初中数学中考复习专题：二次根式新型题(含答案)

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例析二次根式新题型

二次根式是中考的必考内容。近年来，随着新课标的逐步实行，有关二次根式问题的试题不断渗透新的理念:情境新、题型新、考查的角度新、出活题考能力。为帮助同学们熟悉新题型，迎接新挑战，特采撷部分试题并加以归类浅析，与大家共赏.

一、新运算型

例1、定义运算“@”的运算法则为: x @y = 4xy +，则 (2@6)@8= ．

析解：根据运算法则：x @y = 4xy +,首先计算2@6=462+?=4，再计算4@8=484+?=6.故答案应填6. 说明：正确解答此题的关键是：第一，理解好运算“@”的运算法则；第二，注意运算顺序，先算括号里面的2@6,这与平时我们的四则运算是一样的.

二、规律归纳型

例2、观察下列各式：111233+=，112344+=，113455

+=， 请你将发现的规律用含自然数

(1)n n ≥的等式表示出来 ．

析解:仔细分析给出的各等式，可以发现：等式左边的被开方数是两个数的和，一个是整数，另一个是分数，且其分子都为1，分母是比前面的整数大2的整数；等式右边是一个整数乘以一个二次根式的形式，其中的整数是比左边的整数大1的数，而二次根式中的被开方数正好是左边的那个分数.用含自然数n 的等式表示其规律即为21)1(21++=++n n n n .

说明：归纳、猜想题，常常是从简单情形入手，通过对若干特例的观察、分析，从中类比、归纳，发现其中的规律，进而猜想出具有一般规律的结论.

三、借助计算器探索型

例3、已知A=12

n -， B=32n -(n 为正整数)．当n ≤5时，有A

个值，并由此归纳出当以n ≥6时，A 、B 间的大小关系为 ·

析解：利用计算器计算：当n=6时，A=5.5,B ≈5.35,A ＜B;n=7时，A=6.5,B ≈5.94, A ＜B; n=8时，A=7.5,B ≈6.49, A ＜B;……由此可知A 、B 间的大小关系为A ＜B

说明：养成正确使用计算器的习惯，能熟练地运用计算器去完成复杂的运算或探究性问题，是国家数学课程标准和数学大纲的要求。从上例可看到，由于使用了计算器，避免了繁冗、重复的运算过程，大大提高了解题效率，

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计算器进课堂是时代的要求，学习的需要，应引起高度重视。

四、数形结合型

例4、细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题。

(),1121221+==

S ； (),2132222+==

S ； (),3143223+==

S ； …… ……

（1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律。

（2）推算出OA 10的长。

（3）求出S S S S 12223210

2++++…的值。 析解：（1）通过类比，可推知(),n n S n n 2112

+=+= （2） OA OA OA OA 1231012310===∴=,,,，…。

（3）S S S S 122232102++++… =++++=++++=(

)()()()()12223210214123105542222…… 说明：解这类题的关键是结合题设读懂图，从图中获取信息，借助数形结合，就能迅速、正确地找到解题途径。

五、综合应用型

例5、我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，

即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：

???

????????? ??-+

-=22

2222241c b a b a s ……①（其中a 、b 、c 为三角形的三边长，s 为面积）.

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而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：

))()((c p b p a p p s ---= ……②（其中2

c b a p ++=）. ⑴ 若已知三角形的三边长分别为5、7、8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s ； ⑵ 你能否由公式①推导出公式②？请试试

析解：(1)利用已知的公式直接代入求值即可.

???

????????? ??-+-?=22222228757541s

()

22217521-=310482

5== ； 又 ()1087521=++=p ， ∴ 31023510)810)(710)(510(10=???=---=s .

⑵注意到①中的被开方数能够分解因式，因而我们可以从因式分解入手分析.

???? ??-+-???? ??-++=???????????? ??-+-2241241222222222222c b a ab c b a ab c b a b a

()[]()[]

222216

1c b a b a c -+?--= ()()()()c b a c b a b a c b a c -++++--+=161 ()()()c p p b p a p 2222222161-??--= ()()()c p b p a p p ---=

∴ ))()((24122

2222c p b p a p p c b a b a ---=???????????? ??-+-

说明：此题的解答不仅要求我们具有较强的计算能力，而且也要求我们能够熟练的进行因式分解，这也是一项基本功；同时，此题的设计也是对我们的很好的人文教育和爱国主义教育.