高一数学必修5不等式题型总结
含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2
x 项的系数a 的符号分类,即0,0,0<=>a a a ；
例1
解不等式:()0122
>+++x a ax
分析:本题二次项系数含有参数，()044222
>+=-+=?a a a ，故只需对二次项
系数进行分类讨论。
解:∵()044222
>+=-+=?
a a a
解得方程 ()0122
=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a
a a x 24
222++--=
∴当0>a 时，解集为??
?
???????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或
当0=a 时,不等式为012>+x ,解集为????
??
>21|x x
当0 ? ???????+---<<++--a a a x a a a x 242242|22 例２ 解不等式()00652 ≠>+-a a ax ax 分析 因为0≠a ,0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|> 例３ 解不等式042 >++ax x 分析 本题中由于2 x 的系数大于０，故只需考虑?与根的情况。 解:∵162-=? a ∴当()4,4-∈a 即0 ????? ≠ ∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-?，此时两根分别为21621-+-=a a x ,2 16 22---=a a x ,显然21x x >， ∴不等式的解集为?? ? ???????----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+01412 2 解 因,012>+m ()()2 223414)4(m m -=+--=?，所以当3±=m ,即0=?时，解集为???? ??=21|x x ； 当33<<-m ，即0>?时，解集为?? ? ???????+--+-+>1321322 222m m x m m x x 〈或； 当33>- 三、按方程02 =++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类,即212121,,x x x x x x <=<； 例５ 解不等式)0( 01)1(2 ≠<++-a x a a x 分析:此不等式可以分解为:()0)1 (<--a x a x ，故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。 解:原不等式可化为： ()0)1(<--a x a x ,令a a 1=，可得：1±=a ,∴当1- a 1< ,故原不等式的 解集为???? ?? < 当01<<-a 或1>a 时， a a 1>,解集为? ?? ???< 。 例６ 解不等式0652 2>+-a ax x ，0≠a 分析 此不等式()02452 22>=--=?a a a ,又不等式可分解为()0)3(2>--a x a x ,故只需比较两根a 2与a 3的大 小. 解 原不等式可化为： ()0)3(2>--a x a x ,对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为 a x a x 3,221 ==,当 a 时,即 23a a ，解集为 {}a x a x x 23|<>或;当0 a ,解集为 {}|23x x a x a ><或 一元二次不等式 参考例题（2) 1.(1）解不等式121 ≤-x x （}0,1|{>-≤x x x 或） (２)不等式 11<-x ax 的解集为}21|{> 1=a ) 2.解下列关于x 的不等式： （1)01)1(2<++-x a a x (２）)23(0) 3)(2(-≠≠<-+-a a x x a x ，且 } 1|{01,1)3(1)2(} 1 |{10,1)1(a x a x a a a a x a x a a <<<<->Φ±=<<<<-<时，或当时，当时，或当 } 3,2|{3)3(}3,2|{32)2(}32,|{2)1(a x x x a x a x x a x a x x a <<-<><<-<<<-<<-<-<或时，当或时，当或时，当 （3）01)1(2 <++-x a ax （４)0)2)(2(>--ax x } 11 |{1)5(1)4(}1 1|{10)3(} 1|{0)2(}1,1 |{0)1(<<>Φ =<<<<>=>< x a a a x x a x x a x a x x a 时，当时，当时，当时，当或时，当 }2,2 |{,1)5(}2|{,1)4(}2 ,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22 | {,0)1(>< >≠=><<<<=<< x x a x x a a x x x a x x a x a x a 或时当时当或时当时当时当 (5)012<++x ax (6))(11 R a a x x ∈-<- Φ ≥-+-<<---<<-<=--->-+-< <时，当时，当时，当或时，当4 1 )4(}24112411|{410)3(}1|{0)2(} 2411,2411|{0)1(a a a x a a x a x x a a a x a a x x a } 1,1|{0)3(}1|{0)2(}11 | {0)1(a a x x x a x x a x a a x a -><<<=<<->或时，当时， 当时，当 3．（1）若不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．（22≤<-a ） (2)若不等式13 64222 2<++++x x m mx x 的解集为R ,求实数m 的取值范围.（31< 4．（1）已知}0)1(|{},023|{2 2≤++-=≤+-=a x a x x B x x x A , ①若 A B ，求实数a 的取值范围.;（2>a ) ②若A B ?，求实数a 的取值范围．；（21≤≤a ) ③若B A 为仅含有一个元素的集合,求a 的值.(1≤a ） （2）已知}03 1 | {≤--=x x x A ，B B A a x a x x B =≤++-= 且},0)1(|{2,求实数a 的取值范围. （31<≤a ） （3) 关于x 的不等式2 )1(|2)1(|2 2-≤ +-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x 的解集依次为A 与B , 若B A ?,求实数a 的取值范围. (31,1≤≤-=a a 或） (4)设全集R U =，集合}3|12||{},01 | {<+=≥+-=x x B x a x x A ,若R B A = , 求实数a 的取值范围. (12≤≤-a ） (5)已知全集R U =,}034|{},082|{},06|{2 222<+-=>-+=<--=a ax x x C x x x B x x x A , 若C B A ?)( ，求实数a 的取值范围.（ 21≤≤a ） 一元二次不等式及其解法 １．二次函数的图象及性质:二次函数c bx ax y ++=2 的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是???? ??--a b ac a b 4422，. 2．二次函数的解析式的三种形式: 2()f x ax bx c =++（一般式）; 12()()()f x a x x x x =-?-(零点式）； n m x a x f +-=2)()(（顶点式). 3．一元二次不等式的解法 一元二次不等式2 0ax bx c ++>()200ax bx c a ++<≠或的解集: 设相应的一元二次方程2 0ax bx c ++=0a ≠的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=?，则不等式的解的各种情况如下表： 0>? 0=? 0 二次函数 c bx ax y ++=2 (0>a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集 )0(02>>++a c bx ax {}2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ? ? ４．解一元二次不等式的步骤: (1)将二次项系数化为“＋”：A ＝c bx ax ++2 >0(或<0)(a >０)； (２)计算判别式?，分析不等式的解的情况; (3）写出解集． -- ５.讨论二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 在指定区间[]q p ,上的最值问题: (1)注意对称轴a b x 2- =与区间[]q p ,的相对位置.一般分为三种情况讨论，即:①对称轴2b a -在区间左边，函数在此区间上具有单调 性；②对称轴2b a -在区间之内;③对称轴2b a -在区间右边． （2）函数 ()02≠++=a c bx ax y 在区间[]q p ,上的单调性．要注意系数a 的符号对抛物线开口的影响． 6.二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置． 三、典型例题选讲 题型1：考查一元二次函数的性质 例1 函数 2 ([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是( ) A.0b ≥ B ．0b ≤ C.0b > Ｄ.0b < 解:∵函数2 ([0,))y x bx c x =++∈+∞的对称轴为2 b x =- , ∴函数2([0,)y x bx c x = ++∈+∞)是单调函数? -(0,)2 b ?+∞?02b -≤，?0b ≥．故选Ａ． 归纳小结：二次函数的单调区间是(,]2b a -∞-和[,)2b a -+∞，结合开口方向就可得出所需的条件,从而求出b 的范围． 例２ 已知二次函数的对称轴为x =x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析. 解: ∵二次函数的对称轴为x = 2()(f x a x b =++,∵()f x 截x 轴上的弦长为4， ∴ ()f x 过点(2,0) 和(2,0),()f x 又过点(0,1)-,∴4021a b a b +=??+=-?，解之得122 a b ?=? ??=-?, ∴ 21 ()(22 f x x =-． 归纳小结:求二次函数的解析式一般采用待定系数法，但要注意根据已知条件选择恰当的解析式形式:一般式、零点式和顶点式，正确的选择会使解题过程得到简化． 题型２：简单不等式的求解问题 例３ 求下列不等式的解集. (１)01442 >+-x x ；（２）0322 >-+-x x 解法一:因为21 0144,0212= ==+-=? x x x x 的解是方程．所以，原不等式的解集是? ?? ???≠21x x . 解法二：整理，得0322 <+-x x . 因为032,02=+- x x 方程无实数解,所以不等式0322<+-x x 的解集是?．从而，原不等式的解集是?. 归纳小结:解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系,按照解一元二次不等式的步骤求解，必要时要画出二次函数的图象进行观察． 例4 不等式022 <-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ,求a 与b 的值. 解法一:设022 =-+bx ax 的两根为1x 、2x ，由韦达定理得: ?????? ?-=?-=+a x x a b x x 22121 由题意得????????-=-+-=-21221a a b ∴1=a ,1-=b ，此时满足0>a ,0)2(42 >-?-=?a b ． 解法二：构造解集为{}21<<-x x 的一元二次不等式： 0)2)(1(<-+x x ，即022<--x x ，此不等式与原不等式022<-+bx ax 应为同解不等式，故1=a ，1-=b . 归纳小结：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为 {}21<<-x x ,不等式022<-+bx ax 需满足条件0>a ，0>?， 022=-+bx ax 的两根为11-=x ,22=x ．在解题时要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的关系． 题型３：含参不等式的求解问题 例5 解关于x 的不等式01)1(2 <++-x a ax . 证：分以下情况讨论 (１)当0=a 时，原不等式变为：01<+-x ，∴1>x ,即不等式的解集为{| 1}x x > （2)当0≠a 时,原不等式变为：0)1)(1(<--x ax ① ①当0 (>--x a x ，∴不等式的解为1>x 或a x 1<．即不等式的解集为1{|1}x x x a ><或;②当0>a 时,①式变为0)1)(1(<--x a x ．②,∵a a a -= -111， ∴当10<a ，此时②的解为a x 1 1<<．即不等式的解集为1{|1}x x a <<;当1=a 时,11=a ,此时②的解为?． 当1a >时, 11a <，即不等式的解集为1 {|1}x x a <<. 归纳小结：解本题要注意分类讨论思想的运用,关键是要找到分类的标准,就本题来说有三级分类: ?? ?? ??? ?????? ????????>=<<><≠=∈11100000 a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集,交集为空集，要做到不重不漏．另外,解本题还要注意在讨论0 01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解. 题型4：一元二次不等式的应用 例6 （１）已知函数 ()?? ?≥-<+-=01 1x x x x x f ,则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是( ） A ． { } 121|-≤≤-x x B .{}1|≤x x C ．{} 12|-≤ x x Ｄ.{} 1212|-≤≤--x x 解:依题意得11010 (1)()(1)1x x x x x x x x +<+???? ++-++?≥≤? ≤或 所以1 1 11R x x x x ≥-∈?<-??? ?≤??≤? 或1111x x x ≤≤<-??≤-或,选C. （2）若函数f （x ) =1222 --+a ax x 的定义域为R ，则a 的取值范围为_____＿_. 解： 函数 ()f x =R ，∴对一切x R ∈都有2 221x ax a +-≥恒成立，即220x ax a +-≥恒成立， 0∴?≤成立，即2440a a +≤,10a ∴-≤≤,故选A ． 归纳小结：解一元二次不等式往往与分段函数、指数函数和对数函数结合进行综合考查， 一般是借助于函数的性质和图象进行转化,再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式分析相应一元二次函数的性质,体现“三个二次”之间的紧密联系,这也是一元二次不等式的重要考点之一. 例７ 已知函数 21 sin sin 42 a y x a x =-+- +的最大值为2,求a 的值． 解:令sin t x =,[1,1]t ∈-，∴221()(2)24 a y t a a =--+-+，对称轴为2a t =,当112a -≤ ≤,即22a -≤≤时，2max 1(2)24y a a =-+=，得2a =-或3a =(舍去)．当12a >,即2a >时，函数221 ()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-上 单调递增，由max 111242y a a =-+-+=，得103a =;当12a <-,即2a <-时，函数22 1()(2)24 a y t a a =--+-+在[1,1] - 上单调递减,由 max 11 1242y a a =---+=，得2a =-（舍去). 综上可得,a 的值为2a =-或10 3 a =． 归纳小结:令sin t x =，问题就转化为二次函数的区间最值问题，再由对称轴与区间[1,1]-的三种位置关系的讨论就可求得a 的值.此题中要注意0a <的条件. 例8 设不等式2 220x ax a -++≤的解集为M ，如果M ?[1,4]，求实数a 的取值范围？ 解:M ?[1,4]有两种情况:其一是M =?，此时?＜0;其二是M ≠?,此时?=0或?>0，分三种情况计算a 的取值范围.设2()22f x x ax a =-++,有?＝2(2)4(2)a a --+=24(2)a a --，当?＜0时,－１＜a ＜2,M ＝??[1,4]；当?=0时,a ＝－１或2;当a ＝－1时M ={1}-?[1,4]；当a =2时，m ={2}?[1,4] 当?＞0时,ａ＜－1或a >2．设方程()0f x =的两根1x ,2x ,且1x ＜2x ,那么M =[1x ，2x ］，Ｍ?[1,4]?1≤x １ ＜x 2 ≤ 4???>?≤≤>>?0,410)4(,0)1(且且a f f ,即30 1870 0 12a a a a a -+>??->??>??<->?， ，， 或， 解得2＜a <718，∴M ?［1，4]时，a 的取值范围是（-1，718 )． 一元二次不等式解法应试能力测试 1.不等式0x 2x 62 <--的解集是( ） A ．}2x 23|x {<<- Ｂ．}23x 2|x {<<- Ｃ．}2x 2 3 x |x {>-<或 D ．}23x 2x |x {>-<或 2.设集合M ＝{x|0≤x<2}，}03x 2x |x {N 2 <--=，则有M ∩Ｎ＝（ ) A ．{x|0≤ｘ＜1} B.｛x|０≤x ＜2} Ｃ．{x|0≤ｘ≤1｝ D ．{x|０≤ｘ≤2} ３.对于任意实数x ，不等式0)2a (ax 2ax 2 <+-+恒成立，则实数ａ的取值范围是（ ) A.－1≤a ≤0 B.－1≤a ＜０ C.-1<ａ≤0 Ｄ．－1 ４.不等式0)6x )(4x (22 ≤--的解集为( ) A.｛x|－2≤x ≤２} B ．{x|ｘ≤-2或x ≥2} Ｃ．{x|-２≤ｘ≤２或x ＝6｝ D.｛x|x ≥2｝ 5．已知}Z x 04x 3x |x {A 2 ∈≤--=，，}Z x 06x x 2|x {B 2∈>--=，，则Ａ∩B 的非空真子集个数为( ) A ．2 Ｂ．3 C ．7 D ．8 6.已知}0q px x |x {A 2 ≤++=，}01 x 3 x | x {B >+-=，且A ∪Ｂ＝Ｒ,A ∩B ＝｛x ｜3＜x ≤４}，则p 、q 的值为( ) A ．p=－3，q=－4 Ｂ.p ＝-3,ｑ＝4 C.p=3，q ＝-４ D ．ｐ=3,q=４ 7．若关于x 的二次不等式021mx 8mx 2 <++的解集是{ｘ|－７ ８．不等式ax <++同解,则( ) Ａ.a ＝0且b ≤0 Ｂ．ｂ=0且ａ＞0 C.a=0且b>0 D.b=0且ａ<0 1．不等式035|x |3x 22 >--的解为___＿_＿_＿__＿＿＿__． 2.使函数| x |313x 2x y 2 -+--=有意义的ｘ的取值范围是___＿＿_____＿＿＿_＿． 3．已知}02x 3x |x {A 2 ≤+-=，}0a x )1a (x |x {B 2≤++-=，若B A ≠?，则ａ的取值范围是＿＿__＿_________＿； 若B A ?,则a 的取值范围是＿＿＿_____＿___＿__. 4．关于x 的不等式0b x x a <+-(ａ＋b>０)的解集是________＿___＿＿_． 1．为使周长为2０cm 的长方形面积大于2 cm 15,不大于2 cm 20,它的短边要取多长？ 2．解不等式x 2 1|x 2x |2 < -. ３．解关于x 的不等式04x )1a (2ax 2 >++-（ａ>0)． 4．k 为何值时，关于ｘ的不等式13 x 6x 4k kx 2x 22 2<++++对一切实数ｘ恒成立． 参考答案 一、 1．D 2.B 3.C 4．Ｃ 5．A 提示：因为A ∩B ＝{3,4} 6．A 提示：因B ＝{x|x<－1或x>3｝,由已知得Ａ＝{ｘ|－1≤ｘ≤4｝∴-1，４是0q px x 2 =++的两根,∴p=-3，q=－4. 7.C 8．A ，提示：因01x x 2 <++的解为?，只有ａ=０且b ≤0时,ax 二、 1．x<-５或x>5 提示：原不等式化为035|x |3|x |22 >--,∴|ｘ|>5 2．｛x|-3 １．设长方形较短边长为x cm,则其邻边长（10－x)c ｍ,显然０ 5x 55x 10 5x 105或 ∴55x 105-≤<- . 2．当x ≤0时,不等式无解,当x>0时，不等式化为x 21|2x |x < -,即2 1 |2x |<- 解得:25x 23<< 3.原不等式化为(a ｘ-2)(ｘ-2）>０ ，∵ａ＞０,∴0)2x )(a 2 x (>--,当ａ＝1 时,2a 2=,∴0)2x (2>-,∴{x|x ∈R 且ｘ≠2},当ａ≠1时:若a>1，则2a 2<，∴}2x a 2x |x {><或,若０ 2a 2 >,∴}22|{a x x x ><或. 4．∵3x 6x 42++恒正,∴不等式化为3x 6x 4k kx 2x 22 2++<++，即0)k 3(x )k 26(x 22>-+-+恒成立 ∴⊿0)k 3(8)k 26(2 <---=，∴03k 4k 2<+-,∴1＜k<3. 不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2112a b a b +≥+（当 a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结： ①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? ②无理不等式：转化为有理不等式求解 ()0()0()()f x g x f x g x ?≥????≥?? ?>? 定义域 ???<≥?????>≥≥?>0 )(0)()] ([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ??? ??<≥≥?<2 )] ([)(0 )(0 )()()(x g x f x g x f x g x f 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、， ac b 42-=?， 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 2 > = + + a c bx ax 有两相异实根 ) ( , 2 1 2 1 x x x x< 有两相等实根 a b x x 2 2 1 - = =无实根的解集 )0 ( 2 > > + + a c bx ax{} 2 1 x x x x x> <或 ? ? ? ? ? ? - ≠ a b x x 2 R 的解集 )0 ( 2 > < + + a c bx ax{} 2 1 x x x x< ?>≥?? ≠ ? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() min f x A >若不等式()B x f<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() max f x B < （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x,)，把它的坐标（y x,)代入 均值不等式应用（技巧）技巧一：凑项 1、求y = 2x+ 1 x - 3 （x > 3）的最小值 2、已知x > 3 2 ，求y = 2 2x - 3 的最小值 3、已知x < 5 4 ，求函数y = 4x – 2 + 1 4x - 5 的最大值。 技巧二：凑系数 4、当0 < x < 4时，求y = x(8 - 2x)的最大值。 5、设0 < x < 3 2 时，求y = 4x(3 - 2x)的最大值，并求此时x的值。 6、已知0 < x < 1时，求y = 2x(1 - x) 的最大值。 7、设0 < x < 2 3 时，求y = x(2 - 3x) 的最大值 技巧三：分离 8、求y = x2 + 7x + 10 x + 1 （x > -1）的值域； 9、求y = x2 + 3x + 1 x （x > 0） 的值域 10、已知x > 2，求y = x2 - 3x + 6 x - 2 的最小值 11、已知a > b > c，求y = a - c a - b + a - c b - c 的最小值 12、已知x > -1，求y = x + 1 x2 + 5x + 8 的最大值 技巧四：应用最值定理取不到等号时利用函数单调性 13、求函数y = x2 + 5 x2 + 4 的值域。 14、若实数满足a + b = 2，则3a + 3b的最小值是。 15、若 + = 2，求1 x + 1 y 的最小值，并求x、y的值。 技巧六：整体代换 16、已知x > 0，y > 0，且1 x + 9 y = 1，求x + y的最小值。 17、若x、y∈R+且2x + y = 1，求1 x + 1 y 的最小值 18、已知a，b，x，y∈R+ 且a x + b y = 1，求x + y的最小值。 19、已知正实数x，y满足2x + y = 1，求1 x + 2 y 的最小值 20、已知正实数x，y，z满足x + y + z = 1，求1 x + 4 y + 9 z 的最小值 技巧七：取平方 21、已知x，y为正实数，且x2 + y2 2 = 1，求x 1 + y2的最大值。 22、已知x，y为正实数，3x + 2y = 10，求函数y = 3x + 2y的最值。 23、求函数y = 2x - 1 + 5 - 2x（1 2 < x < 5 2 ）的最大值。 技巧八：已知条件既有和又有积，放缩后解不等式 24、已知a，b为正实数，2b + ab + a = 30，求函数y = 1 ab 的最小值。 不等式知识总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,；bc ac c b a 0,;bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,>; (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax （0>a ）和)0(02><++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 )(x x < 有两相等实根b x - == 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于取两边，小于取中间 三、均值不等式：若0a >，0b >，则a b +≥，即).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 1. 使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 2、常用的基本不等式：①()2 2 2,a b ab a b R +≥∈；②()22 ,2 a b ab a b R +≤∈； ③()20,02a b ab a b +?? ≤>> ???；④()2 22,22a b a b a b R ++??≥∈ ? ?? ;⑤)0(2>≥+ab b a a b 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 211 2 a b a b +≥≥ ≥ +（当a = b 时取等） 不等式 一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a bc d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-）， 但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若 0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则 a b c d >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >> 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11 a b >。如 （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 11,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则 若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ （答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ （答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______ （答：12,2??-- ??? ） 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如 （1）设0,10>≠>t a a 且，比较 2 1log log 21+t t a a 和的大小 （答：当1a >时，11log log 22a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11 log log 22 a a t t +≥（1t =时取等号））； （2）设2a >，12 p a a =+-，2 422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 （答：p q >）； （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 （答：当01x <<或43x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4 3 x =时，1+3 log x ＝2log 2x ） 三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如 高一数学必修5不等式知识点总结 精品文档 高一数学必修5不等式知识点总结 不等式是高一数学必修5非常重要的概念，有哪些知识点需要了解?下面学习 啦小编给大家带来高一数学必修5不等式知识点，希望对你有帮助。 高一数学必修5不等式知识点不等式(inequality) 用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。例如2x+2y?2xy，sinx?1， ex>0 ，2xx是超越不等式。 通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)?G(x，y，……，z )(其中不等号也可以为中某一个)，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。 不等式的最基本性质有:?如果x>y，那么yy;?如果x>y，y>z;那么x>z;?如果x>y，而z为任意实数，那么x+z>y+z;? 如果x>y，z>0，那么xz>yz;?如果x>y，z 由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，其中比较有名的有: 柯西不等式:对于2n个任意实数x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，恒有 (x1y1+x2y2+…+xnyn)2?(x12+x22+…+xn2)(y12+y22+…+yn2)。 排序不等式:对于两组有序的实数x1?x2?…?xn，y1?y2?…?yn，设yi1， yi2，…，yin是后一组的任意一个 1 / 7 精品文档 排列，记S=x1yn+x2yn-1+…+xny1，M=x1yi1+x2yi2+…+xnyin， L=x1y1+x2y2+…+xnyn，那么恒有S?M?L。 根据不等式的基本性质，也可以推出解不等式可遵循的一些同解原理。主要的有:?不等式F(x)F(x)同解。?如果不等式F(x) 0与不等式同解;不等式F(x)G(x) 不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号―>‖― ―?‖―?‖连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。 在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子，那它就是一个不等式. 如:甲大于乙(甲>乙),就是一个不等式.不等式不一定只有「>」,「0,即A>B.又同理可证:A>C,A>D.所以,A最大. 不等式是不包括等号在内的式子比如:(不等号大于等于号，小于等于号)只要用这些号放在式子里就是不等式咯.. 1.符号: 不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。 .确定解集: 比两个值都大，就比大的还大; 比两个值都小，就比小的还小; 比大的大，比小的小，无解; 比小的大，比大的小，有解在中间。 2 / 7 精品文档 三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。 .另外，也可以在数轴上确定解集: 把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集 含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()04422 2 >+=-+=?a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()04422 2 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24 22 1a a a x +- --= a a a x 24 22 2++ --= ∴当0>a 时,解集为?? ? ???????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为? ?? ???> 21|x x 当0+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|> 高中数学必修5__第三章《不等式》复习知识点总结与练习（一） 第一节不等关系与不等式 [知识能否忆起] 1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a － b ＞0?a ＞b ；a －b ＝0?a ＝b ；a －b ＜0?a ＜b . 2．不等式的基本性质 1.在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“c 的符号”等也需要注意． 2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用． 高频考点 1. 比较两个数(式)的大小 [例1]已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，试比较S 3a 3与S 5 a 5的大小． [自主解答]当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5 a 5； 当q ＞0且q ≠1时， S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5 )q 4(1－q ) ＝－q －1q 4＜0，所以S 3a 3＜S 5a 5. 综上可知S 3a 3＜S 5a 5. 由题悟法 比较大小的常用方法 (1)作差法： 一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法： 一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法： 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断． [注意]用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论． 以题试法 1．(2012·吉林联考)已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．c ≥b ＞a B ．a ＞c ≥b C ．c ＞b ＞a D ．a ＞c ＞b 解析：选A c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0， ∴c ≥b .将题中两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2. ∵1＋a 2－a ＝????a －122＋3 4>0，∴1＋a 2>a . ∴b ＝1＋a 2>a .∴c ≥b >a . 2. 不等式的性质 (2012·包头模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋b c ＜0；③a －c ＞b －d ；④a ·(d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( ) A ．1 B ．2 2012.3.26 1.两实数大小的比较 ?? ? ??<-?<=-?=>-?>0b a b a 0b a b a 0b a b a 一.不等式(淮上陌客） 2.不等式的性质：8条性质. 4.公式： 3.解不等式 (1)一元一次不等式 (2)一元二次不等式： 3.基 本不等式定理 ? ???? ??????? ? ?????????????????-≤+?<≥+?>≥+ ??? ????+≤+≥+?? ?? ???????? ?+≤??? ??+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a 1a 0a b ,a (2b a a b )b a (2b a ab 2 b a 2b a ab 2b a ab ) b a (2 1b a ab 2b a 2 22222 2 222倒数形式同号）分式形式根式形式整式形式11 22a b a b --+≤≤≤+??? ? << >> ≠>)0a (b x )0a (a b x )0a (b ax 一元二次不等式的求解流程： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式： 高次不等式： (4)解含参数的不等式：（1） (x – 2)( – 2)>0 （2）x 2 – (2 )3 >0； （3）2x 2 +2 > 0； 注:解形如2>0的不等式时分类讨 论的标准有： 1、讨论a 与0的大小； 2、讨论⊿与0的大小； 3、讨论两根的大小； 二、运用的数学思想： 1、分类讨论的思想； 2、数形结合的思想； 3、等与不等的化归思想 (4)含参不等式恒成立的问题： ??? ??用图象 分离参数后用最值函数、、、3 21 例1．已知关于x 的不等式 22(3)210x a x a +-+-??>0)x (g 0)x (g )x (f 0) x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g ) x (f 0)())((21>---n a x a x a x §不等式与不等关系 1）用不等式表示不等关系 引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是： 40v ≤ 引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%，写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5% 2.3%f p ≤?? ≥? 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。 问题2：某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高元，销售量就可能相应 减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢 解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5 (80.2)0.1 x x --? 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 … 2.5 (80.2)200.1 x x -- ?≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢 解：假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根。根据题意，应有如下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ; （2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负。 要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤??≥? ?≥? ?≥? §不等式与不等关系 \ 回忆初中不等式的的基本性质。 （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即若a b a c b c >?±>± （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；即若,0a b c ac bc >>?> （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。即若,0a b c ac bc >，∴a c b c +>+． * 实际上，我们还有,a b b c a c >>?>，（证明：∵a ＞b ，b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0．根据两个正数的和仍是正数，得(a －b)＋(b －c)＞0，即a －c ＞0，∴a ＞c ．于是，我们就得到了不等式的基本性质： （1）,a b b c a c >>?> （2）a b a c b c >?+>+ 一对一个性化辅导教案课题基本不等式复习 教学 重点 基本不等式 教学 难点 基本不等式的应用 教学目标掌握利用基本不等式求函数的最值学会灵活运用不等式 教学步骤及教学内容一、教学衔接： 1、检查学生的作业，及时指点； 2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。 二、内容讲解： 1．如果,a b R+ ∈2 a b ab +≥那么当且仅当时取“=”号）. 2．如果,a b R+ ∈ 2 2 a b ab + ?? ≤ ? ?? 那么（当且仅当时取“=”号） 3、在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等。 ①一正：函数的解析式中，各项均为正数； ②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 三、课堂总结与反思： 带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结 四、作业布置： 见讲义 管理人员签字：日期：年月日 作1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差 备注： 基本不等式复习 知识要点梳理 知识点：基本不等式 1．如果,a b R +∈2a b ab +≥（当且仅当时取“=”号）. 2．如果,a b R +∈2 2a b ab +?? ≤ ???（ 当且仅当时取“=”号）. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 类型一：利用（配凑法）求最值 1．求下列函数的最大（或最小）值. （1）求1 1x x +≥+（x 0）的最小值； （2）若x 0,0,24,xy y x y >>+=求的最大值 （3）已知,，且. 求的最大值及相应的的值 变式1：已知5 1 ,y=42445x x x <-+-求函数的最大值 高中数学必修5 第三章 不等式复习 一、不等式的主要性质： (1)对称性： a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相等实根 １.一元二次不等式先化标准形式（a 化正）２.常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：“大鱼”吃两边，“小鱼”吃中间 三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：（a 、b 为正数），即b a a b b a b a 112 2 222+≥ ≥+≥+（当a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 代数意义：?? ? ??<-=>=0a 0 00 ||a a a a a 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 4、解含有绝对值不等式的主要方法：解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号 五、其他常见不等式形式总结： ①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 0)()(0)()(>?>x g x f x g x f ；???≠≥?≥0 )(0)()(0)() (x g x g x f x g x f ②指数不等式：转化为代数不等式 )()()1()()(x g x f a a a x g x f >?>>；)()()10()()(x g x f a a a x g x f ③对数不等式：转化为代数不等式 ?????>>>?>>)()(0 )(0)()1)((log )(log x g x f x g x f a x g x f a a ?? ? ??<>>?<<>)()(0)(0 )()10)((log )(log x g x f x g x f a x g x f a a ④高次不等式：数轴穿根法: 奇穿，偶不穿 例题：不等式03 )4)(23(2 2≤+-+-x x x x 的解为（ ） A ．－1 高一数学必修5基本不等式总结和例题 基本不等式 典题精讲 例1（1）已知0＜x ＜ 31，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+x 1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论. （1）解法一：∵0＜x ＜3 1,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 31·3x(1-3x)≤31［2 )31(3x x -+］2=121，当且仅当3x=1-3x ，即x=61时，等号成立.∴x=61时，函数取得最大值12 1. 解法二：∵0＜x ＜31,∴3 1-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(31-x)≤3［2 31x x -+］2=121，当且仅当x=31-x,即x=61时，等号成立. ∴x=61时，函数取得最大值12 1. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2x x 1?=2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+x 1=-［(-x)+)(1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+)(1x -≥2,当且仅当-x=x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1?x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与11+x 的积为常数. 解：∵x ＞-1,∴x+1＞0. ∴f(x)=x+ 11+x =x+1+11+x -1≥2) 1(1)1(+?+x x -1=1. 当且仅当x+1=11+x ,即x=0时,取得等号. ∴f(x)min =1. 变式训练2求函数y=1 33224+++x x x 的最小值. 思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开. 解：令t=x 2+1，则t≥1且x 2=t-1. ∴y=1 33224+++x x x =1113)1(3)1(22++=++=+-+-t t t t t t t t . 高考基本不等式专题 典题精讲 例1（1）已知0＜x ＜ 31，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+x 1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论. （1）解法一：∵0＜x ＜3 1,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 31·3x(1-3x)≤31［2)31(3x x -+］2=12 1，当且仅当3x=1-3x ，即x=61时，等号成立.∴x=61时，函数取得最大值12 1. 解法二：∵0＜x ＜31,∴3 1-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(31-x)≤3［2 31x x -+］2=121，当且仅当x=31-x,即x=61时，等号成立. ∴x=61时，函数取得最大值12 1. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2x x 1?=2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+x 1=-［(-x)+) (1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+) (1x -≥2,当且仅当-x=x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1?x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与11+x 的积为常数. 解：∵x ＞-1,∴x+1＞0. ∴f(x)=x+ 11+x =x+1+11+x -1≥2) 1(1)1(+?+x x -1=1. 当且仅当x+1=11+x ,即x=0时,取得等号. ∴f(x)min =1. 变式训练2求函数y=1 33224+++x x x 的最小值. 思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开. 解：令t=x 2+1，则t≥1且x 2=t-1. ∴y=1 33224+++x x x =1113)1(3)1(22++=++=+-+-t t t t t t t t . ∵t≥1,∴t+t 1≥2t t 1?=2,当且仅当t=t 1,即t=1时，等号成立. 不等式与基本不等式 【知识点梳理】 1. 不等式的基本性质： （1）a b b a >?<（对称性）. （2）,a b b c a c >>?>（传递性）. （3）a b a c b c >?+>+；,a b c d a c b d >>?+>+. （4）,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>>>?>. （5）11,0a b ab a b >>? <；0,0a b a b c d c d >><>?>∈>且. （7 ）01)a b n Z n >>? >∈>且. 2.基本不等式： （1）若,a b R ∈，则2 2222 ()2,2a b a b ab a b ++≥+≥，当且仅当a b =时取“等号”. （2）若,a b R +∈ ，则2 a b +≥，当且仅当a b =时取“等号”. “和定积最大，积定和最小” （3）若,,a b c R ∈，则2222222,3()()a b c ab bc ca a b c a b c ++≥++++≥++. （4）若0a b c ++≥，则3333a b c abc ++≥. （5）若,,a b c R +∈ ，则3 a b c ++≥a b c ==时取“等号”. （6）若,,a b c R + ∈， 则31113a b c a b c ++≤≤≤++. 【例题讲解】 例1. 求函数1()(,0)f x x x R x x =+ ∈≠的值域. 例2. 若x y ∈+R ，，且14=+y x ，求xy 的最大值. 高一数学必修5不等式题型汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222 >+=-+=?a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()044222 >+=-+=? a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24 222++--= ∴当0>a 时,解集为?? ? ???????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为???? ?? >21|x x 当0+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a Θ ∴当0>a 时，解集为{}32|>必修五-不等式知识点总结
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