高三数学文科立体几何测试
一、选择题
1.与两条异面直线分别相交的两条直线( )
A .可能是平行直线
B .一定是异面直线
C .可能是相交直线
D .一定是相交直线 2.若m 、n 表示直线,α表示平面,则下列命题中,正确的个数为 ( ) ①
//m n n m αα??⊥?⊥?②//m m n n αα⊥???⊥?③//m m n n αα⊥?
?⊥??
④//m n m n αα??⊥?⊥? A .1个 B .2个 C .3个 D . 4个
3.一个正方体的对角线长为l ,那么这个正方体的全面积为( ). A .2
22l B .2l 2 C .2
32l D .2
23l
4
根据图中标出的尺寸(单位:cm ),可得这个几何体的体积是( ) A .π B .π34 C .π3
5
D .2π
5.已知AB 是异面直线1l 与2l 的公垂线段,且AB =3,异面直线1l 与2l 所成的角为
30,在1l 上取AP =6,则点P 到2l 的距离为( )
A .6
B .23
C .6或23
D .32
6.经过棱锥的高的两个三等分点作两个平行于棱锥底面的截面,则这个棱锥被这两个截面分
成的三部分的体积比为( ).
A .1∶2∶3
B .4∶9∶27
C .1∶8∶27
D .1∶7∶19
7.已知三棱锥ABC D -的三个侧面与底面全等,且2,3===BC AC AB ,则二面角
D BC A --的大小为(
)A .3
3arccos B .31
arccos C .2π
D . 3
2π
8.一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一个球面上,是此球的表面积为( ) A .π3 B .π4 C .π
33 D .π
6
9.将边长为1的正方形ABCD ,沿对角线AC 折起,使BD =2
6
.则三棱锥ABC D -的体积为( )
A .
122 B .246 C .126 D .24
2
10.如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离相等,则动点P 所在曲线的形状为( )
1
1
1
1
A .
B .
C .
D .
11.二面角βα--l 的平面角为?120,在α内,l AB ⊥于B ,AB =2,在β内,l CD ⊥于D , CD =3,BD =1, M 是棱l 上的一个动点,则AM +CM 的最小值为( ) A .52 B .22 C .26 D .62
12.在一个正四棱锥,它的底面边长与侧棱长均为a ,现有一张正方形包装纸将其完全包住 (不能裁剪纸,但可以折叠),那么包装纸的最小边长应为( ) A .a )62(+ B .
a 262+ C .a )31(+ D .a 2
3
1+ 13.已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,A 1A =AB =2,若棱AB 上存在点P ,使PC P D ⊥1, 则棱AD 的长的取值范围是 ( )
A .(]1,0
B .(]2,0
C .(]2,0
D .(
114.如图正方形OABC 的边长为1cm 直观图,则原图形的周长是( )
A .8cm
B .6cm
C .2(1+3)cm
D .二、填空题
15.等边三角形ABC 的边长为a ,AD 是BC 边上的高,沿AD 将ABC ?折成直二面角, 则点A 到BC 的距离为
16.若AC 、BD 分别是夹在两个平行平面α 、β 间的两条线段,且AC =13,BD =15,AC 、
BD 在平面β 上的射影长的和是14,则α 、β 间的距离为 .
17.二面角l αβ--内一点P 到平面βα,和棱l 的距离之比为2,则这个二面角的平面角是 度.
18.P 是边长为a 的正六边形ABCDEF 所在平面外α的一点,且a PA PA =⊥,α,则P 点到直线CD 的距离为
19.棱长为1m 的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔(不计小孔直径)O 1、O 2、O 3它们分别是所在面的中心.如果恰当放置容器,容器存水的最大容积是_______3m
A
20.AC 是平面α的斜线,且AO a AO ,=与α成0
60角,αα⊥'?A A OC ,于A ',
045='∠OC A ,则A 到直线OC 的距离是 AOC ∠的余弦值是
21.已知某个几何体的三视图 如下,根据图中标出的尺 寸(单位:cm ),可得这 个几何体的体积是______。 三、解答题
22. 如图,四棱锥ABCD P -的底面是正方形,⊥PA 底面ABCD ,2==AD PA ,点N M ,分别为棱PC PD ,的中点. (1)求点P 到平面AMN 的距离. (2)求二面角M AN P --的大小.
23.直三棱柱111C B A ABC -中,2,1,900===∠CB AC ACB ,侧棱1AA =1,侧面B B AA 11的两条对角线交点为D ,11C B 的中点为M . (1)求证CD ⊥平面BDM
(2)求面BD B 1与面CBD 所成二面角的大小
24.如图在二面角βα--l 中,l D C B A ∈∈、、,α,ABCD 为矩形,αβ⊥∈PA P ,,且MN AD PA ,=依次是PC AB 、的中点 (1)求二面角βα--l 的大小 (2)求证明:AB MN ⊥
(3)求异面直线PA 与MN 所成角的大小
N M
D
C
B
A
P
25.已知矩形ABCD 所在平面外一点P ,PA ⊥平面F E ABCD 、,分别是PC AB 、的中点. (1)求证:EF ∥平面PAD ; (2) 求证:CD EF ⊥;
(3)若0
45=∠PDA ,求EF 与平面ABCD 所成的角的大小.
26.如图四棱锥P ABCD -中PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是矩形,1PA AB ==,
30PDA ∠=,点F 是PB 的中点,点E 在边BC 上移动.
(1)求四棱锥P ABCD -的体积;
(2)点E 为边BC 的中点时,试判断EF 与平面PAC 的位置关系,并说明理由; (3)证明:无论点E 在边BC 的何处,都有PE AF ⊥。
高二数学立体几何测试题参考答案
二、填空题(6小题,每题4分,共24分)
11、12
12、
90 13、 2a 14、3
R
π 15、
a 2
7 三、解答题(6小题,共76分)16、
31
17、(1)证明:是ABCD 正方形,,,ABCD PA AD CD 底面⊥⊥∴
ABCD PD AD 在平面是∴内的射影,PD CD ⊥∴ 2分
在PC PD N M PCD ,,分别是中,?的中点,则MN ∥MN PD CD ⊥∴, 在的中点,为中,PD M AD PA PAD ,2==?
AMN PD AM PD 平面⊥∴⊥∴, 4分
∴PM 即为P 到平面AMN 的距离. PAD CD AD
CD AD CD 平面⊥∴⊥⊥∴ , MN ∥PAD MN CD 平面⊥∴,,又P A AM 平面?,?=∠∴⊥∴90,AMN AM MN
在2,2=
=∴==?PM AM PD M AD PA PCD Rt 的中点,为中, 6分 (2)作AN PH AMN PM PH H AN MH ⊥∴⊥⊥,,,平面连接于 9分 的平面角为二面角M AN P PHM --∠∴ 10分
MH
PM AMN PM ⊥∴⊥,平面 在3
2,121=
?===?AN
MN AM MH CD MN AMN Rt 中,
在33
22tan ===
∠?MH
PM
PHM PMH Rt 中, 11分
?=∠∴60PHM 则二面角?--60的大小为M AN P 12分
18.(Ⅱ)所以所求的二面角等于.3
3arccos -π 119、解:⑴ 连PD ∵PA ⊥α,AD ⊥l
∴PD ⊥l ∴∠PDA 为二面角α- l -β的平面角
在RT ΔPAD 中 ∵PA=PD ∴∠PDA=45° ∴二面角α- l -β为45 ⑵ 设E 是DC 的中点,连ME 、NE
∵M 、N 、E 分别为AB 、PC 、D 的中点 ∴ME ∥AD ,NE ∥PD ∴ME ⊥l ,NE ⊥l ∴l ⊥平面MEN ∵AB ∥l ∴AB ⊥平面MEN ∵MN
平面MNE ∴MN
AB
⑶ 设Q 是DP 听中点,连NQ 、AQ 则NQ ∥DC ,且NQ=1/2DC
∵AM ∥DC ,且AM=1/2AB=1/2DC ∴QN ∥AM ,QN=AM ∴QNMQ 为平行四边形 ∴AQ ∥MN ∴∠PAQ 为PA 与MN 所成的角 ∵ΔPAQ 为等腰直角三角形,AQ 为斜边上的中线 ∴∠PAQ=45° 即PA 与MN 所成角的大小为45°
20、证明:⑴过A 1作A 1O ⊥面ABC 于O ,
∵∠A 1AB=∠A 1AC=45O ,∴所以AO 为∠BAC 的平分线,又三角形ABC 为正三角形,所以AO ⊥BC,由三垂线定理知A 1A ⊥BC ,又A 1A//B 1B ,∴B 1B ⊥BC ,则四边形BB 1C 1C 为矩形。 ⑵∵cos ∠A 1AB=cos ∠A 1AO ·cos ∠OAB ,即cos45°=cos ∠
A 1AO ·cos30°,cos ∠A 1AO=
36,sin ∠A 1AO=33,∴A 1O=3
3
b , 则V= A 1O ·S △ABC =
33b ·4
3a 2=b a 2
41。
又解:过B 作BM ⊥AA 1于M,连CM,则三角形BMC 为三棱柱的直截面, 且BM=CM=a,BC=a
b a A A S V BMC 214
1=
=? 21、解:⑴设AC 、BD 交于点O ,则O 为BD 的中点;连结OE ,由E 为PD 的中点,得PB//OE ,故PB//平面EAC ;
⑵则点B 到面EAC 的距离
|=7
212;
⑶∵面EAC 与面PAD 所成的锐二面角为
45,
∴|45cos |||?=,
即41
22312
=???
? ??-+λλ,无解,即在线段PD 上不存在点E ,使面EAC 与面PAD 所成的锐二面角为
45。