② 当1)(*'>x f 时，方程(9)的平衡点是不稳定的。
三． 差分方程建模实例
1． 贷款买房问题
某居民买房向银行贷款6万元，利息为月利率1%，贷款期为25年，要求建立数学模型解决如下问题：
1) 问该居民每月应定额偿还多少钱？
2) 假设此居民每月可节余700元，是否可以去买房?
1.1 确定参变量：用n 表示月份，A n 表示第n 个月欠银行的钱，r 表示月
利率，x 表示每月还钱数，A 0表示贷款额。
1.2 模型的建立与求解
1) 模型的建立
时间
欠银行款 初始
A 0 一个月后
A A r x 101=+-() 二个月后
A A r x 211=+-() 三个月后
A A r x 321=+-()
n 个月后 A A r x n n =+--11()
由上表可得相邻两个月的递推关系式
x r A A n n -+=-)1(1
1.3 模型的求解：
(1) 差分方程求解方法
先求其特解。令y A A n n ==-1，则x r y y -+=)1(，得特解为r
x y =
。 再求对应齐次方程)1(1r A A n n +=-的通解。 对应的特征方程为 0)1(=+-r λ，
得)1(r +=λ。齐次方程的通解为：n r c )1(+
因此原方程的通解为：
r
x r c A n n ++=)1( 又因为0=n 时0A A n =，得r
x A c -
=0 故 ()()r
r x r A A n n
n 1110-+-+= (2) 递推法：
()()[]()()r
r x r A r r x r A A n n n n
n 111111)1(010-+-+=+++++-+=- 令
A 0=60000，A 3000=，n =300，r =0.01
得
()
()()()x A r r r n n =++-=?++-≈030030011160000100110011001632...元
因此，该居民每月应偿还632元。又632<700，所以该居民可以去买房。
2．借贷问题
中国建设银行北京市分行个人住房贷款一至二十年“月均还款金额表”（自1998年3月25日起执行）的一部分如下：
(借款额为一万元) 单位：元
试问他们是怎样算出来的？
借贷问题的数学模型
一. 符号说明
以贷款期限20年为例:
借贷额----------------000,100=A ;
贷款期限-------------为N 年;
月利率----------------008505.012/206.10==r ;
“月均还款额”-------表示每月还款额是相同的，记为x ;
还款总额------------记为S .
二. 建立模型
一开始借款000,100=A ，一个月后欠银行本利为)1(01r A A +=，但为了减少欠款，还了x 元，因而x r A A -+=)1(01，第k 个月情况也是这样的，即
N k x r A A k k ,,2,1,)1(1 =-+=-
注意到了第N 个月已经不欠银行的钱了，即0=N A ，因此，我们得到以下的数学模型:
???????==-+=-0
,,,2,1)1(01N k k A that such out Find Known
N x A N k x r A A 三. 数学模型的求解
首先求出用已知量表出的表达式。由
)]1(1[)1()1]()1([)1(20012r x r A x r x r A x r A A ++-+=-+-+=-+=
可以猜想，并用数学归纳法证明:
])1()1()1(1[)1(120-+++++++-+=k k k r r r x r A A
由等比数列前1-k 项的求和公式知:
N k r r
x r A A k k k ,2,1,]1)1[()1(0=-+-+= 再由0=N A ，得到:
]
1)1[()1(0-++=N N
r r r A x 把已知量带入，就得到表中的x 。
3．生物种群数量问题
一．问题的提出
种群的数量问题是当前世界上引起普遍关注的一个问题。要预测未来种群的数量，最重要的影响因素是当前的种群数量，今后一段时间内种群的增长状况和环境因素。由于随着种群数量增加到一定的程度后，种群在有限的生存空间进行竞争，种群的增长状况会随着种群数量的增加而减少，而且在有限的生存空间，种群数量也不可能无限增长，假设只能达到某一固定的数量值记为m x ，称为最大种群容量。又假设单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量x 的比记为：0,)(>-=s r sx r x r 、， 其中r 相当于0＝x 时的增长率，称为固有增长率，记当前 (即0＝t 时)种群数量为0x ，时刻t 种群数量为)(t x 。若利用统计数据可知m x ，r ，0x ，则
1）设)(t x 为连续、可微函数，请给出未来时间里种群数量满足的数学模型。
2）由于某些种群是在固定的一段时间内进行繁殖，所以可用种群繁殖周期作为时间段来研究其增长状况。请给出未来时间里这类种群数量应满足的离散数学模型。
二. 问题分析与模型建立
1. 由于)(x r 为单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量的比，所以t 到t t ?+时间内种群数量的增量为
t t x x r t x t t x ?=-?+)()()()( (1)
又由于,)(sx r x r -=而当m x x =时增长率应为零，即0)(=m x r ，所以m x r s =，则
x x r r x r m
-
=)(，
把它代入方程(1)得:
t t x x r r t x t t x m
?-=-?+)()()()( (2) 此方程两边同除t ?，并令0→?t ，加上初始条件0)0(x x =可得未来任意时刻t 种群数量所满足的数学模型为：
??
???=???? ??-=0)0(1x x x x x r dt dx m (3) 2. 由于是利用种群繁殖周期作为时段来研究种群增长状况，则令1=?t ，t 视为整数及x x r r x r m
-=)(代入方程(1)得： )()()()1(t x x r r t x t x m
-=-+ (4) 加上初始条件0)0(x x =得任意时刻t 种群数量所满足的离散型数学模型为
??
???=-+=+0)0()()1()1(x x t x x r r t x m 通过这个差分方程就可以很容易得到任意时刻t 种群的数量。
三．模型求解
1．利用a Mathematic 求解方程(1)，可得任意时刻t 种群数量为
rt m m
e x x x t x -???? ??-+=11)(0
a Mathematic 源程序为：
]],[,0][*)/][1(*)(['t t x t x xm t x r t x DSolve ==--
2．根据方程(2)，只要给出初值0x 就可以很容易进行递推而得到任意时刻t 种群的数量。
四．结果分析
1．上面方程(3)有时称为阻滞增长模型或Logistic 模型，它有着广泛的应用。例如传染病在封闭地区的传播，耐用消费品在有限的市场上的销售等现象，都可以合理的、简化的用这个模型来进行描述。但它存在不足，因为随着环境的变迁，最大种群容量可能会发生变化，而且最大种群容量也不容易准确得到。
2．一方面，用离散化的时间来研究问题有时是很方便的，尤其出现了计算机以后，人们可以很方便的对问题进行求解；另一方面，对这个种群数量问题，由于许多种群实际上是由单一世代构成的，在相继的世代之间几乎没有重叠，所以种群的增长是分步进行的。这种情况下，为了准确的描述种群的数量动态就不能用微分方程，而应利用离散的模型来描述。
4. 人口的控制与预测模型
一．问题的提出
常见的两个常微分方程模型(马尔萨斯(Malthus)模型和洛杰斯蒂克(Logistic)模型)没有考虑到社会成员之间的个体差异，即不同年龄、不同体质的人在死亡、生育方面存在的差异。完全忽略了这些差异显然是不合理的。但我们不可能对每一个人的情况逐个加以考虑，故仅考虑年龄的差异对人口的变动的影响，即假设同一年龄的人具有相同的死亡率和生育能力，这样建立的模型不但使我们能够更细致的预测人口总数，而且能够预测老年人口、劳动力人口、学龄人口等不同年龄组的人口信息.
下面来建立离散的差分数学模型来表现人口数量的变化规律。
二．模型的建立与求解
设)(t x k 为第t 年年龄为k 的人口数量，100,2,1,0 =k ，即忽略百岁以上的人口。如果知道了第t 年各年龄组的人口数，各年龄组人口的生育及死亡状态，就可以根据人口发展变化规律推得第1+t 年各年龄组的人口数。
首先引入k 岁人口的死亡率和k 岁育龄妇女的年生育率这两个概念，他们的
含义和记号如下：
k 岁人口的年死亡率：
岁的人口数
这年内岁的死亡人数一年内k k d k = k 岁妇女的年生育率：
岁妇女人数
这年内岁妇女生育的婴儿数一年内k k b k = 第1+t 年1+k 岁的人口数就是第t 年k 岁人口数扣除它在该年的死亡人数，即
)()1()1(1t x d t x k k k -=++，
令k k d p -=1称为k 岁人口的存活率，故各年龄组人口随时间的变化规律可用递推公式
)99,,1,0(,)()1(1 ==++k t x p t x k k k
来表示。再考虑到零岁的人数
∑==+100
00)()()1(k k k k t x t u b t x ，
其中)()(t x t u k k 为第t 年k 岁的妇女人数，)(t u k 为第t 年k 岁人口的女性比(占全部k 岁人口数)，)()(t x t u b k k k 就是第t 年k 岁妇女所生育的婴儿数.由此得到的人口模型是：
?????==+=++=∑99,,1,0,)()1()()()1(1
10000 k t x p t x t x t u b t x k k k k k k k (1) 根据人的生理特征和人口学中的习惯，妇女的育龄区间一般取为15岁至49岁之间，即当15k 时，0=k b ， 令
T k t x t x t x t x t x ))(,),(,),(),(()(10010 =
?????????
? ??=000000000000)()()()()(99101001009999221100p p p b t u b t u b t u b t u b t u L 则人口模型（1）的矩阵形式为
)()1(t Lx t x =+ (2)
其中L 称为莱斯利（Lwslie ）矩阵.当第0t 年的人口状况已知时，从式(2)就可以推得第t 年的人口为
)()1(00t x L t x t t -=+.
5. 市场经济中的蛛网模型
在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的积极性，导致商品生产量的下降。在没有外界干扰的情况下，这种现象将如此反复下去。这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。这种振荡越小越好，如果振荡太大就会影响人民群众的正常生活。
(1) 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定?
(2) 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定?
下面用差分方程理论建模，讨论市场经济趋于稳定的条件，再用图形方法建立“蛛网模型”对上述现象进行分析，对结果进行解释，然后作适当推广。
3.1 模型的假设和符号说明
① 记第n 时段商品数量为n x ，价格为n y ， ,2,1=n 。
这里我们把时间离散化为时段，1个时段相当于商品的1个生产周期，如蔬菜、水果可以是1年，肉类可以是一个饲养周期。
② 在n 时段商品的价格n y 取决于数量n x 。设)(n n x f y =。它反映消费者对这种商品的需求关系，称为需求函数。
因为商品的数量越多，价格越低。需求函数在图1中用一条下降的曲线f 表示，f 称为需求曲线。
③ 在1+n 时段商品的数量1+n x 由上一时段的价格n y 决定，用)(1n n y g x =+表示。它反映生产者的供应关系，称为供应函数。
因为价格越高，生产量越大。供应函数在图1中用一条上升的曲线g 表示，g 称为供应曲线。
图1 商品供求关系曲线
3.2 模型的建立与求解
设需求曲线f 和供应曲线g 相交于点),(000y x P ，在0P 附近取函数f 和g 的
x 0 y x
线性近似，即
需求曲线f ：
)(00x x y y n n --=-α， 0>α (11)
供应曲线g ：
)(001y y x x n n -=-+β， 0>β (12)
由式(11)(12)消去n y ，得到一阶线性差分方程
01)1(x x x n n αβαβ++-=+， ,2,1=n (13)
因此0x 是其平衡点，即0P 是平衡点。对式(13)进行递推，得
011])(1[)(x x x n n n αβαβ--+-=+， ,2,1=n
由此可得，平衡点稳定的条件是：1<αβ；不稳定的条件是：1>αβ。 下面用图形解释此模型。
若对某一个k 有0x x k =，则由(11)式得，当k n ≥时0x x n =，从而0y y n =，即商品的数量和价格将永远保持在),(000y x P 点。但是实际生活中的种种干扰使得n n y x ,不可能停止在),(000y x P 上。不妨设1x 偏离0x (见图2，图3)，我们来分析随着n 的增加，n n y x ,的变化情况。
图2 0P 点是稳定的
数量1x 给定后，价格1y 由曲线f 上的1P 点决定，
下一时段的数量2x 由曲线g
上的2P 点决定，这样得到一序列的点),(111y x P ，),(222y x P ，),(333y x P ，),(444y x P ，…,在图2上，这些点将按照箭头所示方向趋向),(000y x P ，表明),(000y x P 是稳定的平衡点，意味着市场经济(商品的数量和价格)将趋向稳定。 但是如果需求函数和供应函数由图3的曲线所示，则类似的分析发现，市场将按照),(111y x P ，),(222y x P ，),(333y x P ，),(444y x P
，…，的规律变化为远离),(000y x P ，即),(000y x P 是不稳定的平衡点，市场经济趋向不稳定。
图3 0P 点是不稳定的 图2和图3中折线 4321P P P P 形似蛛网，
于是这种用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中被称为蛛网模型。实际上，需求曲线f 和供应曲线g 的具体形式通常是根据各个时段商品的数量和价格的一系列统计资料得到的。一般地说，f 取决于消费者对这种商品地需要程度和他们地消费水平，g 则与生产者的生产能力，经营水平等因素有关。
下面来解释此模型的实际意义。
① 首先来考虑参数βα,的含义。
需求函数f 的斜率α(取绝对值)：表示商品供应量减少1个单位时价格的上涨幅度；
供应函数g 的斜率β：表示价格上涨1个单位时(下一时期)商品供应增加量。
α的值反映消费者对商品需求的敏感程度。如果这种商品是生活必需品，消费者处于持币待购状态，商品数量稍缺，人们立即蜂拥购买，那么α会比较大；反之，若这种商品非必需品，消费者购物心理稳定，或者消费水平低下，则α会比较小。
β的数值反映生产经营者对商品价格的敏感程度。如果他们目光短浅，热衷于追逐一时的高利润，价格稍有上涨立即大量增加生产，那么β会比较大；反之，若他们目光长远，则β会比较小。
② 根据βα,的意义很容易对市场经济稳定与否的条件作出解释。
当供应函数g 的斜率β固定时，α越小，需求曲线越平，表明消费者对商品需求的敏感程度越小，越有利于经济稳定。
当需求函数f 的斜率α固定时，β越小，供应曲线越陡，表明生产者对价格的敏感程度越小，越有利于经济稳定。
反之，当βα,较大，表明消费者对商品的需求和生产者对商品的价格都很敏感，则会导致经济不稳定。
③ 经济不稳定的解决方案
当市场经济趋向不稳定时，政府有两种干预办法：一种办法是控制价格，无论商品数量多少，命令价格不得改变，于是0=α；不管曲线g 如何，总是稳定的；另一种办法是控制市场上的商品数量，当上市量小于需求时，政府从外地收购或调拨，投入市场，当上市量多于需求时，政府收购过剩部分，于是0=β，不管曲线f 如何，也总是稳定的。
3.3 模型的改进和推广
如果生产者的管理水平更高一些，他们再决定商品生产数量时，不是仅根据前一时期的价格，而是根据前两个时期的价格，为简单起见不妨设根据二者的平均值
2
1-+n n y y
于是供应函数为
)2
(11-++=n n n y y g x 在0P 点附近取线性近似时，式(12)表示为
供应函数)(g :
)2
(0101y y y x x n n n -+=--+β，0>β (14) 又设需求函数仍由式(11)表示，则由(11),(14)得到
012)1(2x x x x n n n αβαβαβ+=++++， ,2,1=n (15)
(15)式是二阶线性差分方程。0P 点稳定的条件可由特征方程
022=++αβαβλλ 的根4
8)(22,1αβαβαβλ-±-=确定。 结论：若方程的特征根均在单位园内，即1,121<<λλ，则0P 为稳定点。 ① 当8>αβ时，显然有
24
48)(22-<-<---=αβαβαβαβλ， 从而22>λ，故此时0P 是不稳定的。
② 当8<αβ时，特征方程有两个共轭复数根
22,1)(84
14αβαβαβλ-±-=
i 此时 2]))(841()4[(21
2222,1αβαβαβαβλ=-+= 要使0P 为稳定点，只需12,1<λ，即有
2<αβ
(完整版)差分方程模型(讲义)
差分方程模型 一. 引言 数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。 1. 确定性连续模型 1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。 2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。 3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。 4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。 2. 确定性离散模型 1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。 2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。 3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。 4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。 随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。 在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。
二. 差分方程简介 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。 1. 差分方程的定义 给定一个数列{}n x , 把数列中的前1+n 项i x ),,2,1,0(n i Λ=关联起来得到的方程，则称这个方程为差分方程。 2. 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为 02211=++++---k n k n n n x a x a x a x Λ， (1) 或者表示为 0),,,,(1=++k n n n x x x n F Λ (1’) 其中k 为差分方程的阶数，其中k a a a ,,,21Λ为差分方程的系数，且0≠k a )(n k ≤。 对应的代数方程 02211=++++--k k k k a a a Λλλλ (2) 称为差分方程(1)的对应的特征方程。(2)式中的k 个根k λλλ,,,21Λ称为(1)式的特征根。 2.1 差分方程的解 常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出方程解的形式。 2.1.1 特征根为单根(互不相同的根) 设差分方程(1)有k 个单特征根(互不相同的根)k λλλ,,,21Λ，则
差分方程模型的稳定性分析分析解析
分类号 学号密题 目 （中、英文） 作者姓名 指导教师 学科门类 提交论文日期专业名称 成绩评定 数学与应用数学 理 学
咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文） 摘要 微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。 关键字：差分方程；差分方程模型；平衡点；稳定性
差分方程模型的稳定性分析 Abstract Difference equation is also called recursive equation, it is to describe the relationship between the number of objective things of a kind of important mathematical model. And the use of the differential equation model of the solution can be found everywhere in life. Such as cobweb model in the free market economy is to use the difference equation analysis when the economic stability, and as the financial problem of pension insurance breed difference equation is used to analysis the actual investment value. This paper gives the judge the stability of difference equation to judge method, then in the same group of sheep and grass under the environment of interaction analysis for the model a process, the number of the population change, in turn, study the stability of the linear difference equation. In the end, one practical model to better explain the stability of difference equation. Key words:Difference equation;Difference equation model ; Balance point; Stability
差分方程模型理论与方法
差分方程模型的理论和方法 引言 1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易
差分方程模型的理论和方法
第九章 差分方程模型的理论和方法 引言 1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模： 在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而 建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。 差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。 第一节 差分方程的基本知识 一、 基本概念 1、 差分算子 设数列{}n x ，定义差分算子n n n x x x -=??+1:为n x 在n 处的向前差分。 而1--=?n n n x x x 为n x 在n 处的向后差分。 以后我们都是指向前差分。 可见n x ?是n 的函数。从而可以进一步定义n x ?的差分： n n x x 2)(?=?? 称之为在n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。 类似可定义在n 处的k 阶差分为：
差分方程模型习题+答案
1. 一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率0.4%， 他每月取1000元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？ 分析：(1) 假设k 个月后尚有k A 元，每月取款b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款，根据题意，建立如下的差分方程： 1k k A aA b +=-，其中a = 1 + r (1) 每岁末尚有多少钱,即用差分方程给出k A 的值。 (2) 多少岁时将基金用完，何时0k A =由（1）可得： 01k k k a A A a b r -=- 若0n A =，01 n n A ra b a = - (3) 若想用到 80 岁，即 n ＝(80-60)*12=240 时，2400A =，240 0240 1 A ra b a =- 利用 MA TLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear all close all clc x0=100000;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0:n)'; y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1']) function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)-b; end (2)用MA TLAB 计算： A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240
思考与深入： (2) 结论：128个月即70岁8个月时将基金用完 (3) A0 = 1.5409e+005 结论：若想用到80岁，60岁时应存入15.409万元。 2. 某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10万元，月利率0.5%，他每月还1000元。建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要10年还清，每月需还多少？ 分析：记第k个月末他欠银行的钱为x（k），月利率为r，且a=1+r，b为每月还的钱。则第k+1个月末欠银行的钱为 x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2… 在r=0.005 及x0=100000 代入，用MA TLAB 计算得结果。 编写M 文件如下: function x=exf11(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)+b; end MA TLAB计算并作图: k=(1:140)'; y=exf11(100000,140,0.0005,-1000); 所以如果每月还1000元，则需要11年7个月还清。 如果要10年即n=120 还清，则模型为： r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] 用MA TLAB 计算如下： >> x0=100000; >> r=0.005; >> n=120; >> b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] b= 1.1102e+003 所以如果要10年还清，则每年返还1110.2元。 3. 在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为1r，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为1a；猫头鹰的年平均减少率为
差分方程模型习题+答案
1. 一老人 60 岁时将养老金 10 万元存入基金会，月利率 0.4%， 他每月取 1000 元作为生活 费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到 80 岁，问 60 岁时应存入多少钱？ 分析： (1) 假设 k 个月后尚有 A k 元，每月取款 b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款， 根据题意，建立如下的差分方程： A k 1 aA k b ，其中 a = 1 + r 每岁末尚有多少钱 ,即用差分方程给出 A k 的值。 (2) 多少岁时将基金用完，何时 A k 0 由（ 1）可得： A A a k b a k 1 k 0 r n 若 A n 0 ， b A 0 ra n a1 (3) 若想用到 80 岁，即 n ＝ (80-60)*12=240 时， A 240 0 ， b A 0 ra 240 (1) 240 利用 MATLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear all close all clc x0=100000;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0:n)'; y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1']) function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)-b; end (2) 用 MATLAB 计算： A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240 a 1
思考与深入： (2)结论： 128 个月即 70 岁 8 个月时将基金用完 (3)A0 = 1.5409e+005 结论：若想用到80 岁， 60 岁时应存入15.409 万元。 2.某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10 万元，月利率 0.5%，他每月还 1000 元。建立 10 年还清，每月需还多差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要 少？ 分析：记第k 个月末他欠银行的钱为 x（ k），月利率为r，且a=1+r，b 为每月还的钱。则第k+1 个月末欠银行的钱为 x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2? 在r=0.005 及 x0=100000 代入，用 MATLAB 计算得结果。 编写M文件如下: function x=exf11(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)+b; end MATLAB 计算并作图 : k=(1:140)'; y=exf11(100000,140,0.0005,-1000); 所以如果每月还1000 元，则需要11 年 7 个月还清。 如果要 10 年即 n=120 还清，则模型为： r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] 用MATLAB 计算如下： >>x0=100000; >>r=0.005; >>n=120; >>b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] b= 1.1102e+003 所以如果要10 年还清，则每年返还1110.2 元。 3. 在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为r1，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为a1；猫头鹰的年平均减少率为
差分方程模型
差分方程模型 一、引言 数学模型按照离散的方法与连续的方法, 可以分为离散模型与连续模型。 1、确定性连续模型 1) 微分法建模(静态优化模型), 如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。 2) 微分方程建模(动态模型),如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。 3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型),如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。 4) 变分法建模(动态优化模型),如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。 2、确定性离散模型 1) 逻辑方法建模,如效益的合理分配模型、价格的指数模型。 2) 层次分析法建模,如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。 3)图的方法建模,如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。 4)差分方程建模,如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。 随着科学技术的发展,人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题,差分方程就就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。 在一般情况下,动态连续模型用微分方程方法建立,与此相适应,当时间变量离散化以后,可以用差分方程建立动态离散模型。有些实际问题既可以建立连续模型,又可建立离散模型,究竟采用那种模型应视建模的目的而定。例如,人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型),又可建立人口差分方程模型。这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。
二、 差分方程简介 在实际中,许多问题所研究的变量都就是离散的形式,所建立的数学模型也就是离散的,譬如,像政治、经济与社会等领域中的实际问题。有些时候,即使所建立的数学模型就是连续形式,例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。但就是,往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化,从而将连续型模型转化为离散型模型。因此,最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论与求解方法在数学建模与解决实际问题的过程中起着重要作用。 1、 差分方程的定义 给定一个数列{}n x , 把数列中的前1+n 项i x ),,2,1,0(n i Λ=关联起来得到的方程,则称这个方程为差分方程。 2、 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为 02211=++++---k n k n n n x a x a x a x Λ, (1) 或者表示为 0),,,,(1=++k n n n x x x n F Λ (1’) 其中k 为差分方程的阶数,其中k a a a ,,,21Λ为差分方程的系数,且0≠k a )(n k ≤。 对应的代数方程 02211=++++--k k k k a a a Λλλλ (2) 称为差分方程(1)的对应的特征方程。(2)式中的k 个根k λλλ,,,21Λ称为(1)式的特征根。 2、1 差分方程的解 常系数线性齐次差分方程的解主要就是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根与复根的情况给出方程解的形式。 2、1、1 特征根为单根(互不相同的根) 设差分方程(1)有k 个单特征根(互不相同的根)k λλλ,,,21Λ,则
差分方程人口预测模型
1 差分方程人口预测模型 一、名词和符号说明 名词解释： （1）拟合: 对于某个变化过程中的多个相互依赖的变量，可建立适当的数学模型，用于分析预报决策或控制该过程.对于两个变量可通过用一个一元函数去模拟这两个变量的取值.用不同的方法可得到不同的模拟函数.下面使用图表介用Mathematica 做曲线拟合。 （2）差分方程:含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程。 （3）迭代法:是牛顿在17世纪提出的一种求解方程f(x)=0.多数方程不存在求根公式，从而求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。 设r 是f(x)=0的根，选取x0作为r 初始近似值，过点（0x ,f(0x )）做曲线y=f(x)的切线L ，L 的方程为))(()(000x x x f x f y -'+=,求出L 与x 轴交点的横坐标 ) () (0001x f x f x x '- =,称1x 为r 的一次近似值，过点（1x ,f(1x )）做曲线y=f(x)的切线，并求该切线与x 轴的横坐标) () (1112x f x f x x '- =称2x 为r 的二次近似值，重复以上过程，得r 的近似值序列{Xn},其中) () (11n n n n X f X f X X '-=++, 称为r 的n+1次近似值。上式称为牛顿迭代公式。 符号说明： )(k x i 第 k 年i 岁的女性总人数 )(k x 女性人口的（按年龄）分布向量 )(k b i 第k 年i 岁的女性生育率 i d 第k 年i 岁的女性死亡率 i s 第 k 年i 岁的女性存活率 i 岁女性的生育模式 )β(k k 年总和生育率（控制人口数量的主要参数） i h
算法大全第16章_差分方程模型
-192- 第十六章 差分方程模型 离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。 §1 差分方程 1.1 差分方程简介 规定t 只取非负整数。记t y 为变量y 在t 点的取值，则称t t t y y y ?=Δ+1为t y 的一阶向前差分，简称差分，称t t t t t t t y y y y y y y +?=Δ?Δ=ΔΔ=Δ+++1212 2)(为t y 的二阶差分。类似地，可以定义t y 的n 阶差分t n y Δ。 由t y t 、及t y 的差分给出的方程称为t y 的差分方程，其中含t y 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 02=+Δ+Δt t t y y y 也可改写成012=+?++t t t y y y 。 满足一差分方程的序列t y 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。 称如下形式的差分方程 )(110t b y a y a y a t n t n t n =+++?++L （1） 为n 阶常系数线性差分方程，其中n a a a ,,,10L 是常数，00≠a 。其对应的齐次方程为 0110=+++?++t n t n t n y a y a y a L （2） 容易证明，若序列) 1(t y 与) 2(t y 均为（2）的解，则)2(2) 1(1t t t y c y c y +=也是方程（2）的 解，其中21,c c 为任意常数。若) 1(t y 是方程（2）的解，) 2(t y 是方程（1）的解，则 )2()1(t t t y y y +=也是方程（1）的解。 方程（1）可用如下的代数方法求其通解： （I ）先求解对应的特征方程 001 10=+++?a a a n n L λ λ （3） （II ）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。 （i ）若特征方程（3）有n 个互不相同的实根n λλ,,1L ，则齐次方程（2）的通解为 t n n t c c λλ++L 11 （n c c ,,1L 为任意常数） （ii ）若λ是特征方程（3）的k 重根，通解中对应于λ的项为t k k t c c λ)(1 1?++L ， ),,1(k i c i L =为任意常数。 （iii ）若特征方程（3）有单重复根 i βαλ±=，通解中对应它们的项为 t c t c t t ?ρ?ρsin cos 21+，其中22βαρ+=为λ的模，α β ?arctg =为λ的幅角。 （iv ）若i βαλ±=是特征方程（3）的k 重复根，则通解对应于它们的项为 t t c c t t c c t k k k t k k ?ρ?ρsin )(cos )(12111?+?+++++L L
差分方程模型
第九章 差分方程模型 1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个 离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模： 在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而 建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。 差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。 第一节 差分方程的基本知识 一、 基本概念 1、 差分算子 设数列{}n x ，定义差分算子n n n x x x -=??+1:为n x 在n 处的向前差分。 而1--=?n n n x x x 为n x 在n 处的向后差分。以后我们都是指向前差分。可见n x ?是n 的函数。从而可以进一步定义n x ?的差分： n n x x 2 )(?=?? 称之为在n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。 类似可定义在n 处的k 阶差分为： ))((1n k n k x x -??=? 2、 差分算子 、不变算子、平移算子 记n n n n x Ix x Ex ==+,1，称E 为平移算子，I 为不变算子 。 则有：n n n n x I E Ix Ex x )(-=-=?
差分方程附其建模举例
差分方程模型的理论和方法 1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时
段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。 差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。
