第二讲(教师讲义),一次函数、应用及整式方程

第二讲（教师讲义）

一次函数、整式方程

一、学习目标：

1、巩固一次函数的有关概念．

2、 熟悉、掌握一次函数的图像与性质。

3、熟练掌握一次函数应用。

4、知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式. 理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法。

5、 理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法,理解双二次方程的意义，了解高次方程求

解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；学会判断双二次方程的根的个数。

二、知识梳理：：

1、整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;

2、一元n 次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n (n 是正整数),这个方程叫做一元n 次方程.

3、一元高次方程

（1）概念：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n ，若次数n 是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。

（2）特点：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.

4、二项方程：

概念：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.注 ：①n

ax =0（a ≠0）是非常特殊的n 次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次. （2）一般形式：),0,0(0是正整数n b a b ax n

≠≠=+

（3）解的情况：

当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根，n

a

b

x -=； 当n 为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.

（4）二项方程的基本方法是（开方） 5、双二次方程

（1）概念：只含有偶数次项的一元四次方程. 注：当常数项不是0时，规定它的次数为0. （2）一般形式：)0(024

≠=++a c bx ax

（3）解题的一般步骤：换元——解一元二次方程——回代

（4） 解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）

三、精讲精练：

例题1：1、一次时装表演会预算中票价定位每张100元，容纳观众人数不超过2000人，毛利润y （百元）关于观众人数x （百人）之间的函数图象如图所示，当观众人数超过1000人时，表演会组织者需向保险公司交纳定额平安保险费5000元（不列入成本费用）请解答下列问题：⑴求当观众人数不超过1000人时，毛利润y （百元）关于观众人数x （百人）的函数解析式和成本费用s （百元）关于观众人数x （百人）的函数解析式；

⑵若要使这次表演会获得36000元的毛利润，那么要售出多少张门票？需支付成本费用多少元？ （注：当观众人数不超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用；当观众人数超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用—平安保险费）

1、解：⑴由图象可知：当0≤x ≤10时，设y 关于x 的函数解析y=kx-100，

∵（10，400）在y=kx-100上，∴400=10k-100，解得k=50 ∴y=50x-100，s=100x-(50x-100)，∴s=50x+100

⑵当10

20m+b=850 b=-150

∴y=50x-150 ∴s=100x-(50x-150)-50∴s=50x+100 ∴y= 50x-100 (0≤x ≤10)

50x-150 (10

s=50x+100=50×9.2+100=560 当10

850

400350O -100

10

20

y（百元）x（百人）

2、某工厂现有甲种原料226kg ，乙种原料250kg ，计划利用这两种原料生产A B ，两种产品共40

件，生产A B ，两种产品用料情况如下表： 设生产A 产品x 件，请解答下列问题： （1）求x 的值，并说明有哪几种符合题意的生产方案；

（2）若甲种原料50元／kg ，乙种原料40元／kg ，说明（1）中哪种方案较优？

2、解：（1）根据题意，得73(40)226410(40)250.x x x x +-??+-?

，

≤≤

这个不等式组的解集为2526.5x ≤≤． 又x 为整数，所以25x =或26． 所以符合题意的生产方案有两种：

①生产A 种产品25件，B 种产品15件； ②生产A 种产品26件，B 种产品14件．

（2）一件A 种产品的材料价钱是：750440510?+?=元． 一件B 种产品的材料价钱是：3501040550?+?=元． 方案①的总价钱是：2551015550?+?元． 方案②的总价钱是：2651014550?+?元．

2551015550(2651014550)55051040?+?-?+?=-=元． 由此可知：方案②的总价钱比方案①的总价钱少，所以方案②较优．

例题2

1. 用适当的方法解下列方程： （1）（2x+1）2

=25 （2）01422

=--x x

（3）3x 2+8x-1=0 (4) x 2-9x=0

需要甲原料 需要乙原料 一件A 种产品

7kg 4kg 一件B 种产品 3kg 10kg

解：（1）两边直接开平方，∴原方程的解为x 1=2，x 2=-3

（2）在方程两边同除以2，得02

1

22

=+

-x x ∴原方程的解为2211

+

=x ，2

212-=x （3）076)1(348422

>=-??-=-=?ac b ，

∴原方程有实数解。

3

19

46192832768242±-=

±-=?±-=-±-=a ac b b x ∴31941

+-=

x ，3

19

42--=x （4）方程左边因式分解，得 x(x-9)=0

∴x 1=0，x 2=9

2.解下列关于x 的方程 （1）(5a-2)x=2（3-2x ）

（2）bx 2-1=1-2x 2

（b ≠-2）

3.判断下列方程是不是二项方程，如果是二项方程，求出它的根。 （1）x 3-64=0 （2）x 4+x=0 （3）x 5= -9 （4）x 3+x=1 解：（1）、（3）是二项方程，（2）、（4）不是二项方程。 下面解方程（1）、（3）： （1）移项，得 x 3=64 开方，得 364=x 即 x=4

（3）开方，得

59-=x 即 59-=x

4.判断下列方程是不是双二次方程，如果是，求出它的根：

（1）x 4-9x 2+14=0 （2）x 4

+10x+25=0

（3）2x 4-7x 3-4=0 （4）x 4+9x 2

+20=0 解：（1）、（4）是双二次方程，（2）、（3）不是双二次方程。 下面解方程（1）、（4）：

（1） 设x 2=y ，则x 4=y 2

，于是原方程可化为

y 2

-9y+14=0

解这个关于y 的方程，得

y 1=2，y 2=7 由y 1=2，得x 2

=2，解得 2±

=x 由y 2=7，得x 2

=7，解得 7±

=x

所以，原方程的根是 x 1=

2，x 2=2-，x 3=7，x 4=7-

（4）设x 2=y ，则x 4=y 2

，于是原方程可化为

y 2

+9y+20=0

解这个关于y 的方程，得

y 1=-4，y 2=-5

由y 1=-4，得x 2

=-4，它没有实数根；

由y 2=-5，得x 2

=-5，它也没有实数根 所以，原方程没有实数根。 5.解下列方程：

（1）2x 3+7x 2-4x=0 （2）x 3-2x 2

+x-2=0 解：（1）方程左边因式分解，得

x(2x 2

+7x-4)=0 x(x+4)(2x-1)=0

得x=0或x+4=0或2x-1=0 ∴原方程的根是 x=0，x=-4，x=2

1 注意：不要漏掉x=0这个根!

（2）方程左边因式分解，得

(x 3-2x 2

) +(x-2)=0

x 2

(x-2)+(x-2)=0

（x-2）(x 2

+1)=0

即 x-2=0或x 2

+1=0 解方程x-2=0得 x=2

方程x 2

+1=0没有实数根 所以，原方程的根是 x=2

四、堂后测： 一、选择题

1、下面四个方程中是整式方程的是（ ）．

A ．x x x

122

+= B ．33-=-x x x C ．x x x -=-991001 D ．()011

7=+x x

2、下面四个关于x 的方程中，次数和另外三个不同的是（ ）．

A ．321a x ax -=+

B ．23ax x x =-

C ．0323=++x x a ax

D ．33a x =

3、2=x 是方程()223=+-b x a

的一个实数根，则b a ,分别是( )．

A ．0，2

B ．0，－2

C ．不能确定，2

D ．不能确定，－2 4、方程①010224

=+-x x

；②0226=+x x ；③013=++x x ；④24=x 是双二次方程的有

（ ）．

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④ 5、方程012223

=+++x x x

（ ）

A ．有一个实数根

B ．有两个实数根

C ．有三个实数根

D ．无实数根 6、方程3

2320x

x x --=的实数根的个数是（ ）

（A ）0 ；（B ） 1 ； （C ）2 ；（D ）3 . 7、方程

164=-x 的根的个数是（ ）

（A ） 1 ；（B ）2 ； C ） 3 ；（D ） 4 .

8、如果关于x 的方程(2)8m x +=无解，那么m 的取值范围是（ ） A ）2m >- ；B) 2m =-；C)2m ≠-；D) 任意实数. 9、下列方程中，是二项方程的是（ ）

A.

230x x +=； B.42230x x +-=； C.41x =； D. 2(1)80x x ++=. 10、如果关于x 的方程()1m x =－1无解，那么m 满足（ ）. A ．1m > ； B ．1m =； C ．1m ≠； D ． 任意实数.

11、方程3

0x x -=的根是（ ）

A ．1，－1；；

B ．0，1；

C ．0，－1；

D ．0，1，－1.

12、如果2x =是方程1

12

x a +=-的根，那么a 的值是（ ） A ．0

B ．2

C ．2-

D ．6-

二、填空题

1、试写出一个二项方程，这个方程可以是________________.

2．只含有_______次项的一元____次方程叫做双二次方程.它的一般形式是______________________________. 3．对于方程

24224=-+x x ，如果设2x y =，那么，原方程可以变形关于y 的方程为是

____________________，这个关于y 的方程是一元____次方程．

4． 方程0)8)(35)(12(=+--x x x 可以化为三个一次方程，它们分别是________,_____________ , ____________.

5、

()0324=-+m x ）有一个解是7=x ，那么它的另一个解是

6、如果方程012

4=-+bx ax 有一个解是1-=x ，则点()b a ,在直线 上

7、方程()()()01765=--+x x x 可化为三个一次方程，它们是 ， ，

8、关于x 的方程2()10(0)bx b -=≥的根是_________________．

9．方程4

(1)

160x --=的根是_________________________．

10.如果关于x 的方程 x 2 ─ x + k = 0（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k = __________. 11.某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m ，那么该商品现在的价格是__________元（结果用含m 的代数式表示）.

12．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时

间为x(时)，两车之间的距离为y (千米)，图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y 与x 之间的函数关系．

（1）根据图中信息，求线段AB 所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；

（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t 时，求t 的值；

（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y 关于x 的函数的大致图像. (温馨提示：请画在答题卷相对应的图上) 答：（1）线段AB 所在直线的函数解析式为：y ＝kx ＋b ， 将（1.5，70）、（2，0）代入得：1.57020k b k b +=??

+=?，解得：140

280k b =-??=?

，

所以线段AB 所在直线的函数解析式为：y ＝－140x ＋280，当x ＝0时，

y ＝280，所以甲乙两地之间的距离280千米． （2）设快车的速度为m 千米/时，慢车的速度

为n 千米/时，由题意得：

222802240m n m n +=??-=?，解得：80

60

m n =??

=?，所以快车的速度为80千米/时， 所以2807

802

t =

=． （3）如图所示．

13．春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有400人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票．售票时售票厅每分钟新增购票人数4人，每分钟每个售票窗口出售的票数3张．某一天售票厅排队等候购票的人数y （人）与售票时间x （分钟）的关系如图所示，已知售票的前a 分钟只开放了两个售票窗口（规定每人只购一张票）． （1）求a 的值．

（2）求售票到第60分钟时，售票听排队等候购票的旅客人数． （3）若要在开始售票后半小时内让所有的排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随到随购，至少需要同时开放几个售票窗口？

答：（1）由图象知，400423320a a +-?=，所以40a =；

（2）设BC 的解析式为y kx b =+，则把（40，320）和（104，0）代入，得403201040k b k b +=??+=?

，解

得5

520k b =-??

=?

，因此5520y x =-+，当60x =时，220y =，即售票到第60分钟时，售票厅排队

等候购票的旅客有220人；

（3）设同时开放m 个窗口，则由题知330400430m ?+?≥，解得52

9

m ≥，因为m 为整数，所以6m =，即至少需要同时开放6个售票窗口。

五、回家作业

1、如图8，在直角坐标系内，一次函数(0,0)y kx b kb b =+><的图象分别与x 轴、y 轴和直线4x =相交于A 、B 、C 三点，直线4x =与x 轴交于点D ，四边形OBCD （O 是坐标原点）的面积是10，若点A 的横坐标是1

2

-，求这个一次函数解析式.

2、一次函数y kx b =+，当k b =时，函数图象有何特征？

请通过不同的取值得出结论？

3、某油库有一大型储油罐，在开始的8分钟内，只开进油管，不开出油管，油罐的油进至24吨（原油罐没储油）后将进油管和出油管同时打开16分钟，油罐内的油从24吨增至40吨，随后又关闭进油管，只开出油管，直到将油罐内的油放完，假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变.

（1）试分别写出这一段时间内油的储油量Q （吨）与进出油的时间t(分)的函数关系式.

（2）在同一坐标系中，画出这三个函数的图象.

4、某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月不超过100度时，按每度0.57元计费；每月用电超过100度时，其中的100度按原标准收费；

超过部分按每度0.50元计费.

（1）设用电x 度时，应交电费y 元，当x ≤100和x ＞100时，分别写出y 关于x 的函数关系式.

（2）小王家第一季度交纳电费情况如下：

月份 一月份 二月份 三月份 合计 交费金额 76元 63元 45元6角 184元6角

问小王家第一季度共用电多少度？ 答案：

1、12

y x =-- 2、当k b =图象过(1,0)-

3、（1）当08t ≤≤时；3Q t = 当824t <≤时；16Q t =+ 当2444t <≤时；288Q t =-+ （2）略

4、（1）0.57(100)y x x =≤； 0.57(100y x x =+> （2）330度

5、关于x 的一元二次方程(2-m)x 2

=m(3-x)-1的二次项系数是 ，一次项系数是 ， 常数项是 ，m 的取值范围是 。

6、 p x 2 – 3x + p 2

– p= 0 是关于x 的一元二次方程，则（ ） （A ） p=1 （B ） p ＞0 （C ）p ≠0 （D ） p 为任何实数

7、关于x 的方程x 2- 3 m x + m 2

– m = 0 的一个根为-1，那么m 的值是（ ）

8、方程4 x 2 – 9 = 0的根是 ,方程 (x – a )2

= b (b > 0 ) 的根是 9、已知关于x 的方程2

230x

mx ++=是二项方程,那么m = .

10、当m 时,关于x 的方程

2

(2)4m x m +=-的根是2x m =-.

11、方程 a x 2

+ b x = 0 ( a ≠ 0 ) 的二根是( )

(A) X 1 = X 2 = 0(B)X 1 = 0 ,X 2 = -b a (C) X 1 = 0, X 2 = b a (D) X 1 = a b , X 2 = b

a

12、解方程：（1）x 3

+ 8 x 2

+ 15 x = 0 （2）()2

221210x x ---=

2020-2021学年高中数学人教A版 必修2第三章直线与方程测试卷(一)-教师用卷

2020-2021学年必修2第三章测试卷 直线与方程（一） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若直线1:320l x my +-=，2:280l x y ++=互相平行，则实数m 的值为（ ） A ．6- B ．6 C ． 3 2 D ．32 - 【答案】B 【解析】因为直线1:320l x my +-=，2:280l x y ++=互相平行， 所以321m ?=?且82(2)m ?≠?-，解得6m =且1 2 m ≠-，所以6m =， 故选B ． 2．已知两点()1,2A ，()3,6B ，动点M 在直线y x =上运动，则MA MB +的最小值为（ ） A ．25 B ．26 C ．4 D ．5 【答案】B 【解析】根据题意画出图形，如图所示：

设点A 关于直线y x =的对称点()2,1A '， 连接A B '，则A B '即为MA MB +的最小值，且 A B ' 故选B ． 3．下面说法正确的是（ ） A ．经过定点()00,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示 B ．不经过原点的直线都可以用方程 1x y a b +=表示 C ．经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示 D ．经过任意两个不同的点()11,P x y ，()22,Q x y 的直线都可以用方程 ()()()()211211-?-=--x x y y y y x x 表示 【答案】D 【解析】经过定点()00,P x y 且斜率存在的直线才可用方程()00y y k x x -=-表示，所以A 错； 不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程 1x y a b +=表示，所以B 错； 经过定点(0,)A b 且斜率存在的直线才可用方程y kx b =+表示，所以C 错； 当12x x ≠时，经过点()11,P x y ，()22,Q x y 的直线可以用方程()21 1121 y y y y x x x x --= --，即 ()()()()211211-?-=--x x y y y y x x 表示； 当12x x =时，经过点()11,P x y ，()22,Q x y 的直线可以用方程1x x =， 即()()()()211211-?-=--x x y y y y x x 表示， 因此经过任意两个不同的点()11,P x y ，()22,Q x y 的直线都可以用方程 ()()()()211211-?-=--x x y y y y x x 表示，所以D 对， 故选D ． 4．若两条平行直线()1:200l x y m m -+=>与2:260l x ny +-=，则m n +=（ ） A ．0 B ．1 C ．2- D ．1- 【答案】C

一元二次方程应用一对一辅导讲义

课 题 一元二次方程的应用 授课时间： 2016-03-26 8：00——10:00 备课时间：2016-03-24 教学目标 1、综合运用一元二次方程和其他数学知识解决如面积、利润、增长率与降低 率等生活中的实际问题。 2、注意找准等量关系及检验根是否符合实际意义。 3、从现实问题中构建一元二次方程数学模型。 重点、难点 会运用一元二次方程解决简单的实际问题 考点及考试要求 1.一元二次方程的应用 2.一元二次方程实际问题 教 学 内 容 第一课时 一元二次方程的应用知识梳理 1.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 2.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 3.用适当的方法解下列一元二次方程. （1）.22(3)5x x -+= （2）.22330x x ++= 课前检测

1. 一元二次方程的实际应用????? ???????????????动点问题数字问题面积问题 利润问题增长率（降低率）问题常见类型、答步骤：设、列、解、验 2. 解题循环图： 3. 利用一元二次方程解决许多生活和生产实际中的相关问题，它的一般方法是： （1）根据题意找到等量关系，列出一元二次方程。 （2）特别要对方程的根注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。 第二课时 一元二次方程的应用典型例题 考点一：增长率（降低率）和利润问题 典型例题 知识梳理

（一）增长率（降低率）问题： 【例1】某工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际金融风暴的影响，5月份的产值下降到81万元，求平均每月产值下降的百分率． （二）利润问题： 【例2】商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降低1元，商场平均每天可多售出2件，求： （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。

高二数学直线与方程典型习题教师版

【知识点一：倾斜角与斜率】 （1）直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。 ②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0 0 ③倾斜角α的范围0 0180α≤< （2）直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为0 90的直线斜率不存在. 记作tan k α=0(90)α≠ ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k == ⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在. ②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（ ）的直线的斜率公式是21 21 y y k x x -=- ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3）求斜率的一般方法： ①已知直线上两点，根据斜率公式21 2121 ()y y k x x x x -= ≠-求斜率； ②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； （4）利用斜率证明三点共线的方法： 已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 【知识点二：直线平行与垂直】 （1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =? 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行 （2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=??⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确； 由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直. （2）线段的中点坐标公式 【知识点四 直线的交点坐标与距离】 （1）两条直线的交点

第二章一元二次方程培优奥赛讲义

九上第二章一元二次方程培优讲义一．填空题（共15小题） 1．已知a是方程x2﹣2013x+1=0一个根，求a2﹣2012a+的值为．2．附加题：已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009=0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为． 3．若m为实数，方程x2﹣3x+m=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3=0的一个根，则x2﹣3x+m=0的根是． 4．已知x=﹣1是方程ax2+bx+c=0根，那么的值是． 5．已知a，b是等腰三角形ABC的两边长，且a、b满足a2+b2+29=10a+4b，则这个等腰三角形的周长为． 6．若实数a、b、c满足a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c，则200a+9b+c=． 7．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于．8．若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根，则m应满足．9．已知：a2+b2=1，a+b=，且b＜0，那么a：b=． 10．方程（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2的解是．11．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2=0的两个根记为a n、b n，则++…+=．12．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是． 13．α，β为关于x的一元二次方程x2﹣x+2=0的两个根，则代数式2α2+β2+β﹣3的值为． 14．中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有人被感染． 15．一个两位数，个位数字比十位数字的平方大3，而这个两位数字等于其数字之和的3倍，如果这个两位数的十位数字为x，则方程可列为．

最新九年级二次函数讲义

二次函数 一．知识梳理 1、定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方。一元二次方程的标准式：ax2+bx+c=0 （a≠0） 其中：ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项 a是二次项系数，b是一次项系数 2、一元二次方程根的判别式（二次项系数不为0）： “△”读作德尔塔，在一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）中△=b2-4ac △=b2-4ac>0 <====> 方程有两个不相等的实数根，即：x1,x2 △=b2-4ac=0 <====> 方程有两个相等的实数根，即：x1=x2 △=b2-4ac<0 <====> 方程没有实数根。 注：“<====>”是双向推导，也就是说上面的规律反过来也成立，如：告诉我们方程没有实数根，我们便可以得出△<0 3、一元二次方程根与系数的关系（二次项系数不为0;△≥0），韦达定理。 ax2+bx+c=0 （a≠0）中，设两根为x1,x2,那么有： 因为：ax2+bx+c=0 （a≠0）化二次项系数为1可得，所以：韦达定理也描述为：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 注意：（1）在一元二次方程应用题中，如果解出来得到的是两个根，那么我们要根据实际情况判断是否应舍去一个跟。 5、一元二次方程的求根公式： 注：任何一元二次方程都能用求根公式来求根，虽然使用起来较为复杂，但非常有效。

一、求二次函数的三种形式： 1. 一般式：y=ax 2 +bx+c ，（已知三个点） 顶点坐标（－2b a ，244ac b a -） 2.顶点式：y=a （x －h ）2 +k ，（已知顶点坐标对称轴） 顶点坐标（h ，k ） 3.交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况） 与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2 对称轴为2 2 1x x h += 二、a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大， a ， b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－ 2b <0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b?异号时，对称轴x=－2b a >0， 即对称轴在y 轴右侧，c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置， c=0c<0时，与y?轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．

【精选】2020年中考考点讲练案第12讲 二次函数(教师版)

第12讲 二次函数 【考点导引】 1.理解二次函数的有关概念． 2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质． 3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题． 4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题． 5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【难点突破】 1. 二次函数2 y ax bx c =++，配方为2 2424b ac b y a x a a -??=++ ??? ，顶点坐标是(2b a -，244ac b a -)，对称轴是a ＝2b a - ，与y 轴交点坐标是(0，c )，与x 轴交点的横坐标是20ax bx c ++=的根，当a ＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小． 2. 解答有关二次函数图象问题时，要抓住抛物线与x 轴、y 轴的交点、对称轴、顶点坐标、特殊点，解决此类题型常用的方法是从二次函数的图象性质出发，通常采用把已知点坐标代入解析式中找出a 、b 、c 关系，再结合对称轴x ＝a b 2- ，确定a 、b 之间等量关系，判断与x 轴交点情况则利用判别式b 2－4ac ． 3. 抛物线的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，具体为： （1）上下平移：抛物线y =a (x －h )2+k 向上平移m （m >0）个单位，所得抛物线的解析式为y =a (x －h )2+k +m ；抛物线y =a (x －h )2+k 向下平移m （m >0）个单位，所得抛物线的解析式为y =a (x －h )2+k －m ． （2）左右平移：抛物线y=a(x －h)2+k 向左平移n （n>0）个单位，所得抛物线的解析式为y=a(x －h+n)2+k ；抛物线y=a(x －h)2+k 向右平移n （n>0）个单位，所得的抛物线的解析式为y=a(x －h －n)2+k. 特别地，要注意其中的符号处理． 【解题策略】 1. （1）二次函数y ＝2ax bx c ++（≠0）的图象与其表达式中各项系数的符号有着十分密切的关系： ，， 的代数式 决定图象特征 说明 决定抛物线的开口方向 ＞0 开口向上 ＜0 开口向下 决定抛物线与y 轴交点 的位置，交点坐标为 ＞0 与y 轴交点在轴上方 ＝0 抛物线过原点

一元二次函数解法 辅导讲义

课题一元二次方程的解法 重点、难点熟练掌握一元二次方程的解法 教学内容 一元二次方程的解法： ①因式分解法： 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零. →因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 例题：用因式分解法解方程：3(x-3)=(x-3)2 练习：(2x+3)2=24x （2x-1）(3x+4)=x-4 1.2y-0.04=9y2 (2x-1)2+3(2x-1)=0 ②开平方法：方程的左边是完全平方式，右边是非负数x2=a（a》0） 例题：3x2－27=0; 练习：(x＋1)2=4 (2x－3)2=7 x2＋2x-3=0 ③配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 用配方法解一元二次方程的步骤: 1.变形:把二次项系数化为1 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 例题：x2-6x=-8

练习：(1)3x 2+6x-4=0 (2)2x 2-5x+2=0 ④公式法： 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax 2+bx+c=0(a ≠0). 2.b 2-4ac ≥0. 例题：X 2+2x-3=0 练习： -2m 2+4=-3m 23a 2-a-4 1=0 8y 2-2y-15=0 △ 用三种方法解方程：2532=-x x （1）用因式分解法解: 解:移项,得 3x2-5x-2=0 （ 使方程右边为零） 方程左边因式分解,得(x-2)(3x+1)=0 （方程左边因式分解成A`B=0的形式） 即 x-2=0或3x+1=0（A=0或B=0） 31 ,221-==∴x x （2）用配方法解: 解：两边同时除以3，得: 32352=-x x 左右两边同时加上 2 )65( ，得: .3625323625352+=+-x x 即 .3649652=??? ? ?-x 开平方，得:.36496 5±=-x .31,221-==∴x x （3）用公式法解: 解:移项,得02532=--x x （ 这里a=3,b=-5,c=-2） ())2(34542 2-??--=-∴ac b =49 6753249)5(±=?±--=∴x () .04a c b .2a 4a c b b x 22≥--±-=

广东省2021高考数学学业水平合格考试总复习第6章直线与方程教师用书教案

直线与方程 考纲展示考情汇总备考指导 直线与方程 ① 在平面直角坐标系中，结合具体图 形，确定直线位置的几何要素. ② 理解直线的倾斜角和斜率的概念， 掌握过两点的直线斜率的计算公式. ③ 能根据两条直线的斜率判定这两条 直线平行或垂直. ④ 掌握确定直线位置的几何要素，掌 握直线方程的几种形式(点斜式、两点 式及一般式)，了解斜截式与一次函数 的关系. ⑤ 能用解方程组的方法求两直线的交 点坐标. ⑥ 掌握两点间的距离公式、点到直线 的距离公式，会求两条平行直线间的距 离. 2017年1月T5 2019年1月T5 2020年1月T4 本章的重点是根据所给条件 求直线的方程，难点是两条直 线的位置关系的判定，易错点 是在根据两直线的位置关系 求参数的值时，容意漏解或出 现增根，出错的根本原因是没 有掌握两直线平行或垂直的 充要条件. 直线的倾斜角、斜率和位置关系1．直线的倾斜角和斜率

(1)倾斜角 当直线l 与x 轴平行或重合时，规定此时直线的倾斜角为0°. 当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫直线l 的倾斜角． 注：倾斜角的取值范围为[)0°，180°. (2)直线的斜率 当直线l 的倾斜角θ≠90°时(即直线与x 轴不垂直)，直线l 的斜率存在，且斜率k ＝tan θ. 当直线的倾斜角为θ(θ≠90°)，斜率为k ，则k ≥0?θ∈?????0，π2；k <0?θ∈ ?? ??π2，π. (3)直线l 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的斜率k ＝y 1－y 2 x 1－x 2 . 注：任何直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率． 2．两条直线平行和垂直的判定 (1)当直线l 1∥l 2或l 1与l 2重合，倾斜角α1＝α2. 若斜率存在，则k 1＝k 2. 若斜率不存在，则k 1与k 2都不存在． (2)直线l 1∥l 2，若斜率存在，则k 1＝k 2，且在y 轴上的截距不同，若斜率不存在，则l 1 与l 2都垂直于x 轴且在x 轴上的截距不同． (3)若斜率存在，且直线l 1⊥l 2，则k 1·k 2＝－1. 若其中有一条斜率不存在，且l 1⊥l 2，则另一条直线斜率为0. (4)若直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，且A 1，A 2，B 1，B 2都不为零． ①l 1∥l 2?A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2 . ②l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝0. ③l 1与l 2相交?A 1A 2≠B 1B 2 . ④l 1与l 2重合?A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2 . [学考真题对练] 1．(2019·1月广东学考)直线3x ＋2y －6＝0的斜率是( ) A ．32 B ．－32 C ．23 D ．－23

二次函数与一元二次方程讲义

二次函数与一元二次方程 1?通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系. 2?能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集. 3?根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围. 、情境导入

如图，是二次函数y = ax2+ bx + c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2+ bx + c = 0的解集吗？不等式ax2+ bx + c<0的解集呢？ 二、合作探究 探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断 F列函数的图象与x只有一个交点的 A. y= x2+ 2x —3 B. y = x2+ 2x + 3

C. y = X2—2x + 3 D . y= x2—2x + 1 解析：选项 A 中b2—4ac= 22—4X1 x(—3) = 16 >0 ,选项B 中b2—4ac = 22—4x i x 3= —8 v 0,选项C 中b2—4 ac= (—2)2—4 x i x3 = —8 v 0,选项D 中b2—4 ac = (—2)2— 4x i x i = 0 ,所以选项D的函数图象与X轴只有一个交点，故选 D. 【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴 如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为___________

解析：???点(1 , 0)与(3 , 0)是一对对称点，其对称中心是(2 , 0) ,???对称轴的方程是x = 2. 方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程. 【类型三】利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围 1 若函数y = mx2+ （m + 2）xm + 1 的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（） A. 0 B . 0 或2 C. 2 或—2 D. 0, 2 或—2 解析：若m丸，二次函数与x轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式 1 为零来求解；若m = 0,原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点.由（m + 2）2—4m$ m + 1）= 0,解得m = 2或一2，当m = 0时原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点， 所以当m = 0, 2或一2时，图象与x轴只有一个交点. 方法总结：二次函数y = ax2+ bx + c，当b2—4ac >0时，图象与x轴有两个交点；当 b2—4ac= 0时，图象与x轴有一个交点；当b2—4ac v0时，图象与x轴没有交点.

二次函数辅导讲义全

名思教育辅导讲义

例3、已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为。 4、根据二次函数图象提供的信息，确定有a、b、c构成横坐标和纵坐标的点的位置 例4、已知二次函数的图象如图所示，则点在第象限。 5、根据二次函数图象提供的信息，确定两个函数在同一坐标系中的大致图象 例5、在同一平面直角坐标系中，直线y=ax+b和y=ax2+bx+c的图象只可能是——。 6、根据二次函数图象提供的信息，确定某一个待定系数的围 例6、如图6所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是。 考点2、考抛物线的解析式 求二次函数的解析式，是重点容。 1、已知抛物线上任意的三个点的坐标，求解析式 例1、已知抛物线经过点A（1，2）、B（2，2）、C（3，4），求抛物线的解析式。 2、已知抛物线与x轴的交点坐标，和某一个点的坐标，求解析式 例2、已知抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）。 求该抛物线的解析式。

3、已知抛物线的顶点坐标，和某一个点的坐标，求解析式 例3、在直角坐标平面，二次函数图象的顶点为A（1，-4），且过点B（3，0）． 求该二次函数的解析式。 4、已知抛物线的对称轴，和某两个点的坐标，求解析式 例4、有一座抛物线形拱桥，正常水位时，AB宽为20米，水位上升3米就达到警戒水位线CD，这时水面的宽度为10米。请你在如图所示的平面直角坐标系中，求出二次函数的解析式。 5、已知一个抛物线的解析式，求平移的函数解析式 例5、将抛物线y=x2的图象向右平移3个单位，接着再向上平移6个单位，则平移后的抛物线的解析式为___________。 例6、将抛物线y=2（x+1）2-3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为 例7、在同一坐标平面，图象不可能由函数y=2x2+1 的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是（）Ａ．y=2（x+1）2-1 Ｂ． y=2x2+3 Ｃ．y=-2x2-1 Ｄ． 6、抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式 结论：抛物线y= a2x+bx+c关于x 轴的对称抛物线为：y=-（a2x+bx+c）。 例8、抛物线 y=2（x-1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式为。 7、抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式 结论：抛物线y= a2x+bx+c关于y 轴的对称抛物线为：y=a2x-bx+c。 例9、抛物线 y=2（x-1）2+3关于y轴对称的抛物线的解析式为。 8、抛物线关于原点轴对称的抛物线的解析式 结论：抛物线y= a2x+bx+c关于x 轴的对称抛物线为：y=-a2x+bx-c。 例10、抛物线 y=2（x-1）2+3关于原点对称的抛物线的解析式为。

二次函数与方程(组)-教师版

二次函数与方程（组） 1．如图，已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．点P 在抛物线上且在x 轴上方，15PBC S =△，求P 点坐标． 【答案】解：作//PD y 轴交BC 延长线于D ，如图， 当0y =时，2230x x --=，解得11x =-，23x =，则(3,0)B ， 当0x =时，2233y x x =--=-，则(0,3)C -， 设直线BC 的解析式为y kx b =+， 把(3,0)B ，(0,3)C -代入得30 3k b b +=??=-?， 解得1 3k b =??=-? ， ∴直线BC 的解析式为3y x =-； 设2(,23)P x x x --，则(,3)D x x -， 2223(3)3PD x x x x x ∴=----=-， 21 3(3)2 PBC PBD PCD S S S x x ???=-=??-， ∴21 3(3)152 x x ??-=， 解得12x =-，25x =， P ∴点坐标为(2,5)-或(5,12)．

2．已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点P 在抛物线上，且在第四象限，若3PBC S =△，求P 点坐标． 【答案】易得()30B ， ，()03C -，，直线BC ：3y x =- 设()223P x x x --，，作PH x ⊥轴交BC 于D 则()223233PD x x x x x =----=-+ ∵() 21 3332 PBC S x x =??-+=△ ∴2320x x -+= ∴()14P -， 或()23-， 3．如图，抛物线257 266 y x x =-++与x 轴负半轴交于A 点，与y 轴交于B 点，点H 在抛物 线上，BH 交x 轴于M 点，若MBA BAM ∠=∠，求H 点的坐标． 【答案】令257 2066 x x -++=，可得257120x x --=，()()51210x x -+= ∴()10A -， ，()02B ， 作MH AB ⊥于H

直线与方程专题复习(教师)

直线与方程专题复习 一、知识归类 1.直线的倾斜角与斜率 (aH9O0). (1)直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是 (2)直线倾斜角的范围是. (3)直线过p(X1，y1),P2(X2，y2)(X1 H X2)两点的斜率公式为：k 2.两直线垂直与平行的判定 (1)对于不重合的两条直线l i,l2，其斜率分别为k i,k2，，则有：I1//I2U ；l i 丄I2 二 (2)当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ；当一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在时，两条直线. 3.直线方程的几种形式 注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式 4.几个距离公式 (1) 两点P (花，yj, P2(X2, y2)之间的距离公式是：|RP2|= (2) 点P(x。，y。)到直线l : Ax + By + c = 0的距离公式是：d = 两条平行线I : Ax + By +C, = 0,1 : Ax + By + C2 = 0间的距离公 式是: 二、典型例题 题型一：直线的倾斜角与斜率问题 例1已知坐标平面内三点A(—1,1), B(1,1),C(2」3 +1).( 1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角. (2)若D为MBC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围.

变式训练1、直线XCOS a +（3y+ 2= 0的倾斜角的范围是（ ） 2、直线I 经过点A （1 ,2），在x 轴上的截距的取值范围是（—3,3）,则其斜率k 的取值范围是（ ） 1 1 C. k>-或 k< 1 D . k>-或 k< — 1 5 2 本题小结：数形结合运动变化是解决数学问题的常用思想方法和观点 .当直线绕定点由与 x 轴平行（或重合）位 置按逆时针方向旋转到与 y 轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐增大到 +比（即斜率不存在）；按顺时针方向旋 转到与y 轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐减少到 -比（即斜率不存在）.这种方法即可定性分析倾斜角与斜 率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围 . 题型二：直线的平行与垂直问题 例2已知直线I 的方程为3x+4y -12= 0,求下列直线1’的方程，1’满足 变式训练1、已知直线x+a 2y+ 6= 0与直线（a — 2）x + 3ay+ 2a = 0平行，则a 的值为（ ） A. 0 或 3 或—1 B. 0 或 3 C . 3 或—1 D . 0 或—1 2、已知过点A — 2, m ）和点B （m 4）的直线为I 1, l 3，若l 1 //I 2, I 2丄l 3,贝U 实数m+ n 的值为（ ） A.— 10 B.— 2 C. 0 与直线Ax + By +C = 0垂直的直线方程可设为 Bx - Ay + C 2 = 0，再由其他条件求出 C 2. 题型三：直线的交点、距离问题 例3已知直线I 经过点A （2,4）,且被平行直线h ：x-y +1 =0与12 ：x-y —1 = 0所截得的线段的中点 M 在直线x +y -3=0上，求直线I 的方程. n 〕u 佇，v] B. [0 , n ” 舄‘ n 、 L 5n ] r n 5n ] n J C . !0 , TJ D. ，-FJ A.- 1< k <1 5 B. k> 1 或 k<2 （1）过点（ -1,3），且与I 平行; （2）过（—1,3），且与I 垂直. 直线 2x + y — 1= 0 为 12,直线 x + ny + 1= 0 为 D. 8 本题小结：与直线Ax + By + C = 0平行的直线方程可设为 Ax + By + C 1 = 0，再由其 他条件列方程求出C 1 ；

一元二次方程知识点复习及典型题讲解

一元二次方程复习课1）一元二次方程的概念： 中考常见题型： 例1、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。 x?22x??122x?4?(x?2)2x?43x?2?5x?3x?1（1）（2）（3）（4） 2bx+a=0, x —2、方程（2a 2在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一 —4）例次方程？2。，求m的一元二次方程(m-1)x+3x-5m+4=0有一根为2例3 、已知关于x 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项练习一、????????222y?3y2y?1??y1??2x?2?3x2 2x(x-1)=3(x-5)-4 2(m?3)x?nx?m?0x练习二、关于，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一的方程次方程？ 2）一元二次方程的解法： 1）直接开平方法（换元思想）： 2）配方法： 3）求根公式（符号问题）： 4）因式分解法（十字交叉法）： 中考常见题型： 例1：考查直接开平方法和换元思想。 1）(x+2)=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2) — x+2 =0 22（ 249??1x?2x2 4）(2x+1)=(x-1) （5） 2（ 2：用配方法解方程x＋px＋q＝0(p2－4q≥0). 2例

例3：用配方法解方程： 22xx（1）－6x－7＝0；（2）＋3x＋1＝0. 2205x??2x?2x?7x?20?42（3）（50. 2x4 （））3x＋－3＝ 2?4bacb2(x?)?2ax?bx?c?0(a?0)2aa4呢？例4：能否用配方法把一般形式的一元二次方程转化为 22-1=0 -(4k+1)x+2k取什么值时，关于x的方程2x例5、当k 方程没有实数根．有两个不相等的实数根； (2)有两个相等实数根； (3) (1) -c)x+b=0ABC的三边的长，求证方程ax-(a+ba例6、已知，b，c是△222222没有实数根． 练习：222 +n=0无实数根．，求证关于x的方程2x+2(m+n)x+m．若 1m≠n +m=0．求证：关于x的方程x+(2m+1)x-m2 22有两个不相等的实数根． 7例： 2220??x3)?65?(2x3)?(20?x?7x10?0??3992x?x）（2 1（）（）3 3）一元二次方程的应用（常见四类题型）：

二次函数讲义 详细

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 第一讲 二次函数的定义 知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数， )0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0 考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式 例1、 函数y=（m ＋2）x 2 2-m ＋2x －1是二次函数，则m= ． 例2、 下列函数中是二次函数的有（ ） ①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2 ；④y=21 x ＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式． 例4 、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，

如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ． 训练题: 1、已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 2、若函数y=(m 2 +2m －7)x 2 +4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 3、已知函数y=(m －1)x 2m +1 +5x －3是二次函数，求m 的值。 4、已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系． 5、请你分别给a ，b ，c 一个值，让c bx ax y ++=2 为二次函数，且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象限 6．下列不是二次函数的是（ ） A ．y=3x 2＋4 B ．y=－31 x 2 C ．y=52-x D ．y=（x ＋1）（x －2） 7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ） A ．m 、n 为常数，且m ≠0 B ．m 、n 为常数，且m ≠n C ．m 、n 为常数，且n ≠0 D ．m 、n 可以为任何常数

3讲义特殊的二次函数图像三(教师版)

复习引入: （一）在同一直角坐标系中画出二次函数y = x2与y = （X T）2+1与y = （x-1 ）2+1的图像列表（取点原则：取原点及左右对称点） 描点、连线 分 （1）函数y（x 1）2+1与y（x-1 ）2+1的图像与y =x2图像有哪些相同处及不同处 析： （2）产生这三个图像的差异的本质原因是什么平移 （3）这三个二次函数若与坐 总结：y =a（x m）2 k的图像性质（左加右减，上加下减）

a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a >0 向上 (-m,k) 直线 x = _m x > —m 时，y 随x 的增大而增大；x ￡ —m 时， y 随x 的增大而减小；x = -m 时，y 有最小值 k . a cO 向下 (-m, k) 直线 x = -m x > —m 时，y 随x 的增大而减小；x ￡ —m 时， y 随x 的增大而增大；x = -m 时，y 有最大值 k . 1 ?平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a(x m)2 k ，确定其顶点坐标(-m,k); ⑵ 保持抛物线y 二ax 2的形状不变，将其顶点平移到(-m,k)处，具体平移方法如下: 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”. 概括成八个字“左加右减，上加下减”. 例题分析 1. 填表 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 2 y = -(x -2) +4 下 直线X=2 (2,4) 1 2 厂尹3)2_5 上 直线X=-3 (-3,-5) 2,1 y = —3(x —2) + — 3 下 直线X=2 (2,1/3) —3、2 7 y = ——(x —一) 一 — 12 4 12 下 直线X=3/4 (3/4,-7/12) 向左平移1个单位，再向下平移 3个单位，得到的抛物线的表达式为 y=-5(x+1) 2-3 ___________ 3. 抛物线y =2x 2沿x 轴向 _______ 左 ___ 平移_2 ____ 单位，再沿y 轴向 _______ 下 _______ 移 ￥ y=a(x-h)2 y=ax 2+k ! 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移KI 个单位 y=a(x-h)2+k 向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k 个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 向右(h>0)【或左 (h<0)】 平移kl 个单位

高二数学讲义：直线与方程

讲义：直线与方程 内容讲解： 1、直线的倾斜角和斜率： （1）设直线的倾斜角为α() 0180α≤<，斜率为k ，则tan 2k παα??=≠ ?? ?.当2 π α=时，斜率不存在. （2）当090α≤<时，0k ≥；当90180α<<时，0k <. （3）过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线斜率21 2121 ()y y k x x x x -=≠-. 2、两直线的位置关系： 两条直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+斜率都存在，则： （1）1l ∥2l ?12k k =且12b b ≠； （2）12121l l k k ⊥??=-； （3）1l 与2l 重合?12k k =且12b b = 3、直线方程的形式： （1）点斜式：()00y y k x x -=-（定点，斜率存在） （2）斜截式：y kx b =+（斜率存在，在y 轴上的截距） （3）两点式： 11 21212121 (,)y y x x y y x x y y x x --=≠≠--（两点） （4）一般式：( ) 22 00x y C A B A +B += +≠ （5）截距式： 1x y a b +=（在x 轴上的截距，在y 轴上的截距） 4、直线的交点坐标： 设11112222:0,:0l A x B y c l A x B y c ++=++=，则： （1）1l 与2l 相交1122A B A B ? ≠；（2）1l ∥2l 111 222 A B C A B C ?=≠；（3）1l 与2l 重合

111 222 A B C A B C ? ==. 5、两点111(,)P x y ，222(,)P x y 间的距离公式2 2 122121()()PP x x y y = -+- 原点()0,0O 与任一点(),x y P 的距离22OP x y = + 6、点000(,)P x y 到直线:0l x y C A +B +=的距离002 2 Ax By C d A B ++= + （1）点000(,)P x y 到直线:0l x C A +=的距离0Ax C d A += （2）点000(,)P x y 到直线:0l y C B +=的距离0By C d B += （3）点()0,0P 到直线:0l x y C A +B +=的距离2 2 C d A B = + 7、两条平行直线10x y C A +B +=与20x y C A +B +=间的距离122 2 C C d A B -= + 8、过直线1111:0l A x B y c ++=与2222:0l A x B y c ++=交点的直线方程为 ()111222()()0A x B y C A x B y c R λλ+++++=∈ 9、与直线:0l x y C A +B +=平行的直线方程为()0x y D C D A +B +=≠ 与直线:0l x y C A +B +=垂直的直线方程为0x y D B -A += 10、中心对称与轴对称： （1）中心对称：设点1122(,),(,)P x y E x y 关于点00(,)M x y 对称，则12012 022 x x x y y y +?=??? +?=?? （2）轴对称：设1122(,),(,)P x y E x y 关于直线:0l x y C A +B +=对称，则： a 、0B =时，有 122x x C A +=-且12y y =； b 、0A =时，有122y y C B +=-且12x x =

一元二次方程全章复习与巩固—知识讲解

《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】 1.了解一元二次方程及有关概念； 2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程； 3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2.一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释： 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 要点二、一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程???→ 降次一元一次方程

2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法． 要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程 )0(02 ≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42 -=?. （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，a c x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 要点诠释： 1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解 决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系；