第14-1章 极值和条件极值隐函数
第十四章 极值和条件极值
在工程技术领域，经常会遇到诸如用料最省、收益最大、效率最高等问题，尽管这些问题具体背景不同，但其实质是函数的极值问题，在单变元微积分学中，我们已经建立了一元函数的极值理论。本章我们采用类似的思想，以二元函数为例，建立多元函数的极值理论。
§1 无条件极值
一、基本概念：
设),(y x f u =定义在区域D 上，D y x M ∈),(000。
定义1：若在0M 的某领域)(0M U 内成立：≤),(y x f ),(00y x f ，对任意(,)x y ∈)(0M U ，称),(y x f 在0M 点达到极大值),(00y x f ，点),(000y x M 称为),(y x f 的极大值点。
注：类似可定义极小值（点）。
注：极值是一个局部概念，且只有区域的内点才有可能成为极值点。
类似一元函数的极值理论，我们先建立极值点的必要条件。设),(000y x M 为),(y x f 的极值点且设),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在。考虑一元函数),(0y x f ，则),(0y x f 在0x 点取得极值，因而：
00(,)|x df x y dx
=0， 由多元函数偏导数的定义，则0(,)|0M f x y x
?=?。 类似：0(,)|0M f x y y
?=?。 故，若0M 是极值点，则必有
0(,)|M f x y x
?=?0， 0(,)|0M f x y y ?=?。
定义2：若),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在，且满足
0(,)|M f x y x
?=?0，0(,)|0M f x y y ?=?，称0M 为函数),(y x f 的驻点。 定理1：设),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在，则点0M 是)(M f 的极值点的必要条件是0M 是)(M f 的驻点。
上述定理1给出了偏导数存在的条件下点),(000y x M 成为极值点的必要条件。有例子表明：上述的条件是不充分的。如xy y x f u ==),(，则0M (0,0)点为其驻点，但0M 不是极值点。 也有例子表明：偏导数不存在的点，也有可能是极值点，如：x y x f =),(，y 轴上的任一点0M ),0(y 都是其极小值点。事实上，
∈?),(y x M )(0M U ，)(0)(0M f x M f =≥=，
但可验证：偏导数)(0M f x 不存在；事实上
???<->=-=-→→0
,10,10lim ),0(),(lim 00x x x x x y f y x f x x ， 故)(0M f x 不存在。
综上，极值点要么属于驻点，要么属于偏导数不存在的点，也就是说，我们必须在这两类点中寻找极值点，因此，如果我们在极值理论中，把可能成为极值点的点称为可疑点，则可疑点由驻点和偏导数不存在的点组成，至于具体的可疑点中哪个点是极值点，必须进一步验证。对可疑的偏导数不存在的点，需要用定义验证此点的极值性质，对可疑的驻点，可以通过定义或更高级的方法――二阶导数法去验证， 就是驻点成为极值点的二阶导数判别法：
设0M 为驻点，记),(),(0000y x f y y x x f u -?+?+=?，则0≥?u 时，0M 应为极小值点；0≤?u 时，0M 应为极大值点。
为计算u ?，利用Taylor 展开和0M 是驻点的条件，则
u ?=22001[(,)2
x f x x y y x q q +D +D D 002(,)xy f x x y y x y q q ++D +D D D
]),(2002y y y x x f y ??+?++θθ
记)(),(002M f B M f A xy x ==)(02M f C y =，设),(y x f 具有连续的二阶偏导数，则，
22000000(,)(,)(,)x xy y f x x y y A f x x y y B f x x y y C θθαθθβθθγ+?+?=++?+?=++?+?=+， 其中：0lim 0,0=????
? ??→?→?γβαy x ， 故，
u ?=]2[2122y C y x B x A ?+??+?]2[2
122y y x x ?+??+?+γβα )]2()2[(2
122222γηβξηαξηξηξρ+++++=C B A 其中ρηρξρy
x
y x ?=?=?+?=,,22。
记二次型：222kf A B C ξξηη=++，则)(0M f 是否为极值就转化为二次型kf 在单位圆S:}1:),{(22=+ηξηξ上是否保号。进一步讨论之：
若kf 是正定的，即对任意的22(,):0ξηξη+≠有),(ηξkf >0，则，利用闭区域上连续函数的性质，),(ηξkf 作为ηξ,的二元连续函数必在闭区域单位圆上某一点假设11(,)ζη点取得正的最小值，即11(,)f ζη=0),(min ),(>=∈m kf S ηξηξ，又： 0)2(lim 220
=++→γηβξηαξρ，故
存在0>δ，当δρ<时，m <++222γηβξηαξ，因而：δρ<<0时，
u ?)]2(),([2
1222γηβξηαξηξρ+++=
kf 0)]2([21222>+++≥γηβξηαξρm ， 故0M 为f(x,y)的极小值点。
类似：若kf 为负定的，则0M 为f(x,y)的极大值点。
而当kf 即非正定又非负定时，则0M 不是极值点。我们用反证法说明这一事实，不妨设)(0M f 为极大值，构造一元函数：),()(00y t y x t x f t ?+?+=φ，则对任意适当小的x ?，y ?，)(t φ在0=t 点取得极大值，由一元函数极值的理论：//(0)0φ≤，但计算得
)(//t φ=2200(,)x f x t x y t y x +D +D D
002(,)xy f x t x y t y x y ++D +D D D
200),(2y y t y x t x f y ??+?++
故)0(0//φ≥222y C y x B x A ?+??+?=，因而kf 是负定的，这与kf 条件矛盾。
综上所述。
定理2：设0M 为)(M f 的驻点，)(M f 在0M 附近具有二阶连续偏导，则
1）0>=C B B
A H 且A>0时，0M 为极小值点；
2）H>0且A<0时，0M 为极大值点；
3）H<0时， 0M 一定不是极值点。
注：H=0时，没有任何结论。
总结：通过上述结论，计算函数极值之程序：
1、求可疑点，即驻点和偏导数不存在的点；
2、验证和判断。
例1：讨论)0,0(222
2>>+=q p q
y p x f 的极值。 解：由于,22p x f x =q
y f y =，得唯一驻点)0,0(，] 进一步计算：q C B p A 1,0,1===
，故H>0，A>0，)0,0(为极小值点。 例2：讨论54222),(y y xy x y x f -+-=的极值。
解：计算得432544,22y y xy f y x f y x -+-=-=，得唯一驻点p )0,0(，且H=0，（无法用定理来判定），由定义：
225(,)(0,0)(,)()f f x y f f x y x y y ?=-==--
故在曲线02>=y y x 且上：0?f ，故)0,0(不是极值点。事实上，对p 点的任一邻域U(p ，ρ)，都可以找
到一对点2212(,) , (,)p r r p r r -，其中r 充分小，满足0ρ<，则(,),1,2.i p U p i ρ∈=且12()()0f p f p ???<，因而，)0,0(不是极值点。
定理2的推广：
定理3：设)(M f 为n 元函数，0M ),,(002
01n x x x Λ为f 的驻点，二次型kf =j i n
j i x x M f j i ξξ)(01,∑=，则当kf 正定时，0M 为极小值点；当kf 负定
时，0M 为极大值点；当kf 不定时，0M 不是极值点。
最值：
定义2：设),(y x f u =在区域D 上有定义，0M ∈D ，若)(M f ≤)(0M f ，D M ∈?，称0M 为f 在D 上的最大值点，)(0M f 为最大值。
注：1、类似定义最小值和最小值点；
2、最值是整体性概念；
3、内部最值必是极值。
我们知道，有界闭区域D 上的连续函数),(y x f 必在D 上取得最大（小）值，如何计算最值。类似一元函数求最值的方法为：先求极值；然后将极值与边值作比较，找出最大和最小的值即为最大值和最小值。
例3：记D 是由x 轴、y 轴与直线π2=+y x 所围成的闭区域，求 )sin(sin sin y x y x f +-+=在D 上的最大值。
解：计算)cos(cos ),cos(cos y x y f y x x f y x +-=+-=,D 内部有唯一驻点0M )3
2,32(ππ,且)(0M f =233,而在边界x =0上，0|sin sin 0x f y y ==-=;在边界0y =上0|0y f ==;而在边界2x y π+=上2|sin sin 0x y f x y π+==+=,故最大值为2
33。
§2条件极值
先看一个例子：
例1：要制造一个容积为43m 的无盖长方形水箱，问水箱的长、宽、高各为多少米时，用料最省。
分析：将其转换为数学问题。所谓用料最省，即指水箱的表面积为最小，因而，问题的实质是寻求表面积函数的最小值。设水箱的长、宽、高分别为z y x ,,，则水箱的表面积：xz yz xy z y x f S 22),,(++==，由于水箱容积为43m ，故4xyz =，因而：问题转化为：当z y x ,,为何值时，在条件4xyz =下，可使),,(z y x f S =取得最小值。
像这类，计算在某些约束条件下的函数极值问题，就是多元函数的条件极值。在工程技术领域，众多的实际问题都可归结为多元函数的条件极值。接下来，我们将给出条件极值的一般表述方式，并给出条件极值的研究方法。
问题的一般形式：计算n 元函数),,(21n x x x f u Λ=在约束条件：
()?????==0),,(0
),,(*1
11n k n x x x x ΛΛΛφφ 下的极值，其中n k <<0。
那么，如何求解条件极值问题？
1、简单情形
我们首先指出，对简单的条件极值可转化为无条件极值，即求解约束条件方程组，
假设求得到的解为：
?????==++),,(),,(1111n k k k
n k x x x x x x ΛΛΛψψ 代入),,(21n x x x f u Λ=，可将上述条件极值转化为函数
),,),,,(,),,,((1111n k n k k n k x x x x x x f u ΛΛΛΛ+++=ψψ
关于变元n k x x ,,1Λ+的无条件极值。
例1：求解2221x x u +=在121=+x x 下的条件极值。
解：从约束条件121=+x x 解得121x x -=，代入得到一元函数2121)1(x x u -+=，其有唯一驻点2/11=x ，可以验证其为极小值点，
此时21/2x =，故2221x x u +=在点（1/2，1/2）取得极小值1/2。
注：例1中，函数u 是一个连续函数，我们只找到了一个极小值点，那么，它的最值存在吗？事实上，在整个定义域上，没有最值，但在120,0x x ≥≥和121=+x x 的条件下，最大值在端点（1，0）和（0，
1）达到。
但是，对大数例子或对更一般的情形来说，从约束条件（*）中求解是很困难的，甚至是不可能的。因而，上述方法只能处理极为简单的条件极值，不具推广价值。那么，一般情形下，条件极值如何求解？
2、一般情形
我们将利用类似的无条件极值的思路，并借助于上例中的思想寻求条件极值的必
要条件，进一步解决条件极值问题，我们仅以2,4==k n 的情形为例进行讨论，继而进行推广，此时，问题可陈述为：
研究函数),,,(v u y x f z =在约束条件
(,,,)0(,,,)0g x y u v h x y u v =??=?
（1） 下的极值问题：
首先讨论点),,,(00000v u y x M 成为上述条件极值问题的极值点的必要条件。设0M
为其极值点。设0(,)|0(,)
M D g h D u v ≠，由隐函数存在定理，方程组
???==0
),,,(0),,,(v u y x h v u y x g (借用上述的思想)存在隐函数),,(y x u u =),(y x v v =。则作为y x ,的二元函数 )),(),,(,,(y x v y x u y x f z =在),(00y x 点取得极值，因而0|),(00=??y x x
z ， 0|),(00=??y x y z 即：),(00y x 满足方程组 00x u v y u v u v f f f x x u v f f f y y ???+?+?=????????+?+?=????
（2） 注意到极值点有四个分量，而（2）只能确定两个量，因而，还必须通过约束条件确定另两个量；换句话说：),,,(00000v u y x M 是条件极值点，则必须满足:
00(,,,)0(,,,)0x u v y u v u v f f f x x u v f f f y y g x y u v h x y u v ???+?+?=???????+?+?=????=??=?
（3） 这就是条件极值点的必要条件的第一种形式，上述的必要条件形式并不是一个很好的形式，原因在于：条件形式并不是由所有的已知函数表示出来的，涉及到了未知的函数x u ??，y u ??，x
v ??，y v ??。虽说可从约束条件（1）将它们求出（理论上），但仍不具备实用性，为此，我们将上述条件形式进行改进，消去导数项，给出一个更好的、完全由已知的函数表示的形式。为消去导数项，必需通过条件（1）来完成，因此，利用隐函数导数得，
00x u v y u v u v g g g x x u v g g g y y ???+?+?=????????+?+?=????
（4） 00x u v y u v u v h h h x x u v h g h y y ???+?+?=????????+?+?=????
（5）
从（4）（5）中解出x u ??，y u ??，x v ??，y
v ??，代入（3），可以得到必要条件的第二形式，但这个形式比较复杂，继续改进。
引入参数u ,λ：（3）的第一个方程+?λ（4）的第一个方程+?μ（5）的第一个方程，则在0M 点成立：
0)()(=++++++++x v v v x u u u x x x v h g f u h g f h g f μλμλμλ （6） 类似：
0)()(=++++++++y v v v y u u u y y y v h g f u h g f h g f μλμλμλ （7） 因此，若（3）成立，则对任意u ,λ，（6）、（7）都成立。注意到，我们的目的是消去导数项y x y x v v u u ,,,，为此，通过适当的选择,λμ，使
（6）（7）中关于导数项y x y x v v u u ,,,的系数为0 ，为此，只需求解关于u ,λ的方程组：
0000
00()()()0()()()0u u u v v v f M g M h M f M g M h M λμλμ++=??++=? （8） 由0|)
,(),(0≠M v u D h g D ，（8）有唯一解00,λμ，选择这样的00,λμ，（6）、（7）
就简化为：
000000
0000()()()0()()()0x x x y y y f M g M h M f M g M h M λμλμ++=??++=? （9） 至此，我们得到了不含隐函数导数的条件形式。因此，0M 为极值点，则有对应的00,u λ，使（1）、（8）、（9）处理，即),,,,,(000000u v u y x λ必满足：
000000x x x y
y y u u u v
v v f g h f g h f g h f g h g h λμλμλμλμ++=??++=??++=?++=??=?=?
（10） 这就是我们所寻求的条件极值的必要条件，这样的必要条件形式，虽然从形式上看，仍是一个较大方程组的求解。但这个方程组从形式上只与给定的已知函数有关，不再涉及隐函数的导数，不仅如此，这一条件更加利于推广。
为此，引入Lagrange 函数：
h g f v u y x L μλμλ++=),,,,,(
则对应的条件（10）正好是L —函数的对各变元的一阶偏导数等于0的方程组。因此，条件极值点正好对应于L —函数的驻点。这就是下述定理。
定理1：0M 为条件极值点的必要条件是：存在00,u λ，使),,,,,(000000u v u y x λ是L —函数的驻点。
定理1就是0M 为条件极值点的必要条件。这样的结论形式就与无条件极值的条件形式统一了。至此，已完成了条件极值点确定的第一步：引入了L —函数，计算其驻点。这些驻点就是可疑的极值点，那么，如何进一步确定驻点处的极值性质呢？
继续讨论驻点成为极值点的二阶微分判别法（充分条件）。
设),,,,,(000000u v u y x λ为对应的L —函数的驻点，记0M ),,,(0000v u y x ，设从
???==0),,,(0),,,(v u y x h v u y x g 中唯一确定隐函数?
??==),(),(y x v v y x u u ，考察下述对应的函数 00(,,,)(,,,,,)L x y u v L x y u v u λ=
由于???==)
,(),(y x v v y x u u 满足???==0),,,(0),,,(v u y x h v u y x g ，则，
00(,,,)(,,(,),(,),,)L x y u v L x y u x y v x y u λ=
(,,(,),(,))(,)f x y u x y v x y F x y ?
==， 即：(,,,)(,,(,),(,))(,)L x y u v f x y u x y v x y F x y ==，条件极值转化为F 的无条件极值，0M 是否为极值点，只须判断F 在),(00y x 是否取得极值。上述方程左端视为独立变量v u y x ,,,的函数，右端是复合之后的函数，即),,,(v u y x f 中之v u ,视为中间变量，利用复合函数一阶微分形式的不变性L L L L dF d L dx dy du dv x y u v
????==
+++????，故两端关于x,y 继续微分，
2()()()()L L L d F d d L d dx d dy d du x y u ???==++??? ()L d dv v ?+?22L L d u d v u v
??++?? 由于00u u u L f g h u
λμ?=++?，故
000000000(,,,,,)()|0u u u x y u v L M f g h u
λμλμ?=++=?， 同样：0()0L M v
?=?，因而： 0000221(,)|[()()()()]||x y M M L L L L d F d
dx d dy d du d dv d L x y u v ????=+++=???? （1L 视为v u y x ,,,变量的二阶全微分），利用无条件极值的结论：
若 002(,)|0x y d F >，（即222A B C ξξηη++为正定二次型），则),(00y x 为F 极小值点，对应的0M 为条件极小值点；若002(,)|0x y d F <，则),(00y x 为F 的极大值点, 对应的0M 为条件极大值点。 这样，可利用20()d L M 的符号，判断0M 是否为条件极值点。 定理2：若20()d L M >0，则0M 为条件极小值点；若20()d L M <0，则0M 为条件极大值点。
推广：可将上述结论及思想推广到任意情形。
根据上述所讲，将条件极值的计算总结如下：
条件极值的计算
1、简单情形，可直接转化为无条件极值；
2、一般情形下的L —函数法。
步骤1：构造L —函数；
2：计算可疑点――L —函数的驻点；
3：判断：驻点处的二阶微分判别法。
例１：引例中无盖水箱的问题。
解：设水箱之长、宽、高各为z y x ,,，则其表面积为
xz yz xy z y x f S 22),,(++==，约束条件为4=xyz ，构造L —
函数：)4(22),,,(-+++=xyz xz yz xy z y x L λλ。
求解方程组：
???????=-==++==++==++=040220202xyz L xy x y L xz z x L yz z y L z z
y x λλλ )
4()3()2()1( 得唯一驻点2,1,20000-====λz y x 。事实上，由(2)—(1)：
0)1)((=+-z y x λ。或：1,-==z y x λ。若1-=z λ,代入（１）：0=z ，
这是不可能的，故y x =。代入（2）、（3）、（4）：
2,24040222-===???
???==+=++λλλy x z x x x xz z x
由于驻点唯一，且由实际问题最小值必存在，故这唯一的驻点即是其最小值点。因而：当1,2===z y x 时，用料最省。 例2：计算t z y x f +++=在限制条件)0(4>=c c xyzt 下的极值。
解：作L —函数：)(4c xyzt t z y x L -++++=λ，求解方程组：
?????????=-==+==+==+==+=0
010101014c yzt L tyz L xyt L xzt L yzt L t
z y x λλλλλλ
故：xyz xyt xzt xyzt λλλ===，显然0,0,0,0≠≠≠≠z y x λ（约束条件），得唯一驻点000003
1,x y z t c c λ=====-，故，
)(),,,(40c xyzt t z xty t z y x L -+++=λ
因而，
202()[()]d L M dxdy dydz dxdz dt dx dy dz c
=-+++++ 又4c xyzt =，微分得0xyzdt xytdz xtzdy yztdx +++=，故在0M ：
0=+++dt dz dy dx
因而，
2222201()[()]0d L M dx dy dz dx dy dz c
=+++++> 故0M 为极小值点，极小值为c 4。
注、计算出驻点后，也可以转化为无条件极值情形来判断驻点的极值性质。如上例，从条件中解得c t xyz =
，代入得 c f x y z xyz =+++
因而，
0,0022(,)322222|[
x y z c c c d f dx dxdy dxdz x yz x y z x yz =++
22232c c dxdy dy x y z xy z
++222222232]c c c c dydz dxdz dydz dz xy z x yz xy z xyz +
+++000(,,)|x y z
＝22221[()]0dx dy dz dx dy dz c
+++++>。
例3：计算)0(21>=∑=i i n
i i a x a f 在条件)
0(,1>=++i n x c x x Λ下的最小值。
解：构造L —函数：)(12
1∑∑==-+=n
i i i
n i i c x x a L λ，计算得唯一驻点：n i a x i i ,,1,20
0Λ=-=λ，∑-=i
a c /120λ。由于驻点唯一，由题意知这唯一的驻点就是其最小值点，因而，最小值为∑i
a c /12
。特别：当1=i a 时，2∑=i x f 在条件c x i =∑下在点),,,(n
c n c n c Λ处达到最小值n c /2，故
()n x x n c x x n n 2
12221++=≥++ΛΛ 注：本题可验证：220()20i i d L M a dx =>∑，0M 为最小值点。 例4：计算抛物面z y x =+22被平面1=++z y x 所 截的椭圆上的点到原点的最长和最短距。（所截椭圆之面积）
分析：实质：确定椭圆的长、短轴。
解：设),,(z y x 为所截得的椭圆上的点，则必满足：
（*）???=++=+1
22z y x z y x 而此点到原点的距离平方为：222z y x f ++=，为此，计算f 在条件（*）下的极值。构造L —函数,得到唯一驻点： p )33
117,3353,32,231,231(±-±-±-±-μ.
由于f 在有界闭集}1.:),,{(22=++=+z y x z y x z y x 上连续，故必存在最大值和最小值。故上述两个驻点一个对应于最大值点，一个对应于最小值点。计算得： 最大值点)2
32,231,231(+----，最大值为359+；最小值点为)2
32,231,231(-+-+-，最小值为359-。 例5：设0,0>>i a a ，计算n a n a a x x x f Λ2121=在条件
)0(1>=++i n x a x x Λ下的极值。
解：令ln ln i i g f a x ==∑，因为u ln 严格单调，故g 的极值点就对应于f 的极值点。构造g 的L —函数
)(ln ∑∑--=a x x a L i i i λ，计算得唯一驻点),,,(210∑∑∑i n i i a aa a aa a aa M Λ，a a i
∑=0λ。又：0)(22
02<-=∑
i i i dx x a M L d ，故，驻点为极大值点，极大值为0()f M 。 注、n a n a a x x x f Λ2121=在a x i <<0的无最小值点。因为0
>f 且0lim 0
=→f i x 。
第十五章 隐函数存在定理
§1 隐函数存在定理
前面不同章节中都遇到隐函数问题，如由方程确定的隐函数和由方程组确定的隐函数组等，那么，在什么条件下，如何确定隐函数？隐函数又具有什么样的分析性质？这是本节要解决的问题。
一、由单个方程所确定的隐函数。
先考虑最简单的情形：
1、由0),(=y x F 确定一元隐函数)(x f y =。使
0))(,(=x f x F 。
首先要明确所确定的隐函数的含义。
所谓在点00(,)x y 附近由方程0),(=y x F 确定隐函数)(x f y =是指：
1）、00(,)0F x y =；
2）、)(x f y =在某个邻域0()U x 有定义；
3）、(,())0F x f x =，0()x U x ?∈。
其次，要明确要确定隐函数的局部性，即在某一点00(,)x y 能否确定隐函数和这一点的位置有关。在某个位置的点附近可以能确定隐函数，在另一个位置的点附近也许不能确定隐函数。考察一个例子。
例1：考察方程01),(22=-+=y x y x F 确定隐函数的情形。 由定义，首先只能在满足00(,)0F x y =的点00(,)x y 附近讨论隐函数的存在性问题，即在单位圆周上的点附近才能讨论隐函数问题。其次，对本例这个简单的情形来说，在00(,)x y 点附近能否确定隐函数相当于能否从01),(22=-+=y x y x F 中解出唯一的
一个y 的表达式；从几何上直观看，只要)0,1()0,1(),(00Y -≠y x ，
则存在),(00y x U （相当于确定0x 的邻域)(0x U ），使)(0x U x ∈?，存在唯一y ，使0),(=y x F ，因而存在∈=x x f y f ),(:)(0x U 。 事实上：对本例，若),(00y x 属于上半圆周，则21x y -=；若
),(00y x 属于下半圆周，则21x y --=。即此时存在隐函数。当
),(00y x =（-1，0）或（1，0）时，这些点尽管在圆上，但在任何
领域内都不能确定隐函数。]
通过上述分析：首先只能满足0),(=y x F 的点的领域才有可能确定隐函数，其次，并不是所有满足0),(=y x F 的点的领域都能确定隐函数。
进一步分析上例，通过分析两类点处性质的差异寻找能确定隐函数的条件。从几何上，能确定隐函数的点上，都有非垂直x 轴的切线，即：)2(,0),(00y F y x F y y =≠；而在不能确定隐函数的点)0,1(±上，都有：02),(000==y y x F y 。
这是否就是隐函数存在的条件？
再从另一角度分析：若0),(=y x F 在),(00y x 点能确定隐函数
)(x f y =，即在)(0x U ，(,())0F x f x =，由复合函数的求导
0x y df F F dx +=，所以，若能确定光滑的隐函数，必有),(00|y x dx df 有意义，即0),(00≠y x F y ，由此可知，这确实是所需条件。事实上
正是如此。
定理1：（隐函数存在定理）设),(y x F 满足：
1、在区域D ：b y y a x x ≤-≤-00,上x y F F 、连续；
2、0),(00=y x F ；
3、0),(00≠y x F y ，
则1）存在),(00y x U ，使其内可由0),(=y x F 唯一确定一个
函数)(x f y =，且)(00x f y =；
2）)(x f y =在某个领域)(0x U 内连续；
3）)(x f y =在)(0x U 内具有连续导数，且)
,(),(y x F y x F y y x -
='。 边分析边证明：
证明：1）隐函数的存在性。
[分析：要确定)(0x U ，在此邻域内有隐函数关系，即
y x U x !),(0?∈?，使0),(=y x F ，即由0),(=y x F 确定函数关系：)(x f y =，等价于寻求0),(=y x F 的零点（唯一）
。 工具：介值定理：（需要考虑变号函数），相关的条件只有2）、
3）。从3）出发。]
不妨设0),(00>y x F y ，由连续性，存在),(00y x 的领域
),(00y x U ：βα<-<-00,y y x x ，使
(,)0,y F x y >,x y "?),(00y x U 。特别：
0),(0>y x F y ， ),(00ββ+-∈y y y
即一元函数),(0y x F 严格单增（),(00ββ+-∈y y y ），又：0),(00=y x F ，故：0)2/,(,0)2/,(0000>+<-ββy x F y x F ，
函数的极值和最值(讲解)
函数的极值和最值 【考纲要求】 1.掌握函数极值的定义。 2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 4.会求给定闭区间上函数的最值。 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、函数的极值 函数的极值的定义 一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义， （1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作 )(0x f y =极大值； （2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作 )(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释： 求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根； ④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连 函数的极值和最值 函数在闭区间上的最大值和最小值 函数的极值 函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值
续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1 ()(0)f x x x = >. 要点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根； （3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数 ()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 【典型例题】 类型一：利用导数解决函数的极值等问题 例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求 )(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程； 【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。 又(1)3,'(1)12f f == 所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=- 即1290x y --=. 举一反三： 【变式1】设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R ． (1)求()f x 的单调区间与极值；
探索求一元函数极值和最值方法
“探索求一元函数极值和最值方法”的学习报告 一、前言 函数的极值、最值不仅在实际问题中占有重要地位，而且也是函数形态的重要特征。因此，通过学习、掌握确定极值点和最值点，并求出极值和最值的方法是十分重要的。 二、学习内容和过程 1.探索可能的极值点 (1)回顾相关定义、定理 a.极值定义：若函数f在点x0的领域U(x0)内对一切x∈U(x0)有f(x0)≥(≤)f(x)，则称函数f在点x0确取得极大（小）值。称x0为极大(小)值点。 b.费马定理：设函数f在点x0的某领域内有定义，且在点x0可导。若点x0为f的极值点，则必有f’ (x0)=0。且称这样的点为稳定点。 (2)思考并回答下列问题。进一步分析可能的极值点类型。 a.可导点成为极值点一定是稳定点吗？（是。通过费马定理可证明） b.函数的不可导点也能称为极值点吗？（能。例如y=| x|在x=0处取极小值） c.函数的稳定点一定是极值点吗？（不一定。例如y=x3，x=0为稳定点，但非极值点） d.函数的不可导点一定是极值点吗？（不一定。例如y=1/x，在x=0处不可导，但不是极值点） e.函数在点x0处不可导，它包含了哪几种情况？（①连续不可导②不连续） f.除此之外，还有没有其他类型的点极值点？（没有） 稳定点，例如y=x2，x=0处 (3)由上面的问题得到极值点的范围 连续不可导，例如y=| x|，x=0处 不可导点2x≠0 不连续点，例如y= －1 x=0 2.探索确定极值点的方法 由极值点的范围可知极值点分为连续点和间断点。对于剪短点，只要满足在x0某领域内始终有f(x0)≥f(x)或者f(x0)≤f(x)，至于连续部分函数任意，这样间断点x0就为极大或极小值点，即判断间断点是否为极值点，只需要根据极值定义即可。下面主要讨论连续点能否成为极值点的判断。 (1)a.考察函数y=x2，y=x3，y=x1/3易知在x=0处连续，在U0(x)可导，且有 ①y=x2x<0时，f’ (x)<0，函数严格递减 x>0时，f’ (x)>0，函数严格递增 ②y=x3 f’ (x) ≥0函数单调递增 仅在x=0时，f’ (x)=0 ③y=x1/3 f’ (x)>0.函数严格递增且x=0处不可导 由y=x2在x=0处连续以及两边领域内的增减性可知y=x2在x=0处取得极小值，而y=x3以及y=x1/3由f(x)的增减性可知在x=0处不取极值。 b.启发得到定理：设f在点x0连续，在某领域U0(x0)内可导则 Ⅰ若当x∈U+0(x0)，f’ (x) ≤0，当x∈U—0(x0)，f’ (x) ≥0，则f在点x0处取得极大值Ⅱ若当x∈U+0(x0)，f’ (x) ≥0，当x∈U—0(x0)，f’ (x) ≤0，则f在点x0处取得极小值
多元函数极值充分条件
定理10.2(函数取得极值的充分条件) 设函数(,)f x y 在点000(,)P x y 的邻域内存在二阶连续 偏导数，且00(,)0x f x y =，00(,)0y f x y =．记00(,)xx f x y A =， 00(,)xy f x y B =，00(,)yy f x y C =，则有 (1) 当20A C B ->时，00(,)x y 是极值点．且当0A >时，000(,)P x y 为极小值点；当0A <时，000(,)P x y 是极大值点． (2) 当20A C B -<时，000(,)P x y 不是极值点． (3) 当20A C B -=时，不能判定000(,)P x y 是否为极值点，需要另外讨论． 证 (1) 利用二元函数的一阶泰勒公式，因 0000(,)(,)f x h y k f x y ++- 20000001(,)(,)(,)2x y f x y h f x y k h k f x h y k x y q q 轾抖犏=+++++犏抖臌， 01q << 由已知条件，00(,)0x f x y =,00(,)0y f x y =，故 20000001(,)(,)(,)2f x h y k f x y h k f x h y k x y q q 轾抖犏++-=+++犏抖臌 220000001(,)2(,)(,)2 xx xy yy f x h y k h f x h y k hk f x h y k k q q q q q q 轾=++++++++犏臌 利用矩阵记号， 记h r k 骣÷?÷?=÷?÷?÷桫，(,)r h k ￠=，0()A B Hf P B C 骣÷?÷?=÷?÷?÷桫 ，000(,)P r x h y k q q q +=++ 0000 0()()()()()xx xy xy yy f P r f P r Hf P r f P r f P r q q q q q 骣++÷?÷?+=÷?÷++÷?桫， 可改写上式为 00()()f P r f P +-000 0()()1(,)()()2xx xy xy yy f P r f P r h h k k f P r f P r q q q q 骣骣++÷÷??÷÷??=÷÷??÷÷++?÷÷?桫桫01()2r Hf P r r q ￠=+ 01q << （1） 进一步，又有 00()()f P r f P +-00011()[()()]22 r Hf P r r Hf P r Hf P r q ⅱ= ++- （2） 当20A C B ->且0A >时，二次型0()r Hf P r ￠正定，因此对于任何00h r k 骣骣÷÷??÷÷??= ÷÷??÷÷?麋桫桫，0()0r Hf P r ￠>。特别地，在单位圆{22(,)1}Q x y x y +=上，连续函数0()Q Hf P Q ￠ 取得的最小值0m >。 因此，对任何00h r k 骣骣÷÷??÷÷??= ÷÷??÷÷ ?麋桫桫，我们有 22 00()(())r r r Hf P r r Hf P r m r r ⅱⅱ = ￠ 另一方面，由于(,)f x y 二阶偏导数在点000(,)P x y 连续，对任何:02 m e e <<，总可取0d >，使得0r d ￠<<时，有 00()()xx xx f P f P r q e -+<，00()()xy xy f P f P r q e -+<，00()()yy yy f P f P r q e -+< 从而， 220000[()()][()()]2r Hf P r Hf P r r Hf P r Hf P r r r q q e ⅱ+-Ｗ+-? 于是，
多元函数条件极值的求解方法
多元函数条件极值求解方法 摘要:本文研究的是代入法、拉格朗日乘数法、标准量代换法、不等式法等九种方法在解 多元函数条件极值问题中的运用，较为全面的总结了多元函数条件极值的求解方法，旨在 解决相应的问题时能得以借鉴，找到合适的解决方法。 关键词：多元函数；条件极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式 Abstract: This paper studies the substitution method, the Lagrange multiplier method, standard substitution method, inequality of nine kinds of method in solving multivariate function extremum problems, the application conditions are summed up the diverse functions of conditional extreme value method, to solve the corresponding problem is able to guide, to find the right solution. Key words: multiple functions; Conditional extreme value; Lagrange multiplier method; Cauchy inequality 时比较困难，解题过程中选择一种合理的方法可以达到事半功倍的效果，大大减少解题时间，拓展解题的思路。下面针对多元函数条件极值问题总结了几种方法供大家借鉴。 1.消元法 对于约束条件较为简单的条件极值求解问题，可利用题目中的约束条件将其中一个量用其他量表示，达到消元的效果，从而将条件极值转化为无条件极值问题。 例1 求函数(,,)f x y z xyz =在条件x －y+z=2下的极值. 解： 由x －y+z=2 解得 2z x y =-+ 将上式代入函数(,,)f x y z ，得 g(x,y)=xy(2-x+y) 解方程组 2 2 '2y 20 220 x y g xy y g x xy x ?=-+=??'=+-=?? 得驻点 12 22 P P =33 （0，0），（，-） 2xx y ''=-g ，222xy g x y ''=-+，2yy g x ''= 在点1P 处，0,2,0A B C === 22=0240AC B ?-=-=-<，所以1P 不是极值点 从而函数(,,)f x y z 在相应点(0,0,2)处无极值；
二元函数的极值与最值
二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00， B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则 当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值； 当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值； 02 >-AC B 时，),(00y x 不是极值点。 注意： 当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论 例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数： y x x z 232 -=??， x y y z 22-=??． x x z 62 2 =??, 22 -=???y x z , 2 2 2 =??y z ． 再求函数的驻点．令x z ??= 0，y z ??= 0，得方程组???=-=-. 022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3 2 32． 利用定理2对驻点进行讨论：
多元函数条件极值的几种求解方法
多元函数条件极值的几种求解方法 摘 要 本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。 关键词 极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式 Multivariate function of several conditional extreme value solution Abstract This paper mainly discusses the multivariable function conditional extreme value problem solving, including the unconditional extreme value, conditional extreme value concept of multivariate function is introduced, and several methods of solving condition limit the wraparound, including direct generation into law, Lagrange multiplier method, methods of cauchy inequality, including Lagrange multiplier method also introduces the differential and second-order partial derivative namely Hesse matrix method, etc. This paper introduces the multivariable function about solving several methods of conditional extreme value, which can provide in solving the relevant question readers may be reference when, find the appropriate way to solve the problem. Meanwhile introducing method also has some deficiencies in its done, and further discussion. Key words Extreme; Lagrange multiplier method; Cauchy inequality
函数极值与最值研究毕业论文
函数极值与最值研究 摘要：在实际问题中, 往往会遇到一元函数.二元函数，以及二元以上的多元函数的最值问题和极值问题等诸多函数常见问题。求一元函数的极值，主要方法有:均值等式法，配方法，求导法等。求一元函数的最值，主要方法有:函数的单调性法，配方法，判别式法，复数法，导数法，换元法等。求二元函数极值，主要方法有：条件极值拉格朗日乘数法，偏导数法等。求二元函数最值，主要方法有:均值不等式法，换元法，偏导数法等。对于多元函数，由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性，求多元函数极值方法主要有：条件极值拉格朗日法, 等，对于多元函数最值问题与一元函数类似可以用极值来求函数的最值问题.主要方法有：向量法，均值不等式法，换元法，消元法，柯西不等式法，数形结合法等， 关键词：函数，极值，最值，极值点,方法技巧． Abstract: in practical problems,often encounter a unary function. The function of two variables, and multiplefunctions of two yuan more than the most value questionand extremum problems and many other functions of common problems. Extremum seeking a binary function,the main methods are: inequality extremum method,distribution method, derivation etc.. The value for theelement function, the main methods are: monotone method, function method, the discriminant method,complex method, derivative method, substitution methodetc.. For two yuan value function, the main methods are:conditional extremum of Lagrange multiplier method etc..Ask two yuan to the value function, the main methods are:mean inequality method, substitution method, partial derivative method etc.. For multivariate function, due to the increased number of
多元函数极值的充分条件
多元函数极值的充分条件 马丽君 （集宁师范学院 数学系） 我们知道，一元函数()y f x =在点0x x =取得极值的充分条件是：函数()f x 在点0x 处具有一阶二阶连续导数，0x 是()f x 驻点，即0()0f x '=。若 0()0(0)f x ''><，则0x 为()f x 的极小值点（或极大值 点） 对于多元函数() Y f X =，其中 12(,,,)n X x x x =，有与上面一元函数取得极值的充 分条件相对应的结论。 定义 1.设n 元函数()Y f X =，其中 12(,,,)n X x x x =，对各自变量具有一阶连续偏导数，则称12 ,,,T n f f f x x x ????? ?????? 为()f X 的梯度，记作gradf 。 引理 设n 元函数()f X ，其中 12(,,,)n X x x x =，对各自变量具有一阶连续偏导数， 则()f X 在点00 0012(,,,)n X x x x =取得极值的必要 条件 是 ： 0112(),, ,0T n n X X f f f gradf X x x x ?=?????== ?????? 证明：引理成立是显然的，即极值点函数可导，则该点的偏导数等于零。 定义 2.设n 元函数()f X ，对各自变量具有二阶 连续偏导数，00 0012(,, ,)n X x x x =是()f X 的驻点， 现定义 ()f X 在点0X 处的矩阵为： 2220002 112122220002021 22222 0002 1 2 () ()()()() ()()()()()f N n n n f X f X f X X X X X X f X f X f X H X X X X X X f X f X f X X X X X X ?? ????? ?????? ??? ???? ? =??????? ??? ? ?? ???? ???????? 由 于 各 二 阶 偏 导 数 连 续 ， 即 22(,1,2,,)i j j i f f i j n x x x x ??==????， 所以0()f H X 为实对称矩阵。 定理 设n 元函数()f X ，其中 12(,,,)n X x x x =，具有对各自变量的二阶连续偏导 数，00 0012(,, ,)n X x x x =是()f X 的驻点，则 （1） 当 0() f H X 正 定 时 ， 000012(,, ,)n X x x x =是()f X 的极小值 点； （2） 当 0() f H X 负定时， 000012(,, ,)n X x x x =是()f X 的极大值 点； （3） 当 0() f H X 不定时， 000012(,, ,)n X x x x =不是()f X 的极大 值点 证明：由()f X 在点0X 处的泰勒公式
【最新精选】条件极值与隐函数习题课
【最新精选】条件极值与隐函数习题课第十四、十五章条件极值与隐函数习题课 一、重要内容 1、极值 1)、无条件极值的计算和判断 主要步骤: i)、计算可疑点:驻点，偏导数不存在的点。 Ii)、判断 A)、判断可疑点为极值点，常用方法: p0 a)、定义法:计算，若存在某个，使 ,,,ffpfp()()Up()00得在上恒成立，则为极小值点;若存在某个Up()p,,f000 ，使得在上恒成立，则为极大值点。 Up()Up()p,,f0000 b)、利用题意和问题的实际背景判断，此时，可疑点通常是唯一的。即若要求计算极大值或问题的实际背景要求存在极大值，则唯一的可疑点必是极大值点;即若要求计算极小值或问题的实际背景要求存在极小值，则唯一的可疑点必是极小值点。 c)、驻点处极值性质的二阶导数判别法(二阶微分法)。 通过的Heisen矩阵H的正定或负定性判断点的极值性pp00质。 B)、判断可疑点p不是极值点，常用方法有: 0 Up()ppUp,(),a)、定义法:对任意的，确定一对点，0120使得 ,,,,fpfp()()0 12 p则，不是极值点。 0 p b)、二阶导数法:H为不定矩阵时，不是极值点。 0
2)、条件极值的计算与判断 主要步骤: 139 i)、构造L-函数; ii)、计算L-函数的驻点; iii)、判断，常用方法为二阶微分法。 3)、隐函数极值的计算 4)、极值的应用 主要有计算函数闭区域上的最值;证明多元不等式。 2、隐函数存在定理 要求:熟练掌握极值和条件极值的计算和应用，了解隐函数 存在定理。 二、典型例题 22例1、讨论的极值。进一步研究zfxyyxyx,,,,(,)()(2)沿任意直线在的极值性质。 p(0,0)0 解、先计算驻点。求解 2,fxyx,,，68,x ,2fyx,,23,y, 得唯一驻点。 p(0,0)0 fpfpfp()0, ()0, ()2,,,判断。计算得，H=0，故xxxyyy000 22dzdy|2,二阶导数法失效。(同样，，因而不能确定对任意的p0 22dzdy|2,(dx，dy)，都成立>0,二阶微分法同样失效。),(0,0)p0 用定义判断。注意到 22 ,,,,,,zfpfpyxyx()()()(2)0 92,，,,01rr因而，对任意,,0,取r充分小满足，则 4
第14-15章极值和条件极值隐函数
500 第十四章 极值和条件极值 在工程技术领域，经常会遇到诸如用料最省、收益最大、效率最高等问题，尽管这些问题具体背景不同，但其实质是函数的极值问题，在单变元微积分学中，我们已经建立了一元函数的极值理论。本章我们采用类似的思想，以二元函数为例，建立多元函数的极值理论。 §1 无条件极值 一、基本概念： 设),(y x f u =定义在区域D 上，D y x M ∈),(000。 定义1：若在0M 的某领域)(0M U 内成立：≤),(y x f ),(00y x f ，对任意(,)x y ∈)(0M U ，称),(y x f 在0M 点达到极大值),(00y x f ，点 ),(000y x M 称为),(y x f 的极大值点。 注：类似可定义极小值（点）。 注：极值是一个局部概念，且只有区域的内点才有可能成为极值点。 类似一元函数的极值理论，我们先建立极值点的必要条件。设 ),(000y x M 为),(y x f 的极值点且设),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存 在。考虑一元函数),(0y x f ，则),(0y x f 在0x 点取得极值，因而： 00(,) |x df x y dx =0， 由多元函数偏导数的定义，则0(,) |0M f x y x ?=?。 类似： 0(,) |0M f x y y ?=?。 故，若0M 是极值点，则必有 0(,) |M f x y x ?=?0， 0(,)|0M f x y y ?=?。
501 定义2：若),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在，且满足 0(,) |M f x y x ?=?0， 0(,)|0M f x y y ?=?，称0M 为函数),(y x f 的驻点。 定理1：设),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在，则点0M 是)(M f 的极值点的必要条件是0M 是)(M f 的驻点。 上述定理1给出了偏导数存在的条件下点),(000y x M 成为极值点的必要条件。有例子表明：上述的条件是不充分的。如xy y x f u ==),(，则0M (0,0)点为其驻点，但0M 不是极值点。 也有例子表明：偏导数不存在的点，也有可能是极值点，如： x y x f =),(，y 轴上的任一点0M ),0(y 都是其极小值点。事实上，∈?),(y x M )(0M U ，)(0)(0M f x M f =≥=，但可验证：偏导数)(0M f x 不存在；事实上 ?? ?<->=-=-→→0,10,10lim ) ,0(),(lim 00x x x x x y f y x f x x ， 故)(0M f x 不存在。 综上，极值点要么属于驻点，要么属于偏导数不存在的点，也就是说，我们必须在这两类点中寻找极值点，因此，如果我们在极值理论中，把可能成为极值点的点称为可疑点，则可疑点由驻点和偏导数不存在的点组成，至于具体的可疑点中哪个点是极值点，必须进一步验证。对可疑的偏导数不存在的点，需要用定义验证此点的极值性质，对可疑的驻点，可以通过定义或更高级的方法――二阶导数法去验证， 就是驻点成为极值点的二阶导数判别法： 设0M 为驻点，记),(),(0000y x f y y x x f u -?+?+=?，则0≥?u 时， 0M 应为极小值点；0≤?u 时，0M 应为极大值点。
多元函数条件极值的几种求解方法
多元函数条件极值的几种求解方法 摘要 本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。 关键词 极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式
1前言 函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的。 函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。 微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。 同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。举个简单的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是
函数极值的求法及其应用
目录 摘要 (2) ABSTRACT (2) 第一章引言 (4) 第二章一元函数的极值 (5) 2.1极值的充分条件 (5) 2.2几种特殊函数的极值 (8) 第三章多元函数的极值 (12) 3.1无条件极值 (13) 3.2条件极值 (15) 第四章函数极值的应用 (19) 参考文献 (24) 致谢 (25)
函数极值的求法及其应用 曾浪 数学与信息学院数学与应用数学专业 2013级指导教师:罗家贵 摘要：函数极值问题是我们在中学数学和高等数学中都能常常遇见的问题，自然学科、工程技术及生产活动、生活实践中很多需要解决的问题，都与求函数极值有关，而导数和微积分的重要应用之一，就是求函数极值。本文从参考书中的例子和生活中的实际问题入手，分别对一元函数和多元函数的极值的求法及其应用进行总结和分析。 关键词：函数；极值；应用 The extreme of function of religion and its application Zeng Lang Mathematics and applied mathematics professional，college of mathematics and information，Grade 2013 Instructor:Luo Jiagui Abstract:Extremum problems is that we can often meet in the middle school mathematics and higher mathematics problems need to solve many natural science, engineering technology and production activities and life practice problems are related with extremal function, and the important application of derivative and differential calculus, is extremal function. In this paper, we start from the examples in reference books and the practical problems in life, and sum up and analyze the methods and applications of the extremum of the function of one variable and multiple functions. Key word: function; the extreme; application
隐函数求导的简单方法
·1· 数学中不等式的证明方法 王贵保 一、利用拉格朗日中值定理 1．拉格朗日中值定理：设)(x f 满足：（1）在闭区间[a , b ]上连续；（2）在开区间（a , b ）内可导，则有一点∈ξ（a , b ），使得 )()()(ξf a b a f b f '=-- 2．从上式可以看出，如果能确定了)(ξf '介于某两个数m 与M 之间，则有如下形式的不等式： m ≤a b a f b f --)()(≤M 因此，欲证形如a b a f b f --)()(或构造成为a b a f b f --)()(形式的不等式，可用该方法。 例1：证明，当x ＞0时，有1-x e ＞x . 证明：由原不等式，因为x ＞0，可改写为x e x 1-＞1的形式，或改写为00--x e e x ＞1的形式，这里t e t f =)(，区间为[0, x ]，于是可用拉格朗日中值定理证明。 令t e t f =)(，∈t [0, x ]，则)(t f 满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在∈ξ[0, x ]有 0--x e e x ＝ξe ＞1 所以，有不等式1-x e ＞x . 例2：证明不等式x +11＜x x ln )1ln(-+＜x 1 （x ＞0） 证明：x x ln )1ln(-+＝x x x x -+-+)1(ln )1ln(这里x b +=1，x a =，于是可对t t f ln )(=在［x , 1+x ］上应用拉格朗日中值定理. 令t t f ln )(= ]1,[x x t +∈ （x ＞0），则)(t f 在［x , 1+x ］上满足中值定理的条件，于是有]1,[x x +∈ξ，即x ＜ξ＜x +1，使得
[应用]条件极值与隐函数习题课
[应用]条件极值与隐函数习题课 第十四、十五章条件极值与隐函数习题课 一、重要内容 1、极值 1)、无条件极值的计算和判断 主要步骤: i)、计算可疑点:驻点，偏导数不存在的点。 Ii)、判断 A)、判断可疑点为极值点，常用方法: p0 a)、定义法:计算，若存在某个，使,,,ffpfp()()Up()00 得在上恒成立，则为极小值点;若存在某个Up()p,,f000 ，使得在上恒成立，则为极大值点。Up()Up()p,,f0000 b)、利用题意和问题的实际背景判断，此时，可疑点通常是唯一的。即若要求计算极大值或问题的实际背景要求存在极大值，则唯一的可疑点必是极大值点;即若要求计算极小值或问题的实际背景要求存在极小值，则唯一的可疑点必是极小值点。 c)、驻点处极值性质的二阶导数判别法(二阶微分法)。 pp 通过的Heisen矩阵H的正定或负定性判断点的极值性00质。 pB)、判断可疑点不是极值点，常用方法有:0 Up()ppUp,(),a)、定义法:对任意的，确定一对点，0120使得 ,,,,fpfp()()0 12 则，不是极值点。 p0 b)、二阶导数法:H为不定矩阵时，不是极值点。p0
2)、条件极值的计算与判断 主要步骤: i)、构造L-函数; ii)、计算L-函数的驻点; iii)、判断，常用方法为二阶微分法。 3)、隐函数极值的计算 4)、极值的应用 主要有计算函数闭区域上的最值;证明多元不等式。 2、隐函数存在定理 要求:熟练掌握极值和条件极值的计算和应用，了解隐函数 存在定理。 二、典型例题 22例1、讨论的极值。进一步研究zfxyyxyx,,,,(,)()(2) 沿任意直线在p(0,0)的极值性质。 0 解、先计算驻点。求解 2,fxyx,,，68,x ,2fyx,,23,y, p(0,0)得唯一驻点。 0 fpfpfp()0, ()0, ()2,,,判断。计算得，H=0，故xxxyyy000 22dzdy|2,二阶导数法失效。(同样，，因而不能确定对任意的p0 22dzdy|2,(dx，dy),(0,0)，都成立>0,二阶微分法同样失效。)p0 用定义判断。注意到 22 ,,,,,,zfpfpyxyx()()()(2)0 92因而，对任意,取r充分小满足，则 ,，,,01rr,,04 ,32且，故不是,pprrUp(0,),(,)(,),,,zpzp()()0p(0,0),12012022
一元函数极值问题求解的几种初等方法
一元函数极值问题求解的几种初等方法 王淑红 指导老师:宋宗林 (河西学院数学与应用数学专业2010级5班64号, 甘肃张掖 734000) 摘要 在生活实践中,我们经常遇到在一定条件下,如何做到用料最省、质量最好、成本最低、效率最高这一类问题,相应的用面积一定的铁皮,做成怎样尺寸和形状的罐头盒,其容积最大？这又是最大的问题,在数学上称为极值问题.在不少情况下可以用初等方法求出,所谓初等方法,是指不用到微积分知识,而只用初等数学的知识来求出极值的方法,限于初等数学的范围及中学教材对极值问题的要求,以下归纳几种关于求函数极值问题求解的初等方法. 关键词 极大值；极小值；初等数学 中图分类号 （一） 基本概念 1设一元函数)(x f 定义在区间],[b a 上,),()(b a x f ∈,如果存在0>δ,当 δδ+<<-00x x x 时,均有)()(0x f x f ≤,则称)(0x f 为)(x f 的一个极大值,0x 称为)(x f 的极大点. 如果对于满足δδ+<<-00x x x 的一切0x 均有: )()(0x f x f ≥,则称)(0x f 为 )(x f 的一个极小值,0x 称为)(x f 的极小点. 2设],[0b a x ∈,若对于一切],[b a x ∈均有： )()(0x f x f ≤（或)()(0x f x f ≥） 则)(0x f 就称为：)(x f 在],[b a 上的最大值或最小值,记为)(max x f 或)(min x f . 必须明确：函数的极值未必是函数的最大值或最小值,由上述定义,我们不难看到,函数的极大（小）值)(0x f 只是在极大（小）点0x 附近的一个局部范围内,函数)(x f 的最大（小）值,因而函数)(x f 在],[b a 的极值不一定是唯一的,而且某一极大值可能小于另一极小值,如图（1）,)()(32x f x f <,可见极值的概念是就局部而言的,而最大（小）值是就函数的整个定义域而言的.
二元函数的极值与最值解读
二元函数的极值与最值解读
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二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点,现对二元函数的极值与最值的求法总结如下: １．二元函数的无条件极值 (1） 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点;对于驻点可用极值的充分条件判定。 （2）二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ,0),('00=y x f y ,即),(00y x 是驻点。 (3） 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ,令A y x f xx =),('00， B y x f xy =),('00， C y x f yy =),('00，则 当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值; 当02<-AC B 且A>0,f ),(00y x 为极小值； 02>-AC B 时,),(00y x 不是极值点。 注意: 当B 2－AC = ０时，函数z = f （ｘ, ｙ)在点),(00y x 可能有极值,也可能没有极值，需另行讨论 例1 求函数ｚ = x 3 + y ２ -２ｘy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点,先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数: y x x z 232 -=??,x y y z 22-=??.x x z 622=??， 22-=???y x z , 22 2=??y z . 再求函数的驻点.令x z ??= 0，y z ??= 0，得方程组???=-=-.022,0232x y y x 求得驻点(0，０)、），（3 2 32. 利用定理2对驻点进行讨论：
二元函数的极值与最值
2． 二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点， 现对二元函数的极值与 最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在 驻点 和不可导点 取得。对于不可导点，难以判断 是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的 必要条件 ： 设 z f (x,y) 在点(x 0,y 0) 处可微分且在 点(x 0, y 0 )处有极值，则 f 'x (x 0,y 0) 0， f 'y (x 0, y 0) 0，即 (x 0,y 0) 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的 充分条件 ：设 z f (x,y) 在(x 0,y 0) 的某个领域内有 连续上 二阶偏导数，且 f 'x (x 0,y 0) f 'y (x 0, y 0) 0 ，令 f'xx (x 0,y 0) A ， f'xy (x 0,y 0) B ， f 'yy (x 0,y 0) C ，则 当B 2 AC 0且 A<0 时， f ( x 0 , y 0 )为极大值； 当B 2 AC 0且 A>0， f ( x 0 , y 0 )为极小值； B 2 AC 0 时，(x 0, y 0) 不是极值点。 注意： 当 B 2－AC = 0时，函数 z = f (x, y)在点( x 0 , y 0 )可能有极值，也可能没有 极值，需另行讨论 例 1 求函数 z = x 3 + y 2 － 2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点， 先求出一阶偏导， 再令其为零 确定极值点即可， 然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值， 【解】先求函数的一、二阶偏导数： 并求出相应的极值 . 2 z 2 z z 3x 2y ， 2y 2x ． 2 6x , x y x 2 z xy 2 z 2 y 2 再求函数的驻点．令 z = 0， x 得方程组 2 3x 2y 0, 2y 2x 0.