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高中数学经典例题—与圆有关的最值问题

高中数学经典例题—与圆有关的最值问题
高中数学经典例题—与圆有关的最值问题

高中数学经典例题-与圆有关的最值问题

I .题源探究·黄金母题

【例1】已知圆()()2

2

:1225C x y -+-=,直线

()():211740,l m x m y m m +++--=为任意实数.

(1)求证:直线l 恒过定点;

(2)判断直线l 被圆截C 得的弦何时最长、何时最短?并求截得的弦长最短时m 的值以及最短长度. 【答案】(1)()3,1;(2)3

4

-

, 【解析】(1)直线l 的方程经过整理得

()()2740x y m x y +-++-=.由于m 的任意性,于是有

27,4.x y x y +-??+-?解此方程组,得3,

1x y =??

=?,即直线l 恒过定点()3,1D .

(2)因为直线l 恒过圆C 内一点D ,所以当直线l 经过圆心

C 时被截得的弦最长,它是圆的直径;当直线l 垂直于C

D 时

被截得的弦长最短.由()()1,2,3,1C D ,可知直线CD 的斜率为1

2

CD k =-,故当直线l 被圆C 截得的弦长最短时,直线

l 的斜率为2,于是有2121m m +-

=+,解得3

4

m =-,此时直线l 的方程为()123y x -=-,即250x y --=。 又

CD

=精彩解读

【试题来源】人教A 版必修2P 144B 组T6.

【母题评析】本题考查圆的有关最值问题,考查考生的分析问题、解决问题的能力. 【思路方法】结合圆的有关几何性质解题.

线l 被圆C 截得的弦最短时m 的值为34

-

,最短长度是

II .考场精彩·真题回放

【例2】【2017高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,点

()12,0A -,()0,6B ,点P 在圆22:50O x y +=上.若

20PA PB ?…,则点P 的横坐标的取值范围是 .

【答案】??-??

【解析】不妨设()00,P x y ,则22

0050x y +=

,且易知

0x ?∈-?.

因为PA PB AP BP =??()()000012,,6x y x y =+?-=

2

2000

0126x x y y ++-005012620x y =+-…,故00250x y -+….

2

所以点()00,P x y 在圆22

:50O x y +=上,且在直线

250x y -+=的左上方(含直线).联立2250

250x y x y ?+=?-+=?

15x =-,21x =,如图所示,结合图形知

0x ??∈-??.

【命题意图】本类题主要考查点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系,以及考查逻辑思维能力、运算求解能力、数形结合的能力、方程思想的应用.

【考试方向】这类试题考查根据给定直线、圆方程判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,同时考查通过数形结合思想、充分利用圆的几何性质解决圆的切线、圆的弦长等问题.在考查形式上,主要要以选择题、填空题为主,也有时会出现在解答题中,中档题.

【难点中心】

1.直线与圆的位置关系的判断方法

(1)几何法:由圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断. 若d r >,则直线与圆相离; 若d r =,则直线与圆相切;

若d r <,则直线与圆相交. (2)代数法

故填??-??.

【例3】【2015高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,以点()1,0为圆心且与直线210mx y m ---=()m ∈R 相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .

【答案】()2

2

12x y -+=

【解析】解法一(几何意义):动直线210mx y m ---=整理得()()210m x y --+=,则l 经过定点()2,1M -,故满足题意的圆与l 切于M 时,半径最大,从而

r =

=()

2

212x y -+=.

解法二(代数法——基本不等式):

由题意r d ====

=

=…

,当且仅当1m =时,

取“=”.故标准方程为()2

2

12x y -+=.

解法三(代数法——?

判别式):由题意r d

==

=22211

m m t m ++=+,则()21210t m m t --+-=,m ∴∈R ,

2.点与圆、圆与圆位置关系的判断方法,类似的也有几何法和代数法两种; 3.比较圆心距与两个圆的半径和与半径差的大小关系,特别是遇到参数问题时,如何建立等式或不等式是一个难点.

()()22

2410t ≥∴?=---,解得02t ≤≤

,max

d ∴=

【例4】【2015高考广东卷】已知过原点的动直线l 与圆

221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ,B .

(1)求圆1C 的圆心坐标;

(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;

(3)是否存在实数k ,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由.

【答案】(1)()3,0;(2)

2

23953243x y x ????-+=< ? ?????

…;(3

3325,,44k ???∈--??????

?.

【解析】(1)由22650x y x +-+=得()2

2

34x y -+=,所

以圆1C 的圆心坐标为()3,0;

(2)设(),M x y .因为点M 为弦AB 中点,即

1C M AB ⊥,所以1

1C M AB k k =-,即

13y y

x x

=--,所以线

段AB 的中点M 的轨迹的方程为

2

23953243x y x ????-+=< ? ?????

…;

(3)由(2)知点M

的轨迹是以3,02C ??

???为圆心,

32r =为半径的部分圆弧EF (不包括两端点),且5,33E ??

? ???

5,33F ??- ? ???

.又直线():4l y k x =-过定点()4,0D , 当直线l 与圆C

32

=得3

4k =±.

又05743

DE

DF

k

k ?- ??=-=-

=-

,所以当

3325,,447

7k ???∈--???????时,直线():4l y k x =-与曲

线C 只有一个交点.

III .理论基础·解题原理

考点一 与截距有关的圆的最值问题

形如t ax by =+形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题. 考点二 与斜率有关的圆的最值问题

形如y b

x a

μ-=

-形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题. 考点三 与距离有关的圆的最值问题

在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.常见的结论有:

(1)圆外一点A 到圆上距离最近为AO r -,最远为AO r +; (2)过圆内一点的弦最长为圆的直径,最短为该点为中点的弦;

(3)直线与圆相离,则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r +,最近为d r -;

(4)过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积. (5)直线外一点与直线上的点的距离中,最短的是点到直线的距离;

(6)两个动点分别在两条平行线上运动,这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离. 考点四 与面积相关的最值问题

与圆有关的最值问题,因与平面几何性质联系密切,且与圆锥曲线相结合的命题趋势,使与圆相关的最值问题成为命题宠儿.与圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.

IV .题型攻略·深度挖掘

【考试方向】

这类试题,通常以选择题或填空题的形式出现,试题难度不大,多为容易题、中档题;若以解答题的形式呈现,则有一定难度. 【技能方法】

1.数形结合法

处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.

研究与圆有关的最值问题时,可借助图形的性质,利用数形结合求解.常见的最值问题有以下几种类型:①形如y b

x a

μ-=

-形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;②形如t ax by =+形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;③形如(x -a )2+(y -b )2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

2.建立函数关系求最值

根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式,然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等进行求解.

2.利用基本不等式求解最值

如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征,如a b ?或者a b +的表达式求最值,常常利用题设条件建立两个变量的等量关系,进而求解最值.同时需要注意,“一正二定三相等”的验证.

V .举一反三·触类旁通

考向1 与斜率有关的圆的最值问题

【例1】如果直线()21400,0ax by a b -+=>>和函数()()1

10,1x f x m

m m +=+>≠的图象恒过同一个定

点,且该定点始终落在圆()()2

2

1225x a y b -+++-=的内部或圆上,那么

b

a

的取值范围是 A .??????3443, B .??? ??3443, C .??????3443, D .??

? ??3443,

【答案】C

【解析】函数()1

1x f x m

+=+恒过定点()1,2-.将点()1,2-代入直线2140ax by -+=可得

22140a b --+=,即()7,0,0a b a b +=>>.由点()1,2-在圆()()2

2

1225x a y b -+++-=内部或圆上

可得()()2

2

112225a b --+++-≤即2225a b +≤()0,0a b >>.22

7

3425a b a b a b +==????

?=+=??或43

a b =??=?.所以点(),a b 在以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上运动.b

a

表示以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率.所以min 303404b a -??==

?-??,max

404303b a -??== ?-??.所以3443b a ≤≤.故C 正确. 【例2】已知圆22:8150C x y x +-+=,直线2y kx =+上至少存在一点P ,使得以点P 为原心,半径为1的圆与圆C 有公共点,则k 的最小值是 ( )

A .43-

B .54-

C .35-

D .53

- 【答案】A

【跟踪练习】

1.已知实数x 、y 满足x 2+y 2=4,则

2

2-+y x xy

的最小值为 ( )

A .222-

B .222-

C .222+

D .222-- 【答案】A

2.在平面直角坐标系x y O 中,圆1C :()()221625x y ++-=,圆2C :()()22

21730x y r -+-=.若圆2C 上存在一点P ,使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ,B ,满足2PA =AB ,则半径r 的取值范围是_______. 【答案】[]5,55

【解析】由题,知圆1C 的圆心为(1,6)-,半径为5,圆2C 的圆心为(17,30),半径为r ,两圆圆心距为

30=,如图,可知当AB 为圆1C 的直径时取得最大值,所以当点P 位于点1P 所在位

置时r 取得最小值,当点P 位于点2P 所在位置时r 取得最大值.因为max ||10AB =,||2||PA AB =,所以

min 5r =,max 55r =.

3.过点()1,2M 的直线l 与圆C :()()2

2

3425x y -+-=交于,A B 两点,C 为圆心,当ACB ∠最小时,直

线l 的方程是 . 【答案】: 30x y +-=

【解析】:要使ACB ∠最小,由余弦定理可知,需弦长AB 最短.要使得弦长最短,借助结论可知当

()1,2M 为弦的中点时最短.因圆心和()1,2M 所在直线的42

131

k

-=

=-,则所求的直线斜率为1-,由点斜式可得1(2)30y x x y -=--?+-=.

【点评】此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题.

4.若圆C :034222=+-++y x y x 关于直线062=++by ax 对称,则由点(a ,b )向圆所作的切线长的最小值是_____________. 【答案】4

【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题,解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形.

考向2 与截距有关的圆的最值问题

【例3】【2017北京海淀模拟】设为不等式表示的平面区域,直线与区域有公共点,则的取值范围是_____.

【答案】或者

【解析】由题设到直线的距离,解之得,应填答案.【跟踪练习】

1.【2017江苏南通高三第三次调研考试】在平面直角坐标系xOy中,已知点,点,为圆上一动点,则的最大值是____.

【答案】2

点睛:首先根据问题将的表达式列出来,做最值问题的小题,首先得明确问题表达式,然后根据函数或

者基本不等式求解最值,本题解题关键在于,写出表达式后要将其化为斜率的定义求法来理解从而求得结论.

2.【2018安徽六安模拟】若直线2x y m =-

+与曲线y =恰有三个公共点,则实数m 的取值范

围是 ( )

A .

B .11)

C .(11)

D .1)

思路分析:直线2x y m =-

+与曲线y =m 的取值范围,可以转化为直

线2x y m =-

+的图象与曲线y =的图象有三个交点时实数m 的取值范围,作出两个函数

的图象,通过图象观察临界直线,从而求出m 的取值范围;本题曲线y =

画图时要分类讨论,知图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成.

3.【2018湖北稳派教育高三上学期第二次联考】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,且y

轴和直线

20x +=均与圆C 相切.

(1)求圆C 的标准方程;

(2)设点()0,1P ,若直线y x m =+与圆C 相交于M ,N 两点,且MPN ∠为锐角,求实数m 的取值范围.

【答案】(1)()2

224x y -+=;(2

)22?--?-+ ??.

试题解析:

(1)设圆C 的标准方程为:故由题意得,解得,

∴圆C 的标准方程为:.

(2)由()

2

2

{

24

y x m

x y =+-+=消去y 整理得.

∵直线y x m =+与圆C 相交于M ,N 两点,∴,解得,

设,则.∴

依题意得()()()()121212121111PM PN x x y y x x x m x m ?=+--=++-+-

()()()212122110x x m x x m =+-++->,∴()()()2

21210m m m m +--+->,整理得210m m +->,

解得或.又,∴

2m --<<

2m <<-+.故实数m 的取值范围是.

点睛:(1)对于BAC ∠为锐角的问题(或点A 在以BC 为直径的圆外,或2

2

2

AB AC BC >+),都可转化为0AB AC ?>,然后坐标化,转化为代数运算处理.

(2)对于直线和圆位置关系的问题,可将直线方程和圆的方程联立消元后根据所得的二次方程的判别式、根据系数的关系,借助于代数运算处理.解题时注意“设而不求”、“整体代换”等方法的运用,以减少计算量、提高解题速度.

考向3 与距离有关的圆的最值问题

【例4】【2018广西南宁模拟】在平面直角坐标系xOy 中,已知()2

21125x y -+=,22240x y -+=,则

()()

22

1212x x y y -+-的最小值为( )

A .

.15 C .1215

D 【答案】B

【跟踪练习】

1.【2018江西赣州红色七校一联】已知圆C :

(a<0)的圆心在直线

上,且圆C 上的点到直线

的距离的最大值为

,则

的值为( )

A .1

B .2

C .3

D .4 【答案】C

【解析】圆的方程为

,圆心为

圆C 上的点到直线的距离的最大值为②

由①②得,a <0,故得 , =3.

点睛:圆上的点到直线的距离的最大值,就是圆心到直线的距离加半径;再就是二元化一元的应用. 2.【2018山西临汾一中、忻州一中、长治二中、康杰中学模拟】已知()2,0A ,直线4310x y ++=被圆

()()22

:313(3)C x y m m ++-=<所截得的弦长为P 为圆C 上任意一点,则PA 的最大值为( )

A .

B .5+. 【答案】D

【解析】根据弦心距、半径、半弦长的关系得: 2

2

311=135m ??-+ ?

??

,解得: 2m =或163m = (舍

去),当2m =时, PA 的最大值PC r +=D .

3.【2017辽宁辽南协作校一模】圆x 2+y 2-4x -4y -10=0上的点到直线x +y -8=0的最大距离与最小距离的差是( )

A .18

B .6

C ..

【答案】C

点睛:判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较繁琐,则用代数法.

4.【2017安徽宣城二模】已知P 是圆224x y +=上一点,且不在坐标轴上, ()2,0A , ()0,2B ,直线

PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N ,则2AN BM +的最小值为__________.

【答案】8

【解析】设点()2cos ,2sin P θθ,则直线PA 的方程: ()sin 2cos 1y x θθ=

--,则2sin 0,cos 1M θθ??

- ?-?

?

同理2cos ,0sin 1N θθ??

-

?-??

,则2AN BM + 2cos 4sin 6sin 1cos 1θθθθ=++

--的最小值为8. 5.【2107吉林省延边州模拟】点N 是圆()2

251x y ++=上的动点,以点()3,0A 为直角顶点的R t ABC ?另外两顶,B C 在圆2225x y +=上,且BC 的中点为M ,则MN 的最大值为__________.

【解析】

6.【2017山东济宁3月模拟考试】在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C : 22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率

1l : 1x y

a b

+=被椭圆C (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;

(Ⅱ)若直线1l 与圆D : 22640x y x y m +--+=相切: (i )求圆D 的标准方程;

(ii )若直线2l 过定点()3,0,与椭圆C 交于不同的两点E 、F ,与圆D 交于不同的两点M 、N ,求

EF MN ?的取值范围.

【答案】(I )2214

x y +=;(II )(i )()()22

325x y -+-=;(ii )(]0,8.

【解析】试题分析:(Ⅰ)由直线1l 过定点(),0a , ()0,b ,可得到225a b +=

,再结合

c a =,即可求出椭圆的方程;(Ⅱ)(i )利用圆的几何性质,求出圆心到直线1l 的距离等于半径,即可求出m 的值,即可求出圆D 的标准方程;(ii )首先设直线2l 的方程为()3y k x =-,利用韦达定理即可求出弦长EF 的表达式,同理利用圆的几何关系可求出弦长MN 的表达式,即可得到EF MN ?的表达式,再用换元法

29141,5t k ??

=+∈????

,即可求出EF MN ?的取值范围.

试题解析:(Ⅰ)由已知得直线1l 过定点(),0a , ()0,b , 225a b +=,

又2c a =, 222a b c =+,解得24a =, 2

1b =,故所求椭圆C 的标准方程为

2214

x y +=. (Ⅱ)(i )由(Ⅰ)得直线1l 的方程为

12

x

y +=,即220x y +-=,又圆D 的标准方程为()()2

2

3213x y m -+-=-,∴圆心为()3,2

,圆的半径r =

=

∴圆D 的标准方程为()()2

2

325x y -+-=.

(ii )由题可得直线2l 的斜率存在,设2l : ()3y k x =-,与椭圆C 的两个交点为()11,E x y 、()22,F x y ,

由()2

23,{1,

4y k x x y =++=消去y 得()

222214243640k x k x k +-+-=,由0?>,得2105

k ≤<

, 21222414k x x k +=+, 2122

364

14k x x k

-=+, ∴

EF ==

=.

又圆D 的圆心()3,2到直线2l : 30kx y k -

-=

的距离d =

=

∴圆D 截直线2l

所得弦长MN ==, ∴

EF MN ?==

设2

9141,5t k ??=+∈????, 214t k -=

,则EF MN ?==, ∵295025y x x =-+-的对称轴为259x =

,在5,19??

???

上单调递增, 016y <≤, ∴2

1109502516t t ????

<-+-≤ ? ?????

,∴08EF MN

【点睛】本题考查了椭圆方程的求法,考查了直线与圆锥曲线,直线与圆的位置关系,常采取联立直线和圆锥曲线方程,利用一元二次方程的根与系数关系求解,对于直线与圆的位置关系,常采取圆的几何性质较多,运算量较少点,圆锥曲线类的题目的特点就是运算量大,要求学生具有较强的运算能力,属于难题. 考向4 与面积相关的最值问题

【例5】 在平面直角坐标系中,,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线

240x y +-=相切,则圆

C 面积的最小值为_______________.

【答案】45

π

【例6】动圆C 经过点(1,0)F ,并且与直线1

x =-相切,若动圆C 与直线1y x =+总有公共点,则圆C 的面积的最小值_________________.

【答案】4π

【解析】设圆心为(,)a b ,半径为r ,|||1|r CF a ==+,即222(1)(1)a b a -+=+,即2

14

a b =

,∴圆心为21(,)4b b ,2114r b =+

,圆心到直线1y x =+

的距离为2

2|1|

14b b b d -+=

≤+

,∴3)b ≤-或2b ≥,当2b =时,min 1

4124

r =?+=,∴2min 4S r ππ==.

【跟踪练习】

1.设,m n R ∈,若直线10mx ny +-=与x 轴相交于点A ,与y 轴相交于点B ,且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2,O 为坐标原点,则ABO ?面积的最小值为_____________. 【答案】3

【解析】l 与圆相交所得弦的长为2

,故弦心距

d =

==,所以

22123m n mn +=

≥,16mn ∴≤,l 与x 轴相交于点A 1,0m ??

???,与y 轴相交于点B 1,0n ??

???

, 1111111632222

AOB S OA OB m n mn ?∴=

==≥?=. 2.【2017届高三七校联考期中考试】已知直线1:=-y x l 与圆M :01222

2=-+-+y x y x 相交于A ,C 两点,

点B ,D 分别在圆M 上运动,且位于直线AC 两侧,则四边形ABCD 面积的最大值为 .

【解析】3)1()1(01222

222=++-?=-+-+y x y x y x ,圆心M 到直线1:=-y x l 距离为

21

2|111|=-+,BD 为过圆心M 且垂直于AC 的直径时,四边形ABCD 面积取最大值,为30322

1

322121=?-?=??BD AC .

3.【2017河南安阳二模】已知圆:

,动点在圆:上,则

面积的最大值为( )

A .

B .

C .

D .

【答案】B

4.【2018河南洛阳模拟】已知两动圆2221:(F x y r +=和222

2:((4)(04)F x y r r +=-<<,

把它们的公共点的轨迹记为曲线C ,若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ,且曲线C 上的相异两点,A B 满足:0MA MB =.

(1)求曲线C 的方程;(2)证明直线AB 恒经过一定点,并求此定点的坐标; (3)求ABM ?面积S 的最大值.

【答案】(1)

;(2)证明见解析,定点坐标为3(0,)5N -;(3)64

25. 【解析】

试题分析:(1)设两动圆的公共点为Q ,根据椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆,由此求出轨迹方程;(2)先求出(0,1)M ,设1122(,),()A x y B x y ,当直线AB 斜率存在时设直线方程

为y kx m =+ 与椭圆方程联立,由韦达定理计算1212(1)(1)0MA MB x x kx m kx m ?=++-+-=线恒过定点3

(0,)5

N -,验证当直线AB 斜率不存在时也过此点即可;(3)将三角形面积分割成两部分进行

计算,即ABM △面积

12132225MNA MNB S S S MN x x ??=+=?-=,令t =即可求出面积的最大值.

(完整版)函数图象变换及经典例题练习

函数图象变换 1、平移变换(左加右减上加下减): y=f(x)h 左移→y=f(x+h); y=f(x)h 右移→y=f(x -h); y=f(x)h 上移→y=f(x)+h; y=f(x)h 下移→y=f(x)-h. 2、对称变换: y=f(x) 轴x →y= -f(x); y=f(x) 轴y →y=f(-x); y=f(x) 原点 →y= -f(-x). y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x); y=f(x) x y =→直线y=f -1(x); 3、翻折变换: (1)函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方, 去掉原x 轴下方部分,并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到; (2)函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左 边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到. 4、伸缩变换: y=f(x)ω?→x y=f(ωx ); y=f(x)ω ?→y y=ωf(x). 经典题型:作已知函数的图像、知式选图或知图选式、图像应用 例1.函数1 11--=x y 的图象是( ) 答案B 例2.如图所示,)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在]1,0[上的四个函数,其中满足性质:“对]1,0[中任意的1x 和2x ,)]()([2 1)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有( ) 答案A

例3、利用函数x x f 2)(=的图象,作出下列各函数的图象: (1))1(-x f ;(2)|)(|x f ;(3)1)(-x f ;(4))(x f -;(5).|1)(|-x f 例4已知0>a ,且≠a 1,函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的( ) 答案B 例5函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象如右上,则函数)(x f y =·)(x g 的图象是( ) 答案A 例6 已知函数y =f (x )的周期为2,当x ∈[-1,1]时f (x )=x 2,那么函数y =f (x )的图象与函数y =|lg x |的图象的交点共有( ). A .10个 B .9个 C .8个 D .1个 解析:画出两个函数图象可看出交点有10个.答案 A

2016届高考数学经典例题集锦:数列(含答案)

数列题目精选精编 【典型例题】 (一)研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. (1)求32,a a ; (2)证明: 312n n a -= . 解:(1)2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . (2)证明:由已知1 13 --=-n n n a a ,故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= , 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)等差数列{}n b 的各项为正,其前n 项和为n T ,且315T =,又112233,,a b a b a b +++成等比数列,求n T . 解:(Ⅰ)由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥, 两式相减得:112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥, 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= (Ⅱ)设{}n b 的公差为d ,由315T =得,可得12315b b b ++=,可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+,又1231,3,9a a a ===, 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+,解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正,∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同,且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立,数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; ⑵是否存在N k * ∈,使得(0,1)k k b a -∈,请说明理由. 点拨:(1)2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式,可以联想到已知n S 求n a 的方法,当2n ≥时,1n n n S S a --=. (2)把k k a b -看作一个函数,利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解:(1)已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N )① 2n ≥时,212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N )②

高中数学集合典型例题

-- -- 集 合 1.集合概念 元素:互异性、无序性、确定性 2.集合运算 全集U:如U =R 交集:}{B x A x x B A ∈∈=且 并集:}{B x A x x B A ∈∈=?或 补集:}{A x U x x A C U ?∈=且 3.集合关系 空集A ?φ 子集B A ?:任意B x A x ∈?∈ B A B B A B A A B A ??=??= 注:数形结合---文氏图(即韦恩图、Ve nn 图)、数轴 典型例题 1. 集合(){}0,=+=y x y x A ,(){}2,=-=y x y x B ,则=B A 2. 已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22,{}R x x y x Q ∈+-==,2,那么Q P 等于 3. 设(){}R b b x b x x A ∈=++++=,0122,求A 中所有元素之和. 4. 已知集合{}24,3,22++=a a A ,{}a a a B --+=2,24,7,02,且{}7,3=B A ,求a 的值. 5. 已知(){}011=+-=x m x A ,{}0322=--=x x x B ,若B A ?,则m 的值为 6. 已知{}121-≤≤+=m x m x A ,{}52≤≤-=x x B ,若B A ?,求实数m 的取值范围. 7. 设全集{}32,3,22-+=a a S ,{}2,12-=a A ,{}5=A C S ,求a 的值. 8. 若{}Z n n x x A ∈==,2,{}Z n n x x B ∈-==,22,试问B A ,是否相等. 9. 已知(){}a x y y x M +==,,(){}2,22=+=y x y x N ,求使得φ=N M 成立的实数a 的取值范围. 10. 设集合{}R x x x x A ∈=+=,042,(){}R x R a a x a x x B ∈∈=-+++=,,011222,若A B ?,求实数a 的取值范围. 11. 设R U =,集合{}R x a ax x x A ∈=+-+=,03442,(){}R x a x a x x B ∈=+--=,0122,{}R x a ax x x C ∈=-+=,0222,若C B A ,,中至少一个不是空集,求实数a 的取值范围. 12. 设集合(){}01,2=--=x y y x A ,(){} 05224,2=+-+=y x x y x B ,(){==y y x C ,}b kx +,是否存在N b k ∈,,使得()φ=C B A ?若存在,请求出b k ,的值;若不存在,请说明理由.

综合题:高一数学函数经典习题及答案

函 数 练 习 题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域: ⑴33y x =+- ⑵y = ⑶01(21)111 y x x =+-++-2、设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()2的定义域为_ _ _;函数f x ()-2的定义域为________; 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(21)f x -的定义域是 ;函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域: ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-+ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =

6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1,3],求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-,求函数()f x ,(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数,且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-,求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+,则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数,且当[0,)x ∈+∞时, ()(1f x x =,则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且,()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且 1()()1 f x g x x +=-,求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间: ⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数,则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ;函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( ) ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y , 52-=x y ; ⑵111-+=x x y , )1)(1(2-+=x x y ; ⑶x x f =)(, 2)(x x g = ; ⑷x x f =)(, ()g x =; ⑸21)52()(-=x x f , 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 ( ) A 、(-∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3) 11、若函数()f x =的定义域为R ,则实数m 的取值范围是( ) (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤,不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是( ) (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ) A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x =+≠是( ) A 、奇函数,且在(0,1)上是增函数 B 、奇函数,且在(0,1)上是减函数 C 、偶函数,且在(0,1)上是增函数 D 、偶函数,且在(0,1)上是减函数

高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一.【要点精讲】 1.向量的概念 ①向量:既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模(长度),记作|AB u u u r |.即向量的大小,记作|a |。向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,规定0r 平行于任何向量。(与0的区别) ③单位向量| a |=1。④平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量,记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2.向量的运算(1)向量加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图,已知向量a ,b ,在平面内任 取一点A ,作AB u u u r a ,BC u u u r b ,则向量AC 叫做a 与b 的和,记作a+b ,即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况: a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加: AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ,但这时必须“首尾相连”。②向量减法: 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.(3)实数与向量的积 3.两个向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ,使得b =a 。 二.【典例解 析】 题型一: 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段

(完整word版)高一数学必修一经典高难度测试题含答案

高中数学必修1复习测试题(难题版) 1.设5log 3 1=a ,5 13=b ,3 .051??? ??=c ,则有( ) A .a b c << B .c b a << C .c a b << D .b c a << 2.已知定义域为R 的函数)(x f 在),4(∞+上为减函数,且函数()y f x =的对称轴为4x =,则( ) A .)3()2(f f > B .)5()2(f f > C .)5()3(f f > D .)6()3(f f > 3.函数lg y x = 的图象是( )

4.下列等式能够成立的是( ) A .ππ-=-3)3(66 B = C =34 ()x y =+ 5.若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数,则下列关系式中成立的是( ) A .)2()1()23(f f f <-<- B .)1()2 3 ()2(-<-

6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,2()2f x x x =-,则()y f x =在R 上的解析式为 A . ()(2)f x x x =-+ B .()||(2)f x x x =- C .()(||2)f x x x =- D. ()||(||2)f x x x =- 7.已知函数log (2)a y ax =-在区间[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(0,2) D .(2,)+∞

高一数学集合练习题及答案-经典

升腾教育高一数学 满分150分 姓名 一、选择题(每题4分,共40分) 1、下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ,b ,c }的真子集共有 个 ( ) A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1,2}?A ?{1,2,3,4,5}则满足条件的集合A 的个数是 ( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},则C U (M ∪N )= ( ) A . {1,2,3} B. {2} C. {1,3,4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式:{}00∈,{}0??,Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? , {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中,错误的个数是 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 8、设集合A=} { 12x x <<,B=} { x x a <,若A ?B ,则a 的取值范围是 ( ) A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤ 9、 满足条件M U }{1=}{ 1,2,3的集合M 的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4

二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ,},|{2 A t t x x B ∈==,用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ,则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-,A={}2,b ,C U A={} 5,则a = ,b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或,{}41|><=x x x B 或,A B ?=____________. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ,A∩C=Φ,求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 19、已知集合{}1,1A =-,B=} { 2 20x x ax b -+=,若B ≠?,且A B A ?= 求实数 a , b 的值。

高中数学函数经典复习题含答案

《函 数》复习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域: ⑴y = ⑵y = ⑶01(21)111y x x = +-+ -2、设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()2的定义域为_ _ _;函数f x ()-2的定义域为________; 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(21)f x -的定义域是 ;函数 1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域: ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-+ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1,3],求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-,求函数()f x ,(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数,且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-,求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+,则()f x = 。

4、设()f x 是R 上的奇函数,且当[0,)x ∈+∞时, ()(1f x x =+ ,则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且,()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且 1()()1 f x g x x +=-,求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间: ⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数,则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ;函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( ) ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y , 52-=x y ; ⑵111-+=x x y , )1)(1(2-+=x x y ; ⑶x x f =)(, 2)(x x g = ; ⑷x x f =)(, ()g x =; ⑸21)52()(-=x x f , 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 ( ) A 、(-∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3) 11、若函数()f x =的定义域为R ,则实数m 的取值范围是( ) (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤,不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是( ) (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ) A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞U D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x =+≠是( ) A 、奇函数,且在(0,1)上是增函数 B 、奇函数,且在(0,1)上是减函数 C 、偶函数,且在(0,1)上是增函数 D 、偶函数,且在(0,1)上是减函数

高中数学圆的方程典型例题及详细解答

新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一:圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-. ∵圆心在0=y 上,故0=b . ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-. 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点. ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得:1-=a ,202 =r . 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为 13 12 4-=--= AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x . 又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r . 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x . 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22. ∴点P 在圆外. 说明:本题利用两种方法求解了圆的方程,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢?

高一数学《数列》经典练习题-附答案

强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1.{a n }是首项a 1=1,公差为d =3的等差数列,如果a n =2 005,则序号n 等于( ). A .667 B .668 C .669 D .670 2.在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3,前三项和为21,则a 3+a 4+a 5=( ). A .33 B .72 C .84 D .189 3.如果a 1,a 2,…,a 8为各项都大于零的等差数列,公差d ≠0,则( ). A .a 1a 8>a 4a 5 B .a 1a 8<a 4a 5 C .a 1+a 8<a 4+a 5 D .a 1a 8=a 4a 5 4.已知方程(x 2 -2x +m )(x 2 -2x +n )=0的四个根组成一个首项为4 1 的等差数列,则 |m -n |等于( ). A .1 B . 4 3 C . 2 1 D . 8 3 5.等比数列{a n }中,a 2=9,a 5=243,则{a n }的前4项和为( ). A .81 B .120 C .168 D .192 6.若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( ). A .4 005 B .4 006 C .4 007 D .4 008 7.已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 3,a 4成等比数列, 则a 2=( ). A .-4 B .-6 C .-8 D . -10 8.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若35a a =9 5 ,则59S S =( ). A .1 B .-1 C .2 D . 2 1 9.已知数列-1,a 1,a 2,-4成等差数列,-1,b 1,b 2,b 3,-4成等比数列,则2 1 2b a a 的值是( ). A . 2 1 B .- 2 1 C .- 21或2 1 D . 4 1 10.在等差数列{a n }中,a n ≠0,a n -1-2 n a +a n +1=0(n ≥2),若S 2n -1=38,则n =( ). A .38 B .20 C .10 D .9

高中数学_经典函数试题及答案

经典函数测试题及答案 (满分:150分 考试时间:120分钟) 一、选择题:本大题共12小题。每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.函数)12(-=x f y 是偶函数,则函数)2(x f y =的对称轴是 ( ) A .0=x B .1-=x C .21= x D .2 1-=x 2.已知1,10-<<x 时,,log )(2x x f =则当0m D .12-<<-m 或13 2 <

高一数学函数经典习题及答案

函 数 练 习 题 班级 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域: ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)111 y x x =+-++ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()2 的定义域为_ _ _;函数f x ()-2的定义域为________; 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(21)f x -的定义域是 ;函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,数m 的取值围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域: ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y =⑹ 22 5941x x y x +=-+ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y ⑽ 4y = ⑾y x =-

6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1,3],求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-,求函数()f x ,(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数,且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-,求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+,则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数,且当[0,)x ∈+∞时, ()(1f x x =+,则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且,()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且1()()1 f x g x x +=-,求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间: ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y =⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数,则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -= +的递减区间是 ;函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( ) ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y , 52-=x y ; ⑵111-+=x x y , )1)(1(2-+=x x y ;

高中数学必修一集合经典习题

集合练习题 一、选择题(每小题5分,计5×12=60分) 1.下列集合中,结果是空集的为() (A)(B) (C)(D) 2.设集合,,则() (A)(B) (C)(D) 3.下列表示①②③④中,正确的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 4.满足的集合的个数为() (A)6 (B) 7 (C) 8 (D)9 5.若集合、、,满足,,则与之间的关系为() (A)(B)(C)(D) 6.下列集合中,表示方程组的解集的是() (A)(B)(C)(D) 7.设,,若,则实数的取值范围是() (A)(B)(C)(D) 8.已知全集合,,,那么 是() (A)(B)(C)(D) 9.已知集合,则等于() (A)(B) (C)(D) 10.已知集合,,那么() (A)(B)(C)(D) 11.如图所示,,,是的三个子集,则阴影部分所表示的集合是()

(A)(B) (C)(D) 12.设全集,若,, ,则下列结论正确的是() (A)且(B)且 (C)且(D)且 二、填空题(每小题4分,计4×4=16分) 13.已知集合,,则集合 14.用描述法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为 15.设全集,,,则的值为 16.若集合只有一个元素,则实数的值为三、解答题(共计74分) 17.(本小题满分12分)若,求实数的值。 18.(本小题满分12分)设全集合,, ,求,,, 19.(本小题满分12分)设全集,集合与集合,且,求,

20.(本小题满分12分)已知集合 , ,且 ,求实数 的取值范围。 21.(本小题满分12分)已知集合 , , ,求实数的取值范围 22.(本小题满分14分)已知集合 , ,若 ,求实数的取值范围。 已知集合}31{≤≤-=x x A ,},{2A x y x y B ∈==,},2{A x a x y y C ∈+==,若满足B C ?, 求实数a 的取值范围. 已知集合}71{<<=x x A ,集合}521{+<<+=a x a x B ,若满足 }73{<<=x x B A ,求 实数a 的值.

高中数学-经典函数试题及答案

(满分:150分 考试时间:120分钟) 一、选择题:本大题共12小题。每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.函数)12(-=x f y 是偶函数,则函数)2(x f y =的对称轴是 ( ) A .0=x B .1-=x C .21= x D .2 1-=x 2.已知1,10-<<x 时,,log )(2x x f =则当0m D .12-<<-m 或13 2 <xy a

高一数学集合典型例题、经典例题

《集合》常考题型 题型一、集合元素的意义+互异性 例.设集合 {0} 例.已知A ={2,4,a 3-2a 2-a +7},B ={1,a +3,a 2-2a +2,a 3+a 2+3a +7},且A ∩B ={2,5},则A ∪B =____________________________ 解:∵A∩B={2,5},∴5∈A. ∴a 3-2a 2-a +7=5解得a =±1或a =2. ①若a =-1,则B ={1,2,5,4},则A∩B={2,4,5},与已知矛盾,舍去. ②若a =1,则B ={1,4,1,12}不成立,舍去. ③若a =2,则B ={1,5,2,25}符合题意.则A ∪B ={1,2,4,5,25}. 题型二、空集的特殊性 例.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-,且BA , 则实数m 的取值范围为_____________ 例.已知集合{}R x x ax x A ∈=++=,012,{} 0≥=x x B ,且φ=B A I , 求实数a 的取值范围。 解:①当0a =时,{|10,}{1}A x x x R =+=∈=-,此时{|0}A x x ≥=ΦI ; ②当0a ≠时,{|0}A x x ≥=ΦQ I ,A ∴=Φ或关于x 的方程2 10ax x ++=的根均为负数. (1)当A =Φ时,关于x 的方程210ax x ++=无实数根, 140a ?=-<,所以14a > . (2)当关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数时, 12121401010a x x a x x a ???=-≥??+=-?? 140a a ?≤?????>?104a <≤. 综上所述,实数a 的取值范围为{0}a a ≥. 题型三、集和的运算 例.设集合S ={x |x >5或x <-1},T ={x |a

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§ 1.2.1 函数的概念 ¤知识要点: 1. 设 A 、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应,那么就称 f :A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y = f (x) , x A .其中, x 叫自变量, x 的取值范 围 A 叫作定义域,与 x 的值对应的 y 值叫函数值,函数值的集合 { f ( x) | x A} 叫值域 . 2. 设 a 、b 是两个实数,且 a

高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案

高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 (1)对于函数)(x f y =,我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 (2)方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程0)(=x f 是否有实数根,有几个实数根。函数零点的求法:解方程0)(=x f ,所得实数根就是()f x 的零点 (3)变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线,则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根; 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根; 0?

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