出，这两台取暖器卖出后，该商场() A．不赚不亏B．赚了80元 C．亏了80元D．赚了160元 解析：960＋960－9601＋20%－9601－20%＝－80. 答案：C 2．用一根长12 m的铁丝折成一个矩形的铁框架，则能折成的框架的最大面积是__________． 解析：设矩形长为x m，则宽为12(12－2x) m，用面积公式可得S的最大值． 答案：9 m2 3．在x g a%的盐水中，加入y g b%的盐水，浓度变为c%，
则x与y的函数关系式为__________． 解析：溶液的浓度＝溶质的质量溶液的质量＝xa%＋yb%x＋y＝ c%，解得y＝a－cc－bx＝c－ab－cx. 答案：y＝c－ab－cx 4．某服装个体户在进一批服装时，进价已按原价打了七五折，他打算对该服装定一新标价在价目卡上，并说明按该价的20%销售．这样仍可获得25%的纯利，求此个体户给这批服装定的新标价y与原标价x之间的函数关系式为________ 解析：由题意得20%y－0.75x＝0.7x25%y＝7516x. 答案：y＝7516x 5．如果本金为a，每期利率为r，按复利计算，本利和为y，则存x期后，y与x之间的函数关系是________． 解析：1期后y＝a＋ar＝a(1＋r)； 2期后y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2；…归纳可得x期后y ＝a(1＋r)x. 答案：y＝a(1＋r)x 6．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，n年后这批设备的价值为________万元． 解析：1年后价值为：a－ab%＝a(1－b%)，2年后价值为：a(1－b%)－a(1－b%)b%＝a(1－b%)2， n年后价值为：a(1－b%)n.
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数解题方法与技巧 函数的周期性： 1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x-a)（或f(x-2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； 2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数； 3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数； 4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数； 5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ； 6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ??+= ???或()1()f x a f x ??+=- ???或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数； 7、若()()()1 1 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数； 8、若()() ()11 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。 （7、8应掌握具体推导方法，如7） 函数图像的对称性： 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2 a b x +=对称； 2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称； 3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,2 2a b c +?? ??? 成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0； 5、形如()0,ax b y c ad bc cx d += ≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b b a c c c y d d c c x c x c c ??+-+-+ ???==+????++ ? ???? ?知：对称中心是点,d a c c ??- ???； 6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线2b a x -=对称； 7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。 一、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x , 求f(x) ()()()()()()()1 1 11212112()() 11 f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++
函数模型的应用实例 说课稿 教案 教学设计
函数模型的应用实例 课型：新授课 教学目标 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价. 二、教学重点 重点：利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题. 难点：将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价. 三、学法与教学用具 1.学法：自主学习和尝试，互动式讨论. 2.教学用具：多媒体 四、教学设想 （一）创设情景，揭示课题. 现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立.对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度. （二）实例尝试，探求新知 例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示. 1）写出速度v关于时间t的函数解析式； 2）写出汽车行驶路程y关于时间t的函数关系式，并作图象； 3）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； 4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象. 本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题. 教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征. 注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式. 例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： 0rt y y e 其中t表示经过的时间， y表示t=0时的人口数，r表示人口的年均增长率.下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人） 年份1950 1951 1952 1953 1954 人数55196 56300 57482 58796 60266 年份1955 1956 1957 1958 1959
《函数模型及其应用》同步训练题
《函数模型及其应用》同步训练题 一、选择题 1、某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( ) A．200副B．400副 C．600副D．800副 2、某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则( ) A．a＝b B．a>b C．a
4、拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)＝1.06·(0.50×[m]＋1)，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.1]＝6)，则从甲地到乙地通适时间为5.5分钟的通话费为( ) A．3.71 B．3.97 C．4.24 D．4.77 5、1992年底世界人口数达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，设2010年底世界人口数为y(亿)，那么y与x的函数解析式为( ) A．y＝54.8(1＋x%)18B．y＝54.8(1＋x%)19 C．y＝54.8(x%)18 D．y＝54.8(x%)19 6、今有一组实验数据如表所示： A．u＝log2t B．u＝2t－2 实用文档
实用文档 C ．u ＝t 2－1 2 D ．u ＝2t －2 7、若x ∈(0,1)则下列结论正确的是( ) A ．2x >x 12 >lgx B ．2x >lgx>x 12 C ．x 12>2x >lgx D ．lgx>x 1 2 >2x 8、某商店某种商品进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调 查发现，若每件商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售商品 的月利润最高，应将该商品每件定价为( ) A ．70元 B ．65元 C ．60元 D ．55元 9、向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那 么水瓶的形状是( )
2014高中数学抽象函数专题
2014高三数学专题 抽象函数 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 []11log ,13 评析： 已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。
2019-2020年高中数学 第三章函数的应用§3.2.2函数模型的应用实例(Ⅲ)教案 新人教A版必修1
2019-2020年高中数学第三章函数的应用§3.2.2函数模型的应用实例 （Ⅲ）教案新人教A版必修1 一、教学目标 1、知识与技能能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。 2、过程与方法体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。 3、情感、态度、价值观深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。 二、教学重点、难点： 重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。 难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。 三、学学与教学用具 1、学法：学生自查阅读教材，尝试实践，合作交流，共同探索。 2、教学用具：多媒体 四、教学设想 （一）创设情景，揭示课题 2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。 这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。 本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。 （二）尝试实践探求新知 例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表 （身高：cm；体重：kg） 1）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。 2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg的在校男生的体重是事正常？ 探索以下问题：
函数模型的应用实例(Ⅲ)
函数模型的应用实例（Ⅲ） 一、教学目标 1、知识与技能能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。 2、过程与方法体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。 3、情感、态度、价值观深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。 二、教学重点、难点： 重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。 难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。 三、学学与教学用具 1、学法：学生自查阅读教材，尝试实践，合作交流，共同探索。 2、教学用具：多媒体 四、教学设想 （一）创设情景，揭示课题 2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。 这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典
至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。 本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。 （二）尝试实践探求新知 例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表 （身高：cm；体重：kg） 1）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。 2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg的在校男
抽 象 函 数 的 解 题 方 法
解 抽 象 函 数 的 常 用 方 法 抽象函数是指没有给出具体解析式的函数。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和转化能力，以及对一般和特殊关系的认识，因此备受命题者的青睐，成为高考热点。然而，由于抽象函数本身的抽象性、隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。 我在多年的教学中,积累了一些解题方法,供大家参考. 一、 利用线性函数模型 在中学数学教材中，大部分抽象函数是以具体函数为背景构造出来的，解题时最根本点是将抽象函数具体化，这种方法虽不能代替具体证明，但却能找到这些抽象函数的解题途径，特别是填空题、选择题，直接用满足条件的特殊函数求解，得出答案即可。常见的抽象函数模型有： 例1、函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且f （1）＝2， f （x ）在区间[－４，２]上的值域为 。 0a a ≠且
解析：由题设可知，函数f （x ）是正比例()y kx k =为常数的抽象函数，由f （1）＝2可求得 k=2，∴ f （x ）的值域为［－８，４］。 例2、已知函数f （x ）对任意,x y R ∈，满足条件()()()2f x y f x f y +=+-，且当x ＞0时， f （x ）＞2，f （3）＝5，求不等式2(22)3f a a --的解。 分析：由题设条件可猜测：f （x ）是y ＝x ＋2的抽象函数，且f （x ）为单调增函数，如果 这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设1221,0x x x x -则，∵当x ＞0时，f （x ）＞2，∴21()2f x x -，则 ， 即，∴f （x ）为单调增函数。 ∵， 又∵f （3）＝5，∴f （1）＝3。∴2(22) (1)f a a f --，∴2221a a --， 解得不等式的解为－1 < a < 3。 例3、定义在Ｒ上的函数()y f x =，对任意的12,x x 满足12x x ≠时都有12()()f x f x ≠，且有 ()()()f x y f x f y +=成立。求： （1）f （0）； （2）对任意值x ，判断f （x ）值的正负。 分析：由题设可猜测f （x ）是指数函数()(01)x f x a a a =≠且的抽象函数， 从而猜想f （0）＝1且f （x ）＞0。 解：（1）令y ＝0代入()()()f x y f x f y +=，则()()(0)f x f x f =， ∴[]()1(0)0f x f -=。若f （x ）＝0，则对任意12x x ≠，有12()()0f x f x ==，
2021年高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质.9函数模型及函数的综合应用课时练理
2021年高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质2.9函数 模型及函数的综合应用课时练理 1.[xx·衡水二中猜题]汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( ) 答案 A 解析 汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s 与t 的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的，故选A. 2．[xx·衡水中学月考]某种电热水器的水箱的最大容积是200升，加热到一定温度可以浴用，浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注水2t 2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现在假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供( ) A ．3人洗澡 B ．4人洗澡 C ．5人洗澡 D ．6人洗澡 答案 B 解析 设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝17 2时，y 有最小 值，此时共放水34×17 2 ＝289升，可以供4人洗澡． 3．[xx·枣强中学预测]若函数f (x )＝a ＋|x |＋log 2(x 2＋2)有且只有一个零点，则实数a 的值是( ) A ．－2 B ．－1
C ．0 D ．2 答案 B 解析 将函数f (x )＝a ＋|x |＋log 2(x 2 ＋2)的零点问题转化为函数f 1(x )＝－a －|x |的图象与f 2(x )＝log 2(x 2＋2)的图象的交点问题．因为f 2(x )＝log 2(x 2＋2)在[0，＋∞)上单调递增，且为偶函数，因此其最低点为(0,1)，而函数f 1(x )＝－a －|x |也是偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，因此其最高点为(0，－a )，要满足题意，则－a ＝1，因此a ＝－1. 4．[xx·冀州中学模拟]某购物网站在xx 年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C 解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，所以最少需要下的订单张数为3张，选C. 5. [xx·武邑中学预测]已知函数f (x )＝(x －a )2 ＋(ln x 2 －2a )2 ，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤4 5 成立，则实数a 的值为( ) A.15 B.25
高中数学抽象函数的图像以及抽象函数常见类型及部分题目
函数()f x 的定义域为D ，则其图像为： ()(){},|,x y y f x x D =∈ 1，若把这个图像向左平移a 个单位，得到新图像为： ()(){},|,x y y f x a x D =+∈ 简单说明：新图像上任取点(),x y ，向右平移a 个单位得到(),x a y +，这个点在()f x 图像上，所以()y f x a =+ 向右、上、下平移函数图象情况类似，请自己给出 2，若把()f x 图像按照直线x a =作一次对称，得到新函数为()2y f a x =- 简单说明：新图像上任取点(),x y ，按照直线x a =作一次对称得到点()2,a x y -，这个点在()f x 图像上，所以()2y f a x =- 按照直线y a =作对称类似，请自己给出 需要指出的是，不能按照任意直线作对称得到新函数，因为新的图像不一定是函数图像（实际上那是方程的图像），另外，按照直线y x =作对称得到的是反函数，当然前提是该函数存在反函数。 3，若把()f x 图像按照点(),a b 作对称，得到新函数()22y b f a b =-- 简单说明：新图像上任取点(),x y ，按照点(),a b 作对称，得到点()2,2a x b y --，这个点在()f x 图像上，则()22b y f a x -=-，整理得()22y b f a x =-- 4，若把()f x 图像在水平方向上作伸缩，横坐标都变为原来的a 倍（0a ≠），纵坐标不变，那么得到新函数图像是x y f a ?? = ??? 简单说明：新函数图像上取点(),x y ，变回去,x y a ?? ???， 这点在()f x 图像上，所以x y f a ?? = ??? 至于竖直方向的伸缩，请自己给出 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝华丽的分割线＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 下面是函数图像本身的对称性 5，如果一个函数向左平移a 个单位与原图像重合，即a 是一个周期，那么按照第1条， ()y f x a =+这个新函数与原函数()y f x =重合，也就是说：()()f x a f x += 6，如果一个函数有一条对称轴x a =，那么按照第2条到的新函数()2y f a x =-与原函数是同一个，也就是说：()()2f a x f x -=，至于类似()()f a x f b x +=-这样的条件，改写一下是非常显然的
2.9 函数模型及其综合应用-5年3年模拟北京高考
2.9 函数模型及其综合应用 五年高考 考点 函数的实际应用 1．（2013天津，8，5分）已知函数|).|1()(x a x x f +=设关于x 的不等式)()(x f a x f <+的解集为A ．若 ,]21 ,21[A ?-则实数a 的取值范围是( ) )0,251.(-A )0,231.(-B )231,0()0,251.(+- C )2 51,.(--∞D 2．（2012北京，8,5分）某棵果树前n 年的总产量S 。与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为 ( ) 5.A 7.B 9.C 11.D 3．（2013湖南．16,5分）设函数,)(x x x c b a x f -+=其中.0,0>>>>b c a c (1)记集合c b a c b a M ,,1),,{(=不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则M c b a ∈),,(所对应的 )(x f 的零点的取值集合为 (2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ;0)(),1,(>-∞∈?x f x ① ,R x ∈?②使c b a xx x ,,不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则),2,1(∈?x 使.0)(=x f 4．（2013课标全国I ．21，12分）设函数)(,)(2x g b ax x x f ++=).(d cx e x +=若曲线)(x f y =?和曲 线)(x g y =都过点P(O ，2)，且在点P 处有相同的切线.24+=x y (1)求a ，b ，c ，d 的值； (2)若2-≥x 时，),()(x kg x f ≤求k 的取值范围． 5．（2012江苏，17，14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程k x k kx y <+- =22)1(20 1 )0>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程；
第17讲 函数模型的应用实例(基础)
函数模型的应用实例 【学习目标】 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法. 2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用. 3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识. 【要点梳理】 要点一、解答应用问题的基本思想和步骤 1.解应用题的基本思想 2.解答函数应用题的基本步骤 求解函数应用题时一般按以下几步进行： 第一步：审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. 第二步：建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求. 第三步：求模 运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果. 第四步：还原 把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景. 上述四步可概括为以下流程： 实际问题(文字语言)?数学问题(数量关系与函数模型)?建模(数学语言)?求模(求解数学问题)?反馈(还原成实际问题的解答). 要点二、解答函数应用题应注意的问题 首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它. 其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系.
函数模型及其应用习题课
函数模型及其应用习题课 教学目标：1 掌握根据已知条件建立函数关系式。2培养学生分析问题、解决问题的能力。3 培养学生应用数学的意识。 教学过程： 一．基础练习： 1． 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现 有2个这样的细胞，分裂x 次后得到的细胞个数y 为（ ） A ．y=21+x B 。y=21-x C 。y=2x D 。y=2x 2． 一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，它的解析式为（ ） A ． y=20-2x （x ≤10） B y=20-2x （x <10） C y=20-2x （5 ≤x ≤10） D y=20-2x （53.2.2几种函数模型的应用举例
第三章 函数的应用 3.2.2几种函数模型的应用举例 【导学目标】 1．通过实例感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用； 2．初步了解对统计数据表的分析与处理． 【自主学习】 1、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型： ①一次函数模型：()(0);f x kx b k =+≠ ②二次函数模型：2()(0);g x ax bx c a =++≠ ③指数函数模型：()x f x a b c =+g （0,a b ≠＞0，1b ≠） ④对数函数模型：()log a f x m x b =+g （0,m ≠01a a >≠且） ⑤幂函数模型：12 ()(0);h x ax b a =+≠ 2、一般函数模型应用题的求解方法步骤： 1） 阅读理解，审清题意：逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解题中所反映的实际问题，明白已知什么，所求什么，从中提炼出相应的数学问题。 2）根据所给模型，列出函数表达式：合理选取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，而将实际问题转化为函数模型问题。 3）运用所学知识和数学方法，将得到的函数问题予以解答，求得结果。 4）将所解得函数问题的解，翻译成实际问题的解答。 在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制. 【典型例题】 例1：某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元． 销售单价与日均销售量的关系如下表所示： 请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?
抽象函数问题分类解析
抽象函数问题分类解析 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐,那么,怎样求解抽象函数问题呢,我们可以利用特殊模型法,函数性质法,特殊化方法,联想类比转化法,等多种方法从多角度,多层面去分析研究抽象函数问题, 一:函数性质法 函数的特征是通过其性质(如奇偶性,单调性周期性,特殊点等)反应出来的,抽象函数也是如此,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能转化,化难为易,常用的解题方法有:1,利用奇偶性整体思考;2,利用单调性等价转化;3,利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5,借助特殊点,布列方程等. 二:特殊化方法 1在求解函数解析式或研究函数性质时,一般用代换的方法,将x 换成-x 或将x 换成等 2在求函数值时,可用特殊值代入 3研究抽象函数的具体模型,用具体模型解选择题,填空题,或由具体模型函数对综合题,的解答提供思路和方法. (1)、线性函数型抽象函数f （x ）＝kx （k ≠0）-------f （x ±y ）＝f （x ）±f （y ） (2)、二次函数型抽象函数m a x k x f +-=2 )()(——— )()(x a f x a f -=+ (3)、指数函数型的抽象函数 f （x ）＝a x ------ f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）；f （x －y ）＝) () (y f x f (4)、对数函数型的抽象函数 f （x ）＝lo g a x （a >0且a ≠1）-----f （x ·y ）＝f （x ）＋f （y ）；f （ y x ）＝ f （x ）－f （y ） 三：例题分析 1. 求定义域 这类问题只要紧紧抓住：将函数f g x [()]中的g x ()看作一个整体，相当于f x ()中的x 这一特性，问题就会迎刃而解。 例1. 函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[log ()]222的定义域是___。 分析：因为log ()22x 2-相当于f x ()中的x ，所以log ()2221x -≤，解得 22<≤x 或-≤<-22x 。 例2. 已知f x ()的定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)1 2 的定义域是______。 分析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以 010111<+<<-
课标通用版2020版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第11讲函数模型及其应用检测文
第11讲 函数模型及其应用 [基础题组练] 1.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把图形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为( ) 解析：选D.因为左侧部分面积为y ，随x 的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D 选项适合． 2．某市家庭煤气的使用量x (m 3 )和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝ ? ????C ，0A .已知某家庭今年前四个月的煤气费如下表： A ．12.5元 B ．12元 C ．11.5元 D ．11元 解析：选 A.由题意得C ＝4.将(25，14)，(35，19)代入f (x )＝4＋B (x －A )，得 ?????4＋B （25－A ）＝14，4＋B （35－A ）＝19，解得? ????A ＝5，B ＝12 .所以f (x )＝? ? ???4，05.故当x ＝22时，f (22)＝12.5.故选A. 3．成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A ．5千米处 B ．4千米处 C ．3千米处 D ．2千米处 解析：选A.设仓库应建在离车站x 千米处．因为仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距
《函数模型的应用实例》说课稿
《函数模型的应用实例》说课稿 一、教材分析 “加强数学应用，形成和发展学生的数学应用意识”是新课标数学教育教学的基本理念之一，为此，新课标实验教材（人教A版）特将“函数的应用”独立成章，其中“函数模型的应用实例”是本章教材的核心内容.从教材体系和内容分析，本小节教材内容彰显如下三个特点： （1）教材围绕具体实例展开研究，各例题涉及的实际问题既有社会性，又具有浓郁的生活气息，在情感上体现了一种亲和力，易于学生理解和接受. （2）在知识层面上本节教材没有新增内容，要求学生运用已有函数知识，体会建立函数模型的过程，感受函数在生产、生活、科学、社会等领域中的广泛应用，理解函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，培养数学建模能力. （3）本小节教材是上小节“几类不同增长的函数模型”的延续和发展.上小节主要学习如何根据给定的几个函数模型，通过比较其增长速度，选择合适的函数模型解决实际问题.本小节要求根据背景材料中的有关信息，建立函数模型解决实际问题，体现了更高层次的能力要求. 本小节是一节例题教学课，教材共安排了4个例题(例3～例6)，大致分为两类，其中例3和例5是根据图、表信息建立确定的函数模型解决实际问题，例4和例6是建立函数模型对样本数据进行拟合，再根据拟合函数模型解决实际问题.本小节分两个教学课时，本节课是第一课时.我将以教材例3和例5为基础，分别在图形和数表两种不同应用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决实际问题. 二、教学目标分析 知识与技能目标： 1.通过例3的教学，使学生能根据图象信息建立分段函数模型；通过例5的教学，使学生能根据表格提供的数据抽象出函数模型； 2.学生在根据图表信息建立函数模型后，要求会利用所建立的函数模型解决实际问题，体现函数建模的应用价值； 3.解决数学应用性问题，是培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言
高一数学《函数模型及其应用》练习题及答案
1.某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用() A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数 解析：选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意; 二次函数在对称轴的两侧有增也有降; 而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”; 因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢. 2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表： x123… y138… 则下面的函数关系式中，能表达这种关系的是() A.y=2x-1 B.y=x2-1 C.y=2x-1 D.y=1.5x2-2.5x+2 解析：选D.画散点图或代入数值，选择拟合效果的函数，故选D. 3.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息： ①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时; ②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动; ③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者. 其中正确信息的序号是() A.①②③ B.①③ C.②③ D.①② 解析：选A.由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，正确;②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确;③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者，正确. 4.长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少x2时面积，此时 x=________，面积S=________. 解析：依题意得：S=(4+x)(3-x2)=-12x2+x+12 =-12(x-1)2+1212，∴当x=1时，Smax=1212.
