2006年中考二次函数试题精选(1)

一、选填题：

1．已知a-b+c=0，9a+3b+c=0, 则二次函数y=ax 2+bx+c A ．第一或第四象限; B ．第三或第四象限; C 2．如图1是抛物线y=ax 2+2ax+a 2+2的一部分,( ) A ．（12

，0）； B ．（1， 0）； C ．（2， 0）； D ．（3，

(1) (2) (3) 3．二次函数2x y =的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是( ) (A)32+=x y (B)32-=x y (C)2)3(+=x y

(D)2)3(-=x y

4．已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴为直线x =－1，与x 轴的一个交点为(x 1，0)，且0＜x 1＜1，下列结论：

①9a －3b ＋c ＞0；②b ＜a ；③3a ＋c ＞0。其中正确结论的个数是( ) A 、0 B 、1 C 、3 D 、3 5．如图2，已知二次函数c bx ax y ++=2

的图象与x 轴交于点（-3，0），（x 1，0），且2b>0 ②6a+c>0 ③9a+c<0 ④9a+3b+2>0

其中正确的结论是_____________（将你认为正确结论的序号都填上）

6．如图3,小明从的二次函数y ＝ax 2+bx+c 图像中，观察得出了下面的五条信息：①a ＜0;②c ＝0;③函数的最小值为－3;④当x ＜0时，y ＞0;⑤当0＜x 1＜x 2＜2时，y 1＞y 2。你认为其中正确的有( )个。 A ：2 B ：3 C ：4 D ：5

二、解答下列各题：

7．如图，点A 在抛物线2

14

y x =

上，过点A 作与x 轴平行的直线交抛物线于点B ，延长AO BO ，分别与抛物线21

8

y x =-相交于点C D ，，连接AD BC ，，设点A 的横坐标为m ，且0m >．

（1）当1m =时，求点A

B D ，，的坐标； （2）当m 为何值时，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直； （3）猜想线段AB 与CD 之间的数量关系，并证明你的结论．

8．如图，抛物线y ＝－

12x 2＋5

2

x －2与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ． （1）求证：△AOC ∽△COB ；

（2）过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D ．若点P 在线段AB 上以每秒1个单位的速度由A 向B 运动，同时点Q 在线段CD 上也以每秒1个单位的速度由D 向C 运动，则经过几秒后，PQ ＝AC ．

9．如图，P 为抛物线4

1

23432+-=

x x y 上对称轴上右侧的一点，且点P 在x 轴上方，过点P 作P A 垂直x 轴与点A ，PB 垂直y 轴于点B ，得到矩形P AOB ．若AP =1，求矩形P AOB 的面积．

10．如图①，正方形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（0，10）、（8，4），顶点C 、D 在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点E （4，0）出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P 、Q 两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）求正方形ABCD 的边长．

（2）当点P 在AB 边上运动时，△OPQ 的面积S (平方单位)与时间t (秒)之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P 、Q 两点的运动速度．

（3）求（2）中面积S (平方单位)与时间t (秒)的函数关系式及面积S 最大值时点P 的坐标．（4分） （4）若点P 、Q 保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，∠OPQ 的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，∠OPQ 的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使∠OPQ =90o 的点P 有__________个．

（抛物线)0(2

≠++=a c bx ax y 的顶点坐标是(a b 2-，a

b a

c 442

-)．）

图① 图②

11．如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． （1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C

距守门员多少米？（取7=）

（3）运动员乙要抢到第二个落点D

，他应再向前跑多少米？（取5=）

12.如图11，已知抛物线32++-=mx x y 与x 轴的一个交点A （3，0）.

(1)你一定能分别求出这条抛物线与x 轴的另一个交点B 及与y 轴的交点C 的坐标，试试看；

（2）设抛物线的顶点为D ，请在图中画出抛物线的草图. 若点E （－2，n ）在直线BC 上，试判断E 点是否在经过D 点的反比例函数的图象上，把你的判断过程写出来； (3)请设法求出tan ∠DAC 的值.

13．已知：半径为1的⊙O 1与X 轴交于A 、B 两点，圆心O 1的坐标为（2, 0)，二次函数y=-x 2+bx+c 的图象经过A 、B 两点，其顶点为F.

（1）求 b 、c 的值及二次函数顶点F 的坐标；

（2）写出将二次函数y=-x 2

+bx+c 的图象向下平移1个单位再向左平移2个单位的图象的函数表达式； （3）经过原点O 的直线l 与⊙O 相切，求直线l 的函数表达式.

14．一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD 为直径的半圆O ，下部是一个矩形ABCD . ⑴当AD=4米时，求隧道截面上部半圆O 的面积；

⑵已知矩形ABCD 相邻两边之和为8米，半圆O 的半径为r 米.

①求隧道截面的面积S （米2）关于半径r （米）的函数关系式（不要求写出r 的取值范围）； ②若2米≤CD ≤3米，利用函数图象求S 的最大值（π取3.14，结果精确到0.1米）

15．已知P(m,a)是抛物线y=ax 2上的点，且点P 在第一象限. (1)求m 的值；

(2)直线y=kx+b 过点P ，交x 轴的正半轴于点A,交抛物线于另一点M. ①当b=2a 时，∠OPA=90°是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，举出一个反例说明；

②当b=4时，记△MOA 的面积为S ，求1

S 的最大值.

16.已知:AC 是⊙O`的直径,点A 、B 、C 、O 在⊙O`上OA=2.建立如图11所示的直角坐标系.∠ACO=∠ACB=60°.

(1)求点B 关于x 轴对称的点D 的坐标; (2)求经过三点A 、B 、O 的二次函数的解析式;

(3)该抛物线上是否存在在点P,使四边形PABO 为梯形?若存在,请求出P 点的坐标;

若不存在,请说明理由.

D

17．已知抛物线c bx x y ++=

2

2

1经过点(1，－1)和C(0，－1)，且与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 左边)，直线x = m (m > 0)与x 轴交于点D 。 ⑴求抛物线的解析式。

⑵在第一象限内，直线x 上是否存在点P ，使得以P 、B 、D 为顶点的三角形与△OBC 全等，若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由。

⑶在⑵的情况下，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点Q ，四边形AOPQ 能否为平行四边形？若能，求Q 点坐标，若不能，说明理由。

18．已知：抛物线y=-x 2+4x-3与x 轴相交于A 、B 两点(A 点在B 点的左侧)，顶点为P ．

(1)求A 、B 、P 三点坐标；

(2) 在下面的直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x 取何值时，函数 值y 大于零； (3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数，并说明理由.

19．已知：如图，A （0,1）是y 轴上一定点，B 是x 轴上一动点，以AB 为边，在∠OAB 的外部作∠BAE ＝∠OAB ，过B 作BC ⊥AB ，交AE 于点C.

(1)当B 点的横坐标为时，求线段AC 的长； (2)当点B 在x 轴上运动时，设点C 的纵、横坐标分别为y 、x

，试

求y 与x 的函数关系式（当点B 运动到O 点时，点C 也与O 点重合）； (3)设过点P （0，-1）的直线l 与(2)中所求函数的图象有两个公共点M 1(x 1，y 1)、M 2(x 2，y 2)，且x 12+x 22－6(x 1+x 2)=8，求直线l 的解析式．

20．已知抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式2+-=x y 并且线段CM 的长为22.

(1)求抛物线的解析式。

(2)设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。 (3)若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。

21．如图，已知二次函数34)1(2-+-=x x m y 的图象与x 轴交于点A 和B ，与y 轴交于点C 。 (1) 求点C 的坐标；

(2) 若点A 的坐标为(1，0)，求二次函数的解析式； (3) 在(2)的条件下，在y 轴上是否存在点P ，使以P 、O 、B 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，

请说明理由。

22．已知关于x 的二次函数22

12m y x mx +=-+与22

22

m y x mx +=--，这两个二次函数的图象中的一条与x

轴交于A, B 两个不同的点．

(l ）试判断哪个二次函数的图象经过A, B 两点；

(2）若A 点坐标为（-1, 0)，试求B 点坐标；

(3）在（2）的条件下，对于经过A, B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而减小？

23．已知：二次函数m x m x y ++-=)1(2的图象交x 轴于)0,(1x A 、)0,(2x B 两点，交y 轴正半轴于点C ，且

102

221=+x x 。

（1）求此二次函数的解析式； （2）是否存在过点D (0，

2

5

)的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点E ，使得点M 、N 关于点E 对称？若存在，求直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由。

24．连接着汉口集家咀的江汉三桥(晴川桥)，是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥。它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江，是江城武汉的一道靓丽景观。桥的拱肋ACB 视为抛物线的一部分，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为5米(不考虑系杆的粗细)，拱肋的跨度AB 为280米，距离拱肋的右端70米处的系杆EF 的长度为42米。以AB 所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立如图②所示的平面直角坐标系。 （1）求抛物线的解析式；

（2）正中间系杆OC 的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是OC 长度的一半？请说明理由。

第24题图② 第24题图①

25．如图，矩形纸片OABC 放在直角坐标系中，使点O 为坐标原点，边OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴的正半轴上，且OA=5，OC=3，将矩形纸片折叠，使点O 落在线段CB 上，设落点为P ，折痕为EF （1）当CP=2时，恰有OF=

4

13

，求折痕EF 所在直线的函数表达式； （2）在折叠中，点P 在线段CB 上运动，设CP=x （50≤≤x ），过点P 作P T ∥y 轴交折痕EF 于点T ，设点T 的纵坐标为y ，请用x 表示y ，并判断点T 运动形成什么样的图象； （3）请先探究，再猜想：怎样折叠，可使折痕EF 最长？并计

算出EF 最长时的值（不要求证明）。

26．如图抛物线y ＝333

2332+--

x x ，x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点c ，顶点为D 。 (1）求A 、B 、C 的坐标。

(2）把△ABC 绕AB 的中点M 旋转180°，得到四边形AEBC ： ①求E 点坐标。②试判断四边形AEBC 的形状，并说明理由。

(3）试探索：在直线BC 上是否存在一点P ，使得△PAD 的周长最小，若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由？

（图1）

（图2）

O

M N Q

P

H

K F

E D

C

B

A

27．某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线21

100

=

y x 的形状.现按

操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米.

⑴ 如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？

⑵ 如图2，若在一个坡度为1:5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱，求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？

28．26. 如图（十三），已知抛物线，直线经过点（，）y x y kx b B =

+=+14

1022

（1）求b 的值；

（）将直线绕着点旋转到与轴平行的位置时（如图①），直2y kx b B x =+

线与抛物线相交，其中一个交点为，求出点的坐标；y x P P =

+1412

（）将直线继续绕着点旋转，与抛物线相交，其··

··

314

12

y kx b B y x =+=

+

中一个交点为P'（如图②），过点P'作x 轴的垂线P'M ，点M 为垂足。是否存在这样的点P'，使△P'BM 为等边三角形？若存在，请求出点P'的坐标；若不存在，请说明理由。

（13）

29．已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点。

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；

（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A。求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长。

30.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l

从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M 在点N的上方).

(1)求A、B两点的坐标；

(2)设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S 与t的函数表达式；

(3)在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？

31．某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量y(万件)与销售单价x(元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支z(万元)(不含进价)与年销量y(万件)存在函数关系z=10y+42.5.

(1)求y关于x的函数关系式;

(2)度写出该公司销售该种产品年获利w(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式;(年获

利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额)当销售单价x为何值时,年获利最大?最大值是多少?

(3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用(2)小题中的函数图象

帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围.在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元?