圆的内接四边形复习讲义

圆的内接四边形复习讲义

一、知识点总结

[顶点]四个定点 [圆] 圆内接四边形的四个顶点在圆上

[边]弦]圆内接四边形的每条边都是圆的弦

公共点]每相邻的边有公共点

[角]四个角 [圆周角] 圆内接四边形的每个角都是一个圆周角

[邻角] 每相邻两角有一条公共边

[对角] 对角互补

[和] 四个角的和为360度

[对角]任何一个对

角互补的四

边形都有外

接圆[顶点在圆上]如果一个四边形的顶点在圆上，则这个四边形是圆内接四边形

[边是弦]如果一个四边形的边都是一个圆的弦，则这个四边形是圆内接四边形

[平行四边形]圆的内接平行四边形是矩形 [平行]平行弦所夹的弧相等

[菱形]圆的内接菱形是正方形 [点]圆的内接正方形的四个顶点把圆四等

分

∽

[外切正方形] 圆的外切正方形的四个切点把圆四等分

[内接、外切]正方形的内切圆的圆心和外接圆的圆心重合

[梯形]圆的内接梯形是等腰梯形

圆的内接多边形

圆的外切四边形

二、知识的应用

模型四：圆内接等边三角形模型

构成部分：如图1，⊙O、正△ABC

本质：

角度一：位置关系

正△ABC的三个顶点在⊙O上

角度二：圆心O

1、如图1，过A作AD⊥BC于D，交⊙O于E，设⊙O的半径为R，AD=h，边长为a，边心距

为r，则

（1）具有圆内接等腰三角形所有的性质

（2）对称性：

圆和它的内接等边三角形组成的图形是轴对称图形，对称轴是三边的中垂线（3条）

圆和它的内接等边三角形组成的图形是中心对称图形，对称中心是△ABC 的中心

（3）3:32:2:1:::=h a R r

2、 如图2，把⊙O 对折，使A 点落在弧BC 的中点H 处，FG 为折痕，交AB 、AC 于点D 、E ，

设边长为a ，则

（1）圆心O 为DE 的中点 （2）△BOH 为正三角形

（3）FG ∥BC a DE BC DE 3

232=?=→ 三、练习题

1.已知:如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,AB ⊥CD 于点E,

若AB=10,CD=6,则BE 的长是( ).

(A)4 (B)3

(C)2 (D)1

2.如图,四边形ABCD 内接于⊙O,点E 在BC 延长线上.若∠A=50o ,

则∠DCE 等于( ).

(A) 40o (B) 50o

(C) 70o (D) 130o

3、如图， A 、B 、C 、D 在同一个圆上，则圆中相等的圆周角有（ ）

A ．1 对

B ．2 对

C ．3 对

D ．4 对

4、在圆内接四边形ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶1，则∠D= 。

5、如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于E 点，AB=120°，CD=70°则

∠AEB= 。

6.如图7－22， 已知AB 、CD 是⊙O

的两条直径，AP

是⊙

O 的弦，且AP ∥CD ，

求证

=

圆的内接四边形教案及课后练习

S3.6 圆内接四边形 一、认识圆的内接四边形 1.知识要点 （1）我们以前学习过圆的内接三角形 圆的内接三角形：如果一个三角形的各个顶点在同一个圆上，那么这个三角形叫做圆 的内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆。 （2）今天我们学习圆的内接四边形 圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的 内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。如右图中，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边 形；⊙O 是四边形ABCD 的外接圆。 二、圆内接四边形的性质定理 1.知识要点 定理一：圆内接四边形的对角互补． 定理二：圆内接四边形的外角等于它的内对角（内角的对角）． 2.典型例题 S3.6.1如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOD=110°，求∠BCD 的度数. S3.6.2如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P.若PB PA ＝12，PC PD ＝13，求BC AD 的值. 三、圆内接四边形的判定定理 1.知识要点 （1）定理：如果一个四边形的对角互补，那么它的四个顶点在同一个圆上（简称四点共圆）． （2）推论：如果四边形的一个外角等于它内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．

2.典型例题 S3.6.3如图，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC，FQ⊥AC.求证：ABPQ四点共圆. S3．6 圆内接四边形练习 1.下列四边形中一定有外接圆的是（） A．对角线相等的四边形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形 2.过四边形ABCD的顶点D，B，C作一个圆，若∠A+∠C＞180°，则点A在( ) A．圆内B．圆外C．圆上D．不能确定 3.四边形ABCD内接于圆，∠A:∠B:∠C:∠D= 5:m:4:n，则m，n满足的条件是（） A．5m=4n B．4m=5n C．m+n=9 D．m+n=180° 4.如下图，圆心角∠AOB=120°，P是上任一点（不与A，B重合），点C在AP的延长线上，则∠BPC 等于（） A．45°B．60° C．75°D．85° 5.圆上四点，A、B、C、D分圆周为四段弧，:::=1:2:3:4,则圆内接四边形的最大内角为______． 6.如下图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=BC，∠ADC=138°，E是梯形外一点，若点E在梯形ABCD 的外接圆上，则∠AEB=________．

《圆内接四边形》公开课教案

《圆内接四边形》公开课教案 一、教学目标： A 识记圆的内接四边形的概念 B 掌握圆内接四边形的性质 C 运用圆内接四边形的性质解决有关问题 二、前提测评： 1. 如图(1)，△ABC叫⊙O的_________三角形，⊙O叫△ABC 的____圆。 2. 如上图(1),若的度数为 1000,则BOC=___,A=___ 3. 如图(2)四边形ABCD中, B与1互补, AD的延长线与DC所夹2=600 , 则1=___,B=___. 4. 判断: 圆上任意两点之间分圆周为两条弧,这两条弧的度数和为3600( ) 三、达标教学(导读提纲) 1. 如图(3),四边形ABCD的各顶点都在⊙O上,所以四边形ABCD是⊙O的____四边形, ⊙O叫四边形ABCD的____圆. 2. 什么叫圆内接多边形?多边形的外接圆呢? 3. 你能解决下列问题吗?如上图: (1) ∵ 所对圆心角为1

所对圆心角为2, 2= 的度数+ 的度数=______度. BAD+BCD= 2+ 1=_______ (2)为什么DCE=A? 4. 如何概述归纳第3题的结论? 学生先讨论，教师然后归纳为： 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 例1：如图4，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1相交于点C，与⊙O2相交于点D，经过点B 的直线EF与⊙O1 相交于点E，与⊙O2相交于点F。求证：CE∥DF 分析：要证CE∥DF，可用下列三种方法： (1) 证内错角相等，两直线平行 (2) 证同位角相等，两直线平行 (3) 同旁内角互补，两直线平行 以上三种方法都行，但用方法(3)较好。 证明：连结AB ∵ABEC是⊙O1的内接四边形 BAD=E 又∵ADFB是⊙O2的内接四边形 BAD+F=1800

什么叫圆的内接四边形

一、教学案例实录 教学过程 : 1. 习旧引新 ⑴在⊙O 上 , 任到三个点 A 、 B 、 C, 然后顺次连接 , 得到的是什么图形 ? 这个图形与⊙O 有什么关系 ? ⑵由圆内接三角形的概念 , 能否得出什么叫圆的内接四边形呢 ( 类比 )? 2. 概念学习 ⑴什么叫圆的内接四边形 ? ⑵如图 1, 说明四边形 ABCD 与⊙O 的关系。 3. 探讨性质 ⑴前面我们已经学习了一类特殊四边形 ---- 平行四边形 , 矩形 , 菱形 , 正方形 , 等腰梯形的性质 , 那么要探讨圆内接四边形的性质 , 一般要从哪几个方面入手 ? ⑵打开《几何画板》 , 让学生动手任意画⊙O 和⊙O 的内接四边形 ABCD 。 ( 教师适当指导 ) ⑶量出可试题的所有值 ( 圆的半径和四边形的边 , 内角 , 对角线 , 周长 , 面积 ), 并观察这些量之 间的关系。 ⑷改变圆的半径大小 , 这些量有无变化 ? 由 (3) 观察得出的某些关系有无变化 ? ⑸移动四边形的一个顶点 , 这些量有无变化 ? 由 (3) 观察得出的某些关系有无变化 ? 移动四边形的 四个顶点呢 ? 移动三个顶点呢 ? ⑹如何用命题的形式表述刚才的实验得出来的结论呢 ?( 让学生回答 ) 4. 性质的证明及巩固练习

⑴证明猜想 已知 : 如图 1, 四边形 ABCD 内接于⊙O 。求证 :∠BAD+∠BCD=180°,∠ABC+∠ADC=180°。 ⑵完善性质 ①若将线段 BC 延长到 E( 如图 2), 那么 ,∠DCE 与∠BAD 又有什么关系呢 ? ②圆的内接四边形的性质定理 : 圆内接四边形的对角互补 , 并且任何一个外角都等于它的内对角。 ⑶练习 ①已知 : 在圆内接四边形 ABCD 中 , 已知∠A=50°,∠D-∠B=40°, 求∠B,∠C,∠D 的度数。 ②已知 : 如图 3, 以等腰△ABC 的底边 BC 为直径的⊙O 分别交两腰 AB,AC 于点 E,D, 连结 DE, 求证 :DE∥BC 。 ( 演示作业本 ) 5. 例题讲解 引例已知 : 如图 4,AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线 , 它与△ABC 的外接圆交于点 D 。 求证 :DB=DC 。 ( 引例由学生证明并板演 ) 教师先评价学生的板演情况 , 然后提出 , 若将已知中的“ AD 是△ABC 中的∠BAC 的平分线”改为“ AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线”, 又该如何证明 ? 引出例题。 例已知 : 如图 5,AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线 , 与△ABC 的外接圆交于点 D, 求证 :DB=DC 。 6. 小结 : 为了使学生对所学的内容有一个完整而深刻的印象 , 让学生组成小组 , 从概念 , 性质 , 方法 , 特殊性进行讨论 , 然后对讨论的结果进行归纳。

圆内接四边形教案

1. 知识结构 2. 重点、难点分析 重点：圆内接四边形的性质定理．它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理，同时也是转移角的常用方法． 难点：定理的灵活运用．使用性质定理时应注意观察图形、分析图形，不要弄错四边形的 外角和它的内对角的相互对应位置． 3. 教法建议 本节内容需要一个课时． （1）教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境（参看教学设计示例），组织学生自主观察、分析和探究； （2）在教学中以“发现——证明——应用”为主线，以“特殊——一般”的探究方法，引导学生发现与证明的思想方法． 一、教学目标： （一）知识目标 （1）了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念； （2）掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；

（3）熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明． （二）能力目标 （1）通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力； （2）通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维； （3）通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力． （三）情感目标 （1）充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情； （2）渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点． 二、教学重点和难点: 重点：圆内接四边形的性质定理． 难点：定理的灵活运用． 三、教学过程设计 （一）基本概念 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆． （二）创设研究情境 问题：一般的圆内接四边形具有什么性质？

研究：圆的特殊内接四边形（矩形、正方形、等腰梯形） 教师组织、引导学生研究． 1、边的性质： （1）矩形：对边相等，对边平行． （2）正方形：对边相等，对边平行，邻边相等． （3）等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行． 归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质． 2、角的关系 猜想：圆内接四边形的对角互补． （三）证明猜想 教师引导学生证明．（参看思路） 思路1：在矩形中，外接圆心即为它的对角线的中点，∠A与∠B均为平角∠BOD的一半，在一般的圆内接四边形中，只要把圆心O与一组对顶点B、D分别相连，能得到什么结果呢? ∠A=，∠C=

圆内接四边形课后反思

圆内接四边形的性质与判定定理 在上《圆内接四边形的性质与判定定理》这节课的前一天我就把讲学稿发给学生，让他们进行课前预习。但是学生的自觉性不高，能按要求预习的学生不多，因此要加大力度培养学生预习的习惯。 在课堂上，课前我先进行前面内容的复习，然后学习圆内接四边形的定义，从特殊到一般探究圆内接四边形的性质。通过例1的学习，巩固练习1，加强学生对性质的应用。再从多种情况来探究圆内接四边形的判定定理，培养学生思维的严密性。例2有一定的难度，巩固2有部分人还不会画图。布置的作业题只有少部分人会做。对于我校生源差的学生而言，总体偏难。 学生反馈主要如下： 1、上课听老师讲了就懂，要自己动手做就不知如下手。 2、性质和判定定理都能记住，但是不会灵活应用。 反思后建议如下： 1、把握教学要求，控制教学难度。 2、切实重视基础知识、基本技能和基本方法，突出数学思想方法的渗透和理解。近年来数学试题的新颖性、灵活性越来越强，不少师生把主要精力放在难度较大的综合题上，认为只有通过解决难题才能培养能力，因而相对地忽视了基础知识、基本技能、基本方法的教学。教学中急急忙忙把公式、定理推证拿出来，或草草讲一道例题就通过大量的题目来训练学生。其实定理、公式推证的过程就蕴含着重

要的解题方法和规律，教师没有充分暴露思维过程，没有发掘其内在的规律，就让学生去做题，试图通过让学生大量地做题去“悟”出某些道理。结果是多数学生“悟”不出方法、规律，理解浮浅，记忆不牢，只会机械地模仿，思维水平较低，有时甚至生搬硬套；照葫芦画瓢，将简单问题复杂化。如果教师在教学中过于粗疏或学生在学习中对基本知识不求甚解，都会导致在考试中判断错误。不少学生说：现在的试题量过大，他们往往无法完成全部试卷的解答，而解题速度的快慢主要取决于基本技能、基本方法的熟练程度及能力的高低。可见，在切实重视基础知识的落实中同时应重视基本技能和基本方法的培养。 3、加强“过程性”，使数学思想方法的学习和数学能力培养落在实处。我们可以结合课堂内容，灵活采用谈话、读书指导、作业、练习等多种教学方法。在一堂课上，有时要同时使用多种教学方法。“教无定法，贵要得法”。只要能激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，有助于学生思维能力的培养，有利于所学知识的掌握和运用，都是好的教学方法。 4、加强几何直观能力的培养。常用的数学思想方法有：转化的思想，类比归纳与类比联想的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想以及配方法、换元法、待定系数法、反证法等。这些基本思想和方法分散地渗透在中学数学教材的条章节之中。在平时的教学中，教师要在传授基础知识的同时，有意识地、恰当在讲解与渗透基本数学思想和方法，帮助学生掌握科学的方法，从而达到传授知识，培养能力

圆内接四边形与四点共圆-教案(有答案)

《圆内接四边形与四点共圆（选学）》教案设计 引言：圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切の联系,?这是因为顺次连结共圆四点就成为圆内接四边形。实际上,在许多题目の已知条件中，并没有给出圆，这时就需要通过证明四点共圆，把实际存在の圆找出来，然后再借助圆の性质得到要证明の结论。 确定四点共圆の办法有哪些呢？ 思路一：用圆の定义：到某定点の距离相等の所有点共圆。→若连在四边形の三边の中垂线相交于一点，那么这个四边形の四个顶点共圆。（这三边の中垂线の交点就是圆心）。 产生原因：圆の定义：圆可以看作是到定点の距离等于定长の点の集合。 基本模型： AO=BO=CO=DO ? A、B、C、D四点共圆（O为圆心） 思路二：从被证共圆の四点中选出三点作一个圆，然后证另一个点也在这个圆上，即可证明这四点共圆。→要证多点共圆，一般也可以根据题目条件先证四点共圆，再证其他点也在这个圆上。 思路三：运用有关性质和定理： ①对角互补，四点共圆：对角互补の四边形の四个顶点共圆。 产生原因：圆内接四边形の对角互补。 基本模型： ∠ = B）? A、B、C、D四点共圆 180 ∠D + + 180 = ∠ ∠D A（或0

②张角相等，四点共圆：线段同侧两点与这条线段两个端点连线の夹角相等，则这两个点和线段の两个端点共四个点共圆。 产生原因：在同圆或等圆中，同弧所对の圆周角相等。 方法指导：把被证共圆の四个点连成共底边の两个三角形，且两三角形都在这底边の同侧，若能证明其顶角（即：张角）相等(同弧所对の圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆。 ∠? A、B、C、D四点共圆 = CAB∠ CDB ③同斜边の两个直角三角形の四个顶点共圆，其斜边为圆の直径。 产生原因：直径所对の圆周角是直角。 = ∠D C? A、B、C、D四点共圆 ∠ 90 = ④外角等于内对角，四点共圆：有一个外角等于其内对角の四边形の四个顶点共圆。 产生原因：圆内接四边形の外角等于内对角。 基本模型：

初中数学_圆内接四边形教学设计学情分析教材分析课后反思

课题：《圆内接四边形》教学设计 单位： 设计者： 时间：

《圆内接四边形》教学设计 课标解读： 课标要求：圆内接四边形对角互补 1、如何在圆的教学中，让学生在直线型的图形研究的基础上进一步去体会研究几何图形的思维与方法，深刻领悟几何学的学科观点． 2、本节课了解圆内接多边形的概念，探究圆内接四边形的性质；让学生通过同弧或等弧的圆心角与圆周角的关系，体会用弧来刻画角的数量关系的研究方法． 教材分析：《圆内接四边形》是九年级下册第五章《圆》的第五节的内容．本课时的内容是在学生学习了圆周角和圆心角的关系以及圆内接三角形的基础上，进一步学习圆内接四边形的概念和性质．学生观察圆内接四边形的两组对角与其所对的弧之间的关系，发现每组对角所对的弧都恰好组成整个圆，从而根据圆周角定理，得圆内接四边形的对角互补.这一性质充分揭示了作为直线形的圆内接四边形与圆的内在联系，它是今后证明与圆有关的角互补的重要依据．依据同角的补角相等，得圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角，这个推论是证明与圆有关的角相等时经常用到． 学情分析：学生已经掌握了圆周角定理的内容，一方面：具备了研究圆内接四边形概念及性质定理的预备知识，但学生识图能力有待进一步提高，由于以往对四边形的研究都是限于在直线型当中，缺少将与四边形的边角关系有关的知识融合在圆中进行分析的能力，因而遇到如何研究圆内接四边形的性质时会无从下手.解决这一问题，教

师要注意引导学生将有关四边形的角的问题与圆中角的问题联系起来，从而转化到利用圆周角定理解决．另一方面：为了教给学生解题的方法，训练学生的解题思维，我在教学中采用问题探究式进行教学，创设问题情境，启发学生进行思考，运用学过的知识进行进行分析探究，寻找结论与已知之间的联系，自主探索出定理与结论．在运用时，为了训练学生的灵活运用的能力，我采用开放式提问的形式，训练学生的发散思维；采用一题多解，训练学生从不同角度进行思考，发现解决问题的方法；采用一题多变，训练学生解题的灵活性．从而提高学生分析几何问题解决几何问题的能力． 教学目标： 1.能类比圆内接三角形和三角形外接圆的概念说出圆内接四边形、圆内接多边形和多边形外接圆的概念； 2.经历探索圆内接四边形性质定理及推论的过程，发展推理能力，进一步积累研究几何图形的活动经验. 3.会运用圆内接四边形的性质定理及推论进行计算和证明，提高分析问题和解决问题的能力. 教学重点：圆内接四边形的性质定理运用. 教学难点：探索并证明圆内接四边形的性质定理．定理的灵活运用. 评价设计：1、学生能否类比圆内接三角形和三角形外接圆的概念探索圆内接四边形、圆内接多边形的概念.类比特殊四边形的性质探索圆内接四边形性质定理及推论

《圆内接四边形的性质与判定定理》教学反思

《圆内接四边形的性质与判定定理》教学反思本节课的教学基本按事前的设计来进行，各知识点的切入合符学生的认知水平和认知特点，整堂课能在老师的指导启发下，开展了有序的探究活动，充分激发学生的学习兴趣和学习热情，培养学生自主学习的能力，达到教学目标的三维性，但也有不少的不足之处值得今后注意的。具体反思如下： 一、成功经验 1、以旧带新将学生的思维集中在新的问题上。以问题：“同学们，大家都知道任一三角形都有外接圆，那么任一四边形都有外接圆吗？”引入新课，让同学们带着这一问题进行探究。 2、从失败走向成功。要探究：任一四边形是否有外接圆？可以先采用：由特殊到一般的思维方法。即是由特殊的正方形、矩形入手寻找其一般的规律，但事实证明这方法行不通，失败！我们还可以用什么方法探究呢？让同学们讨论，最后由老师总结，可采用逆向思维法，即若一个四边形内接圆，那么，这样的四边形有什么特征？这样同学们的思维以一下子被激发出来了，很快便得出两个性质定理。若这两个定理的逆命题成立，则我们便能回答是否任一四边形有外接圆？接着，同学们便进一步进行推理、论证、最后得出：圆内接四边形的判定定理。这样，同学们便尝到了成功的喜悦，整节课的教学目标便能很好地实施。 3、以反证法及穷举法（分类讨论）突破本节内容的难点。要证明性质定理的逆命题时，用直接法是较难的，自然引导同学们利用间接法：反证法或同一法。要证：A、B、C、D四点共圆。可假设D不在A、B、C确定的圆上，即只有两种情况：（1）D在圆外，（2）D在圆内。只要能证明这两种情况都不成立，问题就得到解决。这就带出了穷举法（分类讨论法）从而突破了难点。 4、本节课能充分地利用了多媒体作为教学的辅助手段，实物投影与课件有机结合，课件的制作只是起到节省抄题和作图的时间及辅助教学作用，不能代替教学，走出一些老师上课只按课件的播放顺序按健播放的误区，堂上老师着重分析，着重加强学生分析能力的培养，每一问题分析基本采用执果索因的分析方法，教会学生如何分析问题，让学生清晰地知道每一问题的解题思路，从而再转化为

圆内接四边形

圆内接四边形 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=130°，则∠AOC的大小是（） A．80°B．100°C．60°D．40° 【变式1】如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（） A．B．C．D． 【变式2】如图，四边形ABCD内接于半圆O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（） A．40°B．60°C．70°D．80° 【变式3】四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（） A．45°B．50°C．55°D．60° 【变式4】已知圆内接四边形ABCD，则∠A：∠B：∠C：∠D可能为（） A．1：2：2：3 B．2：2：3：1 C．3：6：5：2 D．2：3：2：3 2如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠BCE=65°，则∠BOD的大小为（）

A．65°B．115°C．130°D．135° 【变式1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（） A．55°B．50°C．45°D．40° 【变式2】如图，圆内接四边形ABDC，延长BA和DC相交于圆外一点P，∠P=30°，∠D=70°，则∠ACP=． 【变式3】如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F． （1）当∠E=∠F时，则∠ADC=°； （2）当∠A=55°，∠E=30°时，求∠F的度数； （3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小． 3如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，4），M是第三象限内上一点，∠

九年级数学：圆的内接四边形(参考教案)

初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 初中数学 / 九年级数学教案 编订：XX文讯教育机构

圆的内接四边形(参考教案) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中九年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 1. 知识结构 2. 重点、难点分析 重点：圆内接四边形的性质定理．它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理，同时也是转移角的常用方法． 难点：定理的灵活运用．使用性质定理时应注意观察图形、分析图形，不要弄错四边形的 外角和它的内对角的相互对应位置． 3. 教法建议 本节内容需要一个课时． （1）教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境（参看教学设计示例），组织学生自主观察、分析和探究； （2）在教学中以“发现——证明——应用”为主线，以“特殊——一般”的探究方法，

引导学生发现与证明的思想方法． 一、教学目标： （一）知识目标 （1）了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念； （2）掌握圆内接四边形的概念及其性质定理； （3）熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明． （二）能力目标 （1）通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力； （2）通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维； （3）通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力． （三）情感目标 （1）充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情； （2）渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点． 二、教学重点和难点: 重点：圆内接四边形的性质定理．

浙教版九年级数学上册教案《3.6圆内接四边形》

《3.6圆内接四边形》 本课是在学生学习了圆的基本概念和圆心角和圆周角概念及性质的基础上对圆内接四边形性质的探索。圆内接四边形性质是几何中最重要的定理之一，它揭示了圆和四边形之间的数量关系，它既是前面所学知识的继续，又是后面研究圆与其它平面图形的桥梁和纽带。本课从具体的问题情境出发，引导学生经历猜想、探索、推理验证的过程，有机渗透“由特殊到一般”思想、“分类”思想、“化归”思想。因此无论在知识上，还是方法上，本节课都起着十分重要的作用。 【知识与能力目标】 1. 掌握圆内接四边形的性质定理及其证明； 2. 能用定理解决相关的几何问题。 【过程与方法目标】 经历圆内接四边形性质的证明，使学生了解分类证明命题的思想和方法，体会类比、分类的教学方法. 【情感态度价值观目标】

通过学生主动探索圆内接四边形性质，合作交流的学习过程，体验实现自身价值的愉悦及数学的应用价值。 【教学重点】 圆内接四边形性质定理的应用 【教学难点】 性质定理的灵活应用 教师准备：圆规，三角尺，PPT课件，多媒体 学生准备：圆规，三角尺，练习本 1.复习提问 1、如图(1),若弧BC的度数为1000, 则∠BOC=__ ,∠A= __ 2、如图(2)四边形ABCD中, ∠B与∠1互补,AD的延长线与DC所夹∠2=600 ,则∠1=___ ,∠B=___ . 2.概念学习 ⑴什么叫圆的内接四边形？

⑵如图1，说明四边形ABCD与⊙O的关系. 3.探讨性质： 如图：圆内接四边形ABCD中，∠A＋∠C的和为多少，同理∠B＋∠D的和呢？ 小组合作，得出性质. ⑴前面我们已经学习了一类特殊四边形----平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形的性质，那么要探讨圆内接四边形的性质，一般要从哪几个方面入手？ ⑵打开《几何画板》，让学生动手任意画⊙O和⊙O的内接四边形ABCD. ⑶量出可试题的所有值(圆的半径和四边形的边，内角，对角线，周长，面积)，并观察这些量之间的关系. ⑷改变圆的半径大小，这些量有无变化？由(3)观察得出的某些关系有无变化？ ⑸移动四边形的一个顶点，这些量有无变化？由(3)观察得出的某些关系有无变化？移动四边形的四个顶点呢？移动三个顶点呢？ ⑹如何用命题的形式表述刚才的实验得出来的结论呢？(让学生回答) 4.性质的证明及巩固练习 ⑴证明猜想 已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O.求证：∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC= 180°⑵完善性质 ①若将线段BC延长到E( 如图2)，那么，∠DCE与∠BAD又有什么关系呢？ ②圆的内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. ⑶练习 ①找出图中相等的角、互补的角。

辽宁省北镇市第一初级中学2017届九年级数学复习几何教案第12课时圆内接四边形

初三几何教案 第七章：圆 第13课时：圆的内接四边形 教学目标： 1、使学生掌握圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理； 2、使学生初步会运用圆的内接四边形的性质定理证明和计算一些问题． 3、培养学生观察、分析、概括的能力； 4、培养学生言必有据和准确简述自己观点的能力． 教学重点： 圆内接四边形的性质定理． 教学难点： 理解“内对角”这一重点词语的意思． 教学过程： 一、新课引入： 同学们，前面我们学习了圆内接三角形和三角形的外接圆的概念．本节课我们学习圆的内接四边形概念，那么什么叫做圆的内接四边形呢？教师板书课题“7．6圆内接四边形”．根据学生已有的实际知识水平及本节课所要讲的内容，首先点题，有意让学生从圆内接三角形的概念正向迁移到圆内接四边形的概念．这样做一方面让学生感觉新旧知识有着密切的联系，另一方面激发学生从已有知识出发探索新知识的主动性． 二、新课讲解： 为了使学生能够顺利地从圆内接三角形正向迁移得到圆内接四边形的概念，在本节课的圆内接四边形的教学中，首先由复习旧知识出发． 复习提问： 1．什么叫圆内接三角形？ 2．什么叫做三角形的外接圆？ 通过学生复习圆内接三角形的定义后，引导学生来模仿圆内接三形的定义，来给圆内接多边形下定义，再由一般圆内接多边形的定义归纳出圆内接四边形的概念． 这样做的目的是调动学生成为课堂的主人，通过学生积极参与类比、联想、概括出来所要学的知识点．不是教师牵着学生走，而是学生积极主动地探求新的知识．这样学到的知识理解得更深刻．

接下来引导学生观察圆内接四边形对角之间有什么关系？ 学生一边观察，教师一边点拨．从观察中让学生首先知道圆内接四边形的对角是圆周角，由圆周角性质定理可知一条弧所对的圆周角等于它们对的圆心角的一半．如何建立圆周角与圆心角的联系呢？由学生联想到了构造圆心角，从而得到对角互补这一结论． 接着由学生自己探索得到一外角和内对角之间的关系．教师首先解释“内对角”的含义后，引导学生思考，议论、发现结论．由学生口述证明结论的成立．这样由学生通过观察、比较获得圆内接四边形的性质的过程，促使知识转化为技能，发展成能力，从而提高应用的素养．由学生自己通过观察、探索得到圆内接四边形的性质． 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一外角都等于它的内对角． 为了巩固圆内接四边形的性质出示练习题． 在⊙O中，A、B、C、D、E都在同一个圆上．①指出图中圆内接四边形的外角有几个？它们是哪些？ ②∠DCH的内对角是哪一个角，∠DBG呢？ ③与∠DEA互补的角是哪个角？ ④∠ECB+（）=180°． 这组练习题的目的是巩固圆内接四边形的性质，加强对性质中的重点词语“内对角”的理解，同时也逐步训练学生在较复杂的几何图形中，能准确地辨认图形，较熟练地运用性质．接着幻灯出示例题： 例已知：如图7-47，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A的直线与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D．过B的直线与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F． 求证：CE∥DF．

人教B版高中数学-选修4-1教学案-第一章-圆内接四边形的性质与判定 (Word)

1．3.2圆内接四边形的性质与判定 [对应学生用书P29] [读教材·填要点] 1．圆内接四边形的性质定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角． 2．圆内接四边形的判定 (1)定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆． (2)符号语言表述：在四边形ABCD中，如果∠B＋∠D＝180°或∠A＋∠C＝180°，那么四边形ABCD内接于圆． [小问题·大思维] 1．所有的三角形都有外接圆吗？所有的四边形是否都有外接圆？ 提示：所有的三角形都有外接圆，但四边形并不一定有外接圆． 2．如果一个平行四边形有外接圆，它是矩形吗？ 提示：因为平行四边形的对角相等，圆内接四边形的对角和为180°，所以该平行四边形一定是矩形． [对应学生用书P29] [例1]如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点． (1)证明：A，P，O，M四点共圆； (2)求∠OAM＋∠APM的大小．

[思路点拨] 本题考查四点共圆的判定及性质的应用问题，解答(1)可利用圆内接四边形的判定定理证明。解答问题(2)可利用四点共圆的性质求解． [精解详析] (1)证明：连接OP ，OM ，因为AP 与⊙O 相切于点 P ，所以OP ⊥AP ，因为M 是⊙O 的弦BC 的中点，所以OM ⊥BC ，于是∠OPA ＋∠OMA ＝180°. 由圆心O 在∠PAC 的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A ，P ，O ，M 四点共圆． (2)由(1)得A ，P ，O ，M 四点共圆， 所以∠OAM ＝∠OPM . 由(1)得OP ⊥AP ，由圆心O 在∠PAC 的内部， 可知∠OPM ＋∠APM ＝90°， 所以∠OAM ＋∠APM ＝90°. 判定四点共圆的方法 (1)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． (2)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 1.如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD ＝ 1 3 BC ，CE ＝1 3 CA ，AD ，BE 相交于点P ，求证： (1)P ，D ，C ，E 四点共圆； (2)AP ⊥CP . 证明：(1)在正△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝1 3CA ，可得△ABD ≌△BCE ， ∴∠ADB ＝∠BEC ， ∴∠ADC ＋∠BEC ＝180°， ∴P ，D ，C ，E 四点共圆． (2)如图，连接DE ，在△CDE 中，CD ＝2CE ，∠ACD ＝60°， 由正弦定理知∠CED ＝90°， 由P ，D ，C ，E 四点共圆知， ∠DPC ＝∠DEC ，

九年级英数学下册【教学设计】圆内接四边形

圆内接四边形 1. 知识结构 2. 重点、难点分析 重点：圆内接四边形的性质定理．它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理，同时也是转移角的常用方法． 难点：定理的灵活运用．使用性质定理时应注意观察图形、分析图形，不要弄错四边形的 外角和它的内对角的相互对应位置． 3. 教法建议 本节内容需要一个课时． （1）教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境（参看教学设计示例），组织学生自主观察、分析和探究； （2）在教学中以“发现——证明——应用”为主线，以“特殊——一般”的探究方法，引导学生发现与证明的思想方法． 一、教学目标： （一）知识目标 （1）了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念； （2）掌握圆内接四边形的概念及其性质定理； （3）熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明． （二）能力目标 （1）通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力； （2）通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维； （3）通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力． （三）情感目标 （1）充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情； （2）渗透教学内容中普遍存在的相互、相互转化的观点． 二、教学重点和难点: 重点：圆内接四边形的性质定理． 难点：定理的灵活运用． 三、教学过程设计 （一）基本概念

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆． （二）创设研究情境 问题：一般的圆内接四边形具有什么性质？ 研究：圆的特殊内接四边形（矩形、正方形、等腰梯形） 教师组织、引导学生研究． 1、边的性质： （1）矩形：对边相等，对边平行． （2）正方形：对边相等，对边平行，邻边相等． （3）等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行． 归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质． 2、角的关系 猜想：圆内接四边形的对角互补． （三）证明猜想 教师引导学生证明．（参看思路） 思路1：在矩形中，外接圆心即为它的对角线的中点，∠A与∠B均为平角∠BOD 的一半，在一般的圆内接四边形中，只要把圆心O与一组对顶点B、D分别相连，能得到什么结果呢? ∠A=，∠C= ∴∠A+∠C= 思路2：在正方形中，外接圆心即为它的对角线的交点．把圆心与各顶点相连，与各边所成的角均方45°的角．在一般的圆内接四边形中，把圆心与各顶点相连，能得到什么结果呢? 这时有2(α+β+γ+δ)=360° 所以α+β+γ+δ=180° 而β+γ=∠A，α+δ=∠C， ∴∠A+∠C=180°，可得，圆内接四边形的对角互补． （四）性质及应用 定理：的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角． （对A层学生应知，逆定理成立， 4点共圆） 例已知：如图，⊙O 1与⊙O 2 相交于A、B两点，经过A的直线与⊙O 1 交于点C， 与⊙O 2交于点D．过B的直线与⊙O 1 交于点E，与⊙O 2 交于点F． 求证：CE∥DF． （分析与证明学生自主完成）

《圆的内接四边形的性质》课堂教学分析

《圆的内接四边形的性质》课堂教学分 析 《圆的内接四边形的性质》课堂教学分析 授课教师:韩河元听课教师：张磊 一、课堂教学过程实录 1.习旧引新 ⑴在⊙O上，任到三个点A、B、C，然后顺次连接，得到的是什么图形？这个图形与⊙O有什么关系？ ⑵由圆内接三角形的概念，能否得出什么叫圆的内接四边形呢(类比)? 2.概念学习 ⑴什么叫圆的内接四边形？ ⑵如图1，说明四边形ABCD与⊙O的关系。

3.探讨性质 ⑴前面我们已经学习了一类特殊四边形----平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质，那么要探讨圆内接四边形的性质，一般要从哪几个方面入手? ⑵打开《几何画板》，让学生动手任意画⊙O和⊙O的内接四边形ABCD。(教师适当指导) ⑶量出可试题的所有值(圆的半径和四边形的边、内角、对角线、周长、面积)，并观察这些量之间的关系。 ⑷改变圆的半径大小，这些量有无变化？由(3)观察得出的某些关系有无变化？ ⑸移动四边形的一个顶点，这些量有无变化？由(3)观察得出的某些关系有无变化？移动四边形的四个顶点呢？移动三个顶点呢？ ⑹如何用命题的形式表述刚才的实验得出来的结论呢？(让学生回答) 4.性质的证明及巩固练习

⑴证明猜想已知:如图1，四边形ABCD内接于⊙O。求证:∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°。 ⑵完善性质①若将线段BC延长到E(如图2)，那么，∠DCE与∠BAD又有什么关系呢？②圆的内接四边形的性质定理:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ⑶练习 ①已知:在圆内接四边形ABCD中，已知∠A=50°，∠D-∠B=40°，求∠B，∠C，∠D的度数。 ②已知:如图3，以等腰△ABC的底边BC为直径的⊙O分别交两腰AB，AC于点E，D，连结DE，求证E∥BC。(演示作业本) 5.例题讲解引例已知:如图4，AD是△ABC中∠BAC的平分线，它与△ABC的外接圆交于点D。求证B=DC。(引例由学生证明并板演)教师先评价学生的板演情况，然后提出，若将已知中的“AD是△ABC 中的∠BAC的平分线”改为“AD是△ABC的外角∠EAC的平分线”，又该如何证明？引出例题。

数学教案-圆的内接四边形

数学教案－圆的内接四边形 1.知识结构 2.重点、难点分析 重点：圆内接四边形的性质定理．它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理同时也是转移角的常用方法． 难点：定理的灵活运用．使用性质定理时应注意观察图形、分析图形不要弄错四边形的 外角和它的内对角的相互对应位置． 3.教法建议 本节内容需要一个课时． （1）教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境（参看教学设计示例）组织学生自主观察、分析和探究； （2）在教学中以“发现——证明——应用”为主线以“特殊——一般”的探究方法引导学生发现与证明的思想方法． 一、教学目标： （一）知识目标 （1）了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念； （2）掌握圆内接四边形的概念及其性质定理； （3）熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明． （二）能力目标 （1）通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究培养学生观察、分析、概括的能力；

（2）通过定理的证明探讨过程促进学生的发散思维； （3）通过定理的应用进一步提高学生的应用能力和思维能力．（三）情感目标 （1）充分发挥学生的主体作用激发学生的探究的热情； （2）渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点． 二、教学重点和难点: 重点：圆内接四边形的性质定理． 难点：定理的灵活运用． 三、教学过程设计 （一）基本概念 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上这个多边形叫做圆内接多边形这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆．（二）创设研究情境 问题：一般的圆内接四边形具有什么性质 研究：圆的特殊内接四边形（矩形、正方形、等腰梯形） 教师组织、引导学生研究． 1、边的性质： （1）矩形：对边相等对边平行． （2）正方形：对边相等对边平行邻边相等． （3）等腰梯形：两腰相等有一组对边平行． 归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质．

人教版九年级数学上册教案-24.1.4 圆周角3带教学反思

第 1 页 共 4 页 24.1.4 圆周角 第2课时 圆内接四边形的性质及圆周角定理的综合运用 一、教学目标 1.知道圆内接多边形和多边形的外接圆的意义，知道圆内接四边形的对角互补，会简单运用这个结论. 2.培养演绎推理能力和识图能力. 二、教学重点和难点 1.重点：圆内接四边形的对角互补. 2.难点：结论的证明. 三、教学过程 （一）基本训练，巩固旧知 1.填空：如图， x= °. 2.填空：如图，∠BAC=55°，∠CAD=45°， 则∠DBC= °，∠BDC= °， ∠BCD= °. 3.用三角尺画出下面这个圆的圆心. （二）创设情境，导入新课 （师出示下面的板书） 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 师：（指准板书）前面我们学习了圆周角定理和它的两个结论，本节课我们要学习什么？我们要学习圆周角定理的第三个推论（板书：推论3）. 师：推论3怎么说？让我们先来看下面的问题. （三）尝试指导，讲授新课 x 50? 40?

这个四边形的四个顶点，点A，点B，点C，点D都在⊙O上，我们把这个四边形叫做圆内接四边形（板书：四边形ABCD叫做圆内接四边形），我们还把⊙O 叫做四边形ABCD的外接圆（板书：⊙O叫做四边形ABCD的外接圆）. 师：（出示圆内接三角形图片，并指准）这是一个三角形，这个三角形的所有顶点都在这个圆上，我们把这个三角形叫做圆内接三角形，把这个圆叫做这个三角形的外接圆. 师：（出示圆内接五边形图片，并指准）这是五边形，这个五边形的所有顶点都在这个圆上，我们把这个五边形叫做圆内接五边形，把这个圆叫做这个五边形的外接圆. 师：（出示圆内接五边形图片，并指准）一般地说，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 师：知道了圆内接多边形的概念，（指黑板上的圆内接四边形）现在我们还是回来看圆内接四边形. 师：圆内接四边形有一个重要的性质，什么性质？圆内接四边形的对角互补（板书：圆内接四边形的对角互补）. 师：圆内接四边形的对角互补，什么意思？（指准图）就是说，∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，（板书：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°）. 师：用圆周角定理可以推出这个结论，怎么推？大家自己先想一想（让生思考片刻）. 师：我们一起来证明，（指板书）先证明∠A+∠C=180°. 师：怎么证明∠A+∠C=180°？连结OB，OD（边讲边用虚线连结OB，OD）. 师：（把BAD描成红色，并指准）这条红弧所对的圆周角是哪个？ 生：（齐答）∠C. 师：红弧所对的圆周角是∠C（边讲边用红笔标∠C），那红弧所对的圆心角是哪个？ 生：（齐答）∠BOD. 师：红弧所对的圆心角是∠BOD（边讲边用红笔标∠BOD）. 第 2 页共 4 页

圆周角及圆内接四边形教学资料

初三数学圆周角及圆内接四边形知识精讲 一. 本周教学内容： 圆周角及圆内接四边形 ［学习目标］ 1. 圆周角的概念 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角必须具备两个特征：（1）顶点在圆上；（2）角的两边都和圆相交，二者缺一不可。 2. 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 定理的证明要分类，因为一条弧所对的圆心角唯一，而它所对的圆周角却有无数个，这无数个圆周角与圆心位置有三种：（1）圆心在圆周角的一边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角外部。 3. 圆内角 角的顶点在圆内的角叫圆内角。 圆内角的度数等于它所对弧与它对顶角所对弧的度数之和的一半。 如下图圆内角∠3的度数为∠1＋∠2，∠1的度数是AB ?的一半，∠2的度数是CD ?的一半。 4. 圆外角 角的顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角，叫圆外角。 圆外角的度数等于它所截两条弧度数之差的一半。 如下图，圆外角∠3的度数为∠2－∠1，∠2的度数是AB ?的一半，∠1的度数是CD ?的一半。

5. 四边形的外角，四边形的对角 四边形一边延长线与相邻一边组成的角叫四边形的外角。 四边形中不相邻的两个角互称为对角。 所有顶点都在同一个圆上的多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆。 6. 圆内接四边形的性质定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 例1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝110°，则∠BCD＝_________。 解：∵∠BOD＝110°，∴∠BAD＝55° 又∠BAD＋∠BCD＝180° ∴∠BCD＝180°－55°＝125° 例2. 已知：如图，∠APC＝∠BPC＝60°，则∠BAC＝__________。 解：∵∠APC＝∠BPC＝60° ∴∠APB＝120°，BC＝AC ∵四边形APBC内接于⊙O ∴∠ACB＝60°