绵阳南山中学2020年秋季高2020级半期考试高一数学测试卷
2020年11月
绵阳南山中学2020年秋季高2020级半期考试
数 学 试 题
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}2,1{=A ，}3,2{=B ，则=)(B C A U
A.}5,4{
B.}3,2{
C.}1{
D. }2{
2.下列四组函数中，表示同一函数的是
A.x x g x x f ==)(,)(2
B. x
x x g x x f 2
)(,)(==
C.x x g x x f ln 2)(,ln )(2
== D. 332)(,2log )(x x g x f x ==
3.某研究小组在一项实验中获得一组关于y ，t 之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y 与t 之间关系的是
A ．t
y 2=
B ．t y 2log = C.3
t y =
D.2
2t y =
4.下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是
A.x y 3=
B.3
x y =
C.x y 2log -=
D.x
y 1-= 5.函数x x
x f -+=
2lg 1
)(的定义域为 A.]2,0( B.)2,0( C.]2,1()1,0( D.]2,(-∞
6.函数x
x
y -+=
11的图象大致为
7.若13log 2=x ，则x
x
93+的值为
A.6
B.3
C.
25 D.21 8.函数62ln )(-+=x x x f 的零点一定位于区间
A.（1,2）
B.（3,4）
C.（2,3）
D.（4,5）
9.设1>a ，则a 2.0log ，a 2.0，2
.0a 的大小关系是 A. a 2.0log ＜a 2.0＜2.0a B. a 2.0log ＜2.0a ＜a
2.0
C. a 2.0＜a 2.0log ＜2.0a
D. a 2.0＜2
.0a ＜a 2.0log
10.已知函数()()2331log 1a a x a x f x x x ?--+<=?≥?
满足21x x ≠时恒有0)
()(2121>--x x x f x f 成立，那么实数a 的取值范围是
A. ()1,2
B. 51,4?? ???
C. ()1,+∞
D. 5,24??????
11.已知)(x f 是偶函数，它在),0[+∞上是减函数，若)1()(lg f x f >，则x 的取值范围是
A.)1,10
1(
B.),1()101
,0(+∞
C.),10()1,0(+∞
D.)10,10
1
(
12.已知3()2log ,[1,9]f x x x =+∈，则函数()22
[()]y f x f x =+的最大值为
A. 22
B. 13
C. 6
D. 3
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上)
13.计算：=++-?-5lg 38lg )
2
1(25.04
14.幂函数3
52
)1(----=m x m m y 的图象不经过坐标原点,则实数m 的值为
15.已知集合})1(log {7.0+==x y x A ，集合}2{1
2
+-==x y y B ，则=B A （用区间表达）
16.给出下列命题：
①函数x
y 2=与x y 2log =互为反函数，其图象关于直线x y =对称； ②已知函数12)1(2
+-=-x x x f ，则26)5(=f ；
③当0>a 且1≠a 时，函数3)(2
-=-x a x f 的图像必过定点（2，－2）；
④用二分法求函数62ln )(-+=x x x f 在区间(2，3)内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1；
⑤函数2
2)(x x f x
-=的零点有2个。 其中所有正确命题．．．．
的序号是
三、解答题(共6个小题。满分为70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分为10分)已知集合?
??
???≤≤=32241x x A ,}61{≤≤-=x x B (Ⅰ)求B A
(Ⅱ)若{}
m x m x C +≤≤-=11，且A C ?，求实数m 的取值范围。
18.(本小题满分为12分)已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2
()2f x x x =-+.
(Ⅰ)求函数()f x 在R 上的解析式；
(Ⅱ)作出函数()f x 的草图（不用列表），并指出它的单调递减区间； （Ⅲ）若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围.
19.(本小题满分为12分)已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--.其中10< (Ⅰ)求函数()f x 的定义域; (Ⅱ)判断函数()f x 的奇偶性,并给予证明； （Ⅲ）利用复合函数的单调性，指出函数)(x f 的单调性（不必证明）。 20.(本小题满分为12分) 已知某零件在20周内销售价格y （元）与时间t （周）)200(≤≤t 的函数关系近似如图所示（图象由两条线段组成），且周销售量)(t g 近似满足函数t t g 4160)(-=（件）。 (Ⅰ)根据图象求该零件在20周内周销售价格y （元）与 时间t （周）的函数关系式)(t f y =； (Ⅱ）试问这20周内哪周的周销售额最大？并求出最大值. （注：周销售额=周销售价格?周销售量） 21.(本小题满分为12分)已知函数x x x x x f --+-=2323)( (Ⅰ)判断函数()f x 在定义域上的单调性，并利用定义加以证明； (Ⅱ）若对于任意R t ∈,不等式)2()2(2 2 k t f t t f +->-恒成立，求实数k 的取值范围。 22. (本小题满分为12分) 已知函数kx x f x ++=)14(log )(4与)3 4 2(log )(4a a x g x - ?=，其中()f x 是偶函数。 (Ⅰ)求实数k 的值； (Ⅱ)求函数)(x g 的定义域； （Ⅲ）若函数)()()(x g x f x F -=只有一个零点，求实数a 的取值范围。 绵阳南山中学2020年秋季高2020级半期考试 数学试题参考答案 t 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B B C A A C A D D B 12.【解析】由() f x 的 定义域为[1,9]x ∈，可得()2 2 [()]y f x f x =+的定义域为[1,3]x ∈， 又()( )()2 2 2 3332 log 2log log 33 y x x x =+++=+- ∵[1,3]x ∈，∴30log 1x ∴当3x =时，() 22 [()]y f x f x =+有最大值13. 故选B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 13. 7 14. 2 15.]2,1(- 16.①③ 三、解答题(共6个小题。17题10分，其余每小题12分。满分为70分。) 17.解：(Ⅰ)由题有? ?? ???≤≤=32241x x A {}52≤≤-=x x ， …………2分 又}61{≤≤-=x x B ∴B A { }51≤≤-=x x （也可写成]5,1[-） ………5分 (Ⅱ)∵{ } m x m x C +≤≤-=11，且A C ?， ∴①当φ=C 时，有m m +>-11，∴此时0 ②当φ≠C 时，由题有?? ? ??≤+-≥-+≤-512111m m m m ，解得30≤≤m …………9分 综上可知，3≤m …………10分 18.解：(Ⅰ)∵()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴0)0(=f …… 1分 又当0x <时，0x -> ()()()2 2 22f x f x x x x x ??∴=--=----=+? ? ……4分 又()0f 满足()2 2f x x x =+ ()222,0 2,0 x x x f x x x x ?-+>∴=?+≤? ……5分 (Ⅱ)作出函数()f x 的草图如右： ……7分 由图可知，它的单调递减区间有),1[],1,(+∞--∞……9分 （Ⅲ） ()f x 在区间[1,2]a --上单调递增 121a ∴-<-≤，解得：(]1,3a ∈ a ∴的取值范围为：(] 1,3 ……12分 19. 解：(Ⅰ)要使原式有意义，需? ? ?>->+010 1x x ，即11<<-x ， ∴函数()f x 的定义域为)1,1(-。 ……3分 (Ⅱ)∵()log (1)log (1)a a f x x x =+--，定义域)1,1(-关于原点对称 ∴)()1(log )1(log )(x f x x x f a a -=+-+-=- ∴函数()f x 是奇函数 ……8分 （Ⅲ）∵()log (1)log (1)a a f x x x =+--)1 2 1(log 11log ---=-+=x x x a a 易知1 2 1-- -=x u 是)1,1(-上的增函数 又10< 260,010()2100,1020t t f t t t +≤ -+≤≤?，()t N ∈； ……6分 (Ⅱ)设20周内周销售额函数为)(t h ，则 ()()()()2601604,010 ()()()21001604,1020t t t h t f t g t t t t ?+-≤ -+-≤≤??， ……7分 若100<≤t ，N t ∈时，)4160)(602()(t t t h -+=，∴当5=t 时，9800)(max =t h ； …9分 若2010<≤t ，N t ∈时，)4160)(1002()(t t t h -+-=， ∴当10=t 时，9600)(max =t h ， ……11分 因此，这种产品在第5周的周销售额最大，最大周销售金额是9800元． ……12分 21.解：(Ⅰ)∵x x x x x f --+-=2323)(1616123123+-=+?-?=x x x x x x 1 62 1+-=x ，其定义域为R ∴()f x 是R 上的增函数 ……2分 证明如下：任取R x x ∈21,且21x x <， ……3分 则1 62 162)()(1 2 21+-+=-x x x f x f )16)(16()66(21221++-=x x x x ……5分 ∵21x x <，∴06 62 1<-x x ,0162>+x ,0161>+x , ……6分 ∴0) 16)(16() 66(21221<++-x x x x ,即)()(21x f x f < ……7分 故()f x 是R 上的增函数 ……8分 (Ⅱ）由题不等式)2()2(2 2 k t f t t f +->-恒成立 ?k t t t +->-2222对任意R t ∈恒成立 ?min 2)23(t t k -<， 而31)3 1(3232 2 - -=-=t t t y 的最小值为31-（3 1 =t 时取得） 故3 1 - >--k t t 对任意R t ∈恒成立 ，∴0124<+=?k ，故3 1- 22.解：(Ⅰ)∵()f x 是偶函数，∴)()(x f x f -=， ∴kx kx x x -+=++-)14 (log )14(log 44， ∴kx x x 21414log 4-=++- ∴kx x x x x 214) 14(4log 4-==++， 即0)12(=+x k 对一切R x ∈恒成立， ∴2 1 -=k ……3分 (Ⅱ)要使函数)(x g 有意义，需03 42>-?a a x 当0>a 时，342>x ，解得34log 2>x 当0 ，解得3