三角形解答题单元练习(Word版 含答案)
三角形解答题单元练习（Word 版 含答案）
一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
1．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补.
(1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由.
(2)如图2，BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH EG ⊥，求证：//PF GH .
(3)如图3，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使PHK HPK ∠=∠，作PQ 平分EPK ∠，求HPQ ∠的度数.
【答案】(1)AB//CD ，理由见解析；(2)证明见解析；(3)45HPQ ∠=.
【解析】
【分析】
（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，即可证明； （2）利用（1）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，再结合GH ⊥EG ，即可证明;
（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=-
12
∠EPK=45°+∠2，最后根据角与角间的和差关系即可求解.
【详解】
(1)//AB CD ，
理由如下：如图1， 图1
∵1∠与2∠互补，
∴12180∠+∠=?，
又∵1AEF ∠=∠，2CFE ∠=∠，
∴180AEF CFE ∠+∠=?，
∴//AB CD ；
(2)如图2，由(1)知，//AB CD ，
图2
∴180BEF EFD ∠+∠=?．
又∵BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，
∴1(2
)90FEP EFP BEF EFD ∠+∠=∠+∠=?， ∴90EPF ∠=?，即EG PF ⊥．
∵GH EG ⊥，
∴//PF GH ；
(3)如图3，
∵PHK HPK ∠=∠，
2PKG HPK ∴∠=∠.
又∵GH EG ⊥，
∴90902KPG PKG HPK ∠=-∠=-∠．
∴180902EPK KPG HPK ∠=-∠=+∠．
∵PQ 平分EPK ∠，
∴1452
QPK EPK HPK ∠=∠=+∠． ∴45HPQ QPK HPK ∠=∠-∠=．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识.解题过程关注中“数形结合”思想是解答本题的关键.
2．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点
B、C，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX等于多少度；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=133°，
∠BG1C=70°，求∠A的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）①50°；②85°；③63°．
【解析】
【分析】
（1）连接AD并延长至点F，根据外角的性质即可得到∠BDF=∠BAD+∠B，
∠CDF=∠C+∠CAD，即可得出∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）①根据（1）得出∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，再根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的度数；
②先根据（1）得出∠ADB+∠AEB=90°，再利用DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，即可求出∠DCE的度数；
③由②得∠BG1C=
1
10
（∠ABD+∠ACD）+∠A，设∠A为x°，即可列得
1
10
（133-x）+x=70，
求出x的值即可.
【详解】
（1）如图（1），连接AD并延长至点F，
根据外角的性质，可得
∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，
又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1），可得
∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，
∵∠A=40°，∠BXC=90°，
∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°；
②由（1），可得
∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，
∴1
2
（∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴
1
2
ADC ADB
∠=∠，
1
2
AEC AEB
∠=∠，
∴∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE,
=1
2
（∠ADB+∠AEB）+∠DAE,
=45°+40°, =85°；
③由②得∠BG1C=
1
10
（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG1C=70°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD=133°-x°
∴
1
10
（133-x）+x=70，
∴13.3-
1
10
x+x=70，
解得x=63，
即∠A的度数为63°.
【点睛】
此题考查三角形外角的性质定理，三角形的外角等于与它不相邻的内角的和，，根据此定理得到角度的规律，由此解决问题，此题中得到平分角的变化规律是解题的难点.
3．如图, A为x轴负半轴上一点, B为x轴正半轴上一点, C(0,－2),D(－3,－2).
(1)求△BCD的面积；
(2)若AC⊥BC,作∠CBA的平分线交CO于P,交CA于Q,判断∠CPQ与∠CQP的大小关系, 并证明你的结论.
【答案】（1）3；（2）∠CPQ＝∠CQP，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）求出CD的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠ABQ=∠CBQ，然后根据等角的余角相等解答；
【详解】
解：（1）∵点C（0，-2），D（-3，-2），
∴CD=3，且CD//x轴
∴△BCD面积=1
2
×3×2=3；
（2）∠CPQ＝∠CQP，
∵AC⊥BC，
∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90°∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA，
∴∠ABQ＝∠CBQ，
∵∠CQP＝∠OAC＋∠ABQ
∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO，
∴∠CQP＝∠CPQ
（2）∠CPQ＝∠CQP，
∵AC⊥BC，
∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90°∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA，
∴∠ABQ＝∠CBQ，
∵∠CQP＝∠OAC＋∠ABQ
∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO，
∴∠CQP＝∠CPQ
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键.
4．（1）在ABC ?中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，CF AB ⊥，16BC =，3AD =，4BE =，6CF =，则ABC ?的周长为______.
（2）如图①，在ABC ?中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，BD ，CD 的中点，且4ABC S ?=2cm ，则AEF S ?等于______2cm .
① ②
（3）如②图，三角形ABC 的面积为1，点E 是AC 的中点，点O 是BE 的中点，连接AO 并延长交BC 于点D ，连接CO 并延长交AB 于点F ，则四边形BDOF 的面积为______.
【答案】（1）36（2）2（3）16
【解析】
【分析】
(1)利用三角形面积公式，求出AB 、AC 的长，再计算三角形的周长即可；
(2)设ABC ?在BC 边上的高为h ，则12
ABC S BC h ?=?，根据线段中点的定义以及线段的和差得出12
EF BC =，继而再根据三角形面积公式进行求解即可； (3)设BOF S x ?=，BOD S y ?=，根据三角形中线将三角形分成两个面积相等的三角形可得14AOE COE AOB COB S S S S ????====
，从而得14AOF S x ?=-，34ACF S x ?=-，14BCF S x ?=+，14COD S y ?=-，34ACD S y ?=-，14
ABD S y ?=+，利用等高的两三角形面积之比等于底边之比分别列出关于x 、y 的方程，求出x 、y 的值即可求得答案.
【详解】
(1)111222
ABC S BC AD AC BE AB CF ?=?=?=?， ∴BC AD AC BE AB CF ?=?=?，
即16346AC AB ?=?=?，
∴12AC =，8AB =，
∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=36；
(2)设ABC ?在BC 边上的高为h ， 则12
ABC S BC h ?=?， ∵E 为BD 中点，∴12
ED BD =， ∵F 为DC 中点，∴12DF DC =
， ∴111222
EF BD DC BC =+=， ∴211112cm 2222AEF ABC S EF h BC h S ??=
?=??==； (3)设BOF S x ?=，BOD S y ?=，
∵点E ，O 分别是AC ，BE 的中点，1ABC S ?=， ∴14AOE COE AOB COB S S S S ????====
， ∴14AOF S x ?=-，34ACF S x ?=-，14
BCF S x ?=+， ∴134414
x x x x --=+，即2213164x x x -=-， 解得112
x =， 又14COD S y ?=-，34ACD S y ?=-，14
ABD S y ?=+， ∴141344
y y y y +=--，得112y =， 故11112126
BDOF S x y =+=+=四边形. 【点睛】
本题考查了三角形面积的应用，三角形的周长，解题关键在于找出等高的两三角形面积与底边的对应关系．
5．如图四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，∠BAD 的平分线AG 交BC 于点G ．
（1）求证：∠BAG=∠BGA；
（2）如图2，∠BCD的平分线CE交AD于点E，与射线GA相交于点F，∠B=50°．
①若点E在线段AD上，求∠AFC的度数；
②若点E在DA的延长线上，直接写出∠AFC的度数；
（3）如图3，点P在线段AG上，∠ABP=2∠PBG，CH∥AG，在直线AG上取一点M，使∠PBM=∠DCH，请直接写出∠ABM：∠PBM的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）①20°；②160°；（3）1
3
或
7
3
【解析】
【分析】
（1）根据AD//BC可知∠GAD=∠BGA，由AG平分∠BAD可知∠BAG=∠GAD，即可得答案.（2）①根据CF平分∠BCD，∠BCD=90°，可求出∠GCF的度数，由AD//BC可求出∠AEF 和∠DAB的度数，根据三角形外角的性质求出∠AFC的度数即可；②根据三角形外角性质求出即可；（3）根据M点在BP的上面和下面两种情况讨论，分别求出∠PBM和∠ABM 的值即可.
【详解】
（1）∵AD∥BC，
∴∠GAD=∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠GAD，
∴∠BAG=∠BGA；
（2）①∵CF平分∠BCD，∠BCD=90°，
∴∠GCF=45°，
∵AD∥BC，∠ABC=50°，
∴∠AEF=∠GCF=45°；∠DAB=180°﹣50°=130°，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠GAD=65°，
∴∠AFC=65°﹣45°=20°；
②如图：
∵∠AGB=65°，∠BCF=45°，
∴∠AFC=∠CGF+∠BCF=115°+45°=160°；
（3）有两种情况：
①当M在BC的下方时，如图：∵∠ABC=50°，∠ABP=2∠PBG，
∴∠ABP=（100
3
）°，∠PBG=（50
3
）°，
∵AG∥CH，
∴∠BCH=∠AGB=65°，∵∠BCD=90°，∴∠DCH=∠PBM=90°﹣65°=25°，
∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=（100
3
+25）°=（
175
3
）°，
∴∠ABM：∠PBM=（175
3
）°：25°=7
3
；
②当M在BC的上方时，如图：
同理得：∠ABM=∠ABP﹣∠PBM=（100
3
﹣25）°=（25
3
）°，
∴∠ABM：∠PBM=（25
3
）°：25°=1
3
；
综上，∠ABM：∠PBM的值是1
3
或
7
3
．
【点睛】
本题考查平行线的性质和三角形外角性质，熟练掌握平行线性质是解题关键.
6．数学活动课上，老师提出了一个问题：
我们知道，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与
它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系？
（1）独立思考，请你完成老师提出的问题：
如图所示，已知∠DBC和∠BCE分别为△ABC的两个外角，试探究∠A和∠DBC，∠BCE之间的数量关系.
解：
⑵合作交流，“创新小组”受此问题的启发：分别作外角∠CBD和∠BCE的平分线BF和CF，交于点F（如图所示），那么∠A与∠F之间有何数量关系？请写出解答过程.
【答案】（1）∠DBC+∠BCE－∠A=180o（2）1
2
∠A+∠F=90o
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形内角和定理计算即可.（2）根据角平分线可知∠FBC+∠FCB=1
2
（∠DBC+∠BCE，）再根据三角形内角和定理，结合（1）即可解答.
【详解】
⑴∠DBC+∠BCE－∠A=180o.
∠DBC+∠BCE
=∠ABC+∠A+∠ACB+∠A
=180°+∠A
即∠DBC+∠BCE－∠A=180o.
（2）1
2
∠A+∠F=90°
∵BF和CF分别平分∠CBD和∠BCE，
∴∠CBF=1
2
∠CBD，∠BCF=
1
2
∠BCE.
∴∠CBF+∠BCF=1
2
(∠CBD+∠BCE).
∵∠CBF+∠BCF=180o－∠F，∠DBC+∠BCE=180o+∠A.
∴180o－∠F =1
2
（∠CBD+∠BCE）=
1
2
(180o+∠A)
∴1
2
∠A+∠F=90o.
【点睛】
本题考查了三角形外角性质及三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质是解题的关键.
7．操作示例：如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1=S2．
解决问题：在图2中，点D、E分别是边AB、BC的中点，若△BDE的面积为2，则四边形ADEC的面积为 .
拓展延伸：
（1）如图3，在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2CD，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1与S2之间的数量关系为．
（2）如图4，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接BE、CD交于点O，且
BO=2EO，CO=DO，若△BOC的面积为3，则四边形ADOE的面积为 .
【答案】解决问题：6；拓展延伸：（1）S1=2S2（2）10.5
【解析】
试题分析：解决问题：连接AE，根据操作示例得到S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC，从而得到结论；
拓展延伸：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，从而得到△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积，由此即可得到结论；
（2）连接AO．则可得到△BOD的面积=△BOC的面积，△AOC的面积=△AOD的面积，
△EOC的面积=△BOC的面积的一半，△AOB的面积=2△AOE的面积．设△AOD的面积=a，△AOE的面积=b，则a+3=2b，a=b+1.5，求出a、b的值，即可得到结论．
试题解析：解：解决问题
连接AE．∵点D、E分别是边AB、BC的中点，∴S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC．∵S△BDE
=2，∴S△ADE =2，∴S△ABE=S△AEC=4，∴四边形ADEC的面积=2+4=6．
拓展延伸：
解：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，∴△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积= S2，∴S1=2S2．
（2）连接AO．∵CO=DO，∴△BOD的面积=△BOC的面积=3，△AOC的面积=△AOD的面积．∵BO=2EO，∴△EOC的面积=△BOC的面积的一半=1.5，△AOB的面积=2△AOE的面积．设△AOD的面积=a，△AOE的面积=b，则a+3=2b，a=b+1.5，解得：a=6，b=4.5，∴四边形ADOE的面积为=a+b=6+4.5=10.5．
8．如图，将一块三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边PQ上，直尺的另一边MN与三角板的两边AC、BC分别交于两点Ｅ、Ｄ，且AD为∠BAC的平分线，∠B=300，∠ADE=150.（1）求∠BDN的度数；
（2）求证：CD=CE.
【答案】（1）∠BDN=∠CDE=450（2）CD=CE
【解析】
试题分析：（1）根据直角三角形的性质，求出∠BAC=60°，然后根据角平分线的性质求出∠CAD=30°，进而根据三角形的内角和求出∠CDA=60°，最后根据角的和差求解即可；
（2）结合（1）的关系，由“等角对等边”得出结论. 试题解析：（1）在直角三角形ABC 中，∠ACB=900，∠B=300,
∴∠BAC=600,又AD 平分∠BAC ，
∴∠CAD=300,又∠ACD=900,
∴∠CDA=600
又∠ADE=150，
∴∠CDE=∠CDA-∠ADE=600-150=450
∴∠BDN=∠CDE=450
（2）在△CED 中，∠ECD=900，∠CDE=450
∴∠CED=450
∴ CD=CE
点睛：此题主要考查了直角三角形、角平分线的性质，三角形的内角和定理，解题关键是利用三角形的外角和内角求解角之间的和差关系即可.
9．已知，在ABC 中，∠A =60°，
（1）如图①，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，则∠BOC= ；
（2）如图②，∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别对应交于点O 1，O 2，则
2_________BO C ∠=；
（3）如图③，∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O -（内部有1n -个点），则1-∠=n BO C ；
（4）如图③，∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O -，若190-∠=?n BO C ，求n 的值．
【答案】（1）120°；（2）100°；（3）60120+???
???
n n ；（4）n=4 【解析】
【分析】 （1）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据角平分线的定义即可求出∠OBC ＋∠OCB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；
（2）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据三等分线的定义即可求
出∠O 2BC ＋∠O 2CB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；
（3）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据n 等分线的定义即可求出∠O n －1BC ＋∠O n －1CB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；
（4）根据（3）的结论列出方程即可求出结论．
【详解】
解：（1）∵在ABC 中，∠A =60°，
∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120°
∵∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，
∴∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12
∠ACB ∴∠OBC ＋∠OCB=
12∠ABC ＋12∠ACB =12
（∠ABC ＋∠ACB ） =60°
∴∠BOC=180°－（∠OBC ＋∠OCB ）=120°
故答案为：120°．
（2）∵在ABC 中，∠A =60°，
∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120°
∵∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别对应交于点O 1，O 2，
∴∠O 2BC=23∠ABC ，∠O 2CB=23
∠ACB ∴∠O 2BC ＋∠O 2CB=
23∠ABC ＋23∠ACB =23
（∠ABC ＋∠ACB ） =80°
∴2∠=BO C 180°－（∠O 2BC ＋∠O 2CB ）=100°
故答案为：100°．
（3）∵在ABC 中，∠A =60°，
∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120°
∵∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O -
∴∠O n －1BC=1n n -∠ABC ，∠O n －1CB=1n n
-∠ACB ∴∠O n －1BC ＋∠O n －1CB=
1n n -∠ABC ＋1n n -∠ACB =1n n
-（∠ABC ＋∠ACB ）
=120120-?? ???
n n ° ∴1-∠=n BO C 180°－（∠O 2BC ＋∠O 2CB ）=60120+???
???n n 故答案为：60120+??? ???
n n （4）由（3）知：1-∠=n BO C 60120+???
???n n ∴
6012090+=n n
解得：n=4 经检验：n=4是原方程的解．
【点睛】
本题考查了n 等分线的定义和三角形的内角和定理，掌握n 等分线的定义和三角形的内角和定理是解决此题的关键．
10．动手操作，探究：
探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系．
已知：如图（1），在△ADC 中，DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠ACD ，试探究∠P 与∠A 的数量关系．并说明理由．
探究二：若将△ADC 改为任意四边形ABCD 呢？
已知：如图（2），在四边形ABCD 中，DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠BCD ，请你利用上述结论探究∠P 与∠A +∠B 的数量关系，并说明理由．
探究三：若将上题中的四边形ABCD 改为六边形ABCDEF 如图（3）所示，请你直接写出∠P 与∠A +∠B +∠E +∠F 的数量关系．
【答案】探究一： 90°+
12∠A ；探究二：12（∠A +∠B ）；探究三：∠P =12
（∠A +∠B +∠E +∠F ）﹣180°． 【解析】
试题分析：
探究一：根据角平分线的定义可得∠PDC =12 ∠ADC ，∠PCD =12
∠ACD ，然后根据三角
形内角和定理列式整理即可得解.
探究二：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究一解答即可.探究三：根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究一解答即可.试题解析：
探究一：∵DP、CP分别平分∠AD C和∠ACD，
∴∠PDC=1
2
∠ADC，∠PCD=
1
2
∠ACD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-1
2
∠ADC-
1
2
∠ACD，
= 180°-1
2
（∠ADC+∠ACD），
=180°-1
2
（180°-∠A），
=90°+1
2
∠A；
探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=1
2
∠ADC，∠PCD=
1
2
∠BCD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-1
2
∠ADC-
1
2
∠BCD，
=180°-1
2
（∠ADC+∠BCD），
=180°-1
2
（360°-∠A-∠B），
=1
2
（∠A+∠B）；
探究三：六边形ABCDEF的内角和为：（6-2）×180°=720°，∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC=1
2
∠EDC，∠PCD=
1
2
∠BCD，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-1
2
∠EDC-
1
2
∠BCD，
=180°-1
2
（∠EDC+∠BCD），
=180°-1
2
（720°-∠A-∠B-∠E-∠F），
=1
2
（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，
即∠P=1
2
（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．
点睛：本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，在此类题目中根据同一个解答思路求解是解题的关键.