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福建省高考数学试卷分析

2008年福建省高考数学试卷分析

福州教育学院傅晋玖

一、2008年数学高考试卷评析

2008年福建省自主命题数学试卷的命制秉承了几年来我省自主命题的风格特点，符合08年教育部《考试大纲》和我省《考试说明》的规定及要求，命题从我省数学教学实际出发，坚持有利于新课程的实施，有利于人材的选拔；在考查考生进入高等学校继续学习能力的同时。注重考查考生的数学基础知识基本技能和数学思想方法、数学本质的理解水平的命题原则，命题思路清晰，试卷结构稳定，考点设置合理，体现了在知识网络的交汇点、思想方法的交织线和能力层次的交叉区内的命题取向，多视点、多角度、多层次地考查了考生继续学习所应具备的数学素养和潜力。试卷得到了学生、教师、社会的充分肯定，实测结果理想，实现了预期地目标，可谓是实验版的满意地合谐之作、漂亮的收官之作，对新高考命题依然有着积极地借鉴意义。

全卷结构、题型包括难度都基本稳定，没有偏题、怪题。多数试题都是以学生较为熟悉的面孔出现，主干内容、重点内容、重点知识及应用进行了突出地、重点地考查，知识和能力综合自然，考查全面深刻。整卷试题的坡度较好地实现了由易到难，低起点、入口宽、逐步深入的格局，坚持从基础知识、基本方法、重点内容出发编制试题，体现化归思想和模式识别的解题策略。命题在深化能力立意，积极改革创新上均作了谨慎和适度的探索，兼顾了数学基础，思想方法、思维、应用和潜能多方面的考查，在保持稳定、强调考与教的匹配的同时，适当融入课程改革的理念，拓宽了题材，选材多样化，宽角度，多视点地考查了数学素养，多层次地考查了思维能力，使考查具有一定的难度和深度，有利于优秀考生顺利发挥水平，更能有效区分不同能力层次的考生群体，形成了福建省命题的独特风格。

1．试题题型稳定，突出对主干知识的考查，重视对新增内容的考查, 更显成熟

2008年的试卷保持了2007年试卷的题型，题量及分值，保持了各主干知识及与新课程接轨内容的试题的大致比例，保持了考查风格，对基础知识的考查平谈中见深刻，不刻意追求知识点的覆盖面，与新课程接轨的内容不刻意追求形式上的突破，而是强调实质上的靠拢，在试题细节设计上下足功夫。无论是试卷的布局和题型的安排，还是在相对难度的控制和对继承和创新的把握上，都显得更加成熟。

2．充分考虑文、理科考生的差异，加大了区分力度，更符学情

文、理科考生在数学学习内容和的数学教学要求均不相同，数学思维方面的水平有差异，新课程中的这一特点更显突出，2008年的试题较好地关注了这种特点，在文、理考查目的大致相同的情况下，在内容选取、考查方式、综合力度、能力层次等方面都有较好地恰当地区别。如文第22题是在理第21题的题干下，采用降低综合度，大题设多问的方式来进行区分，第1问起点较低，易于动手，各问之间层次分明，难度逐渐加大，有较好的区分度，能很好发挥高考的选拔功能。

3．加大对基本数学思想方法的考查,，更有导向

数学《考试大纲》及《课标》明确把数学思想方法归入“三基”的范畴，并确定了一些重要的基本数学思想方法，2008年的试题突出了这方面的考查，注重了通性通法的考查，淡化了解题技巧，试卷考查的主要数学思想有：函数与方程的思想；数形结合的思想；转化与化归的思想；分类与整合的思想；特殊与一般的思想；或然与必然的思想；有限与无限的思想。同时，试卷以朴素的数学知识为载体全面考查了最基本的数学思想，体现了高考命题重实质、重内涵和思想价值，重学科的整体意义，注重通性通法、淡化特殊技巧的理念。对中学数学教学有较好的导向作用。加大对基本数学思想方法的考查是试卷的特点之一。

4．深化能力立意，强化代数推理，考查考生的学习潜能，更具选拔

选拔素质好，基础扎实，能力强，发展潜力大的考生进入高等学府深造，以能力立意来实现其是多年来高考命题的指导思想，2008年，强化了这一思想。许多试题都处在知识网络的交汇点，解答这类试题，考生需要综合思考，灵活运用所学各类知识和方法进行推算，同时需要扎实地基础、敏捷的思维、逻辑推理、代数推理的支撑。从能力立意角度讲，2008年的试题还突出了对考生数学思维能力的考查，许多试题若能先想清楚找到合适的解题思路和方向后再动手，则解答会较容易，否则陷入繁琐的运算之中。在强化通性通法的同时，试题设计力求平常中不失灵活脱俗、精巧别致、涵盖丰富，体现了数学理性思维的特点，以整体地、隐性地、平和的方式强化了试卷的选拔功能。

5．适度地数学应用意识创新意识的考查，更为公平

2008年福建试卷在文第5题、第9题、第18题，理第5题、第7题、第20题各设计了三道应题；文第16题，理第16题各设计了一道创新题，是定义型的信息迁移题，其本质都是在考生原有认知水平的基础上，通过即时学习便可即时理解和掌握的新知识，考查出考生在数学概念迁移到不同情景下的探究能力，从而检测考生进一步学习的潜能。保持了近几年背景公平、位置适当、难易适中的特点，且问题的表述更朴实，模式识别更方便、文理差异更突显，应用问题考查在模式识别后落脚到数学方法的运用上，创新问题落脚到数学地严谨地阅读理解和学习能力的迁移上，注重数学思维能力和数学素养的提高，妨能从根本上增强数学应用意识创新意识并最终达到灵活快捷地解答此类问题。

二、2008年数学科理科解答题情况分析

理17题分两小题设计，第1小题考查平面向量数量积、特殊角的三角函数值、和差角公式及asinx+bcosx的变形方法；第2小题主要考查倍角公式、有区间限制的二次函数的最值问题的解

法及基本的计算能力。本题虽为高考试题的基础题，但考点丰富；它在向量、三角、二次式等知识交汇点处设计试题，题型方法常规，它的功能不在于检测考生的数学能力水平，而侧重检测考生对数学基础知识的掌握程度. 但作为解答题的第一题，似综合度稍大。

答题中的主要错误：审题不清；计算出错；知识遗忘；方法不熟和书写错误。

理18题为立几解答题，是六大题中的第二题，较往年位置有所前移，是近几年来立几题比较好的考题，题型是学生熟悉的不规则锥体。无论是用传统方法的立几性质来解，还是用向量建立空间直角坐标系也好，入手都较容易，而且计算量也不大，数值较简单。主要考查直线与平面的位置关系，异面直线所成角，点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。此题共有三个问题，第一问要求证明线面垂直，考查面面垂直性质定理的掌握和应用。第二问求异面直线所成的角，只要作平移或用向量夹角公式均易解决。第三问虽具有一定探索性的问题，但此类题相信各校在做复习训练题时也做过不少，因此大部分学生都明白解题规范和步骤，但具有一定的难度。

答题中的主要错误：面面垂直的性质定理不熟，条件不能够写完整，写齐全。正所谓越简单越易丢分；用向量来证明第一小问题出现循环论证，先以O 为原点，OC 为X 轴，OD 为Y 轴，

OP 为Z 轴，建立直角坐标系，利用来0,=?=?C O P O O D O P O ρρρρ 说明；要“先证后算”，没

有去证明∠PBO 即为所求角；向量夹角公式的错误，出现D C B P D C B P D C B P COS ρρρρρρ??=,；建系问题，

有些学生建立的不是右手系，或乱建，随意取共点的三条边就说明是X 轴，Y 轴，Z 轴，如，以A 为原点，AB 为X 轴，AD 为Y 轴，AP 为Z 轴，取不共点但会垂直的三条直线，如以AB 为X 轴，AD 为Y 轴，AP 为Z 轴；线线成角应是锐角，计算出36,-

=D C B P COS ρρ，不会取夹角（不少写成36arccos -π或 )arccos(36

-）；计算不过关，由ta n ∠PBO=22

得出∠PBO=4π ；

答非所问，第三问是否存在，没有对Q 点的存在性做出分析判断后的肯定回答，或只以点坐标，点的位置来代替都不够准确。

理19题两小问，第一问较为简单，入题容易。通过求导，点代入、恒等、变形化归等差数列即可解决。第二问上了一个台阶，利用导数讨论三次函数的极值问题，这是学生较为熟悉的问题，但是在分类的问题上，对于学生而言有一定的区分度。19题第二问实质是二次函数动轴定区间问题的变式引申，出题角度新颖，而且主要考查思维能力，计算量不大，学生需由对二次函数的理解上进行正向迁移，“跳一跳就能摘到桃子”，放在19题位置较为恰当，遗憾的是⑴⑵问关联度不够，有拼凑之感。

答题中的主要错误：求导出错，计算出错、抄错。x x x f +=2)('或x x x f 2)('2-=居多，等差数列通项公式，求和公式不会用，上下行抄错，解方程出错；部分考生不理解点在曲线上，那么点坐标就要满足方程，故不懂得)2,(121++-n n n a a a 代入)('x f y =中得到方程；面对n n n n a a a a 222121+=-++没思路，不懂化简整理得到{}n a 等差数列，故采用了不完全归纳法，但又不懂用数学归纳法进行严格论证，数学是讲究逻辑性、严密性的一门学科，凡是猜测得到的结论都要加以严格证明；用导数求极值，很大一部分学生对基本概念、知识理解不透。在可导情况下，极值是一定在驻点中找，因而也称可疑点。极值点一定在开区间中找。

故据此两点?

??<≤≤<<--≤≤--

a a a a 等，等号放错位置，或者都没有等号，或者全是“≤”“≥”重复讨论，还有的是解出2,021-==x x 后无思路，或是单调性判断完之后无思路；在题意理解上有欠缺：①部分考生，认为求极值，按语文方式理解，只需求出12-<<-a ，极值3

2)2(-=-f ，10<

理20题为简单送分题，入题容易，得分高，大部分考生都能得手。主要考察概率的基本知识（独立事件，互斥事件，对立事件）的概率计算及离散型随机交量ξ的数学期望与分类思想。考查运用数学知识分析问题，解决问题的能力，所考察的概率与新教材的“条件概率”相呼应，题型新颖，体现了新老教材的衔接，是一道非常好的概率应用题。

答题中的主要错误：计算笔误如第一问概率 P=2/3*1/2=1/6 或2/9,第二问三个概率公式列对而出现计算错误（这样的考生多）都属于低级错误，失分实不该；考虑问题不周全，概率计算遗漏（分类不完整）如出现P （ξ=2）=P （A 1B 1）遗失P （A 1 A 2）；答卷马虎一是答案不简（如第二问答案是3/8，但答案为24/9，96/36，144/54等等非常多），二是字迹潦草，结构混乱，三是字母没有交代所代表的实际意义，或字母下标写错。

理21题为压轴题，问题设置切合学生实际，入题容易，出口有点高，第一问为送分题，可以从多方面入手。第二问是在运动变化过程中寻求不变的问题，考生在思路正确的情况下，认真计算就能得到一定的分数。本题有一定的运算量，这是事实，但它并不是纯粹考查考生的运算能力，有一定思维深度，如在得到a 2b 2m 2> a 2 -a 2b 2+b 2对m ∈R 恒成立（（a 2- a 2 b 2+b 2）k 2- a 2 b 2<0对k ∈R 恒成立）时，求a 的取值范围，这要求学生必须有一定的思维能力才能得到关于a 的不等式，从而使问题得到解决。

答题中的主要错误：思维不严密；逻辑错误；概念理解错误；计算错误；公式使用错误；答卷马虎；发挥失常。

理22题设计了三个小题，第(Ⅰ)小题求函数x x x f -+=)1ln()(的单调区间，属基础题；第（Ⅱ）的(i)小题以(Ⅰ)为依托，通过(Ⅰ)中函数在[]n ,0上的最小值设计数列，转入对使不等

式恒成立求参数最值的研究，解法较多，具有一定的难度；第（Ⅱ）(ii)小题则是在（Ⅱ）(i)的基础上，设计数列不等式的证明问题，其解决既可以利用（Ⅱ）(i)的结论，也可以起炉灶，但两者难度差异较大，但不管用哪种方法，都需要放缩法，难度较大。整个题目考查点多，可相互联系也可独立成题，解法灵活，得分点分散，考查力度大,有区分度，设计巧妙。

答题中的主要错误：概念理解错误：如未先求定义域，直接求异解不等式，得出减区间为（-∞，-1）和（O ，+∞）增区间为（-1,0）；)解)(x f '＞0，结论却为减区间； (Ⅱ)(i)中)2(2+-+n n n 的极限值当成极小值，从而漏了1=c ，使得结果错为1

0）写成[-1,0] ；令)2(2)(+-+=n n n n g 直接求导；计算错误：111)(-+=