向量在高中数学中的作
用
WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
向量在高中数学教学中的作用
作为新课程改革,高中数学教材的两个显着变化就是“向量和导数”的引入.其目的
也很明确:为研究函数、空间图形,提供新的研究手段,即充分体现它们的工具性.但
这种“工具性”,只有在深刻理解的基础上才能用好,而要想用活,这又需要我们在实
践中不断“开发”新的认识,丰富知识网络,形成较完善的“认知模块”、“知识体系”.,
极大地丰富了关于空间向量的“数量积”这一运算的“认知模块”的内涵.
对教材引进空间向量的“坐标法”来解决空间中“三大角”问题,我们的学生可以说是
欣喜若狂啊,因为学生觉得这种方法好!可操作性强!(只要能建系,有坐标就
行!)但在实际应用中,学生觉得这些结论不易理解,加上这些结论只能逐步形成和
完善,靠死记硬背吧,今天记了明天又忘了!等到用时,仍是“生硬、呆板”,甚至张
冠李戴.如何突破这一问题?我认为其根本原因是:在学生的认知结构里,这一性质未
能如愿地形成“知识链”.那么,这一性质是怎样与相关问题产生“对接或联系”的呢?
(1)它是空间三大角(即线线角、线面角、二面角的平面角)用向量法求解的
“对接点”.
1.1线线角
])
2
,0[
(
π
α
α∈
的求法的新认识:
我们把这两条线赋予恰当的两个向量,问题就化归为两个向量的夹角(两个向量所成
的角的范围为]
,0[π),即|
||
|
|
|
||
|
||
,
cos
|
cos
b
a
b
a
=
=
>
<
=
α
,我们能否加以重新认
识这个公式呢?如图,
|
|
1
|
|
|1
|
cos
b
OB
OB
=
=
α
,此时OB1可以
看作是与方
向上的单位向量
的数量积|
|
(
a
e
e
b=
?其中
,这就是由数量积这条性质滋生而成的;故此结论重新可
以理解为:|
|
|
|
|
|
cos
b
a
=
α
(这里刚好满足三角函数中余弦的定义:邻边比斜边).
1.2线面角
])
2
,0[
(
π
θ
θ∈
的求法的新认识:
|
,
cos
|
sin<
=n
θ|
||
|n
PA
=
1
(其中为平面α的一个法向量),此结论重新可以理解为:
||||sin PA OP =
=
θ,此
时OP 又可以看作是PA 在上的投影,即PA 与方向上的单位向量的数量积?,
(=
其中,故
|
||
|
||sin PA n =
θ(这里刚好满足三角函数中正弦的定义:对边比斜
边).
1.3二面角的平面角]),0[(πθθ∈的求法的新认识:
|||cos |=θ=|
2||1
||
21|n n n n ?(其中21n n 与是两二面角所在平面的各一个法向量)此结论重新可以理解
为:
|2||
|
1|12||1||
|2|2
1||cos |n n n n n n =
=
θ(这里刚好满足三
角函数中余弦的定义:邻边比斜边). ★三大角的统一理解:
||cos =α、||sin =
θ、
2||1|1
2
|1|
|2|2
1||cos |n n n n ==θ、 其从上述梳理完全可以看出其本质特征:这里的“空间角”的求法,完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影,即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积,而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图,学生完全可以达到“系统化”和“自主化”,因为直角三角形中的三角函数定义,他们太熟悉了!即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区”,那学习就会水到渠成!
(2)它又是空间三大距离(即点线距、点面距、异面直线间距离)用向量法求解的“联系点”.
空间中有七大距离(除球面上两点间的距离外)基本上可转化为点点距、点线距、点面距,而点线距和点面距又是重中之重!另外两异面直线间的距离,高考考纲中明确要求:对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离.因此对异面直线间的距离的考查有着特殊的身份.教材按排中引进了向量法来解决距离问题,也给问题的解决带来新的活力!不用作出(或找出)所求的距离了. 2.1点面距求法的新认识:
|
|
|
||
|
|
|
sin
|
||
|
n
PA
n
d=
=
=
=θ
(其中n为平面α的一个法向量),
此结论重新可以理解为:
|
|
|
|
n
PA
d=
,即PA在上
的投影,即PA与方向上的单位向量的数量积
|
|
(
n
=
?其中
.
2.2点线距求法的新认识:
1)新认识之一:
如图,若存在有一条与l相交的直线时,就可以先求出由这两条相交直线确定的
平面的一个法向量n,则点P到l的距离
|
|
|
|
n
PA
d=
.
2)新认识之二:
若不存在有一条与l相交的直线时,
我们可以先取l上的一个向量n,再利用
2|
|
2|
|
2|
|OA
PA
PO-
=来解,即:
2|
|
2|
|
2
d-
=,而数量OB可以理解为在l上的向量n的投影,也即为:
|
|
|
||
|
n
=
.
2.3异面直线间距离求法的新认识:
从这几年的高考《考纲说明》观察,我们不难发现,对异面直线间距离的考查本意不能太难,但若出现难一点的考题,命题者又能自圆其说的新情况.实际上,这种自圆其说法归根到底在于高考考纲中的说法:只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离.那也就是说,在不要作出公垂线(也许学生作不出!)的情况下,也可以求出它们的距离的!那就是用向量法!
如图所示:若直线l1与直线l2是两异面直线,求两异面直线的距离.
略解:在两直线上分别任取两点A、C、B、
D,构造三个向量CD
BD
AC,
,,记与两直线
的公垂线共线的向量为n,则由
0=
?
=
?与,得,则它们的距离就P
l
O
A
可以理解为:在上的投影的绝对值,即: |
|CD d =.
★三大距离的统一理解:
|
|||n d =(点面距)、
|
|||n d =(异面距)、
|
|||n d =(点线距之
一)、
2||2||2d -=且
|
|||||n =(点线距之二)、
其本质特征是:一个向量在其所求的距离所在直线的一个向量上的投影,也即数量积此性质的直接应用. 由上述的剖析过程不难再看出:空间中的三大角与三大基本距离的计算,都隐藏于这个“特定”的数量积的性质之中,体现在这个公式结构的“统一美”之中,把问题的本质揭示得“淋漓尽致”,而又不失自然!这给“立体几何” 中向量的工具性的体现,增色了几分美感与统一感!
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
高中数学数列专题大题组卷 一.选择题(共9小题) 1.等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130 B.170 C.210 D.260 2.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.B.7 C.6 D. 3.数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=3S n(n≥1),则a6=() A.3×44B.3×44+1 C.44D.44+1 4.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=﹣,则{a n}的前10项和等于()A.﹣6(1﹣3﹣10)B.C.3(1﹣3﹣10)D.3(1+3﹣10)5.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.B.C.D. 6.已知等差数列{a n}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=()A.138 B.135 C.95 D.23 7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3 B.4 C.5 D.6 8.等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=() A.n(n+1)B.n(n﹣1)C.D. 9.设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是() A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0<a 1<a2,则a2D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0 二.解答题(共14小题) 10.设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。
高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+ . ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+ ; ②结合律:()() a b c a b c ++=++ ;③00a a a +=+= . ⑸坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y +=++ . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y -=-- . 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1 212 ,x x y y A B=-- . 19、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ . ①a a λλ= ; ②当0λ>时,a λ 的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ 的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ= . ⑵运算律:①()()a a λμλμ= ;②()a a a λμλμ+=+ ;③() a b a b λλλ+=+ . ⑶坐标运算:设(),a x y = ,则()(),,a x y x y λλλλ== . 20、向量共线定理:向量() 0a a ≠ 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ= . 设()11,a x y = ,()22,b x y = ,其中0b ≠ ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、() 0b b ≠ 共线. 21、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+ .(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B
2019年爱云校西藏高考模拟高中数学试卷(12月份组卷)(四) 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合M ={m ∈Z|?3
高中数学 - 空间向量及向量的应用 空间直角坐标系的原则: 规定:一切空间向量的起点都是坐标系原点,于是,空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设 , , 空间向量的直角坐标运算: 空间两点间距离: ; 1:利用空间向量证明空间位置关系(同平面向量) 2:利用空间向量求线线角、线面角 1 )异面直线所成角 设 分别为异面直线 的方向向量,则 则: 空间线段 的中点 M (x ,y ,z )的坐标:
2 )线面角 设 是直线 l 的方向向量, n 是平面的法向量,则 3 :利用空间向量求二面角 其计算公式为:设 分别为平面 的法向量,则 与 互补或相等, 操作方法: 1.空间中各种角包括:异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法:②面上一点三垂线法:③空间一点垂面法: 斜面面积和射影面积的关系公式: S S cos ( S 为原斜面面积 , S 为射影面积 , 为斜面与射影所成二面 角的平面角 )这个公式对于斜面为三角 形 , 任意多边形都成立 . 是求二面角的好方法 .当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ,可直接应用公式 ,求出二面角的大小。 2.空间的距离 点线距,点面距,线线距,线面距,面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3.空间向量的应用 (1)用法向量求异面直线间的距离 2)直线与平面所成的角的范围是 [0, ] 。射影转化法 2 方法 3)二面角的范围一般是指 (0, ],解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 1)异面直线所成的角的范围 是 b F
SM数列高中数学组卷1 一.选择题(共1小题) 1.已知定义在R上的函数f(x)对任意的实数x1,x2满足f(x1+x2)=f(x1)+f (x2)+2,数列{a n}满足a1=0,且对任意n∈N*,a n=f(n),则f(2010)=()A.4012 B.4018 C.2009 D.2010 二.填空题(共4小题) 2.记集合P={ 0,2,4,6,8 },Q={ m|m=100a1+10a2+a3,且a1,a2,a3∈P },将集合Q中的所有元素排成一个递增的数列,则此数列的第68项是.3.在等差数列{a n}中,a1=3,其前n项和为S n,等比数列{b n}的各项均为正数,b1=1,公比为q,且b2+S2=12,. (Ⅰ)求a n与b n; (Ⅱ)求数列{c n}满足,求{c n}的前n项和T n. 4.已知数列{a n}满足a1=33,a n+1﹣a n=2n,则的最小值为. 5.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=,则a n= 三.解答题(共25小题) 6.已知f(x)=(x﹣1)2,g(x)=4(x﹣1).数列{a n}中,对任何正整数n,﹣a n)g(a n)+f(a n)=0都成立,且a1=2,当n≥2时,a n≠1;设b n=a n 等式(a n +1 ﹣1. (Ⅰ)求数列{b n}的通项公式; (Ⅱ)设S n为数列{nb n}的前n项和,,求的值.7.设正项等比数列{a n}的首项a1=,前n项和为S n,且210S30﹣(210+1)S20+S10=0.(Ⅰ)求{a n}的通项;
(Ⅱ)求{nS n}的前n项和T n. 8.已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,其中n∈N*. (1)若a1=b1=2,a3﹣b3=9,a5=b5,试分别求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)设A={k|a k=b k,k∈N*},当数列{b n}的公比q<﹣1时,求集合A的元素个数的最大值. 9.已知数列{a n}是公差为d(d≠0)的等差数列,数列{b n}是公比为q的(q∈R)的等比数列,若函数f(x)=x2,且a1=f(d﹣1),a5=f(2d﹣1),b1=f(q﹣2),b3=f(q). (1)求数列{a n}和{b n}的通项公式; (2)设数列{c n}的前n项和为S n,对一切n∈N*,都有 成立,求S n. 10.已知函数f(x)=x2+2x. (Ⅰ)数列a n满足:a1=1,a n+1=f'(a n),求数列a n的通项公式; (Ⅱ)已知数列b n满足b1=t>0,b n+1=f(b n)(n∈N*),求数列b n的通项公式;(Ⅲ)设的前n项和为S n,若不等式λ<S n对所有的正整数n恒成立,求λ的取值范围. 11.设等比数列{a n}的前n项和为S n=2n+1﹣2;数列{b n}满足6n2﹣(t+3b n)n+2b n=0(t∈R,n∈N*). (1)求数列{a n}的通项公式; (2)①试确定t的值,使得数列{b n}为等差数列; ②在①结论下,若对每个正整数k,在a k与a k+1之间插入b k个2,符到一个数列{c n}.设T n是数列{c n}的前n项和,试求满足T m=2c m+1的所有正整数m.12.已知函数f (x)=log a x (a>0且a≠1),若数列:2,f (a1),f (a2),…,f (a n),2n+4 (n∈N﹡)为等差数列. (1)求数列{a n}的通项公式a n; (2)若a=2,b n=a n?f (a n),求数列{b n}前n项和S n; (3)在(2)的条件下对任意的n∈N﹡,都有b n>f ﹣1(t),求实数t的取值范
高中数学的空间向量知识 基本内容 空间向量作为新加入的内容,在处理空间问题中具有相当的优越性,比原来处理空间问题的方法更有灵活性。 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决,如何取向量或建立空间坐标系,找到所论证的平行垂直等关系,所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键.立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题:一是位置关系,它主要包括线线垂直,线面垂直,线线平行,线面平行;二是度量问题,它主要包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角,而如何用向量证明线面平行,计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多,起到一个抛砖引玉的作用。 以下用向量法求解的简单常识: 1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y,使得PM=xPA+yPB(其中PM等为向量,由于图不方便做就如此代替,下同) 2、对空间任一点O和不共线的三点A,B,C,若:OP=xOA+yOB+zOC (其中x+y+z=1),则四点P、A、B、C共面. 3、利用向量证a‖b,就是分别在a,b上取向量(k∈R). 4、利用向量证在线a⊥b,就是分别在a,b上取向量. 5、利用向量求两直线a与b的夹角,就是分别在a,b上取,求:的问题. 6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题:. 7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离,关键是建立正确的空间直角坐标系,正确表达已知点的坐标. 首先该图形能建坐标系 如果能建 则先要会求面的法向量 求面的法向量的方法是 1。尽量在空中找到与面垂直的向量 2。如果找不到,那么就设n=(x,y,z) 然后因为法向量垂直于面 所以n垂直于面内两相交直线
平面向量的数量积及平面向量的应用 1.定义及运算律. 两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数,而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”. 设a 及b 是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ满足:0°≤θ≤180°,我们把|a |·|b |·cos θ叫做a 与b 的数量积,记作a ·b 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =2121y y x x +. 其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”,即:a ·b =b ·a ,(λ·a )·b =λ(a ·b ),(a ±b )·c =a ·c ±b ·c . 2.平面向量数量积的重要性质. ①|a |=a a ?=2||cos ||||a a a =θ?;cos θ=| |||) (b a b a ??;|a ·b |≤|a |·|b |,当且仅当a ,b 共线时取等号. ②设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则:|a |= 21 21y x +;cos θ= 22 22 21 21 2121) (y x y x y y x x + ? + +;|x 1x 2+y 1y 2|≤ 2 2 222121y x y x +?+ 3.两向量垂直的充要条件 若a ,b 均为非零向量,则:a ⊥b ?a ·b =0. 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ?x 1x 2+y 1y 2=0. 4.向量的模及三角不等式 |a |2=a ·a 或|a |=a a ?;|a ·b |≤|a |·|b |;|a |2-|b |2=(a +b )·(a -b );|a ±b |=θ??±+cos ||||222b a b a (θ为a ,b 夹角);||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |. 5.三角不等式的推广形式 |a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |.
排列组合高中数学组卷 一.选择题(共9小题) 1.(2016?衡阳校级一模)3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士.不同的分配方法共有() A.90种B.180种C.270种D.540种 2.(2016?黄冈校级自主招生)方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解(x,y)的组数为()A.0 B.1 C.2 D.3 3.(2016?新余二模)7人站成两排队列,前排3人,后排4人,现将甲、乙、丙三人加入队列,前排加一人,后排加两人,其他人保持相对位置不变,则不同的加入方法种数为()A.120 B.240 C.360 D.480 4.(2016?内江四模)4名大学生到三家企业应聘,每名大学生至多被一家企业录用,则每家企业至少录用一名大学生的情况有() A.24种B.36种C.48种D.60种 5.(2016?邯郸一模)现有6个白球、4个黑球,任取4个,则至少有两个黑球的取法种数是() A.90 B.115 C.210 D.385 6.(2016?成都校级模拟)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有()个. A.324 B.216 C.180 D.384 7.(2016?湖南校级模拟)某中学拟安排6名实习老师到高一年级的3个班实习,每班2人,则甲在一班、乙不在一班的不同分配方案共有() A.12种B.24种C.36种D.48种 8.(2016?陕西模拟)某校开设A类选修课2门,B类选修课3门,一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有() A.3种B.6种C.9种D.18种 9.(2016?福建模拟)四位男生和两位女生排成一排,男生有且只有两位相邻,则不同排法的种数是() A.72 B.96 C.144 D.240 二.填空题(共3小题) 10.(2016?黄冈校级自主招生)若p和q为质数,且5p+3q=91,则p=, q=. 11.(2016?黄冈校级自主招生)设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数,则a的值是. 12.(2016?绵阳模拟)从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有个.(用数字作答) 三.解答题(共4小题) 13.(2016?新余三模)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,E,F分别是AC,PB的中点. (1)证明:EF∥平面PCD;
高中数学空间向量训练题(含解析) 一.选择题 1.已知M、N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,点P在线MN上,且MP=2PN,设向量=,=,=,则=() A.++B.++C.++D.++ 2.已知=(2,﹣1,2),=(﹣1,3,﹣3),=(13,6,λ),若向量,,共面,则λ=() A.2 B.3 C.4 D.6 3.空间中,与向量同向共线的单位向量为() A.B.或 C. D.或 4.已知向量,且,则x的值为() A.12 B.10 C.﹣14 D.14 5.若A,B,C不共线,对于空间任意一点O都有=++,则P,A,B,C四点() A.不共面B.共面C.共线D.不共线 6.已知平面α的法向量是(2,3,﹣1),平面β的法向量是(4,λ,﹣2),若α∥β,则λ的值是()
A.B.﹣6 C.6 D. 7.已知,则的最小值是()A.B.C.D. 8.有四个命题:①若=x+y,则与、共面;②若与、共面,则=x+y;③若=x+y,则P,M,A,B共面;④若P,M,A,B共面,则=x+y.其中真命题的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知向量=(2,﹣1,1),=(1,2,1),则以,为邻边的平行四边形的面积为()A.B.C.4 D.8 10.如图所示,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB的中点,则点E到平面ACD1的距离为() A.B. C.D. 11.正方体ABCDA1B1C1D1中,直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为() A. B. C.D. 二.填空题(共5小题) 12.已知向量=(k,12,1),=(4,5,1),=(﹣k,10,1),且A、B、C三点共线,则k= . 13.正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,MN是正方体内切球的直径,P为正方体表面上的动点,则?的最大值为. 14.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,﹣1,﹣4),=(4,