2012数学建模夏令营A题论文

2012河南科技大学第九届大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从题目编号中选择一项填写）：夏令营A题

题目：

参赛队员：

姓名专业班级所在学院电话（手机）是否报名全国

竞赛

队长孙祥勇数应101 数学与统计学

院

152******** 是

队员1 杨长海数应091 数学与统计学

院

150******** 是

队员2 王志强

电气

101

电信学院

1523628650

是

深圳市人口与医疗需求的预测

摘要

针对问题一，根据深圳市的人口变化的特征，我们相应的建立了三个人口预测模型，分别用于对深圳人口的发展趋势做中短期的预测；

1、结合附表1中所给深圳历年人口数据，考虑到深圳人口变化收多种因素的影响比如出生率、死亡率、迁入迁出、社会经济等结构关系错综复杂的因素，我们建立灰色模型，简单而且能比较准确的描绘出深圳人口的变化情况，从而起到很好的预测效果；

表一：灰色模型预测2011—2020年深圳人口数量

年份2011 2012 2013 2014 2015

人口/万人1058.055 1093.27 1128.485 1163.7 1198.915

年份2016 2017 2018 2019 2020

人口/万人1234.13 1268.34 1304.5 1339.7 1374.9

2、分析附表2可知，影响深圳市人口变化越来越大的不是本地人口的增加量，而是每年的非户籍人口量，对数据的分析可知，1991年非户籍人口与户籍人口比是1.443991，而到了1992年此比例就飙升到了2.9697,1998年此比例竟达到了4.063962，从1994年此比例就不低于3.1，即深圳市人口数量随着时间是增加的趋势，因此，考虑在其他因素对深圳市人口变化影响不大的情况下，建立多项式回归模型预测深圳市未来十年的人口变化；

3、人口的自然增长率是不断变化的，人口的自然增长不可能在中长期内不可能近似于多项式回归模型，在统计材料充足的时候就不能再用灰色模型来预测人口的变化，因此便对前两种方法进行了改进。因为出生率和死亡率是影响户籍人口数量变化的两个最主要因素，假设国家的相关政策在这段时间内没有大的变化及深圳市的平均人口出生率和平均死亡率在这段时间内均不变，由此可建立指数回归模型，指数回归模型在出生率和死亡率不变的时候（即短期内）能起到很好的预测效果；

4、结合本文所用灰色预测模型、多项式拟合模型和指数模型，一标准差最小的多项式拟合模型预测的深圳市及各区的人口变化量为准，以5年为一个年龄段的长度，依据已经给出的各年龄段的男女比例计算出了2010年的深圳市各年龄段的男女比例，再运用以LESLIE矩阵推算出2015年和2020年深圳市的人口结构，并依据某些病的发病情况和发病年龄特征，以推测出的人口结构和2010年的不同医疗结构的床位数，预测了未来十年内不同机构的床位需求量。

针对问题二、首先选择某几种病种，并在<<深圳市统计年鉴>>上查找相关病种在不同年龄阶段的患病概率，在由问题一中统计的近十年（以短期为例）深圳市级各区人口变化量，即可计算出不同类型的医疗机构就医的床位需求量。

关键词：出生率、死亡率、灰色动态模型、多项式拟合、指数增长模型、灰色动态模型、性别比、老龄化、生育率。

一、问题重述

深圳人口与医疗需求预测

深圳是我国经济发展最快的城市之一，30多年来，卫生事业取得了长足发展，形成了市、区及社区医疗服务系统，较好地解决了现有人口的就医问题。

从结构来看，深圳人口的显著特点是流动人口远远超过户籍人口，且年轻人口占绝对优势。深圳流动人口主要是从事第二、三产业的企业一线工人和商业服务业人员。年轻人身体强壮，发病较少，因此深圳目前人均医疗设施虽然低于全国类似城市平均水平，但仍能满足现有人口的就医需求。然而，随着时间推移和政策的调整，深圳老年人口比例会逐渐增加，产业结构的变化也会影响外来务工人员的数量。这些都可能导致深圳市未来的医疗需求与现在有较大的差异。

未来的医疗需求与人口结构、数量和经济发展等因素相关，合理预测能使医疗设施建设正确匹配未来人口健康保障需求，是保证深圳社会经济可持续发展的重要条件。然而，现有人口社会发展模型在面对深圳情况时，却难以满足人口和医疗预测的要求。为了解决此问题，请根据深圳人口发展变化态势以及全社会医疗卫生资源投入情况（医疗设施、医护人员结构等方面）收集数据、建立针对深圳具体情况的数学模型，预测深圳未来的人口增长和医疗需求，解决下面几个问题：

1、分析深圳近十年常住人口、非常住人口变化特征，预测未来十年深圳市人口数量

和结构的发展趋势，以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需求；

2、根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，选择预测几种病（如：

肺癌及其他恶性肿瘤、心肌梗塞、脑血管病、高血压、糖尿病、小儿肺炎、分娩等）在不同类型的医疗机构就医的床位需求。

二、模型假设

1)不考虑战争，瘟疫，大规模流行病对人口的影响；

2)假设同一年龄段的人死亡率相同，同一年龄段的育龄女性生育率相同。

3)假设当地人们的生育观念不发生太大变化。

4)假设各年龄段的育龄女性生育率成正态分布。

5)假设本问题中采用的数据均真实有效。

6)假设深圳市的产业结构不发生巨大变化。

7)在短期内,人口的生育率、死亡率的总体水平可看成不变。

三、符号说明

符号解释

)0(

X原始数据列

)1(

X则)0(X的一阶累加生

成序列

对)0(X进行准光滑检)

(k

验

x对)0(X进行一阶弱化

')0(k

)

(

处理

)

0(ε

设残差序列

)(1

1k n

n

k ∑==

εε 残差的均值

2

1

2

))((1

εεε-=

∑=k n

S n

k 方差

a

?、u ? 回归参数

给定数据点

四、问题分析

针对问题一，要求分析近十年深圳常住人口、非常住人口的变化特征，附表1中的

信息只有历年深圳的人口总数，对深圳人口变化的因素有些可以量化，有些却不可以量化，因此在不深入考虑其他错综复杂的内在因素时，选用灰色模型预测法建立数学模型简单而又能比较准确的预测出深圳常住人口和非常住人口的变化特征。只需对原始非负数据列)

0(X 进行累加得到新的累加数列，然后对其进行准光滑检验和对进行准指数规律

检验。若)0(X 为准光滑序列，则)

1(X 具有准指数规律，否则，进行一阶弱化处理，建立灰色预测模型，以便更精确的预测结果，并运用SPASS 软件做相关误差检验。对)

0(X 进

行准光滑检验和对进行准指数规律检验 设

)

1()

()()

1()

0(-=

k x

k x k ρ k=2,3…n

若满足)(k ρ<1、)(k ρ∈[0,ε]（ε<0.5），)(k ρ呈递减趋势，则称)

0(X 为准光滑序

列，则)

1(X

具有准指数规律。

否则，进行一阶弱化处理

附表2和附表3，中的信息比较全面，且经过对相关数据的分析可知，人口随着时间的推移呈现逐渐增加的趋势，因此可以用更加全面的多项式拟合及指数拟合反映深圳的人口变化特征。

根据历年出生率和死亡率，利用MATLAB 程序对数据进行拟合，分别得到出生率和死亡率的计算公式。但结合出生率和死亡率的数据画出具体图形分析发现，数据分段呈现出一定的规律性，于是对数据进行分段拟合，并最终确定出人口的自然增长率，得到人口数的计算公式。此公式能够较好反应深圳近期及预测未来近10年内的人口数量。根据公式得出相应图（图），发现人口数呈现的相关规律。

五、模型建立与求解

1、灰色预测模型 （1）模型建立

灰色系统是指部分信息已知，部分信息未知的系统。灰色系统的理论实质是将无规律的原始数据进行累加生成数列，再重新建模。由于生成的模型得到的数据通过累加生成的逆运算――累减生成得到还原模型，再有还原模型作为预测模型。

预测模型，是拟合参数模型，通过原始数据累加生成，得到规律性较强的序列，用函数曲线去拟合得到预测值。

因为本题目中给出的数据缺乏，正好符合灰色系统研究对象的主要特征，即“部分信息已知，部分信息未知”的不确定性。 灰色预测模型预测的一般过程为： ① 一阶累加生成（1-AGO ） 设有变量为)

0(X

的原始非负数据序列 )

0(X

=[

)

1()

0(x

,

)

2()

0(x

,…

)

()

0(n x

] （1.1）

则)

0(X

的一阶累加生成序列

)

1(X

=[

)

1()

1(x

,

)

2()

1(x

…

)

()

1(n x

] （1.2）

式中 )

()(1

)

0()

1(i x

k x

k

i ∑==

k=1,2…n

② 对)

0(X 进行准光滑检验和对进行准指数规律检验

设

)1()

()()

1()

0(-=

k x

k x k ρ k=2,3…n （1.3）

若满足)(k ρ<1、)(k ρ∈[0,ε]（ε<0.5），)(k ρ呈递减趋势，则称)

0(X 为准光滑序列，

则)

1(X

具有准指数规律。

否则，进行一阶弱化处理

))

(...)1()((1

1)('

)

0(n x k x k x k n k x +++++-=

（1.4）

并且将

)

()

0(k x

=

)

('

)

0(k x ，即)

0(X

由)

0('X 所替代。

③ 由第2步可知，)

1(X 具有近似的指数增长的规律，因此可以认为序列)

1(X 满足下述

一阶线性微分方程

u

ax

dt

dx

=+)

1()

1( （1.5）

解得，

n

T

T Y B B B u a 1)(??-=?????? （1.6）

其中，

???????

????

???=)()3()2()0()0()0(n x x x Y n ，

?????????

???

?

?????+--+-+-=1)]()1([211)]3()2([211)]2()1([21)1()1()

1()1()

1()1(n x n x x x x x B

将所求得的a ?、u ?代入微分方程（1.5），有

u x a

dt dx

??)1()

1(=+ （1.7）

④ 建立灰色预测模型

由微分方程（1.7）可得到累加数列)

1(X

的灰色预测模型为

a

u e

a u x k x

k a

??]??)0([)1(??)1()1(+

-=+- k=0,1,2…n （1.8）

如果)

1(X

来自)

0(X 一阶弱化处理得到的数列，则由式（1.4）可知，一阶弱化还原后

)1(?)0(+k x

=

)1(?)1(+k x

（1.9）

反之，则由式（1.8）在做累减还原，得到)

0(X

的灰色预测模型为

k a

a e

a

u n x e k x

?)0(?

)0(]??)()[1()1(?----=+ k=0,1,2…n （1.10）

⑤ 灰色预测模型的检验

ⅰ 适用范围

当-a ?≤0.3时，可用于中长期预测；当0.3 <-a ?≤0.5时，可用于短期预测，中长期慎用；当0.5 <-a

?≤0.8时，短期预测十分慎用；当0.8 <-a ?≤1时，应采用残差修正；当-a

?>1时，不宜采用灰色系统预测模型。 ⅱ 后验查检验

设残差序列

)

0(ε

=（)1(ε, )2(ε…)(n ε）=（)1(?)1()0()

0(x

x

-,

)2(?)2()0()

0(x

x

-…

)(?)()0()

0(n x

n x

-）

)(1

1k n

n

k ∑==

εε和

2

1

2

))((1

εεε-=

∑=k n

S n

k 分别是残差的均值和方差，

)(1

1

)

0(k x n

x n

k ∑==

和

2

1

)

0(2

)

)((1

x k x n

S

n

k x

-=

∑=分别为)

0(X

的均值和方差。

则后验差比值

x

e S S C =

，小误差概率

)

6745.0)((x S k P p <-=εε， 其中C 越小

越好,p 越大越好。 ⑥ 等维新信息递推

去掉)

0(X

的首值，增加

)1(?)0(+k x

为)

0(X

的末值，保持数列的等维，新陈代谢，逐

个预测，依次递补，直到完成预测的目标为之。

数据来自附表1：

1）累加生成累加序列)

1(X

；

户籍人口：2001---2010年；

对数列想)

0(X =[132.04 139.45 150.93 165.13 181.93 196.83 212.38

228.07 241.45 251.03]

累加生成累加序列)

1(X =[132.04 271.49 422.42 587.55 769.48 966.31

1178.69 1406.76 1648.21 1899.24 ] 2）对)

0(X

进行准光滑检验和对进行准指数规律检验

ρ

=[1.05612 0.555932 0.390914 0.399642 0.255796 0.219785

0.193494 0.171636 0.152305]

可见，不满足)(k ρ∈[0,ε]、ε<0.5，则称)

0(X 不符合为准光滑序列，须进行一阶弱化。

如下表：

表格二：利用SPASS 对)

0(X 进行一阶弱化

ARIM A To Chi - Pr >

Autocor re Lag Squar e DF

ChiS q Autocorrelatio

ns

6 118.91 6

<.0001 0.923 0.842 0.758

0.672 0.585 0.498 12 134.03

12

<.0001 0.409

0.316

0.221

0.12

4

0.027

-0.063

)

0('

X =[ 12 40 91 176 311 524 865 1432 2459 4639 ]

3）求解a

?、u ?

运用MATLAB 工具算得a

?=-0.0734********、u ?=128.905997581184，其中-a ?≤0.3，可用于中长期预测。 4）建立灰色预测模型

a

u e

a u x k x

k a

??]??)0([)1(??)1()1(+

-=+-=1755.398826588529?k

e

28720.07343402

-1755.398826588

529

由于对)

0(X

进行一次一阶弱化的处理，所以

)1(?)1(?)0()1(+=+k x k x 。

预测2011年至2020年的深圳市常住人口总数如下表：

表三：预测2011年至2020年的深圳市常住人口总数 年份

预测的常住人

口数 标准偏差

95%置信区间

2011 1074.9314 15.0765 1045.3820 1104.4809 2012 1109.5102 29.8278 1051.0487 1167.9717 2013 1141.8598 44.6871 1054.2746 1229.4450 2014 1172.6331 59.0535 1056.8903 1288.3758 2015 1202.2917 72.6836 1059.8345 1344.7490 2016 1231.1623 85.5071 1063.5715 1398.7530 2017 1259.4755 97.5362 1068.3081 1450.6429 2018 1287.3947 108.8209 1074.1096 1500.6797 2019 1315.0353 119.4257 1080.9652 1549.1053 2020

1342.4788

129.4179

1088.8244

1596.1332

由表格三知，灰色系统数据模型经过对现实统计数据的适当变换，估计出的人口数量变化的标准偏差在逐渐增大，因此灰色系统模型只宜对中短期的人口进行预测，不可用于长期的人口数量变化预测。 模型二：

多项式拟合模型 1.模型建立

假设给定数据点 (i=0,1,…,m)，

为所有次数不超过的多项式构

成的函数类，现求一

,

使得

(1)

当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。

显然

（2）

为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，得

(3)

即

(4) （3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为

(5)

式（4）或式（5）称为正规方程组或法方程组。

可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出 (k=0,1,…，n)，从而可得多项式

(5)

可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。我们把

称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作

由式(2)可得

(6)

多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：

(1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n；

(2) 列表计算和；

(3) 写出正规方程组，求出；

(4) 写出拟合多项式。

2.模型求解

根据深圳市历年人口数据得到2001-2010年常住人口（表四）及非常驻人口统计表（表五）

表四：常住人口统计

年份2001年2002年2003年2004年2005年

总人口

132.04 139.45 150.93 165.13 181.93 /万人

年份2006年2007年2008年2009年2010年

总人口

196.83 212.38 228.07 241.45 251.03 /万人

表五：非常住人口统计

年份2001年2002年2003年2004年2005年

总人口

592.53 607.17 627.34 635.67 645.82 /万人

年份2006年2007年2008年2009年2010年

总人口

674.27 699.99 726.21 753.56 786.17 /万人

根据表四画出常住人口一次、二次、三次多项式及原数据拟合曲线图

图一多项式拟合曲线图

通过图一我们可以看出三次多项式拟合曲线与原始数据最为接近，所以用三次拟合多项式拟合，从而来预测未来十年人口特征，设拟合函数为y=a3x.3+a2x^2+a1x+a0，令a=[a3 a2 a1 a0] 列表如下

表六：计算拟合多项式中的相关值

i

x i

y i

x

i

2 x

i

3 x

i

4 x

i

5 x i

6 y x i

i

y x i

i

2 y

x i

i

3

1 1 132.04 1 1

1

1

1

132.04

132.04 132.04 2 2 139.45 4 8 16 32 64 278.

9

557.8 1115.6 3 3 150.93 9

27 81 243 729 452.

79

1358.37 4075.11 4 4 165.13 16 64 256 1024 4096 660.

52

2642.08 10568.32 5 5 181.93 25 125 625 3125 15625 909.

65

4548.25 22741.25 6 6 196.83 36 216 1296 7776 46656 1180

.98

7085.88 42515.28 7 7 212.38 49 343 2401 16807 117649 1486

.66

10406.62 72846.34 8

8

228.07 64

512 4096 32768 262144 1824

.56 14596.48

116771.84

9 9 241.45

81

729 6561 59049

531441 2173.05

19557.45 176017.0

5

10 10 251.

03 100 1000 1000

1000

00

1000

000

2510

.3

2510

3

2510

30

55 1899

.24 385 3025 2533

3

2208

25

1978

405

1160

9.45

8598

7.97

6978

12.8

3

通过正规方程组可计算出a的值，用MATLAB软件计算得a=[ -0.15032 904.55425 -1814322.85988 1213024103.96598]，则拟合函数即可得出。

因此画出拟合曲线（黑色）和原图像（红色）为

图二、常住人口三次多项式拟合

根据拟合多项式y=-0.15032x^3+904.55425x^2-1814322.85988x+1213024103.96598可以预测未来十年的常住人口数

表七：未来十年人口预测

年份2011 2012 2013 2014 2015

总人口

/万人

3609.8 3615.3 3620.3 3624.6 3628.2 年份2016 2017 2018 2019 2020

总人口

/万人

3630.9 3632.7 3633.6 3633.3 3631.8

根据表四画图

图三

根据表2画出非常住人口一次、二次、三次多项式及原数据拟合曲线图

图四

通过图四我们可以看出三次多项式拟合曲线与原始数据最为接近，所以用三次拟合多项式拟合，设y=a3x^3+a2x^2+a1x+a0，令a=[a3 a2 a1 a0]，同常住人口原理一样可得a的值，然后用MATLAB软件可计算a=[ 0.055876 -334.842117 668866.307637 -445372113.949744]，则拟合函数即可得出。

画出拟合曲线（黑色）和原图像（红色）为

图五：非常住人口三次多项式拟合

根据拟合多项式y=0.055876x^3-334.842117x^2+668866.307637x-445372113.949744;可以预测未来十年的非常住人口数

表八:深圳市非常住人口预测趋势

年份2011年2012年2013年2014年2015年

总人口/万人266.01106

2145233

307.55277

9912949

353.94533

6103439

405.52398

6101151

462.62398

6244202

年份2016年2017年2018年2019年2020年

总人口/万人525.58059

2274666

594.72906

0173035

670.40464

6039009

752.94260

6091499

842.67819

5953369

由表八中数据，用Matlab画图得深圳市2011年—2020年非常住人口预测图如图六

图六：深圳市非常住人口预测图如图六

模型三： 指数增长模型：

rt

e x t x 0)(

根据深圳常住人口和非常住人口从2001年到2010年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长模型中的待定参数，预测出深圳未来十年的人口，同时画出拟合效果的图形。

表九：深圳人口统计数据

根据上表中的信息，利用EXCEL 表做柱状图

100200300400500600700

8009002001200220032004200520062007200820092010

时间

人口/万人

户籍人口 Registered Population

非户籍人口 Non-registered Population

图七：深圳市常住和非常住人口柱状图

指数增长模型。Malthus 模型的基本假设下，常住人口的增长率为常数，记为r ，记时刻t 的人口为 )(t x ，（即)(t x 为模型的状态变量）且初始时刻的人口为0x ，因为

年份 常住人口（万人） 非常住人口（万人）

2001 132.04 592.53 2002 139.45 607.17 2003 150.93 627.34

2004 165.13 635.67 2005 181.93 645.82 2006 196.83 674.27

2007 212.38 699.99 2008 228.07 726.21 2009 241.45 753.56 2010 251.03 786.17

??

?

??==0)0(x

x rx dt

dx

由假设可知0()rt x t x e = 经拟合得到： }

2

120010120

()ln ()ln ,ln (),,ln rt

a y a t a x t x e

x t x rt

r a x e

y x t a r a x =+=?=+?

=====

由附录中的指数程序经过Matlab 运算可得到深圳市常住人口关于时间的函数为：

x(t)=x0*e0.0759t ，其中x0 = 1.4628e-064

同理可得深圳市非常住人口关于时间的函数为:x(t)=x0*e0.0310t, 其中x0=

6.2468e-025

图八：深圳市常住人口拟合图

表十：深圳市未来十年常住人口预测表

年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 常住人口 284.24 306.65 330.92 356.92 385.06 415.43 448.19 483.53 521.66 562.79

图九：深圳市常住人口拟合图

深圳市未来十年非常住人口预测表

年份2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020

人口/万人741.3

3

764.6

7

788.7

4

813.5

8

839.1

9

865.6

2

892.8

7

920.9

8

949.9

8

979.8

9

由指数模型

下面对深圳市未来十年的人口结构进行预测：

根据2010 年深圳人口总数是1037.2万,按照每五岁为一个年龄组

组号 1 2 3 4 5 年龄组成/

岁

0----4 5----9 10----14 15----19 20----24

组号7 8 9 10 11 年龄组成/

岁

25----29 30----34 35----39 40----44 45----49 组号13 14 15 16 17 年龄组成/

岁

50----54 55----59 60----64 65----69 70----74 组号16 17 18 19 20 年龄组成/

岁

75----79 80----84 85----89 90----94 95----100 100岁以上的分成第21组。

并设各年龄组人口构成的初始人口列向量为

X(0) = [ x1 (0) ,x2 (0) ,x3 (0) ,……,x21 (0) ] T

第5t 年各年龄组人口构成的人口列向量为

X(t) = [ x1 (t) ,x2 (t) ,x3 (t) , ……,x21 (t) ] T

称X(t) 为人口状态向量。

如果设所有年龄组女性人口占同一组总人口比例的系数向量为

C = [c1 ,c2 ,c3 , ……,c21 ] T

那么在5t 年时,女性人口的列向量应为

C·X( t ) = [ c1x1 ( t ) ,c2x2 ( t ) ,c3x3 ( t ) , ……,c21x21 (t) ] T

各年龄组妇女在五年内的平均生育率向量为

B = [ b1 ,b1 ,b2 , ……,b21 ] T

由于在2000 年以后,随着独生子女群体结婚高峰的到来,按照我国现行计划生育政策,这一群体允许生育第二胎,因此育龄妇女的生育率将会上升,其上升幅度现在很难准确估计,但总和生育率R 应满足不等式:1 < R < 2 (即平均一对夫妇终生只能生育R 个孩子) 。如果2000 年以后按2000年总和生育率(1 125 ?) 的a (0. 9 < a < 1. 3) 倍进行估算,那么可取

B = a[ b1 ,b1 ,b2 , ……, b21 ] T

若把t 阶段存活的全部新生儿划分到第t + 1 阶段的第一年龄组,并设各年龄组人口在五年期内的自然存活率向量为

S = [ s1 ,s2 ,s3 , ……, s21 ] T

由于第t 阶段k - 1 年龄组的人存活到第t + 1 阶段就是k 年龄组的人, (k = 2 ,3 ,4 , ?,20) ,且第21 年龄组(即100 岁以上) 的老年人五年后存活下来的仍然属于第21 年龄组。

六、模型评价

对于影响人口系统的因素,出了出生率和死亡率外，还有净迁入量，社会经济,自然环境, 科学技术等一系列方面, 这些众多的因素, 不是用几个指标所能表达清楚的.而且, 它们之间的结构关系错综复杂, 它们对人口增长的作用更是无法精确计算.多数因素都在动态变化之中, 其运行机制和变化规律难以完全明白. 所以，将灰色模型用到人口预测中不仅简单而且能达到比较准确的预测效果。

本模型采用多种专业统计软件对模型进行求解，如：Matlab,SPSS,Excel等。进一步提高模型求解的准确度。

本模型在短期预测内预测结果准确。

多项式拟合简便易操作，但是对现实条件要求较高，在要求考虑的因素复杂一些的情况下，则多项式拟合会显示出本身的局限性，造成结果误差较大。

指数拟合能比较准确的预测人口的自然增长率，在政府政策不发生大的改变时预测结果较符合客观情况。

缺点：

1.影响人口变动有很多因素，不可能见这些因素都考虑到模型中，所以模型从某种程度上来说是不全面的。

2.数据纵观时间比较短，对于人口预测会造成误差。

3.模型只适合做短期预测，在长期预测中不适用。

七、参考文献

[1] 赵静但琦，数学建模与数学试验（第二版），北京：高等教育出版社，2003年.

[2] 张智星，九州恒润，Matlab程序设计与应用，清华大学出版社.

[3] 罗应婷，杨钰娟，SPASS统计分析从基础到实践（第二版）,电子工业出版社.

[4] 茆诗松程依明濮晓龙，概率论与数理统计教程（第二版），高等教育出版社，2011年.

[5] 姜启源张立平何青高立，数学实验，北京：高等教育出版社，2006年.

八：附录表（程序及命令）

灰色模型：

原始数据累加

#include

using namespace std;

int main()

{

int i=0,k;

double sum=0;

double

a[10]={132.04,139.45,150.93,165.13,181.93,196.83,212.38,228.07,241.45,251.03},b[10];

for(k=0;k<=10,i<10;k++)

{

b[0]=a[0];

sum=sum+a[i];

b[k]=sum;

i++;

cout<

}

return 0;

}

对)0(X进行准光滑检验和对进行准指数规律检验

#include

using namespace std;

int main()

{

int k;

double p[10];

double

x[10]={132.04,139.45,150.93,165.13,181.93,196.83,212.38,228.07,241.45,251.03},y[10]={1 32.04,271.49,422.42,587.55,769.48,966.31,1178.69,1406.76,1648.21,1899.24};

for(k=1;k<=9;k++)

{

p[k]=x[k]/y[k-1];

cout<

}

return 0;

}

一阶弱化

#include

using namespace std;

int main()

{

int i,k=0,sum=0;

double y[10];

double

x[10]={132.04,271.49,422.42,587.55,769.48,966.31,1178.69,1406.76,1648.21,1899.24};

for(i=0;i<=9;i++)

{

sum+=x[i];

y[k]=sum/(11-k);

cout<

k++;

}

return 0;

}

多项式回归：

图一所需程序s.m

x=2001:2010;

y=[41.14 724.57 132.04 592.53

44.73 746.62 139.45 607.17

47.55 778.27 150.93 627.34

52.04 800.8 165.13 635.67

57.01 827.75 181.93 645.82

61.37 871.1 196.83 674.27

64.88 912.37 212.38 699.99

67.1 954.28 228.07 726.21

69.81 995.01 241.45 753.56

71.44 1037.2 251.03 786.17

];

a1=polyfit(x,y(:,3)',1);

b1=polyval(a1,x);

a2=polyfit(x,y(:,3)',2);

b2=polyval(a2,x);

a3=polyfit(x,y(:,3)',3);

b3=polyval(a3,x);

plot(x,b1,'r')

hold on

plot(x,b2,'b')

plot(x,b3,'k')

plot(x,y(:,3),'*')

>>s

>>xlabel('年份');ylabel('人口/万人');