二轮专题复习:等差数列与等比数列
澄海实验高级中学 陈曦怀
一、教材分析:
数列知识是历年高考的重点内容,是必考的热点。数列考查的重点是等差、等比数列的定义、通项公式、前几项和公式、等差(比)中项及等比等差数列的性质的灵活运用。这一部分主要考查学生的运算能力,逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力,其中考查思维能力是支柱,运算能力是主体,应用是归宿.在选择题、填空题中突出了“小、巧、活”的三大特点,在解答题中以中等难度以上的综合题为主,涉及函数、方程、不等式等重要内容,试题中往往体现了函数与方程,等价转化,分类讨论等重要的数学思想。 二、复习目的:
1.熟练掌握等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式、等差(比)中项及等差(比)数列的相关性质.
2. 灵活运用等差(比)数列的相关性质解决相应问题.在解决数列综合性问题时,灌输方程思想、化归思想及分类讨论思想。培养学生运算能力、逻辑思维能力、分析问题以及解决问题的能力.
三、复习重点、难点:
重点:等差、等比数列的定义、通项公式、前几项和公式、等差(比)中项及等差(比)
数列的相关性质.
难点:灵活运用差(比)数列的相关性质结合函数思想、方程思想探求解题思路,分析问
题、解决问题. 复习内容:
四、复习过程:
(一)知识要点回顾: 1、重要公式:
(1)数列通项公式n a 与前n 项和公式n S 之间的关系:1n
1 n 1
S n 2n n S a S -=?=?-≥?.
(2)等差数列:
①定义:1{}(n n n a a a d +?
-=为等差数列常数).
②通项公式:1(1)n a a n d =+- , ()n m a a n m d =+- . ③前n 项和公式:11()(1)
22
n n n a a n n S na d +-=+
= . ④等差中项:112n n n a a a -+=+ .
(3)等比数列:
①定义:1
{}(0.n n n n
a a q q a a +?
=≠为等比数列,为常数), ②通项公式:11n n a a q -= n m
n m a a q -= .
③前n 项和公式:111 , 1
(1) , 111n n n na q S a a q
a q q q q =??
=--?=≠?--?
. ④等比中项:2
11n n n a a a -+= .
2、重要性质:
(1)若m+n=p+q (m 、n 、p 、q ∈*
N ) 在等差数列{}n a 中有:m n p q a a a a +=+ 在等比数列{}n a 中有: m n p q a a a a =
(2)等差(比)数列依次k 项之和仍然成等差(比)数列:
若数列{}n a 是等差(比)数列,则23243,,,,k k k k k k k S S S S S S S --
-
仍然成等差(比)数列.
(3)等差(比)数列依次“等距离”取出若干项仍然成等差(比)数列 (二)基础练习
1.等差数列{a n }中,a 1=1,a 3+a 5=14,其前n 项和S n =100,则n =( B ) A .9 B .10 C .11 D .12
2.在由正数组成的等比数列{}n a 中,若569,a a =3132310log log log a a a +++则
的值为( C )
A. 32log 5+
B. 12
C. 10
D. 8
(三)例题讲解:
例1.已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d >0,且其第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2、3、4项. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;
⑵设数列{}n c 对任意自然数n 均有312123
1n n
n c c c c b b b b a =++++
+ 成立,
求:12
32009c c c c ++++的值.
解:⑴由题意得,,2111
()(13)(4)(0)a d a d a d d ++=+>,
1(2)0d d a -=化简得,
解得,1020d d a =-=(舍去) 或 112a d =∴=,
{}2 1.n n a a n ∴=-数列的通项公式为,
22353,9b a b a ∴====
{}3
n 2
3.b a q q b =
=设等比数列的公比为,则 {}2
212
333.n n n n
n
b b b q
---?=?=∴=数列的通项公式为,
⑵当n =1时,
1
21113,33c a c b b ==∴=?= 当n ≥2时, 3
1211
23n
n n
c c c c a b b b b ++
+++
=由,① 31
121231
n n n c c c c a b b b b --+++
+
=得,② 由①-②得,12,n n n n
a a c
b +=-=
1223.n n n c b -∴==?(n )≥2
113.n c ==当时,不满足上式
13,(1)23,()n n n c n ???
??
-=∴=?≥2, 2200812320093232323c c c c ∴++=+?+?+
+?++
200823(13)
313
?-=+-2008200933(31)3.=+-=
小结:本小题考查等差、等比数列的基本知识,利用基本量1,a d 结合等比数列的中项公式,得出数列{}{}n n a b 、的通项公式。还考查已知前n 项和n S 求通项公式的基本方法,要注意分n =1和 n ≥2两种情况。最后根据等比数列的前n 项和公式求和.考查方程思想、化归思想、及分类讨论等思想方法,以及推理和运算能力.
例2.在数列{}n a 中,12a =,1431n n a a n +=-+,n ∈*
N .
(1)证明数列{}n a n -是等比数列; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S ;
(3)证明不等式14n n S S +≤,对任意n ∈*
N 皆成立. (1)证明:由题设1431n n a a n +=-+,得
1(1)4()n n a n a n +-+=-,n ∈*N .
又111a -=,所以数列{}n a n -是首项为1,且公比为4的等比数列.
(2)解:由(Ⅰ)可知1
4n n a n --=,于是数列{}n a 的通项公式为
14n n a n -=+.
所以数列{}n a 的前n 项和41(1)
32
n n n n S -+=+. (3)证明:对任意的n ∈*
N ,
1141(1)(2)
41(1)44323
2n n n n n n n n S S ++??-++-+-=+-+ ???
1212413244443232n n n n n n ++????
-++-+=+-+ ? ?????
21(34)2n n =-+-2314
()233
n n =-+-23149()2636n ??=-+-????.
*1,4n n n N S S +∴∈当时-单调递减,
21211
44(3114)02
n n S S S S +∴≤=-?+-=--
所以不等式14n n S S +≤,对任意n ∈*
N 皆成立. 另解:14n n n T S S +=令-,1
61)2
n T n '∴=-+( *104n n n n N T S S +'∴∈≤∴当时,,-单调递减,
21211
44(3114)02
n n S S S S +∴≤=-?+-=--
所以不等式14n n S S +≤,对任意n ∈*
N 皆成立.
小结:本小题以数列的递推关系为载体主要考查等比数列的概念、通项公式及分组求和的方法。并且解决数列与不等式证明综合运用的问题。考查转化思想,以及推理和运算能力. (四)巩固练习:
1.在数列{}n a 中,11a =,122n
n n a a +=+,设1
2
n
n n a b -=
. 证明:数列{}n b 是等差数列;且求出{}n a 的通项公式。
解:(1)122n
n n a a +=+,
11122
n n
n n a a +-=+, 11n n b b +=+,
则n b 为等差数列,11b =,
n b n =,12n n a n -=?.
2.等差数列{}n a 的各项均为正数,13,a =前n 项和n s ,{}n b 为等比数列,11,b =且
223364,960b s b s ==
(1)求n n a b 与(2)求
12
11
1n
s s s +++
(1)设{}n a 的公差为d ,{}n b 的公比为q ,则d 为正整数,
3(1)n a n d =+-,1n n b q -=
依题意有23322(93)960
(6)64
S b d q S b d q ?=+=?=+=?①
解得2,8d q =??=?或65403d q ?=-
???
?=??
(舍去) 故1
32(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=
(2)35(21)(2)n S n n n =++++=+
∴
12
1111111
132435
(2)
n S S S n n +++
=++++
???+
11111111
(1)232435
2
n n =-+-+-++
-+ 1111
(1)2212
n n =+--++32342(1)(2)n n n +=-
++ (五)专题小结
1.数列考查的重点是等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式、中项公式及等比、等差数列的性质的灵活运用。
2.解数列问题时,若条件中指出数列为等差或等比数列一般将条件化归为基本量首项和公差(比)运用方程的思想求出基本量,进而解决问题。
3.解数列问题时,若条件中的数列不是等差(比)数列,一般通过构造新的等差(比)数列,将问题转化为等差(比)数列问题来解决。
(六)课外练习
1.{}n a 是等差数列,1278104,28,a a a a s +=+==( B ) A. 64 B. 100 C. 110 D. 120
2.已知等差数列{a n },{b n }前n 项和分别是S n 、T n ,若231
n n
S n T n =+,则1111
a b 等于( C )
(A)1117 (B)23 (C)2132 (D)49
3.设{}n a 是公比大于1的等比数列,n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知37S =,且
13a +,23a ,34a +构成等差数列.
(1)求数列{}n a 的通项;(2)令31ln 12n n b a n +==,,,,求数列{}n b 的前n 项和n T .
解:(1)由已知得12313
27:(3)(4)3.2
a a a a a a ++=??
?+++=??,
解得22a =.
公比为q ,由22a =,得132
2a a q q
=
=,. 又37S =,知
2
227q q
++=,即22520q q -+=, 解得121
22
q q ==
,.由题意得12q q >∴=,. 11a ∴=. 数列{}n a 的通项为12n n a -=. (2) 31ln 12n n b a n +==,,,,
由(1)得3312n n a +=3ln 23ln 2n
n b n ∴===3ln 2n ?
又13ln 2n n b b d +-==,
{}n b ∴是首项为3ln 2公差为3ln 2的等差数列 12n n T b b b ∴=++
+1()(3ln 23ln 2)3(1)
ln 2.222
n n b b n n n n +++=
==
等差数列和等比数列的综合及其联系 课题设计背景: 数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两种基本数学模型,研究等差数列的通项、性质以及求和公式,并用类比的方法对等比数列进行研究是课程标准的教学要求。 课题设计目标: (1)掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式; (2)掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式;体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。
例题分析: 1、已知(), f x = 利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法,求和: (5)(4)(3)...(5)f f f f f -+-+-+++的值 2、已知公差不为零的等差数列{n a }中,236,,a a a 组成等比数列的连续三项,求公比q 3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== (1)求1a 和d 的值;(2)16b 是不是数列{}n a 中的项,为什么? (二)等差数列和等比数列之间的转化 结论: (1){}n a 成等差数列,则{}(0,1)n a c c c >≠成等比数列; (2)正项数列{}n a 成等比数列,则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列,再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析: 1、 已知数列)}({* N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比,以11(0)a a >为首项的等比数列,求 12lg lg ...lg n a a a +++ 2、 若数列)}({* N n a n ∈是等差数列,则有数列*123......,()n n a a a a b n N n ++++= ∈ 也是等差数列;类比上述性质,相应地:若数列)}({* N n c n ∈是等比数列,且0>n c ,则 有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。 3、 设)}({* N n a n ∈是等差数列,12n a n b ?? = ? ?? ,已知123123211 ,,88 b b b b b b ++= =求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。 (三)学法总结: (四)课后反思:
江苏省2014届一轮复习数学试题选编14:等差与等比数列综合 填空题 1 .数列{}n a 中,12a =,1n n a a cn +=+(c 是常数,123n =,,,),且123a a a ,,成公比不为1的等比数列, 则{}n a 的通项公式是______. 【答案】2 2n a n n =-+ 2 .已知数列{}n a 满足143a =,()* 11226n n a n N a +-=∈+,则11n i i a =∑=______. 【答案】232 4 n n ?-- 3 .已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n , 若a 3=18,S 3=26,则{a n }的公比q =________. 【答案】3 4 .设数列{a n }满足:()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ,,则a 1的值大于20的概率为____. 【答案】14 5 .已知数列 }{n a 满足1 22n n a qa q +=+-(q 为常数,||1q <),若3456,,,a a a a ∈}{18,6,2,6,30---, 则1a = . 【答案】2-或 126 6 .观察下列等式: 31×2×12=1-122, 31×2×12+42×3×122=1-13×22, 31×2×12+42×3×122+53×4×123=1-1 4×2 3,,由以上等式推测到一个一般的结论:对于n ∈N * , 31×2×12+42×3×122++n +2n n +1×1 2 n =______. 【答案】()n n 211 1?+- 7 .已知等比数列{}n a 的首项是1,公比为2,等差数列{}n b 的首项是1,公差为1,把{}n b 中的各项按照如 下规则依次插入到{}n a 的每相邻两项之间,构成新数列}{n c :1122334,,,,,,,a b a b b a b 564,,b b a ,,即在 n a 和1n a +两项之间依次插入{}n b 中n 个项,则2013c =____. 【答案】1951 8 .若数列 {}n a 是各项均为正数的等比数列,则当12n n n b a a a =?? ?时,数列{}n b 也是等比数列;类比上
一、任意数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系:???≥-==-)2() 1(11n S S n S a n n n 二、等差数列 1、等差数列及等差中项定义 d a a n n =--1、2 1 1-++= n n n a a a 。 2、等差数列的通项公式:d n a a n )1(1-+=、d k n a a k n )(-+= 当0≠d 时,n a 是关于n 的一次式;当0=d 时,n a 是一个常数。 3、等差数列的前n 项和公式:2)(1n n a a n S += d n n na S n 2 ) 1(1-+= 4、等差数列}{n a 中,若q p n m +=+,则q p n m a a a a +=+ 5、等差数列}{n a 的公差为d ,则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、…… 仍为等差数列。 6、B A a A d Bn An S n +==+=122,, 7、在等差数列}{n a 中,有关n S 的最值问题 利用n S (0≠d 时,n S 是关于n 的二次函数)进行配方(注意n 应取正整数) 三、等比数列 1、等比数列及等比中项定义: q a a n n =-1 、112+-=n n n a a a 2、等比数列的通项公式: 11-=n n q a a k n k n q a a -= 3、等比数列的前n 项和公式:当1=q 时,1na S n = 当1≠q 时,q q a S n n --=1)1(1 q q a a S n n --=11 4、等比数列}{n a 中,若q p n m +=+,则q p n m a a a a ?=? 5、等比数列}{n a 的公比为q ,且0≠n S ,则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、 m m S S 23-、……仍为等比数列 6、0=++=B A B Aq S n n ,则 四、求数列}{n a 的最大的方法: 1-1n n n n a a a a ≥≥+ 五、求数列}{n a 的最小项的方法: 1 -1n n n n a a a a ≤≤+ 例:已知数列}{n a 的通项公式为:32922-+-=n n a n ,求数列}{n a 的最大项。 例:已知数列}{n a 的通项公式为:n n n n a 10) 1(9+=,求数列}{n a 的最大项。
一、等差数列 1.定义:)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式:d n a )1(a 1n -+= 3.变式:d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和:2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义: ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义:常数)(a 1q a n n =+ 2.通项公式:11a -=n n q a 3.变式: m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n
前n 项和:n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式:m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质: ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和.进行拆分,分别利用基,则可或等比数列的和的形式数列,但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和: 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2.裂项相消法. ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列,项和,其中的前项为用于通 从而计算和的方法,适别裂开后,消去一部分把数列和式中的各项分
等差数列与等比数列综合问题(3)教学目标 1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n 项和式以及有关性质,分析和解决等差、等比数列的综合问题. 2.突出方程思想的应用,引导学生选择简捷合理的运算途径,提高运算速度和运算能力.3.用类比思想加深对等差数列与等比数列概念和性质的理解.教学重点与难点 1.用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识,从本质上掌握公式. 2.等差数列与等比数列的综合应用.例1已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11…都有100项,问它们有多少公共项.例2 已知数列{an}的前n 项和,求数列{|an|}的前n项和tn.例3已知公差不为零的等差数列{an}和等比数例{bn}中,a1=b1=1,a2=b2,a8=b3,试问:是否存在常数a,b,使得对于一切自然数n,都有an=logabn+b成立.若存在,求出a,b的值,若不存在,请说明理由.例4已知数列{an}是公差不为零的等差数列,数列{akn}是公比为q的等比数列,且k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+k3+…+kn的值.例5、已知函数f(x)=2x-2-x ,数列{an}满足f( )= -2n (1)求{an}的通项公式。(2)证明{an}是递减数列。例6、在数列{an}中,an>0,= an+1 (n n)求sn和an的表达式。例7.已1 ————来源网络整理,仅供供参考
知数列{an}的通项公式为an= .求证:对于任意的正整数n,均有a2n ─1,a2n,a2n+1成等比数列,而a2n,a2n+1,a2n+2成等差数列。例8.项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求该数列的中间项及项数。作业1 公差不为零的等差数列的第2,第3,第6项依次成等比数列,则公比是().(a)1 (b)2 (c)3 (d)4 2 若等差数列{an}的首项为a1=1,等比数列{bn},把这两个数列对应项相加所得的新数列{an+bn}的前三项为3,12,33,则{an}的公差为{bn}的公比之和为().(a)-5 (b)7 (c)9 (d)14 3 已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则的值是. 4 在等差数列{an}中,a1,a4,a25依次成等比数列,且a1+a4+a25=114,求成等比数列的这三个数.5 设数列{an}是首项为1的等差数列,数列{bn}是首项为1的等比数列,又cn =an-bn(n∈n+),已知试求数列{cn}的通项公式与前n项和公式. ————来源网络整理,仅供供参考 2
等差数列和等比数列知识点梳理 第一节:等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义:对于一个数列,如果它的后一项减去前一项的差为一个定值,则称这个数列为等差数列,记:d a a n n =--1(d 为公差)(2≥n ,*n N ∈) 2、等差数列通项公式: 1(1)n a a n d =+-,1a 为首项,d 为公差 推导过程:叠加法 推广公式:()n m a a n m d =+- 变形推广:m n a a d m n --= 3、等差中项 (1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2 b a A +=或 b a A +=2 (2)等差中项: 数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式: 1()2n n n a a S += 1(1) 2n n na d -=+ 211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ 前N 相和的推导:当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=。(注:12132n n n a a a a a a --+=+=+=???,)当然扩充到3项、4项……都是可以的,但要保证等号两边项数相同,下标系数之和相等。
5、等差数列的判定方法 (1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列. (2)等差中项:数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a (3)数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=(其中b k ,是常数)。 (4)数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。 6、等差数列的证明方法 定义法或者等差中项发? {}n a 是等差数列. 7、等差数列相关技巧: (1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、 n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d ); ③偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(注意;公差为2d ) 8、等差数列的性质: (1)当公差0d ≠时,等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ;前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0。
【最新整理,下载后即可编辑】 等差数列与等比数列的综合问题 【知识要点】 (一)等差、等比数列的性质 1.等差数列{a n }的性质 (1)a m =a k +(m -k )d ,d =k m a a k m --. (2)若数列{a n }是公差为d 的等差数列,则数列{λa n +b }(λ、b 为常数)是公差为λd 的等差数列;若{b n }也是公差为d 的等差数列,则{λ1a n +λ2b n }(λ1、λ2为常数)也是等差数列且公差为λ1d +λ2d . (3)下标成等差数列且公差为m 的项a k ,a k +m ,a k +2m ,…组成的数列仍为等差数列,公差为md . (4)若m 、n 、l 、k ∈N *,且m +n =k +l ,则a m +a n =a k +a l ,反之不成立. (5)设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ,B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ,C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ,则A 、B 、C 成等差数列. (6)若数列{a n }的项数为2n (n ∈N *),则S 偶-S 奇=nd , 奇 偶S S = n n a a 1+, S 2n =n (a n +a n +1)(a n 、a n +1为中间两项); 若数列{a n }的项数为2n -1(n ∈N *),则S 奇-S 偶=a n , 奇 偶S S =n n 1-,S 2n - 1 =(2n -1)a n (a n 为中间项). 2.等比数列{a n }的性质 (1)a m =a k ·q m -k . (2)若数列{a n }是等比数列,则数列{λ1a n }(λ1为常数)是公比为q 的等比数列;若{b n }也是公比为q 2的等比数列,则{λ1a n ·λ2b n }(λ1、λ2为常数)也是等比数列,公比为q ·q 2. (3)下标成等差数列且公差为m 的项a k ,a k +m ,a k +2m ,…组成的数列仍为等比数列,公比为q m . (4)若m 、n 、l 、k ∈N *,且m +n =k +l ,则a m ·a n =a k ·a l ,反之不成立. (5)设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ,B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ,C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ,则A 、B 、C 成等比数列,设M =a 1·a 2·…·a n ,N =a n +1·a n +2·…·a 2n ,P =a 2n +1·a 2n +2·…·a 3n ,则M 、N 、P 也成等比数列. (二)对于等差、等比数列注意以下设法:
1.(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A .a n =2n -5 B .a n =3n -10 C .S n =2n 2 -8n D .S n =12 n 2 -2n 2.(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足,a n +1+2a n =0,且a 2 =2,则{a n }前10项的和等于( ) A.1-2103 B .-1-210 3 C .210-1 D .1-210 3.已知等比数列{a n }的首项为1,公比q ≠-1,且a 5+a 4=3(a 3 +a 2),则 9 a 1a 2a 3…a 9等于( ) A .-9 B .9 C .-81 D .81 4.(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A .-12 B .-10 C .10 D .12 5.(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零,S n 为其前n 项和,S 3=9,且a 2-1,a 3-1,a 5-1构成等比数列,则S 5=( ) A .15 B .-15 C .30 D .25 二、填空题 6.(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5=________,S n 的最小值为________. 7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:“有一个人走378里路,
等差数列与等比数列的综合运用 班别: 坐号: 姓名: 1.在直角三形中,三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比等于 。 2. 成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上1,3,9后又成等比数列, 则这三个数分别是 。 3. 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和是37,第二个数与第三个数的和是36,则这四个数分别是 。 4. 已知数列{}n a 的前n 项的和1(0n n S a a =-是不为的常数),则{}n a ( ) A,一定是等差数列 B,或者是等差数列,或者是等比数列 C, 一定是等比数列 D,不是等差数列,也不是等比数列 5. a ,b,c 成等比数列,那么关于x 的方程20ax bx c ++= ( ) A ,一定有两个不相等的实数根 B ,一定有两个相等的实数根 C, 一定没有实数根 D ,以上均有可能 6. 已知数列{}n a 是等差数列,12a =,且存在数列{}n b ,使得121 1 1 44 4 (1) n n a a a a n b ---=+ , 则数列{}n b 的前n 项和n S = 。 7. 如果b 是a 与c 的等差中项,y 是x 与z 的等比中项,且,,y x z 都是正数,则 ()log ()log ()log m m m b c x c a y a b z -+-+-= (0,1m m >≠) 8. 如果等差数列{}n a 的项数是奇数,11a =,{}n a 的奇数项的和是175,偶数项的和是150, 则这个等差数列的公差为 。 9. 在数列{}n a 中,11a =,13(1),n n a S n +=≥证明:23,,,n a a a 是等比数列。 10 求和:(1)21 123n n S x x nx -=++++ (2)23123n n S x x x nx =+++++
一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列 ( ) (A )为常数数列 (B )为非零的常数数列 (C )存在且唯一 (D )不存在 2.、在等差数列 {}n a 中,41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列,则{}n a 的通项公式为 ( ) (A )13+=n a n (B )3+=n a n (C )13+=n a n 或4=n a (D )3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列,且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项,则 y c x a +的值为 ( ) (A ) 2 1 (B )2- (C )2 (D ) 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列,x 是a ,b 的等比中项, y 是b ,c 的等比中项,那么2x ,2b ,2y 三个数( ) (A )成等差数列不成等比数列 (B )成等比数列不成等差数列 (C )既成等差数列又成等比数列 (D )既不成等差数列,又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 ( ) (A )22-=n a n (B )28-=n a n (C )12-=n n a (D )n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-,则 ( ) (A )z y x ,,成等差数列 (B )z y x ,,成等比数列 (C ) z y x 1,1,1成等差数列 (D )z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ,则关于数列{}n a 的下列说法中,正确的个数有 ( ) ①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ②一定是等差数列,但不可能是等比数列 ③可能是等比数列,也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列 (A )4 (B )3 (C )2 (D )1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为 ( ) (A )1212+-n n (B )212112+-+n n (C )1212+--n n n (D )212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ,且满足 5 524-+= n n B A n n ,则 13 5135b b a a ++的值为 ( ) (A ) 9 7 (B ) 7 8 (C ) 2019 (D )8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 ( ) (A )56 (B )58 (C )62 (D )60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3,9,27,…3n , …项,按原来的顺序排成一个新的数列,则此数列 的前n 项和为 ( )