割平面算法简介
割平面法在纯整数规划中的应用
1、摘要：
割平面法是整数规划问题中常用的一种重要方法。割平面法解整数规划问题的基本思路是：首先根据单纯形法，画出单纯形表格,利用迭代法求出不考虑整数约束条件时的松弛问题的最优解，如果得到的解是整数则即为问题的整数解，运算停止。但是在大多数情况下得到的解不完全是整数，其中会出现非整数的形式，也就是这个松弛问题的最优解中存在某个或者某几个基变量为非整数的形式，这就需要进一步的运算：从最优表格中提取出关于非整数基变量的约束等式，再从这个约束等式出发构造出一个割平面方程添加到原来的约束条件中去，再进行单纯形表格的迭代运算，求出最优解，如果得到的最优解是整数则即为所要求的问题的最优解，运算停止。如果得到的解仍然不完全是整数，就需要继续进行运算，重复以上步骤，一直求解出满足条件的最优解则运算停止。这就是割平面法的整数求解的一般步骤。
Cutting plane method which is used in an integer programming problem is a kind of important method. Cutting plane method solution in integer programming problem is the basic train of thought: first according to the simplex method, draw the simplex form, using iterative algorithm to find the integer constraint conditions do not consider the relaxation of the optimal solution of the problem, given the solution is for the problem that is the integer solutions, stop operations. But in most cases the
solution doesn't get completely integer, which could not be the integer form, also is the relaxation of the optimum solution of the existence of a or certain base the variable is not the integer form, this needs further operation: the optimal form from the extract about the base variables the constraint equation integer variables, and again from the constraint equation is constructed on a cutting plane equation added to the original conditions to, and then to simplex form iterative operation, to work out the optimal solution, if we get the optimal solution is required for the integer is the problem of optimal solution, stop operations. If the solution have still not quite integer, it needs to continue operations, repeat the above steps, has been worked out to meet the conditions of the optimal solution is to stop operations. This is cutting plane method of solving the integral general steps.
1、整数规划的简要介绍
整数规划是指在一类问题中要求其解的全部或者一部分变量为整数的数学规划。在一般的线性规划问题中，所求的最优解可能是整数也可能是分数或小数，但是对于某些特殊的具体问题而言，常常要求最优解必须是整数。例如，所求解是工人的人数，货车的车数，机器的台数，送货的次数等等。为了满足所求解是整数的要求，初看起来好像只要把所求的非整数解用凑整数法、四舍五入法或去尾法化为整数就可以了，但是实际上化为整数后的解不一定是可行解和最优解，因此这类问题需要有特殊的方法来求得整数最优解。
从广泛的意义上来说，整数规划与组合优化二者的领域是一致的，它们都是在有限个可供选择的方案中，寻求满足一系列条件的最好方案。组合优化是一系列离散问题的总和，它包含了各式各样的问题，它的许多典型问题也都反映出了整数规划的广泛背景，最常见的有背包问题、探险队问题、装箱问题、送货问题等等很多。因此，整数规划的应用范围极其广泛，不仅在工业、程序设计和科学研究方面有许多应用，而且在计算机设计、系统可靠性、编码和经济分析方面等也有很多新的应用。
整数规划的发展史可以追溯到20世纪50年代，Dantzig，运筹学的创始人和线性规划单纯形算法的发明者，首先发现可以用0-1变量来刻画最优化模型中的固定费用、变量上界、非凸分片线性函数等。他和Fulkersn以及Johnson对旅行售货员问题的研究成为后来的分枝—割方法以及现代的混合整数规划法的开端。在1958年，R.E.Gomory发现了第一个一般性的线性整数规划的收敛算法——割平面方法。经过50多年的发展，也发展出了很多种方法解决此类问题，目前受大家广泛认可的包括分枝界定法、割平面方法、匈牙利法以及枚举法等。他们的最典型做法是逐步生成一个相关问题，称为源问题的衍生问题，对每一个衍生问题伴随一个与它相比更加容易求解的松弛问题。通过对松弛问题求的解来确定这个源问题是应该被舍弃还是应该再生成一个或者多个它本身的衍生问题来代替原来的衍生问题。随后，再选择一个还没有被舍弃的或者还没有被替代的原问题的衍生问题，重复以上步骤直到不再有未被解决的衍生问题为止。分
枝界定法和割平面方法都是在以上框架下形成的。
整数线性规划一般分为纯整数线性规划、混合整数线性规划和0-1型整数线性规划。纯整数线性规划要求所有的变量全部都为整数；混合整数线性规划仅要求变量的一部分为整数；0-1型整数线性规划是一种特殊情况，要求其变量仅为0或1。它在整数规划中占有重要位置，一方面许多的实际问题例如指派问题、选址问题、送货问题等都可以归结为这一类的规划，另一方面任何的有界变量整数规划问题都可以与0-1型整数线性规划等价。
2、割平面法介绍
1958年，美国著名学者R.E.Gomory提出了求解整数线性规划时的一种比较简单的方法——割平面法。它的基本思想和分枝界定法基本上一致，首先不考虑变量的整数约束，利用单纯形法求解出线性规划的最优解，如果得到的解是整数那么这个最优解就是原来问题的最优解，如果最优解不是整数解，则就用一张平面将原来的含有最优解的非整数点但不包含整数可行解的点的那一部分可行域切割掉，也就是在原来的整数线性规划的基础上增加适当的线性约束不等式，这个约束不等式就叫切割不等式当其取等号时就是割平面了。此后，继续解这个新得到的整数线性规划，如果得到的新最优解是整数，运算就停止，如果不是整数则继续增加适当的线性约束不等式，直到求出的解满足最优整数要求为止。总的来说就是通过构造一系列平面切割掉不含有任何整数可行解的区域，最后得到一个包含有整数可行解的整数坐标顶点的可行域，此顶点正好是原整数线性规划的最优解，而这种
方法的关键是，如何构造出切割不等式使得增加新的线性约束条件后能够达到真正的切割掉非整数点而又不会切割掉任何可行的整数点。 3、割平面法求解的一般步骤
设某整数规划问题的标准型为：
n n x c x c x c MaxZ +++= 2211
????
?
???
?=∈≥=+++=+++=+++n j Z x x b
x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a j j m
n mn m m n n n n ,,2,1,,02
211222221211
1212111
对上述模型的求解过程如下：
（1）首先用单纯形法的表格方法求解不考虑整数约束条件时的松弛问题。
（2）若求得的松弛问题无可行解或者所得解就是整数最优解，则运算停止；无可行解时表示原问题也没有可行解，得到整数最优解则即为所求的整数约束条件下的最优整数解。如果存在一个或者多个变量的取值不满足整数约束条件，那么选择其中一个非整数变量建立割平面，然后进入下一步。
（3）在原来的最优单纯形表中增加割平面的新的约束条件，利用对偶单纯形法重新求解，然后返回第二步。 下面介绍具体的构造割平面的过程：
设表1是不考虑整数约束条件时对应的松弛问题的最优解构成的单
纯形表
表1
j c
n m m
r
c c c c c c 121+
B c B X
'b n m m
r
x x x x x x 121
+
m c c c 21
m
x x x 21
'
'
2'1m b b b n
m m m n m n m a a a a a a ,1,,21,2,11,1100000100001
+++
'z z
- n m σσ 10000
+ j σ
其中
i x （m i ,,2,1 =）表示基变量，j x （n m m j ,,2,1 ++=）表
示非基变量，若设r x 表示基变量中一个非整数值的变量即'
r b 为非整数值，则根据表1可得
)1(1
'∑+=+
=n
m j j
r j
r r x a
x b
将上式中的变量系数以及变量值（j b ）分解为整数N 和非负分数f 两部分相加的形式，即 r r r f N b +='
rj rj rj f N a +=
其中[]'
r
r b N =为'r b 的取整部分，r f 为'r b 的非负真分数部分，[]
rj rj a N =为rj a 的取整部分，rj f 为rj a 的非负真分数部分;并且满足以
下不等式：
1010<≤< 则（1）式可以改写为 ∑∑+=+=+ +=+n m j j rj n m j j rj r r r x f x N x f N 1 1 移项得： )2(1 1 ∑ ∑+=+=-+ =- n m j n m j r j rj r j rj r N x N x x f f 为了满足所有的变量均是整数的条件，（2）式的右边必然是整数， 则（2）式作为等式左边也必然为整数，又因为r f 和rj f 都是非负真分数且都是小于1的，则应有 )3(0 1 ≤- ∑+=n m j j rj r x f f （3）式继续添加松弛变量变为： )4(0 11 =+- ++=∑n n m j j rj r x x f f 将（4）式作为新的约束条件加入到表1中，利用对偶单纯形法继续求解，重复以上过程，一直到所求的最优解全部都为整数为止。 5、割平面法代数求解实例 例1 求解下列纯整数规划问题 2197max x x Z += ??? ??∈≤+≤+-+Z x x x x x x 2 12121,3576 3 其松弛问题为： 2197max x x Z += ??? ??≥≤+≤+-0,357632 12121x x x x x x 引入松弛变量并且改写为标准型： 2197max x x Z += ??? ??≥=++=++-0,,,357634 321421321x x x x x x x x x x 构造原始单纯形表如下： 表2 j c 097 B c B x b 4 3 2 1 x x x x 4 3 x x 356 1 1 7 0131- Z - 9 7 j σ 按照一般线性规划得最优单纯形表为： 表3 j c 097 B c B x b 4 321x x x x 7 9 1 2x x 2/92/7 22/322/10122/122/710- Z - 63- 11/1511/2800-- j σ 由表3可得：2/7,2/921==x x 都不是整数解，则需要引入新的 约束条件，不妨选择2x 所对应的非整数解的约束方程来作为切割方程，那么可以得到: 2/722/122/7432=++x x x 将上式所有变量的系数和等式右端常数改写为一个整数与一个非负真分数相加的形式为：2/13)22/10()22/70()01(432+=+++++x x x 移项得：43222/122/72/13x x x --=- 则有：022/122/72/143≤--x x 即：)5(2/122/122/743-≤--x x 在（5）式中添加新的松弛变量，化为： )6(2 /122/122/7543-=+--x x x 把（6）式作为新的线性约束条件加入到表3得到表4 j c 00097 B c B x b 54321x x x x x 79 5 1 2 x x x 2/12/92/7- 10022 /122/7022/322/101022/122/710--- Z - 63- 011/1511/280 -- j σ 利用对偶单纯形法对表4进行求解，可得表5 j c 00097 B c B x b 54 3 2 1 x x x x x 79 3 1 2 x x x 7 /47/323 7/227/110 07/17/1001 1 0010-- Z - 59- 81 j σ 则其解为：7/47/321312===x x x 仍然不是整数，继续构造新 的切割方程，选取1x 对应的约束方程作为新的约束条件： 7/327/17/1541=-+x x x 同理，将上式所有变量的系数和等式右端常数改写为一个整数与一个非负真分数相加的形式： )7/44()7/61()7/10()01(541+=+-++++x x x 移项后调整得54517/67/17/44x x x x --=-- 进一步可得约束方程为:7/47/67/154-≤--x x 增加新的松弛变量6x 得约束等式：7/47/67/1654-=+--x x x 将上述约束等式增加到表5得到表6 j c 000097 B c B x b 65 43 2 1 x x x x x x 079 6 312 x x x x 7 /47 /47/323- 17 /67/100 07/227 /110007/17/100 1 010010---- Z - 59- 08 1 j σ 再对上表利用对偶单纯形法解，得到55,3,421===Z x x 这就是上述问题的整数最优解。 6、割平面法的前景展望 从以上的整数线性规划的割平面法中，我们可以看到割平面的过程非常慢，每次只能割去一点点，接近整数凸包的割平面每次只能割去距离凸包边缘很远的一些非整数点。另外割平面法对实际问题的结构以及解的结果都要有较高的要求，因为它要区分纯整数线性规划和混合整数线性规划，对于这两种不同类型需要有不同的切割方法。而且割平面法在增加割平面以后要改变原来的方法即变为对偶单纯形法求解。 在具体实际问题中，割平面不仅表现出极低的收敛率而且在割平面运行的过程中往往会产生许多的割平面，内存占用非常大，因此在实际问题中单纯的割平面法往往不会产生期望的效果，所以常常会选择分枝界定法和割平面法混合使用的方法。现在有许多人也都致力于这两方面结合使用的研究方法，有些也取得了很不错的效果，所以这方面有待进一步的研究。 平面度误差测量数据处理。 在大中专学校机械类各专业中，《互换性与测量技术基础》是一门重要的技术基础课，该课程内容十分丰富，而教学课时相对较少，许多重点和难点内容难以作详细讲解。其中形位公差与技术测量的内容学生理解掌握更为困难，在四项形位公差中，直线度与平面度误差的测量是一般机械制造行业主要的检测项目，故要求学生重点学习和掌握。直线度误差的测量相对较为简单，而平面度误差的测量及数据处理比较复杂，且理解困难。本文仅对平面度误差的测量和数据处理作较为详细的介绍，希冀初学者能尽快掌握这一重点和难点内容。 一、平面度误差的测量 平面度误差是指被测实际表面对其理想平面的变动量。 平面度误差是将被测实际表面与理想平面进行比较，两者之间的线值距离即为平面度误差值；或通过测量实际表面上若干点的相对高度差，再换算以线值表示的平面度误差值。 平面度误差测量的常用方法有如下几种： 1、平晶干涉法：用光学平晶的工作面体现理想平面，直接以干涉条纹的弯曲程度确定被测表面的平面度误差值。主要用于测量小平面，如量规的工作面和千分尺测头测量面的平面度误差。 2、打表测量法：打表测量法是将被测零件和测微计放在标准平板上，以标准平板作为测量基准面，用测微计沿实际表面逐点或沿几条直线方向进行测量。打表测量法按评定基准面分为三点法和对角线法：三点法是用被测实际表面上相距最远的三点所决定的理想平面作为评定基准面，实测时先将被测实际表面上相距最远的三点调整到与标准平板等高；对角线法实测时先将实际表面上的四个角点按对角线调整到两两等高。然后用测微计进行测量，测微计在整个实际表面上测得的最大变动量即为该实际表面的平面度误差。 3、液平面法：液平面法是用液平面作为测量基准面，液平面由“连通罐”内的液面构成，然后用传感器进行测量。此法主要用于测量大平面的平面度误差。 割平面法 求解整数规划问题： Max Z=3x 1+2x 2 2x 1+3x 2?14 4x 1+2x 2?18 x 1,x 2?0，且为整数 解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。从而有： Max Z=3x 1+2x 2 2x 1+3x 2+x 3=14 2x 1+x 2+x 4=9 x 1,x 2?0，且为整数 利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1： 表1 最优解为：x 1=13/4, x 2=5/2, Z=59/4 根据上表，写出非整数规划的约束方程，如： x 2+1/2x 3-1/2x 4=5/2 (1) 将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即： (1+0)x 2+(0+1/2)x 3+(-1+1/2)x 4=2+1/2 把整数及带有整数系数的变量移到方程左边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得： x 2 - x 4-2 =1/2-(1/2x 3+1/2x 4) (2) 由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x 2和x 4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。又因为x 3,x 4?0，所以必有： 由于(2)式右端必为整数，于是有： 1/2-(1/2x 3+1/2x 4)?0 (3) 或 x 3+x 4?1 (4) 这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程，它是用非基变量表示的，如果用基变量来表示割平面约束方程，则有： 2x 1+2x 2?11 (5) 从图1中可以看出，(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域，使点E(3.5，2)成为可行域的一个极点。 图1 在(3)式中加入松弛变量x 5，得： -1/2x 3-1/2x 4+x 5=-1/2 (6) 将(6)式增添到问题的约束条件中，得到新的整数规划问题： Max Z=3x 1+2x 2 2x 1+3x 2+x 3=14 2x 1+x 2+x 4=9 怎样计算平板的平面度 1、最近很多朋友都向我咨询铸铁平板的平面度怎么计算，我整理了一些资料不知道对大家有没有帮助；有兴趣的朋友可以参考一下。对于用刀口尺和微米量块检定尺寸较小的平板，其平面度算法比较简单。但是对于大尺寸平板需要用电子水平仪或者自准直仪来检定，其数据处理是比较繁琐，也没有更好的手算方法，通常只能借助程序进行数据处理。对于小铸铁平板，按照米字形测量，其算法如下： a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 测量a1b2c3对角线，在a1、c3位置架设1mm的等高量块，在b2位置塞入恰好能塞入的量块（原理同塞尺），如恰好塞入1.003mm的量块，说明受检点处凹下0.003mm，同理测量米字形的八条线，记下数据。如得到一组测量数据（单位：μm）： a1，b2，c3=0，-3，0 c1，b2，a3=0，-3，0 a1，a2，a3=0，-1，0 b1，b2，b3=0，-1，0 c1，c2，c3=0，-1，0 a1，b1，c1=0，-2，0 a2，b2，c2=0，-2，0 a3，b3，c3=0，-1，0 得到米字形数据表为： 0 -1 0 -2 -3 -2 0 -1 0 平板的平面度为3μm 以上不过这是特例，很多平板的对角线所测得的数据是无法正好重合的，需要以一根对角线为基准，另外七条线采用数据叠加的方法运算，但道理是相通的，如果大家有什么不明白的可以再问我。以下大家可以参考一下啊。 铸铁平板1、范围本标准规定了精度等给为000级、00级、0级、1级、2级、3级铸铁平板的型式与尺寸，技术要求，检验方法，标志与包装等。本标准适用于工作面为160m×100mm～ 4000mm×2500mm（长度×宽度）的铸铁平板（以下简称平板）。2、引用标准下列标准所包含的条文，通过在本标准中引用而构成为本标准的条文，本标准出版时，所示版本均为有效。所有标准都会被修订，使用 检测平面度的方法介绍 一、平面度的定义 平面度是指基片具有的宏观凹凸高度相对理想平面的偏差。 平面的平面度公差符号、基本表示方法，如图1所示。 图1 二、平面度误差的检测方法 平面度误差是指被测实际表面相对其理想表面的变动量，理想平面的位置应符合最小条件，平面度误差属于形位误差中的形状误差。 平面度误差的测量方法： 直接测量法 间接测量法 利用太友科技数据采集仪连接百分表法 1、直接测量法 通过测量可直接获得平面上各点坐标值或能直接评定平面度误差值的方法。具体如下: 平晶干涉法 测微表测量法 光轴法、液面法等。 1）平晶干涉法 干涉法测量平面度误差，是把平晶放在它所能覆盖的整个被测平面上，用平晶工作面体现理想平面，根据测量时出现的干涉条纹形状和数目，由计算所得的结果作为平面度误差值，如图所示。 该方法只适合测量精研小平面及小光学元件。 2）测微表测量法 用3个可调支承将被测件支撑在标准平板上，用测微仪指示。调整可调支承，用三点法或四点法（对角线法）进行测量。然后用测微仪读出被测表上各点的最大与最小读数差作为平面度误差值的测量结果。该测量方法适用于车间较低精度、中等尺寸的工件。 3）光轴法 光轴法测量平面度误差是利用准直类仪器2、以它的光轴经转向棱镜3扫描的平面作为测量基准，将瞄准靶1放置在实际被测平面4上，按选定的布点，测出各测点相对于该测量基准的偏离量，再经数据处理评定平面误差值。 2、间接测量法 特点：测量精度高，但数据处理麻烦。因被测平面需测若干个截面，而各截面内的偏差值在测量时不是由同一基准产生，故须经复杂的数据后，才能获得各测量截面相对统一基准的坐标值。 适用于中大平面的测量。 测量方法：水平仪法、自准仪法、互检法 1）水平仪法 原理：以自然水平面作为测量基础。测量时，先把被测表面调到基本水平，然后把水平仪放在桥板上，再把桥板置于被测表面上，按照一定的布线逐渐测量，同时记录各测点的读数，根据测得的读数通过数据处理，即可得平面度误差值。 分类：依布线方法不同又分为水平面法和对角线法。 2）水平面法 采用网格布点，基准平面为过被测表面上的某给定点且与水平面平行的几何平面：测量时应采用同一桥板，各测点的同一坐标值用累积法求得，计算比较简单。测量时选择不同的起始点和不同的测量线，其数据处理的方法、结果不同。存在一个最佳结果。 3）对角线法 采用对角线布点。 过渡基准平面是：过被测表面的一条对角线，且平行于被测表面的另一条对角线的平面。测量时常须用三块长度不同的板桥。数据处理较麻烦。 4）自准仪法 平面度误差计算 第1章、绪论 1.1、引言平面是由直线组成的，因此直线度测量中直尺法、光学准直法、光学自准直法、重力法等也适用于测量平面度误差。测量平面度时，先测出若干截面的直线度，再把各测点的量值按平面度公差带定义利用图解法或计算法进行数据处理即可得出平面度误差。也有利用光波干涉法和平板涂色法测量平面误差的。而基于3坐标测量机（以下简称CMM）的平面度测量和数据处理具有方便、快捷、高效的优势，这是因为3坐标测量机具有通用性强、测量精确高、测量效率高等优点，所以其他测量方法很难与之比拟。 3坐标测量机自从1959年由英国的Fementi公司发明以来，在这近510年的时间里，已经得到了极大的发展。特别是经过近210多年的发展和应用，在机械制造领域已经比较普及。但是随着科技的发展，也不断出现1些需要提高的想法，特别是超精密加工技术的发展，引起更多的构想。而现在随着微机械和纳米的兴起，对3坐标测量机的要求就更是提出了更多的想法，尤其是我国，因为处于发展之中，所以就这些方面，就更应当有个比较合适、周密的思考。例如在坐标测量机出现之前，很多0部件的测量是10分困难的，特别是复杂的0部件的测量，往往采取化整为0的办法，多次定位，逐个尺寸进行测量，尤其是测量时间太长，测量的误差又大，这是可以想象得到的。特别是自动化加工的出现，测量1直被认为是机械制造生产率提高和精度提高的瓶颈。特别是复杂的构件，测量的时间比制造的时间还长，如果百分之百的检测，那是无法想象的。比如汽车的外形测量，更是困难重重。 正是因为3坐标测量机的出现，这种现象便排除了。不仅解决了测量的速度，而且提高了测量的精度，特别是机械加工的换刀机构的移植到测量上，更扩大了功能，这对制造领域提高质量方面引起了很大的促进作用，特别是精密型CNC3坐标测量机(CNC－CMM)，促进了计量的自动化，大幅度提高了测量的效率和精度，并且代替了当前计量室的大部分测量工作，而将测量工作能在生产第1线上得到解决。国内外发展的FMC、FMS的生产线上大部分配置了3坐标测量机，这样就可能在制造1完成，质量也得到了评价，甚至起到质量的监控的作用。例如德国的MTO(发电机涡轮制造厂)的28种复杂0件的加工车间，是以自动化加工为主的，全部产品的检验是由4台Zeiss公司的CMM 组合在1起的测量中心测量，当天生产，当天测量，不仅测量了0件，而且可以发现加工设备的处在什么状态，起到了质量监控的作用。 本文就是在传统测量平面度误差的基础上进1步拓展测量视野，以计算机为依托，使用目前世界上最先进最流行的3坐标测量机进行平面度误差测量。 题目：割平面法及其数值实现 院系：数理科学与工程学院应用数学系 专业：数学与应用数学 姓名学号：*** 1****** *** 1****** *** 1****** *** 1****** 指导教师：张世涛 日期：2015 年 6 月11 日 整数规划与线性规划有着密不可分的关系，它的一些基本算法的设计都是从相应的线性规划的最优解出发的。整数规划问题与我们的实际生活有着密切的联系，如合成下料问题、建厂问题、背包问题、投资决策问题、旅行商问题、生产顺序表问题等都是求解整数模型中的著名问题。所以要想掌握生活中这些解决问题的方法，研究整数规划是必然的路径。用于解决整数规划的方法主要有割平面法，分支定界法，小规模0-1规划问题的解法，指派问题和匈牙利法。本文重要对整数规划中经常用的割平面法加以介绍及使用Matlab 软件对其数值实现。 割平面法从线性规划问题着手,在利用单纯型法的时候,当约束矩阵中出现分数,给出一种"化分为整"的方法。然后在割平面方法来解决整数线性规划的理论基础上,把"化分为整"的方法进行到底，直到求解出最有整数解。 关键词：最优化；整数规划；割平面法；数值实现；最优解；Matlab软件。 Abstract The integer programming are closely related to the linear programming. Some of the basic algorithms of the former are designed from the optimal solution of the corresponding linear programming. What’s more, our daily life has a close relationship with it as well, such as synthesis problem, plant problem, knapsack problem, investment decision problem, traveling salesman problem and production sequence table problems. They are famous questions in solving integer model. So, to study the integer programming is the inevitable way to master the methods of solving these problems in life. The methods used in solving the integer programming include cutting plane method, branch and bound method, and solving the problem of small-scale 0-1 programming, assignment problem and Hungarian method. In this paper, we introduce the cutting plane method and use Matlab to get its numerical implementation in the integer programming. Cutting plane method, giving us a "integrated" method when we meet the constraint matrix scores in the use of simplex method, starts from the linear programming problem. Then, based on the theory of cutting plane method to solve the integer linear programming, we use “integrated” method until the most integer solution is solved. Keywords:Optimization; Integer programming; Cutting plane method; Numerical implementation; Optimal solution; Matlab software. 割平面法 求解整数规划问题： Max Z=3x1+2x2 2x1+3x2?14 4x1+2x2?18 x1,x2?0，且为整数 解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。从而有：Max Z=3x1+2x2 2x1+3x2+x3=14 2x1+x2+x4=9 x1,x2?0，且为整数 利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1： 表1 最优解为：x1=13/4, x2=5/2, Z=59/4 根据上表，写出非整数规划的约束方程，如：x2+1/2x3-1/2x4=5/2 (1) 将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即：(1+0)x2+(0+1/2)x3+(-1+1/2)x4=2+1/2 把整数及带有整数系数的变量移到方程左边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得：x2 - x4-2 =1/2-(1/2x3+1/2x4) (2) 由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x2和x4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。又因为x3,x4?0，所以必有： 1/2-(1/2x3+1/2x4)<1 由于(2)式右端必为整数，于是有： 1/2-(1/2x3+1/2x4)?0 (3) 或 x3+x4?1 (4) 这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程，它是用非基变量表示的，如果用基变量来表示割平面约束方程，则有： 2x1+2x2?11 (5) 从图1中可以看出，(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部 分区域，使点E，2)成为可行域的一个极点。 图1 在(3)式中加入松弛变量x5，得： -1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 (6) 将(6)式增添到问题的约束条件中，得到新的整数规划问题： Max Z=3x1+2x2 2x1+3x2+x3=14 2x1+x2+x4=9 -1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 x i?0，且为整数，i=1,2,…,5 该问题的求解可以在表1中加入(6)式，然后运用对偶单纯形法求出最优解。具体计算过程见表2： 表2 §3.2 G o m o r y 割平面法 1、G o m o r y 割平面法的基本思想 ??? ?? ??≥=为整数向量x x b Ax t s x c T 0..min （P ） ?????≥=0..min x b Ax t s x c T （P 0） 称（P 0）为（P ）的松弛问题。记（P ）和（P 0）的可行区域分别为D 和D 0 , 则 （1）0D D ?； （2）若（P 0）无可行解，则（P ）无可行解； （3）（P 0）的最优值是（P ）的最优值的一个下界； （4）若（P 0）的最优解 0x 是整数向量，则 0x 是（P ）的最优解。 基本思想： （1）用单纯形法求解松弛问题（P 0），若（P 0）的最优解 0x 是整数向量， 则 0x 是（P ）的最优解。计算结束。 (2) 若（P 0）的最优解 0x 不是整数向量，则对松弛问题（P 0）增加一个 线性约束条件（称它为割平面条件）， 新增加的约束条件将（P 0）的行区域D 0割掉一块，且这个非整数向量 0x 恰在被割掉的区域内，而原问题（P ）的任何一个可行解（格点）都没有被割去。记增加了割平面的问题为（P 1）， 称（P 1）为（P 0）的改进的松弛问题。 （3）用对偶单纯形法求解（P 1），若（P 1）的最优解 1x 是整数向量，则 1x 是（P ）的最优解。计算结束。否则转（2） 割平面的生成： 对给定的（P ）， 用单纯形法求解它的松弛问题（P 0），得到（P 0）的最优基 本可行解 0x ，设它对应的基为 ),,(1m B B A A B Λ=， m B B x x ,,1Λ为 0x 的基变量，记基变量的下标集合为 S ，非基变量的下标集合为 S 。则松弛问题（P 0）的最优单纯形表为 ∑∈=+S j j j z x z 0ξ m i b x a x S j i j ij B i ,,1,Λ==+∑∈ （3.2.1） 为了使符号简便，令 000,,0z b a z x j j B ===ξ。如果 m i b i ,,1,0,Λ= 全 是整数，则 0x 是（P ）的最优解。计算结束。否则至少有一个 l b 不是整数 )0(m l ≤≤，设 l b 所对应的约束方程为 , ∑∈=+S j l j lj B b x a x l （3.2.2） 用 ][a 表示不超过实数 a 的最大整数，则 ,][, , ][l l l lj lj lj f b b S j f a a +=∈+= （3.2.3） 其中，lj f 是 lj a 的分数部分，有 S j f lj ∈<≤,10， l f 是 l b 的分数部分， 有 .10<≤l f 由于在（3.2.2）中的变量是非负的，因此有 ∑∑∈∈≤S j j lj S j j lj x a x a ][ （3.2.4） 所以由（3.2.2）得 , ][∑∈≤+S j l j lj B b x a x l （3.2.5） 因为在ILP 中 x 限制为整数向量，故（3.2.5）的左端为整数，所以右端用 l b 的整数部分去代替后，（3.2.5）式的不等式关系仍成立，即 平面度误差的测量 一、平面度误差的评定方法有； 1. 最小条件法，由两平行平面包容实际被测要素时，实现至少四点或三点接触。且具有下列形式之一者，即为最小包容区域，其平面度误差值最小。最小条件判别方法有下列三种形式。 （1）两平行平面包容被测表面时，被测表面上有3个最低点（或3个最高点）及1个最高点（或1个最低点）分别与两包容平面接触，并且最高点（或最低点）能投影到3个最低点（或3个最高点）之间，则这两个平行平面符合最小条件原则。见图1(a)所示。 （2）被测表面上有2个最高点和2个最低点分别与两个平行的包容面相接触，并且2个最高点投影于2个低点连线之两侧。则两个平行平面符合于平面度最小条件原则。见图1(b)所示。 (3)被测表面的同一截面内有2个最高点及1个低点（或相反）图1 平 面度误差的最小区域判别法 分别和两个平行的包容面相接触。则该两平行平面符合于平面度最小包容区原则，如图1(c)所示。 2.三角形法是以通过被测表面上相距最远且不在一条直线上的3个点建立一个基准平面， 各测点对此平面的偏差中最大值与最小值的绝对值之和为平面度误差。实测时，可以在被测表面上找到3个等高点，并且调到零。在被测表面上按布点测量，与三角形基准平面相距最远的最高和最低点间的距离为平面度误差值。 3. 对角线法是通过被测表面的一条对角线作另一条对角线的平行平面，该平面即为基准平面。偏离此平面的最大值和最小值的绝对值之和为平面度误差。 二、平面度测量步骤 检测:工具：平板、带千分表的测量架等。 检测时，将被测零件放在平板上，带千分表的测量架放在平板上，并使千分表测量头垂直地指向被测零件表面，压表并调整表盘，使指针指在零位。然后，按（图2）所示，将被测平板沿纵横方向均布画好网格，四周离边缘10mm，其画线的交点为测量的9个点。同时记录各点的读数值。全部被测点的测量值取得后，按对角线法求出平面度误差值。 图 2 平面度测量 工作单位：广东技术师范学院机电学院机械精度检测实验室作者：刘涵章关键词：平面度平面度误差三远点法三角形准则对角线准则对角线法 目录 一、什么是平面度 二、平面度误差值的各种评定方法 三、误差值评定的步骤： 四、实验教学中的实验仪器和实验步骤： 五、平面度误差值的各种评定方法应用举例 六、总结 一、什么是平面度 首先谈一谈什么是平面度，平面度就是实际平面相对理想平面的变动量。换句话说，就是被测平面具有的宏观凹凸高度相对理想平面的偏差。也可以说成是平整程度。 平面度公差是实际表面对平面所允许的最大变动量。也就是用以限制实际表面加工误差所允许的变动范围。这个变动范围可以在图样上给出。（可以插入一个图） 二、平面度误差值的各种评定方法 1. 最小区域判别准则： 由两个平行平面包容实际被测平面S时，S上至少有四个极点分别与这两个平行平面接触，且满足下列条件之一：（1）至少有三个高（低）极点与一个平面接触，有一个低（高）极点与另一个平面接触，并且这一个极点的投影落在上述三个极点连成的三角形内（三角形准则）；（2）至少有两个高极点和两个低级点分别与这两个平行平面接触，并且高极点连线和低极点连线在空间呈交叉状态（交叉准则）；这两个平行平面之间的区域即为最小区域，该区域的宽度即为符合定义的平面度误差值。就是最高点与最低点的差值。如下图所示： 2.三远点平面法和对角线平面法： 平面度误差值还可以用对角线平面法和三远点法评定。对角线平面法是指以通过实际被测平面一条对角线（两个角点的连线）且平行另一条对角线（其余两个角点的连线）的平面作为评定基准，取各测点相对于它的偏离值中最大偏离值（正值或零）与最小偏离值（零或负值）之差作为平面误差值。 三远点平面法是指以通过被测平面上相距最远的三个点构成的平面作为评定基准，取各测点相对于它的偏离值中最大偏离值（正值或零）与最小偏离值（零或负值）之值差作为平面度误差值。应当指出，由于从实际被测平面上选取相距最远的三个点有多种可能，因此按三远点平面法评定的平面度误差值不是唯一的，有时候差别颇大。 评定过程就是根据上述判别准则去寻找符合最小条件的理想平面位置的过程。可有多种数据处理方法，其中旋转法为最基本的方法。此法适用于前述各种测量方法获得的统一坐标值的数据处理。 三、误差值评定的步骤： 运筹学与最优化MATLAB 编程 实验报告 割平面法求解整数规划问题 一、 引言： 通过对MATLAB 实践设计的学习，学会使用MATLAB 解决现实生活中的问题。该设计是在MATLAB 程序设计语言的基础上，对实际问题建立数学模型并设计程序，使用割平面法解决一个整数规划问题。经实验，该算法可成功运行并求解出最优整数解。 二、 算法说明： 割平面法有许多种类型，本次设计的原理是依据Gomory 的割平面法。Gomory 割平面法首先求解非整数约束的线性规划，再选择一个不是整数的基变量，定义新的约束，增加到原来的约束中，新的约束缩小了可行域，但是保留了原问题的全部整数可行解。 算法具体设计步骤如下： 1、首先，求解原整数规划对应的线性规划 ,*)(min x c x f =???≥≤0 ..x b Ax t s ，设最优解为x*。 2、如果最优解的分量均为整数，则x*为原整数规划的最优解；否则任选一个x*中不为整数的分量，设其对应的基变量为x p ，定义包含 这个基变量的切割约束方程con j j ij p b x r x =+∑，其中x p 为非基变量。 3、令][ij ij ij r r r -=，][con con con b b b -=，其中[]为高斯函数符号，表示不大于某数的最大整数。将切割约束方程变换为 ∑∑-=-+j j ij con con j j ij p x r b b x r x ][][，由于0 第章整数规划割平面法 This manuscript was revised on November 28, 2020 割平面法 求解整数规划问题： Max Z=3x1+2x2 2x1+3x214 4x1+2x218 x1,x20，且为整数 解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。从而有：Max Z=3x1+2x2 2x1+3x2+x3=14 2x1+x2+x4=9 x1,x20，且为整数 利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1： 表1 最优解为：x1=13/4, x2=5/2, Z=59/4 根据上表，写出非整数规划的约束方程，如：x2+1/2x3-1/2x4=5/2 (1) 将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即：(1+0)x2+(0+1/2)x3+(-1+1/2)x4=2+1/2 把整数及带有整数系数的变量移到方程左边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得： x2 - x4-2 =1/2-(1/2x3+1/2x4) (2)由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x2和x4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。又因为x3,x40，所以必有： 1/2-(1/2x3+1/2x4)<1 由于(2)式右端必为整数，于是有： 1/2-(1/2x3+1/2x4)0 (3) 或 x3+x41 (4) 这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程，它是用非基变量表示的，如果用基变量来表示割平面约束方程，则有： 2x1+2x211 (5) 从图1中可以看出，(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域，使点E，2)成为可行域的一个极点。 图1 在(3)式中加入松弛变量x5，得： -1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 (6) 将(6)式增添到问题的约束条件中，得到新的整数规划问题： Max Z=3x1+2x2 2x1+3x2+x3=14 2x1+x2+x4=9 -1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 x i 0，且为整数，i=1,2,…,5 该问题的求解可以在表1中加入(6)式，然后运用对偶单纯形法求出最优解。具体计算过程见表2： 表2 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 平面度误差测量数据处理。 在大中专学校机械类各专业中，《互换性与测量技术基础》是一门重要的技术基础课，该课程内容十分丰富，而教学课时相对较少，许多重点和难点内容难以作详细讲解。其中形位公差与技术测量的内容学生理解掌握更为困难，在四项形位公差中，直线度与平面度误差的测量是一般机械制造行业主要的检测项目，故要求学生重点学习和掌握。直线度误差的测量相对较为简单，而平面度误差的测量及数据处理比较复杂，且理解困难。本文仅对平面度误差的测量和数据处理作较为详细的介绍，希冀初学者能尽快掌握这一重点和难点内容。 一、平面度误差的测量 平面度误差是指被测实际表面对其理想平面的变动量。 平面度误差是将被测实际表面与理想平面进行比较，两者之间的线值距离即为平面度误差值；或通过测量实际表面上若干点的相对高度差，再换算以线值表示的平面度误差值。 平面度误差测量的常用方法有如下几种： 1、平晶干涉法：用光学平晶的工作面体现理想平面，直接以干涉条纹的弯曲程度确定被测表面的平面度误差值。主要用于测量小平面，如量规的工作面和千分尺测头测量面的平面度误差。 2、打表测量法：打表测量法是将被测零件和测微计放在标准平板上，以标准平板作为测量基准面，用测微计沿实际表面逐点或沿几条直线方向进行测量。打表测量法按评定基准面分为三点法和对角线法：三点法是用被测实际表面上相距最远的三点所决定的理想平面作为评定基准面，实测时先将被测实际表面上相距最远的三点调整到与标准平板等高；对角线法实测时先将实际表面上的四个角点按对角线调整到两两等高。然后用测微计进行测量，测微计在整个实际表面上测得的最大变动量即为该实际表面的平面度误差。 3、液平面法：液平面法是用液平面作为测量基准面，液平面由“连通罐”内的液面构成，然后用传感器进行测量。此法主要用于测量大平面的平面度误差。 4、光束平面法：光束平面法是采用准值望远镜和瞄准靶镜进行测量，选择实际表面上相距最远的三个点形成的光束平面作为平面度误差的测量基准面。 除上述方法可测量平面度误差外，还有采用平面干涉仪、水平仪、自准直仪等用于测量大型平面的平面度误差。 二、平面度误差的评定方法 平面度误差的评定方法有：三远点法、对角线法、最小二乘法和最小区域法等四种。 1、三远点法：是以通过实际被测表面上相距最远的三点所组成的平面作为评定基准面，以平行于此基准面，且具有最小距离的两包容平面间的距离作为平面度误差值。 2、对角线法：是以通过实际被测表面上的一条对角线，且平行于另一条对角线所作的评定基准面，以平行于此基准面且具有最小距离的两包容平面间的距离作为平面度误差值。 3、最小二乘法：是以实际被测表面的最小二乘平面作为评定基准面，以平行于最小 检测工件平面度算法说明： 1：在基准面上取3个点分别为P1（x1,y1,z1），P2（x2,y2,z2），P3（x3,y3,z3）利用三点成面的公式计算出平面AX+BY+CZ+D=0作为基准平面 注：1、P1的X，Y坐标由人工输入，其余点有输入的X，Y移动量计算得出 2、所有点的Z坐标由激光测距仪提供 3、计算平面公式时，须计算出A,B,C,D A=y1*z2-y1*z3-y2*z1+y2*z3+y3*z1-y3*z2; B=-x1*z2+x1*z3+x2*z1-x2*z3-x3*z1+x3*z2; C=x1*y2-x1*y3-x2*y1+x2*y3+x3*y1-x3*y2; D=x1*y2*z3-x1*y3*z2-x2*y1*z3+x3*y1*z2+x2*y3*z1-x3*y2*z1; 2:在计算面上取3个点分别为P4（x4,y4,z4），P5(x5,y5,z5)，P6(x6,y6,z6)利用点到平面的距离公式分别求出D1,D2,D3，然后计算出D1,D2,D3的平方差，通过平方差的大小来判断计算面与基准面之间的平行度 注：1、计算点到面的距离公式是：D=abs(ax0+by0+cz0+d)/sqrt(a*a+b*b+c*c)； 2、计算方差公式为：Avg = （D1+D2+D3）/3 Var = (（D1-Avg）^2+（D2-Avg）^2+（D3-Avg）^2)/3 3、假设Par为设定的公差，则Par与Var之间的转换公式为Var = (4*Par*Par)/9,这个Var 即为设定的Var的上限（利用求极限法求出的） 4、程序运行页面显示的测量值为Display = Max（D1,D2,D3）-Min（D1,D2,D3），理由为 Display在Par之内才能算计算面的上下浮动的合理范围之内要是Display大于Par， 则肯定表示在Par之内。 基准面 实验五平面度误差的测量 一、实验目的 1. 了解平面度误差的测量原理及千分表的使用方法。 2. 掌握平面度误差的评定方法及数据处理。 二、实验内容 用千分表测量平面度误差。 三、测量原理 平面度公差用以限制平面的形状误差。其公差带是距离为公差值的两平行平面之间的区域。并规定，理想形状的位置应符合最小条件，常见的平面度测量方法有用指示表测量、用光学平晶测量平面度、用水平仪测量平面度及用自准仪和反射镜测量平面度误差，用各种不同的方法测得的平面度测值，应进行数据处理，然后按一定的评定准则处理结果。平面度误差的评定方法有； 1. 最小包容区域法，由两平行平面包容实际被测要素时，实现至少四点或三点接触。且具有下列形式之一者，即为最小包容区域，其平面度误差值最小。最小包容区域的判别方法有下列三种形式。 （1）两平行平面包容被测表面时，被测表面上有3个最低点（或3个最高点）及1个最高点（或1个最低点）分别与两包容平面接触，并且最高点（或最低点）能投影到3个最低点（或3个最高点）之间，则这两个平行平面符合最小包容区原则。见图1(a)所示。 （2）被测表面上有2个最高点和2个最低点分别与两个平行的包容面相接触，并且2个最高点投影于2个低点连线之两侧。则两个平行平面符合于平面度最小包容区原则。见图1(b)所示。 (3)被测表面的同一截面内有2个最高点及1个低点（或相反）分别和两个平行的包容面相接触。则该两平行平面符合于平面度最小包容区原则，如图1(c)所示。 图1 平面度误差的最小区域判别法 三角形法是以通过被测表面上相距最远且不在一条直线上的3个点建立一个基准平面，各测点对此平面的偏差中最大值与最小值的绝对值之和为平面度误差。实测时，可以在被测表面上找到3个等高点，并且调到零。在被测表面上按布点测量，与三角形基准平面相距最远的最高和最低点间的距离为平面度误差值。 2. 对角线法是通过被测表面的一条对角线作另一条对角线的平行平面，该平面即为基准平面。偏离此平面的最大值和最小值的绝对值之和为平面度误差。 分支定界法和割平面法 在上学期课程中学习的线性规划问题中，有些最优解可能是分数或消失，但现实中某些具体的问题，常要求最优解必须是整数，这样就有了对于整数规划的研究。 整数规划有以下几种分类：（1）如果整数规划中所有的变量都限制为（非负）整数，就称为纯整数规划或全整数规划；（2）如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数规划；（3）整数规划还有一种特殊情形是0-1规划，他的变量取值仅限于0或1。本文就适用于纯整数线性规划和混合整数线性规划求解的分支定界法和割平面法，做相应的介绍。 一、分支定界法 在求解整数规划是，如果可行域是有界的，首先容易想到的方法就是穷举变量的所有可行的整数组合，然后比较它们的目标函数值以定出最优解。对于小型问题，变量数量很少，可行的整数组合数也是很小时，这个方法是可行的，也是有效的。而对于大型的问题，可行的整数组合数很大时，这种方法就不可取了。所以我们的方法一般是仅检查可行的整数组合的一部分，就能定出最有的整数解。分支定界法就是其中一个。 分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。在二十世纪六十年代初由Land Doig 和Dakin 等人提出。由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。目前已成功地应用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等。 设有最大化的整数规划问题A ，与它相应的线性规划为问题B ，从解问题B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优目标函数必是A 的最优目标函数z *的上界，记作z ；而A 的任意可行解的目标函数值将是z *的一个下界z 。分枝定界法就是将B 的可行域分成子区域再求其最大值的方法。逐步减小z 和增大z ，最终求到z *。现用下例来说明： 例1 求解下述整数规划 219040Max x x z += ??? ??≥≥+≤+且为整数0,7020756792 12121x x x x x x 解 （1）先不考虑整数限制，即解相应的线性规划B ，得最优解为： 124.81, 1.82,356 x x z === 可见它不符合整数条件。这时z 是问题A 的最优目标函数值z *的上界，记作z 。而X 1=0，X 2=0显然是问题A 的一个整数可行解，这时0=z ，是z * 的一个下界，记作z ，即0≤z *≤356 。 （2）因为X 1X 2当前均为非整数，故不满足整数要求，任选一个进行分枝。设选X 1进行分枝，于是对原问题增加两个约束条件： [][]114.814, 4.8115 x x ≤=≥+= 于是可将原问题分解为两个子问题B 1和B 2（即两支），给每支增加一个约束条件并不影响问题A 的可行域，不考虑整数条件解问题B 1和 B 2 ，称此为第一次迭代。得到最优解 平面度误差最小区域新算法——有序判别法 核心提示：中文摘要：提出一种平面度误差最小区域新算法--有序判别法.该方法以最小区域准则为基础,直接以排序的高点和低点构成的初始评定平面进行最小包容区域的判定和搜索,最终求得平面度误差值.该方法易于理解和掌握,搜索判别有序.实例运算表明,首轮搜索成功率高、速度快. 1998 年 1 月计量... 中文摘要：提出一种平面度误差最小区域新算法--有序判别法.该方法以最小区域准则为基础,直接以排序的高点和低点构成的初始评定平面进行最小包容区域的判定和搜索,最终求得平面度误差值.该方法易于理解和掌握,搜索判别有序.实例运算表明,首轮搜索成功率高、速度快. 1998 年 1 月计量学报平面度误差最小区域新算法 ???有序判别法张之江于瀛洁张善钟 (哈尔滨工业大学机电学院 ,哈尔滨150001) 摘要提出一种平面度误差最小区域新算法 ???有序判别法。该方法以最小区域准则为基础 ,直接以排序的高点和低点构成的初始评定平面进行最小包容区域的判定和搜索 ,最终求得平面度误差值。该方法易于理解和掌握 ,搜索判别有序。实例运算表明 ,首轮搜索成功率高、速度快。关键词 : 平面度最小区域法误差本文于 1996 - 04 - 03 收 到 ,1997 - 05 - 11 修改收到。目前对平面度误差最小区域算法研究有不少〔1 - 3〕。通常 ,由于某些算法物理几何概念不够清晰 ,层次不明 ,搜索盲目性大 ,既影响运算速度又影响读者对方法的掌握和理解 ,不利于方法在实际中应用。为此 ,作者提出一种新的平面度误差最小区域算法 ???有序判别法。为使平面度误差计算结果精确唯一 ,其根本问题是要确定符合最小区域的两个包容平面。判别包容所有测量数据的两平行平面是否符合最小区域 ,有三条判别准则〔4 ,5〕,即 : (1)三角形准则 (图 1a) 两平行平面之一至少含有三个等值最高 (低) 点 ,另一平面至少含有一个最低 (高)点 ,且该最低 (高)点的投影在三个等值最高 (低)点组成的三角形之内。 (2)交叉准则 (图 1b) 两平行平面之一至少含有两个等值最高点 ,另一个平面至少含有两个等值最低 点 ,且前两点连线的投影与后两点连线互相交叉。 (3)直线准则 (图 1c) 两平行平面之一至少含有一个最高 (低) 点 ,另一平面至少含有两个等值最低(高)点 ,且该最高 (低)点的投影处于两等值最低 (高)点的连线上。图 1 当符合上述三条准则中的任一条时 ,则包容所有测量数据的两平行包容面便为符合最小转载区域的包容面。先求各采样点偏差值的最小二乘平面方程 ,设该平面方程为 :则各采样点到最小二乘平面的沿 z 轴的距离Δz i 为 :Δz i = z i - ( ax + by + c) (2)式中 z i 为各采样点的偏差值。然后以最小二乘平面为分界面 ,将采样点区分为高点和低点。即将Δz i > 0 的点 ,也就是位于最小二乘平面上方的点称为高点 ;将Δz i < 0 的点 ,也就是位于最小二乘平面下方的点称为低点。对各高点 (Δz i > 0 的点) 按高低次序排序。高的点(Δz i 值大的点) 在前 ,低的点 (Δz i 值小的点) 在后。对于等高的点 ,即Δz i 值相同的点 ,则按该点离最高点位置远近排序 ,远的排在前 ,近的排在平面度常识及测量方法
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第章整数规划割平面法
平面度常识及测量方法
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