二次根式的最值问题

二次根式的最值问题

初中代数中，关于二次根式的最值问题屡见不鲜，解答它们，难度较大，下面介绍几种方法，供同学们参考。

一、利用被开方数求最值

例1. 代数式x x x +-+-12的最小值是（ ）

A. 0

B. 21+

C. 1

D. 不存在

解：由x x x ≥-≥-≥01020，，，得x ≥2

∴≥-≥-≥∴+-+-≥+x x x x x x 211201221

，，

当且仅当x =2时，上式等号成立。

∴+-+-x x x 12的最小值是21+

二、利用换元求最值

例2. 若x 、y 都是正整数，且x x y -++=116100，则y 的最大值为________。 解：设x m x n -=+=116100，

那么x m x n -=+=11610022，，且m 、n 都是正整数

()() n m n m n m 22216

216-=∴+-=

∴n m +与n m -的奇偶性相同，且n m +>0

∴n m +的最大值为108，n m -的最小值为2

∴y 的最大值为108

三、利用分子有理化求最值

例3. 满足n n --<1001.的最小正整数n 应为（ ）

A. 2499

B. 2500

C. 2501

D. 10000

解：已知不等式的左边分子有理化，则有

()

n n n n n n n n n n n n n --+-<∴+->>->+-∴>>111

100

1100

121

21002500

，， ∴n 的最小值为2501

四、利用配方求最值

例4. 已知x y -=3，则y x 223-的最大值是___________。

解： y x =-3

()∴-=--y x x x 2222333 =-++?? ???+=-+?? ???+2394272

23227222x x x x x y x +?? ???≥-+?? ??

?≤∴-≤=320232032723

26

22

22， ∴-y x 223的最大值为3

26

去绝对值常用方法

. （初一）去绝对值常用“六招” （初一）六招”去绝对值常用“难度大，解绝对值问题要求高，绝对值是初中数学的一个重要概念，是后续学习的必备知识。不易把握，解题易陷入困境。下面就教同学们去绝对值的常用几招。一、根据定义去绝对值的值-│c│c = - 8时，求3│a│-2│b│例1、当a = -5，b = 2，负数的绝所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身，分析：这里给出的是确定的数，。代值后即可去掉绝对值。的绝对值是0对值是它的相反数，00 ＜ c = -8b =2＞0，解：因为：a = -5＜0，[ - ( - 8 ) ] = 7 2 ×2 --5）] –所以由绝对值的意义，原式= 3 [ -（”相关信息去绝对值二、从数轴上“读取c在数轴上的a、b、例2、有理数- │a│-a│+│c-b│+│a+b│位置如图所示，且│a│=│b│，化简│c的正负性，由数轴上点的位置特征，即可去绝对、a + bc - a、c-b分析：本题的关键是确定值。- a = b b 且＜c＜解：由已知及数轴上点的位置特征知：a＜0 b ) ] + 0 - ( - a ) = b –故原式= c - a + [ - ( c c - b＜0，a + b = 0 从而 c –a ＞0 ，三、由非负数性质去绝对值22的值。= 0，求-25│+ ( b –2 )ab：已知例3│a 。分析：因为绝对值、完全平方数为非负数，几个非负数的和为零，则这几个数均为“0”222 2 = 0 –由绝对值和非负数的性质：ab 解：因为│a-25 = 0 -25 │+ ( b – 2 )且= 0 ab = - 10 ab = 10或a = - 5 b = 2 故即a = 5 b = 2 或四、用分类讨论法去绝对值的值。abc≠0，求+ + 4例、若同为正号还是同为负号；两个同为正（负）号，另、c，所以只需 考虑a、b分析：因abc≠0一个为负（正）号，共八种情况。但因为两正（负）、一负（正）的 结果只有两种情况，所以其值只有四种情况。异号。b、、c、b、c有同为正号、同为负号和aa 解：由abc≠0可知，= 3 + + + = + 、c都为“+”时，b当a、= - 3 ---”时，+ + = c当a、b、都为“-+ + = 1 时，“-”、a、bc中两“+”一当+ + = - 1 “+”时，中两“-”一ca 当、b、五、用零点分段法去绝对值的最小值。2│+│x -3│-例5：求│x + 1│+│x 的值的符号也在变化。关键是把各式绝对值x -3–x 2、、在有理数范围变化，分析：xx + 1解 这类问题的基本步骤是：的取值进行分段讨论，为此要对符号去掉。x然后选取其最小值。. . 求零点、分区间、定性质、去符号。即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间化简求值即可。。由绝对值意义分别讨论如下：，3可确定零点为- 1，2，解：由x + 1 = 0x - 2 = 0，x - 3 = 03 + 4 = 7 ＞– 3 ) ] = -3 x + 4 -1时，原式= -( x + 1 ) + [ - ( x –2 ) ] + [ - ( x 当x＜-2 + 6 = 4 3 ) ] = - x + 6 ＞时，原式= ( x + 1 ) + [ -( x –2 ) ] + [ - ( x –当-1 ≤x ＜2 2 + 2 = 4 x + 2 ≥= –2 ) + [ - ( x –3 ) ] 当2 ≤x ＜3时，原式= ( x + 1 ) + ( x - 4 = 5 4 ≥3×3 –2 ) + ( x 3 ) = 3x –x ≥3时，原式= ( x + 1 ) + ( x –当4。故所求最小值是六、平方法去绝对值-3│、解方程│x-1│=│x例6所以对所分析：对含有绝对值的方程，用平方法是去绝对值的方法之一，但可能产生增根，求解必须进行检验，舍去增根。22 x=2是原不等式的根。x=2 x经检验，- 2x +1= x - 6x + 9 有4x =8，得解：两边平方： c在数轴上的位置、b、练习1、已知实数a │a│=│c│，化简：如图，且- b│+│a││a+c

二次根式经典难题含答案

二次根式经典难题 1. 当__________时，212x x ++-有意义。 2. 若1 1m m -++有意义，则m 的取值范围是 。 3. 当__________x 时，()21x -是二次根式。 4. 在实数范围内分解因式：429__________,222__________x x x -=-+=。 5. 若242x x =，则x 的取值范围是 。 6. 已知()222x x -=-，则x 的取值范围是 。 7. 化简：()2211x x x -+的结果是 。 8. 当15x ≤时，()215_____________x x -+-=。 9. 把1 a a -的根号外的因式移到根号内等于 。 10. 使等式()()1111x x x x +-=-+成立的条件是 。 11. 若1a b -+与24a b ++互为相反数，则()2005_____________a b -=。 12. 在式子()()()230,2,12,20,3,1,2x x y y x x x x y +=--++中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. 7- B. 32m C. 21a + D. a b 15. 若23a ，则()()2223a a ---等于（ ） A. 52a - B. 12a - C. 25a - D. 21a - 16. 若()424A a =+，则A =（ ） A. 24a + B. 22a + C. ()222a + D. ()224a + 18. 能使等式22x x x x =--成立的x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥ 19. 计算：()()222112a a -+-的值是（ ） A. 0 B. 42a - C. 24a - D. 24a -或42a - 20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ）

(完整版)专题：二次根式重难点综合题型

专题：二次根式重难点综合题型 题型一：二次根式的性质 1．写出下列各式有意义时x 的取值范围. (1)12--x ; (2) ． 2．已知：,x y 为实数，且311+-+-

※课后练习 1．若53+的小数部分是a ，5-3的小数部分是b ，求a +b 的 值。 2．已知411+=-+-y x x ，则xy 的平方根为______． 3．已知25-=x ，求4)25()549(2++-+x x 的值． 4．计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 5．已知,23,23-=+=y x 求(1)x 2－xy ＋y 2； (2)x 3y ＋xy 3的值． 6．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 均为整数，且a 和b 满足 .09622=+-+-b b a 试求△ABC 的c 边的长． 7 ．已知：11a a +=221 a a +的值。 8．化简： 9．已知：x,y,z 满足关系式： y x y x z y x z y x --+-+=-++--+20122012223，试求x ，y ， z 的值。 10．求值： 2004 20031431321211++ ++++++Λ x x x x x 1399413+-a a b b a a a 2129122+-+) 23(623 24b a a b b a ab b -?-÷2 310253b a b a ÷- ?

《二次根式》典型例题和练习题

《二次根式》分类练习题 二次根式的定义： 【例１】下列各式 其中是二次根式的是＿_＿_＿＿_＿_（填序号). 举一反三: １、下列各式中,一定是二次根式的是( ） A B C D 2__＿＿__个 【例2 有意义,则x 的取值范围是 .［来源:学*科＊网Z*X*X*K ］ 举一反三: 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ) A 、x ＞3 ??B 、ｘ≥３ C 、 x>4 ??Ｄ 、x ≥３且x ≠４ 有意义的ｘ的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P(m,n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 Ｃ、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y ＝5-x +x -5+2009，则x+y ＝ 举一反三： 2 ()x y =+,则x -ｙ的值为( )

A ．-1 B ．1 Ｃ.2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且ｙ＝4x 233x 2+-+-,求x ｙ的值 3、当a 1取值最小,并求出这个最小值。 已知a 1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是ａ,小数部分是b,则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ，小数部分为y,求y x 1 2+ 的值． 知识点二：二次根式的性质 【例4】若()2 240a c --=，则= +-c b a ． 举一反三: 1、若0)1(32 =++-n m ,则m n +的值为 。 ２、已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ,则y x -的值为( ) A ．３ ? B ．– ３? C.1? Ｄ．– 1 ３、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜ｘ2－4｜+652+-y y =０，则第三边长为＿__＿＿＿. ４、若 1 a b -+互为相反数,则() 2005 _____________ a b -=。 （公式)0((2 ≥=a a a 的运用) 【例5】 化简: 21a -+的结果为( ) A 、4—2a B 、０ Ｃ、2a —4 D 、4

去绝对值符号的几种常用方法精编版

去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-????≤?； |x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|或||||x a x b m -+-<(m 为正常数)类型不等式。对||||ax b cx d m +++>(或

二次根式重难点题型及易错题

特尔教育一对一个性化辅导讲义 学科：数学任课教师：授课时间：2014年9月日(星期 )

2、应用题 1、如图所示，某小区规划在一个长为40 m 、宽为26 m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144 m 2 ，求道路的宽度． 2 西瓜经营户以2元／千克的价格购进一批小型西瓜，以3元／千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0．1元／千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元． (1)设销售单价为每千克a 元,每天平均获利为y 元,请解答下列问题:（每空2分） ①每天平均销售量可以表示为_____; ②每天平均销售额可以表示为______; ③每天平均获利可以表示为y=________; (2) 该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降多少元? （5分） 解析：(1)①)4001400(a -千克 ②a a )4001400(-元 ③24)4001400)(2(---=a a y （元） (2) 该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降多少元? 解法一：设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元,根据题意，得： ()40322002420001x x ?? --+ -= ?.? ?； 解这个方程，得：120203x x =.,=. 因此 应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元. 解法二：由(1)根据题意，得：(a-2)(1400-400a)-24=200 整理得 056.75.52 =-+a a

初三数学二次根式经典习题

二次根式分类经典 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1）;2-x （2）121+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1 213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （7）若 1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________． 7．若433+-+-=x x y ，则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+?--，求m 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10<

二次根式重难点题型及易错题

学科：数学 姓名 1、 2、 3、 4、 5、 1、 3、 5、 6、 7、 8、 年级 特尔教育一对一个性化辅导讲义 任课教师: 性别 二次根式易错题及重难点题练习 、选择题 计算 A. 使式子 授课时间：2014年9月日（星期） 总课时 2008 2009 .7 2 2 . 7 2、2,正确的结果是( 2 ...2 7 B. ,7 2、、2 C.1 D. x（x 5） 2有意义的未知数x有（）个. 0 B . 1 C . 2 D .无数 -2 x 1成立的条件是 ■ 7 2「2 B. x A -1 C . -1 w x w 1 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简 A. 1 B. 1 C. 1 2a D. 2a 如图，数轴上A, B两点表示的数分别为 表示的数为（ A. 2 3 C. 2 3 二、填空题 (2 .5)2 计算：327 4 1 .3 2、 4、 | 1 a |、a2的结果为（ a ---- 1i ------- > 1 0 1 1和?、3，点B关于点A的对称点为C,贝惊C所 、、252 242 v a2x 2abx b2x = 丄中根号外面的因式移到根号内的结果是 a a j字1化简二次根式号后的结果是 若J m —1- 有意义，则m的取值范围是 m 1

9、 x 2 2X 1有意义，则x 的取值范围是 10、 当 x < 0 时， 11 .比较大小：— 18 0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 14、在小明大学同学毕业五周年的聚会上，每两个人都握了一次手，所有人共握手 人参加这次聚会，则可列出方程 三.计算题 1、 4、若最简根式 3a b 4a 3b 与根式 2ab 2 b 3 6b 2是同类二次根式，求 a 、b 的值. 5、若 |1995-a | +、、a 2000 =a ，求 a-19952 的值. 6、已知 a=、3-1,求 a 3+2a 2 -a 的值 7、已知x 2 3x 1 0,求 x 2 E 2的值。 化简1 X v x 2 的结果是 12 .方程 X 2 9x 13. a — a 1 的有理化因式是 105次，设有X 3m 2 3n 2 亠 2a 2 如图：A ，B ， C 三点表示的数分别为 a ， b , c 。 C AO B 利用图形化简: a b l -3 (a>0)

去绝对值常用方法

去绝对值常用“六招”（初一） 去绝对值常用“六招” （初一） 绝对值是初中数学的一个重要概念，是后续学习的必备知识。解绝对值问题要求高，难度大，不易把握，解题易陷入困境。下面就教同学们去绝对值的常用几招。 一、根据定义去绝对值 例1、当a = -5，b = 2， c = - 8时，求3│a│-2│b│- │c│的值 分析：这里给出的是确定的数，所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。代值后即可去掉绝对值。 解：因为：a = -5＜0，b =2＞0，c = -8＜0 所以由绝对值的意义，原式= 3 [ -（-5）] – 2 ×2 - [ - ( - 8 ) ] = 7 二、从数轴上“读取”相关信息去绝对值 例2、有理数a、b、c在数轴上的 位置如图所示，且│a│=│b│，化简│c-a│+│c-b│+│a+b│-│a│ 分析：本题的关键是确定c - a、c-b、a + b的正负性，由数轴上点的位置特征，即可去绝对值。 解：由已知及数轴上点的位置特征知：a＜0＜c＜b 且- a = b 从而 c – a ＞0 ， c - b＜0， a + b = 0 故原式= c - a + [ - ( c – b ) ] + 0 - ( - a ) = b 三、由非负数性质去绝对值 例3：已知│a2-25│+ ( b – 2 )2 = 0，求ab的值。 分析：因为绝对值、完全平方数为非负数，几个非负数的和为零，则这几个数均为“0”。解：因为│a2-25│+ ( b – 2 )2 = 0 由绝对值和非负数的性质：a2-25 = 0 且b – 2 = 0 即a = 5 b = 2 或a = - 5 b = 2 故ab = 10或ab = - 10 四、用分类讨论法去绝对值 例4、若abc≠0，求+ + 的值。 分析：因abc≠0，所以只需考虑a、b、c同为正号还是同为负号；两个同为正（负）号，另一个为负（正）号，共八种情况。但因为两正（负）、一负（正）的结果只有两种情况，所以其值只有四种情况。 解：由abc≠0可知，a、b、c有同为正号、同为负号和a、b、c异号。 当a、b、c都为“+”时，+ + = + + = 3 当a、b、c都为“-”时，+ + = - - - = - 3 当a、b、c中两“+”一“-”时，+ + = 1 当a、b、c中两“-”一“+”时，+ + = - 1 五、用零点分段法去绝对值 例5：求│x + 1│+│x - 2│+│x -3│的最小值。

(易错题精选)初中数学二次根式难题汇编及答案解析

（易错题精选）初中数学二次根式难题汇编及答案解析 一、选择题 1．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简2a a b -+的结果为（ ） A ．2a+b B ．-2a+b C ．b D ．2a-b 【答案】C 【解析】 试题分析：利用数轴得出a+b 的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可： ∵由数轴可知，b ＞0＞a ，且 |a|＞|b|， ()2a a b a a b b +=-++=. 故选C ． 考点：1.绝对值；2.二次根式的性质与化简；3.实数与数轴． 2．已知实数a 满足20062007a a a --=，那么22006a -的值是（ ） A ．2005 B ．2006 C ．2007 D ．2008 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围，然后去绝对值符号化简，再两边平方求出22006a -的值． 【详解】 ∵a-2007≥0， ∴a ≥2007， ∴20062007a a a --=可化为a 2006a 2007a -+-=， 20072006a -=， ∴a-2007=20062， ∴22006a -=2007． 故选C ． 【点睛】 本题考查了绝对值的意义、二次根式有意义的条件，求出a 的取值范围是解答本题的关键． 3．下列计算中，正确的是( ) A ．35344= B 1a ab b b =(a ＞0，b ＞0)

C ．5539335777?= D ．()()22483248324832670÷? +-= 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的乘法法则：a ?b ＝ab （a≥0，b≥0），二次根式的除法法则：a b ＝a b （a≥0，b ＞0）进行计算即可． 【详解】 A 、534 ＝532，故原题计算错误； B 、 a a b b ÷＝1a b ab ?＝1b （a ＞0，b ＞0），故原题计算正确； C 、559377?＝368577?＝6857 ，故原题计算错误； D 、()()22483248324832÷? +-＝32 ×165＝245，故原题计算错误； 故选：B ． 【点睛】 此题主要考查了二次根式的乘除法，关键是掌握计算法则． 4．下列式子为最简二次根式的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解：选项A ，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式， A 符合题意； 选项B ，被开方数含能开得尽方的因数或因式，B 不符合题意； 选项C ，被开方数含能开得尽方的因数或因式， C 不符合题意； 选项D ，被开方数含分母， D 不符合题意， 故选A ．

人教版-数学-八年级下册二次根式的乘除 教材分析与重难点突破 第1课时

二次根式的乘除教材分析与重难点突破第1课时 一、教材分析 本节主要内容是二次根式的乘法运算和二次根式的化简，通过本节学习应使学生掌握根式的乘法运算法则和化简二次根式的常用方法．建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备． 探究二次根式的乘法法则，教材从具体例子出发，由特殊到一般、由具体到抽象地归纳给出二次根式的运算法则．通过“探究”栏目，引导学生利用二次根式的性质，从具体数字的运算中发现规律，进而得出二次根式的乘法法则．“探究”栏目中的两个问题是两个不同层次的探究活动．首先是让学生通过计算发现规律，然后是让学生对发现的规律进行类比，得出乘法法则的具体内容． 为了使学生更全面地了解二次根式的运算，提高学生的运算能力，也为今后的数学学习打下必要的基础，教材在正文中设置了“选学例题”，采用举例的方式，让学有余力的学生能够学到“根号下为字母的二次根式”的运算。由于数式通性，只要将二次根式中的实数看成字母，二次根式的运算实际上就是整式的运算． 将二次根式的乘法法则反过来，就得到积的算术平方根的性质．利用这条性质可以对二次根式进行化简．通过学习，应该使学生对化简二次根式的基本要求有所认识，即在化简时，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后再将能开得尽方的因数或因式开出来，这一点教材利用了一个小贴士加以说明． 本节课的教学重点是，二次根式的乘法法则；教学难点是，在理解二次根式的性质和运算法则的基础上，养成良好的运算习惯． 二、重难点分析 1．二次根式的乘法法则的理解 突破建议 1．教材对本节内容的处理，仍然沿用“从具体数字的算术平方根的运算中观察规律，经历从特殊到一般的过程，归纳得出二次根式的乘法运算法则”的方式展开，教学时，应充分根据教材的编写意图，让学生通过观察：

人教版初中数学二次根式经典测试题及答案

人教版初中数学二次根式经典测试题及答案 一、选择题 1．下列各式中，不能化简的二次根式是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】 【分析】 A 、 B 选项的被开方数中含有分母或小数；D 选项的被开方数中含有能开得尽方的因数9；因此这三个选项都不是最简二次根式．所以只有 C 选项符合最简二次根式的要求． 【详解】 解：A =，被开方数含有分母，不是最简二次根式； B = ，被开方数含有小数，不是最简二次根式； D =，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 所以，这三个选项都不是最简二次根式． 故选：C ． 【点睛】 在判断最简二次根式的过程中要注意： （1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式； （2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式． 2．下列各式计算正确的是（ ） A 1082 ==-= B ． ()() 236= =-?-= C 115236==+= D ．54 ==- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断． 【详解】 解：A 、原式，所以A 选项错误；

B 、原式=49?=49?=2×3=6，所以B 选项错误； C 、原式=1336=136 ，所以C 选项错误； D 、原式255164=- =-，所以D 选项正确． 故选：D ． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 3．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |＋2(a b )-的结果是（ ） A ．2a+b B ．-2a+b C ．b D ．2a-b 【答案】B 【解析】 【分析】 根据数轴得出0a <，0a b -<，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简． 【详解】 解：由数轴可知：0a <，0b >， ∴0a b -<， ∴()()22a a b a b a a b -=-+-=-+， 故选：B ． 【点睛】 本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质，根据数轴得出0a <，0a b -<是解题的关键． 4．已知实数a 满足20062007a a a --=，那么22006a -的值是（ ） A ．2005 B ．2006 C ．2007 D ．2008 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围，然后去绝对值符号化简，再两边平方求出22006a -的值． 【详解】 ∵a-2007≥0，

去绝对值符号的几种常用方法

去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-????≤? ；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|或||||x a x b m -+-<(m 为正常数)类型不等式。对||||ax b cx d m +++>(或

初中数学实数(二次根式)重难点题型梳理归纳

实数章末重难点题型汇编 【考点1 无理数的概念】 【方法点拨】无限不循环小数又叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起 来有三类： （135,2等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如13 π 等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； 【例1】（2019春?博兴县期中）在3.14、√12、 227 、?√5、√273 、2π、0.2020020002这六个数中，无理数 有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】解：3.14、 22 7 、√273 、0.2020020002是有理数，√12、?√5、2π是无理数，无理数的个数是3， 故选：C ． 【变式1-1】（2018春?新罗区校级期中）下列说法中 ①无限小数都是无理数 ②无理数都是无限小数 ③﹣2是4的平方根 ④带根号的数都是无理数．其中正确的说法有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 【答案】①无限不循环小数都是无理数，故①错误；②无理数都是无限不循环小数，故②正确； ③﹣2是4的平方根，故③正确；④带根号的数不一定都是无理数，故④错误；故选：B ． 【变式1-2】（2018秋?东台市期中）下列实数中，√12、√93 、?17、π 2 、﹣3.14、√0.1、 √?273 、0、0.3232232223…（相邻两个3之间依次增加一个2），无理数的个数是（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 【答案】解：√12=2√3，√0.1=√10 10，√?273 =?3， 则无理数有：√12、√93 、π 2 、√0.1、0.3232232223…，共5个．故选：D ． 【变式1-3】（2019秋?安宁区校级期中）在下列各数中是无理数的有（ ） ?√(?5)2、√36、1 7、0、﹣π、√113 、3.1415、√1 5、2.010101…（相邻两个1之间有1个0）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 故选：C ．

人教版初中数学二次根式经典测试题附答案

人教版初中数学二次根式经典测试题附答案 一、选择题 1．下列各式成立的是（） A．2332 -=B．63 -＝3 C． 2 22 33 ?? -=- ? ? ?? D．2 (3) -＝3 【答案】D 【解析】 分析：各项分别计算得到结果，即可做出判断．详解：A．原式=3，不符合题意； B．原式不能合并，不符合题意； C．原式=2 3 ，不符合题意； D．原式=|﹣3|=3，符合题意． 故选D． 点睛：本题考查了二次根式的加减法，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 2．二次根式2 a+在实数范围内有意义，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】 分析已知和所求，要使二次根式2 a＋在实数范围内有意义，则其被开方数大于等于0；易得a＋2≥0，解不等式a＋2≥0，即得答案. 【详解】 解：∵二次根式2 a＋在实数范围内有意义， ∴a＋2≥0，解得a≥－2． 故选B. 【点睛】 本题是一道关于二次根式定义的题目，应熟练掌握二次根式有意义的条件； 3．下列计算正确的是（） A．+=B．﹣=﹣1 C．×=6 D．÷=3 【答案】D 【解析】 【分析】

根据二次根式的加减法对A 、B 进行判断；根据二次根式的乘法法则对C 进行判断；根据二次根式的除法法则对D 进行判断． 【详解】 解：A 、B 与不能合并，所以A 、B 选项错误； C 、原式= ×=，所以C 选项错误； D 、原式= =3，所以D 选项正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4．下列各式中计算正确的是（） A 268+= B ．233+= C 3515= D 42= 【答案】C 【解析】 【分析】 结合选项，分别进行二次根式的乘法运算、加法运算、二次根式的化简、二次根式的除法运算，选出正确答案． 【详解】 解：26不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； B.23 3515= 4，原式计算错误，故本选项错误． 故选： C. 【点睛】 本题考查二次根式的加减法和乘除法，在进行此类运算时，掌握运算法则是解题的关键． 5．已知352x x -+-=()()2215x x --的结果是（ ） A ．4 B ．62x - C ．4- D ．26x - 【答案】A 【解析】 由352x x -+-=可得30{50 x x -≥-≤ ，∴3≤x ≤5()()2215x x --=x-1+5-x=4，故选 A.

二次根式经典难题(含标准答案)

二次根式经典难题(含答案)

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二次根式经典难题 1. 当__________时，212x x ++-有意义。 2. 若11 m m -++有意义，则m 的取值范围是 。 3. 当__________x 时，()21x -是二次根式。 4. 在实数范围内分解因式：429__________,222__________x x x -=-+=。 5. 若242x x =，则x 的取值范围是 。 6. 已知()222x x -=-，则x 的取值范围是 。 7. 化简：()2211x x x -+p 的结果是 。 8. 当15x ≤p 时，()215_____________x x -+-=。 9. 把1a a -的根号外的因式移到根号内等于 。 10. 使等式()()1111x x x x +-=-+g 成立的条件是 。 11. 若1a b -+与24a b ++互为相反数，则() 2005_____________a b -=。 12. 在式子()()()230,2,12,20,3,1,2 x x y y x x x x y +=--++f p 中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. 7- B. 32m C. 21a + D. a b 15. 若23a p p ，则()()2223a a ---等于（ ） A. 52a - B. 12a - C. 25a - D. 21a - 16. 若()4 24A a =+，则A =（ ） A. 24a + B. 22a + C. ()222a + D. ()224a + 18. 能使等式2 2x x x x =--成立的x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x f D. 2x ≥ 19. 计算： ()()222112a a -+-的值是（ ）

最新二次根式重点难点

二次根式中中考题错解示例 —、在取值范围上只考虑二次根式，不考虑分母 例1(2010绵阳中考)要使3_x d —1有意义，则x应满足( ) J2x—1 (A)丄< x< 3 2(B) x < 3 且X M1 2 (C) 1v x v 3 2(D) 1v x < 3 2 错解：选A.由3-x>0且2x-1 >0,可知x< 3且x>丄，即丄< x 2 2 < 3. 错解分析：错解在取值范围上死板地应用二次根式的性质，思维单一，不顾整体.只考虑到二次根式中被开方数的取值范围，不考虑分母,结果扩大了代数式的取值范围，造成了错解?在1中,既要考 J2x-1 虑(2x-1)是被开方数，须使其值是非负数，又要考虑是分母,还 必须使2x-1不为0.综上可知2x-1 > 0. 正解：选D.由3-x>0且2x-1 >0,可知x< 3且x> -,即1v x 2 2 < 3. 二、平方根与算术平方根的概念相混淆 例2 (2010 -济宁中考)4的算术平方根是( ) (A) 2 ( B)—2 (C) 士2 ( D 4 错解：选C.由-2 2= 4,可知4的算术平方根是士2.

错解分析：错解对算术平方根和平方根的概念模糊不清，误以为一个正数的算术平方根有两个，它们互为相反数.事实上,一个正数的平方根有两个，且互为相反数.另外,正数的那个正的平方根叫算术平方根.因为4的平方根是士2,所以4的算术平方根是2. 正解:选A. 三、不会把非负因式移到根号里面 例3（2010 ?绵阳中考）下列各式计算正确的是（） 2 3 6 （A）m ? m = （C）3 2 3 =2 3=5（ D）（a「1）［a =n2；a 1「a（。 < 1） 错解：选A.由m2m3二m2 3二m6,可知选A. 错解分析：m2m3= m2 3= m5,故选项A错误.有些同学在D选项中不会把非负因式往根号里面移.在（a -1）, 1中,使被开方数十 > 0,则必有分子、分母同号.由于分子1是正数,所以分母1- a必为正数.所以有隐含条件a< 1.另外,要注意把根号外的因式往根号内移时只有非负因式才能往里移.要把负因式a1往根号里面移，必须变形为-（1- a,然后把括号前面的负号留在外面.把正因式1- a加平方后移入根号里面.所以（a 一1）；丄=一：（1 —a）'丄一J仁a . \1_a \ 1 -a

二次根式经典练习题汇总

二次根式与一元二次方程经典练习题aa??aa??A、、 B 、D、 ??2 C一、选择题ba,对于所有实数），下列等式总能成立的是（8. ）1．下列式子一定是二次根式的是（ 22b?b??aaba?ba??22x2x??2?x2?x B. A. ．AD． B ． C ． ??22??2222b?aa?b?1?m3b?aa??b D. C. ）m有意义，则2能取的最小整数值是（．若 m=3 ．m=0 A．Bm=1 ．DC．m=2 29x?），以下说法中不正确的是（ 9. 对于二次根式2xx? A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数的结果是（）3．若x<0，则x3 它的最小值为 D. C. 它是最简二次根式 2 2 ．—C．0D．2 或—B 0 A．227?5?2b?aa??b10. 下列式子中正确的是（）A. ?? B. ( 4．下列说法错误的是）28?649a?6a?是二次根式B.A．是最简二次根式 2?3?4?3?x??bxba?ax D. C. 222216?xb?a4 D.的最小值是．C 是一个非负数二、填空题22nn24?5)?(2?)(?0.3D.2 C.6 B.5 A.4 5．是整数，则正整数的最小值是（）；②11.①。 yx?a3311??aa?9?计算。12．化简：计算= ________13．的结果为（）．化简6ay?x365 ??21xx??2x133011。14．化简：的结果是113033030．B ．A ．C ．D3030 2?? _____________??1x?5x?时，。5x1 15．当≤＜1?????20012000．把．7a 根号外的因式移入根号内的结果是（）______________33???22a．16。