()()1
log (1),01a f
x x a -=-<<.此函数图象是由函数
()()log ,01a f x x a =<<向右平移一个单位得到的.
故选A.
6. 函数综合问题
函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样. 这里主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养读者的思维和创新能力. 例10．（2007年浙江卷文）已知.|1|)(22kx x x x f ++-=
（Ⅰ）若k = 2，求方程0)(=x f 的解；
（Ⅱ）若关于x 的方程0)(=x f 在（0，2）上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明.4112
1
<+x x
命题意图：本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。满分15分。 （I ）解：当.02|1|)(,222=++-==x x x x f k 时 分两种情况讨论：
①当时或即时11,112-≤≥≥-x x x ， 方程化为,01222=-+x x
01,,222x x =
<
<=
解得为舍去所以
②当11,012<<-<-x x 即时， 方程化为1+2x = 0， 解得2
1-=x ，
由①②得，
.
21,2
3
10)(,2-
=-
-=
==x x x f k 或的解是方程时当
（II ）解：不妨设2021<<因为??
?≤+>-+=,
1||,
1,1||,12)(2
x kx x kx x x f 所以(]1,0)(在x f 是单调递函数， 故(]1,00)(在=x f 上至多一个解，
(]12121211
222
1,(1,2),0,,,0,1,(1,2).
2
1()0,,1;
1
7()0,2, 1.
2
71,()0(0,2).
2
x x x x x x f x k k x f x k x k x k f x ∈=-
<∈∈==-
≤-==--
<<--
<<-=若则故不符合题意因此由得所以由得所以故当时在上有两个解
方法一：
(
]2
11
22
12
12
1
0,1,,210
4
(1,2),
4
111
),
2
77
(,1),8,
22
11
4.
x x x kx
k
x x
k k
x x
y k k
x x
∈=-+-=
∈=
+=-+=
=--<=
+<
因为所以而方程的两根是
因为所以
则
而在上是减函数
因此
方法二：
因为(]0
1
,1,0
1
1
=
+
∈kx
x所以；①
因为0
1
2
),
2,1(
2
2
2
2
=
-
+
∈kx
x
x所以，②
由①②消去k，得
2
121222
1212
1111
20,2.(1,2),4.
x x x x x x
x x x x
--=+=∈+<
即又因为所以
7.以集合为背景的不等式
以集合为背景的不等式,以考查不等式的解法和集合的有关概念与运算为目的,解题时应注意将不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合,准确解题.
例11.（2007年北京卷文）
记关于x的不等式0
1
x a
x
-
<
+
的解集为P，不等式11
x-≤的解集为Q．
（I）若3
a=，求P；
（II）若Q P
?，求正数a的取值范围．
命题意图：本题主要考查集合的有关概念和运算及分式不等式和含绝对值的不等式的解法. 解：（I）由30
1
x
x
-
<
+
，得{}
13
P x x
=-<<．
（II）{}{}
1102
Q x x x x
=-=
≤≤≤．
由0
a>，得{}
1
P x x a
=-<<，又Q P
?，所以2
a>，
即a的取值范围是(2)
+∞
，．
8.以线性规划形式出现的不等式
以线性规划形式出现的不等式,重在考查数形结合的解题能力.这种题目解题时要注意根据已知不等式组作出图形,分析求解.
例12.（2006 年辽宁卷）双曲线224
x y
-=的两条渐近线与直线3
x=围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是
（A）
03
x y
x y
x
-≥
?
?
+≥
?
?≤≤
?
（B）
03
x y
x y
x
-≥
?
?
+≤
?
?≤≤
?
（C）
03
x y
x y
x
-≤
?
?
+≤
?
?≤≤
?
（D）
03
x y
x y
x
-≤
?
?
+≥
?
?≤≤
?
命题意图：本题主要考查利用双曲线的图象性质和线性规划的知识，体现数形结合能力. 解：作图可知三角形区域在第一象限.即满足
03
x y
x y
x
-≥
?
?
+≥
?
?≤≤
?
故选(A)
9..以简易逻辑为背景的不等式
以简易逻辑为背景的不等式,解题时往往以不等式为工具,来确定命题,用简易逻辑知识解决问题.
例13.（2006 年山东卷）设2
2
1:200,:
||2
x
p x x q x ---><-，则p 是q 的
（A ）充分不必要条件
（B ）必要不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 命题意图：本题主要考查利用不等式和简易逻辑知识解决问题的能力. 解： 由题设可得:
2
2:200,:5, 4.1:0,1,2, 2.
||2
p x x p x x x
q x x x x -->><--<-<<<->-即即1或
故选(A)
10..与函数知识结合的不等式
与函数知识结合的不等式,解题时往往以不等式为工具, 结合函数知识,通过推理来解决问题.
例14.（2006 年山东卷）设
1
2
32,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -??=?-≥??
＜，
则的值为
，
（A ）0
（B ）1 （C ）2 （D ）3
命题意图：本题主要考查利用不等式和函数知识解决问题的能力.
解：
((2))(3)(1)2 2.f f f f e ===3=log 故选(C)
12..与平面向量知识结合的不等式
与平面向量知识结合的不等式,解题时往往以不等式为工具, 结合平面向量知识和坐标运算,通过和坐标运算和推理来解决问题.
例15.（2006 年辽宁卷）设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段A B 上的一个动点,AP AB λ=
,若
OP AB PA PB
?≥? ,则实数λ的取值范围是
（A ）1
12
λ≤≤
（B
）112
λ-≤≤
（C
）1
12
2
λ≤≤+
（D
）112
2
λ≤≤+
命题意图：本题主要考查利用不等式和平面向量知识解决问题的能力.
解：设P(x,y),则由AP AB λ=
得,
,(1,)(1,1),1,1,,.
AP AB x y x x y y λλλλλλ=-=--=-=-??∴??==??
即解得
2
2
2
2
,(,)(1,1)(1,)(,1),
0,(1)20,112
2O P AB PA PB x y x y x y x y y λλλλ?≥?∴-≥----∴+-≥∴-+-≤∴-
≤+
又点P 是线段A B 上的一个动点, 0 1.λ
∴≤≤
1 1.
2
λ∴-
≤
故选(B)
13..与函数的导数知识结合的不等式
.与函数的导数知识结合的不等式,解题时往往以不等式和函数的导数为工具, 结合函数知识,通过推理来解决问题. 例16. （2006 年江西卷）
已知函数
3
2
()f x x ax bx c
=+++在23
x
=-
与1x =时都取得极值.
(1) 求a 、b 的值及函数()f x 的单调区间;
(2) 若对[]1,2x ∈-,不等式
2
()f x c
<恒成立,求c 的取值范围.
命题意图：本小题考查函数的导数，函数，函数极值的判定，给定区间上二次函数的最值等
基础知识的综合运用，考查就数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力. 解：322
(1)(),()32,f x x ax bx c f x x ax b '=
+++=++
2
2124
()0,(1)320,
3
93
1,2,
2
()32(32)(1),():
f a b f a b a b f x x x x x f x ''-
=-+==++==-=-'=--
=
+
-由得函数的单调区间如下表
所以函数
()f x 的递增区间为2(,)3
-∞-
与(1,)+∞;递减区间为2(,1)3-
.
[][]3
2
2
2
1(2)()22
2221,2,,(),
3
27
(2)2,(2)2.
()(1,2),(2)2,
1 2.f x x x x c x x f x c f c f c f x c x c f c c c =-
-+∈-=-
=
+=+=+∈-=+-当时为极大值而则为最大值要使恒成立只须解得或
<> <>
14..与数列知识结合的不等式
与数列知识结合的不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具, 结合函数知识,通过计算和推理来解决问题. 例17.（2006 年湖北卷）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点*,()n
S n n N n ??∈ ??
?
均在函数32y x =-的图像上.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1
3n
n n b
a a +=
，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20
n
m T <
对所有*n N ∈都成立的最小正
整数m .
命题意图：本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力. 解：（I ）依题意得，32,n
S n n
=-即2
32n S n n
=-.
当n ≥2时， ()22
1(32)312(1)65n n n a S S n n n n n -??=-=-----=-??
;
当n=1时，113a S =-×2
1
-2×1-1-6×1-5.
所以65()n
a
n n N *
=-∈.
（II ）由（I ）得[]
1
31
111(65)6(1)526561n n n b a a n n n n +??
=
=
=
- ?
-+--+??
，
故
11
11111
11...277136561n
n
b n n T
=????????-=
-+-
++- ? ? ???-+????????
∑=11
1261n ??-
?+??
.
因此，使得11
1261n ??-
?+??﹤()20m n N *
∈成立的m 必须满足12
≤
20
m ，即m ≥10,故满足要求的最
小整数m 为10. 15..不等式的实际应用
不等式的实际应用题,解题时往往以不等式为工具, 结合函数知识和函数的导数的应用,通过建立不等式模型,利用计算和推理来解决问题.
例18．（2007年重庆卷文）（本小题满分12分）
用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
命题意图：本小题主要考查利用函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用不等式知识解决实际问题的能力．
解：设长方体的宽为x （m ），则长为)(2m x ，高为
).230( )(35.44
1218<
<-=-=
x m x x
h
故长方体的体积为).230( )(69)35.4(2)(3
322<
<-=-=
x m x x x x x V
从而 )1(181818)(2x x x x x V -=-='
令 00)(==x x V ，解得（舍去）或x =1，因此x =1. 当
0)(2
31 ;0)(10<'<
<>'<故在x =1处)(x V 取得极大值，并且这个极大值就是)(x V 的最大值. 从而最大体积
，
)(31619)1(3
3
2
m V V =?-?==此时长方体的长为2m ，高为1.5m
答：当长体的长为2m ，宽为1m ，高为1.5m 时，体积最大，最大体积为3m 3. 三、专题训练与高考预测
一.选择题
1.y =322-+x x 的单调递减区间为（ ）
A.(－∞，－3)
B.(－∞，－1)
C.［1，+∞］
D.［－3，－1］ 2.下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是（ ） A.y =－
x
B.y =
1
1-x C.y =3－2x D.y =－x 2+2x +1
3.设f (x )是定义在A 上的减函数，且f (x )＞0，则下列函数：y =3－2f (x ),y =1+)
(2x f ,y =f 2(x ),y =1
－
)
(x f ，其中增函数的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
4．关于x 的方程9x +(a+4)·3x
+4=0有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（-∞，-8]∪[0，+∞）B 、（-∞，-4） [-8，4） D 、（-∞，-8]
5．若a>0，b>0，且2a+b=1，则S=2ab -4a 2-b 2
的最大值是（ ） A ．
2
12- B 、12- C 、
2
12+ D 、12+
6．已知不等式m 2＋(cos 2θ－5)m ＋4sin 2θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.0≤m ≤4 B.1≤m ≤4 C ．m ≥4或x ≤0 D.m ≥1或m ≤0 二.填空题
7.设f (x )=x 2－1(x ≤－2),则f －1(4)=__________. 8.已知f (x )=3x －2,则f －1
(3x －2)=__________.
9.已知f （x ）是奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）＝lg 11x
+，那么当x ∈（－1，0）时， f
（x ）的表达式是_____． 10. 记S=1
2
12
2
11
2
12
111
10
10
10
-+
+++
++
，则S 与1的大小关系是 .
11.当
0,2x π??∈ ?
??
时,函数2
1cos 28sin
sin 2x x
y
x
++=
的最小值是_________.
12.实数,x y 满足x x y
y
=-,则x 的取值范围是__________.
三.解答题
13. 设函数f （x ）=log 2（x +1），当点（x ，y ）在y=f （x ）的反函数图象上运动时，对应
的点（3
,2y x ）在y=g （x ）的图象上.
(1)求g （x ）的表达式;
(2)当g （x ）—f —1
（x ）≤0时，求u （x ）=g （x ）—f —1
（x ）的最小值.
14. 在某产品的制造过程中，次品率p 依赖于日产量x ，
已知 =
p 1,101x ?
≤?
-??>?
当0A 元.
(1) 将该厂的日赢利额T （元）表示为日产量x （个）的函数，并指出这个函数的定义域;
(2)为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少？
15．已知).1(1
)(-≠+=
x x x x f
)
()1(x f 求的单调区间；
（2）若.43)()(:,)(1,0>
+-=
>>c f a f b
b a
c b a
求证
16．某人上午7时乘摩托艇以匀速V 千米/小时（4≤V ≤20）从A 港出发前往50千米处的
B 港，然后乘汽车以匀速W 千米/小时（30≤W ≤100）自B 港向300千米处的
C 市驶去，在同一天的16时至21时到达C 市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x 小时、y 小时，若所需经费)8(2)5(3100y x p -+-+=元，那么V 、W 分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.
【参考答案】
一.1.A 提示：2230,13x x x x +-≥≥≤-则或, 又
()()2
2
23141x x x x +-=+-,∈-∞,-,.
可知当时函数递减.
2.D 提示：函数y =－x 2
+2x +1的图象开口向下,对称轴x =1.
3.C 提示：由于f (x )是定义在A 上的减函数，且f (x )＞0，所以其－2f (x ),
)
(2x f ,和－
)
(x f 都
是增函数. 4.D 5.A 6.C 二.7.－5 .8.x.
9. 提示：当x ∈（－1，0）时，－x ∈（0，1），∴f （x ）＝－f （－x ）＝－lg 11x
+＝lg （1－x ）．
10.
<1s
11. 4 ; 12. ()[),04,-∞?+∞ 三.13. (1)易求12)(1
-=-x
x f
.)
14(3
1)(-=
x
x g .
(2)由g （x ）—f —1（x ）≤0得：[]2,12∈x
.12
1)2
32(31)(2
-
-=
x
x u .
故x
2[].12
1)(,2,12
3-
≥∈=x u 即12
1)(,2
3
log
min 2
-
==x u x .
14. （1）易知()4(1)[1],0,100,3
3(101)
A T
Ax p xp Ax x x N
x *
=-+
=-
∈∈-.
（2）求T 的最大值是个难点.须变换：
]}
)
101(3404)101[(3
4101{]3
4)
101(3404[])
101(34[x x A x x A x x x A T -+
--+
=+--
=--
=易知当且仅当
≈
-
=3
404101x 89.4时，T 最大.但是x N *∈，)90(),89(f f 两者的最大值一定是T
的最大值
吗？这是本题的第二个难点.因此，必须证明函数
)(x T 在（0，3
404101-
）上是增函数，而在（3
404101
-
，100）上是减函数.
15. 解：（1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得
1
11)(+-
=x x f ,
.),1()1,()(上分别单调递增
和在区间+∞---∞∴x f
（2）首先证明任意).()()(,0y f x f y x f y x
+<+>>有事实上,
)(1
1
1
1
)()(y x xy f y x xy y x xy y x xy y x xy xy y y
x x y f x f ++=+++++>
++++++=
++
+=
+.
而 ()),
()1(,
y x f y x xy f y x y x xy +>+++>++知由
)()()(y x f y f x f +>+∴
,
04)
2
(
1)(12
2
>=+-≥-=
a
b
b a b
b a c
.342
2
2
≥+
+
≥
+∴a
a a c a
4
3)3()()()(=
≥+>+∴
f c a f c f a f
16.解：题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解. 由于10
3,5.125.2,100450≤≤≤≤∴≤≤=x y V V
y 同理及
又14
9≤+≤
y x
.23),23(131)8(2)5(3100y x z y x y x P +=+-=-+-+=令
则z 最大时P 最小.
作出可行域，可知过点（10，4）时, z 有最大值38， ∴P 有最小值93，这时V=12.5，W=30.
一次函数与方程和不等式的关系
一次函数与方程和不等式的关系 1．如图1，直线y=kx+b与x轴交于点A（-4，0），则当y>0时，x的取值范围是（?）A．x>-4 B．x>0 C．x<-4 D．x<0 （1）（2） 2．已知一次函数y=kx+b的图像，如图2所示，当x<0时，y的取值范围是（?）A．y>0 B．y<0 C．-2y2时，x的取值范围是（）． A．x>5 B．x<1 2 C．x<-6 D．x>-6 4．函数y=1 2 x-3与x轴交点的横坐标为（）． A．-3 B．6 C．3 D．-6 5．对于函数y=-x+4，当x>-2时，y的取值范围是（）． A．y<4 B．y>4 C．y>6 D．y<6 6.如图是一次函数y=kx+b的图象，当y＜2时，x的取值范围是（） A、x＜1 B、x＞1 C、x＜3 D、x＞3 7.直线l1：y=k1x+b与直线l1：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解为（） A、x＞﹣1 B、x＜﹣1 C、x＜﹣2 D、无法确定
8．对于一次函数y=2x+4，当______时，2x+4>?0；?当________?时，?2x+?4
数列难题放缩法的技巧
数列难题放缩法的技巧 一、基本方法 1.“添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3 －b 3 ＝a 2 －b 2 ，求证143 ＜＋＜a b 。 例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证： a a b b b b c c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（） [变式训练]已知* 21().n n a n N =-∈求证： *12 231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 2. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分 母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。 3. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知n ∈N*，求n 2n 13 12 11＜…+ ++ + 。 例5. 已知* N n ∈且)1n (n 3221a n +++?+?=Λ，求证：2 )1(2)1(2 +< <+n a n n n 对所有正整数n 都成立。 4. 公式放缩 利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。 例6. 已知函数1212)(+-=x x x f ，证明：对于* N n ∈且3≥n 都有1 )(+>n n n f 。 例7. 已知2x 1)x (f +=，求证：当a b ≠时f a f b a b （）（）-<-。 5. 换元放缩 对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目
高中数学不等式解题技巧
不等式解题漫谈 一、活用倒数法则 巧作不等变换——不等式的性质和应用 不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性. 倒数法则：若ab>0,则a>b 与1a <1 b 等价。 此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。如：（1998年高考题改编）解不等式log a (1-1 x )>1. 分析：当a>1时，原不等式等价于：1-1x >a,即 1x <1-a ,∵a>1,∴1-a<0, 1x <0,从而1-a, 1 x 同 号，由倒数法则，得x>11-a ; 当00, 1x >0, 从而1-a, 1x 同号，由倒数法则，得11时,x ∈(11-a ,+∞)；当0log b a B 、| log a b+log b a|>2 C 、(log b a)2 <1 D 、|log a b|+|log b a|>|log a b+log b a| 分析：由已知，得0(完整版)一次函数与一元一次不等式训练题及答案.docx
精心整理 一次函数与一元一次不等式训练题及答案 一、选择题（共10 小题；共30 分） 1.如图，以两条直线，的交点坐标为解的方程组是 A. B. C. D. 2.将一次函数的图象向上平移个单位，平移后，若，则的取值范围是?() A. B.4 C. D. 3.如图所示，函数和的图象相交于，两点．当时，的取值范围是 A. B. C. D.或 4.一次函数的图象如图所示，则方程的解为?() A. B. C. D. 5.如图，直线是函数的图象．若点满足，且，则点的坐标可能是?()． A. B. C. D. 6.如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解 集是 ?() A. B. C. D. 7.用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示）， 则所解的二元一次方程组是 ?()． A. B. C. D. 8.已知函数，，的图象交于一点，则值为?() A. B. C. D.
精心整理 A. B. C. D. 10.已知关于的一次函数在上的函数值总是正的，则的取值范围是 A. B. C. D.以上答案都不对 二、填空题（共 5 小题；共15 分） 11.如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得方程组的解是?． 12.一次函数与的图象如图，则的解集是?． 13.如图，已知函数与函数的图象交于点，则不等式的解集是?． 14.方程组的解是则直线和的交点坐标是?． 15.观察函数的图象，根据图所提供的信息填空： （ 1）当?时，； （ 2）当?时，； （ 3）当?时，； （ 4）当?时，． 三、解答题（共 5 小题；共55 分） 16.如图，函数和的图象相交于点， （1）求点的坐标； （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 17.已知一次函数的图象过点，，求函数表达式并画出它的图象，再利用图象求： （ 1）当为何值时，，，； （ 2）当时，的取值范围； （ 3）当时，的取值范围． 18.甲、乙两地相距，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地 的距离与时间之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的函数关系．根据图象，解答下列问题： （1）线段表示轿车在途中停留了 ? ； （2）求线段对应的函数解析式； （3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车． 19.如图，直线经过点，． （ 1）求直线的解析式； （ 2）若直线与直线相交于点，求点的坐标； （ 3）根据图象，写出关于的不等式的解集． 20.如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运 动． （ 1）求直线的解析式． （ 2）求的面积．
用用放缩法证明与数列和有关的不等式
用放缩法证明与数列和有关的不等 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 a a ，又由条
高考数学 解题方法攻略 不等式放缩 理
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一 利用重要不等式放缩 1． 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k Λ=+= 2121)1(+ =++<+++=+<∑=n n n k S n k n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 n a a n a a a a a a n n n n n n 2211111 1++≤ ++≤ ≤++ΛΛΛΛ 其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。 例2 已知函数bx a x f 211)(?+= ，若5 4)1(= f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.21 2 1)()2()1(1-+>++++n n n f f f Λ（02年全国联赛山东预赛题） 简析 )221 1()()1()0(22114111414)(?->++?≠?->+-=+=n f f x x f x x x x Λ .21 2 1)21211(41)2211()2211(1 12-+=+++-=?-++?-++-n n n n n ΛΛ 例3 已知b a ,为正数，且 11 1=+b a ，试证：对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a .（88年全国联赛题） 简析 由111=+b a 得b a ab +=，又42)11)((≥++=++a b b a b a b a ，故 4≥+=b a ab ，而n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110)(， 令n n n b a b a n f --+=)()(，则)(n f =11 11----++++n n n r r n r n n n ab C b a C b a C ΛΛ，因为i n n i n C C -=，倒序相加得)(2n f =)()()(111111b a ab C b a b a C ab b a C n n n n r n r r r n r n n n n -------+++++++ΛΛ， 而12 1 1 1 1 2422+------=?≥≥+==+==+n n n n n n r n r r r n n n b a b a ab b a b a ab b a ΛΛ，则 )(2n f =) )(22())((1 1r r n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++ΛΛ?-≥)22(n 12+n ，所以)(n f ?-≥)22(n n 2，即对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a . 例4 求证),1(2 2 1321N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++-Λ.
高考数学解题技巧大揭秘专题函数导数不等式的综合问题
专题五 函数、导数、不等式的综合问题 1.已知函数f (x )＝ln x ＋k e x (k 为常数，e ＝ 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间； (3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2 . 解 (1)由f (x )＝ ln x ＋k e x ， 得f ′(x )＝1－k x －xln x xe x ，x ∈(0，＋∞)， 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝ 1 xe x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h(x )＝1－x －xln x ，x ∈(0，＋∞)， 当x ∈(0,1)时，h(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h(x )＜0. 又e x ＞0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0. 因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)因为g(x )＝xf ′(x )， 所以g(x )＝1 e x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)， 由(2)得，h(x )＝1－x －xln x ， 求导得h′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e －2 )． 所以当x ∈(0，e －2 )时，h′(x )＞0，函数h(x )单调递增； 当x ∈(e －2 ，＋∞)时，h′(x )＜0，函数h(x )单调递减． 所以当x ∈(0，＋∞)时，h(x )≤h(e －2 )＝1＋e －2 . 又当x ∈(0，＋∞)时，0＜1 e x ＜1， 所以当x ∈(0，＋∞)时，1e x h(x )＜1＋e －2，即g(x )＜1＋e －2 . 综上所述结论成立．
一次函数与一元一次不等式(基础)知识讲解
数学是科学的大门和钥匙--培根 数学是最宝贵的研究精神之一--华罗庚 一次函数与一元一次不等式（基础） 责编：杜少波 【学习目标】 1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观 地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想． 2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题． 【要点梳理】 【高清课堂：393614 一次函数与一元一次不等式，知识要点】 要点一、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 要点二、一元一次方程与一元一次不等式 我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 要点三、如何确定两个不等式的大小关系 ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集?y ax b =+的函数值大于y cx d =+的 函数值时的自变量x 取值范围?直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围． 【典型例题】 类型一、一次函数与一元一次不等式 1、如图，直线y kx b =+交坐标轴于A （－3，0）、B （0，5）两点，则不等式kx b --＜0的解集为（ ） A ．x ＞－3 B ．x ＜－3 C ．x ＞3 D ．x ＜ 3 【思路点拨】kx b --＜0即kx b +＞0，图象在x 轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式kx b +＞0的解集.
数列与不等式知识点及练习
数列与不等式 一、看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) (2)在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足?? ? ≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. （2）当1a <0,d>0时,满足?? ?≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝 对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法： （1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①；②（4）造等差、等比数列求通项：；②；③；④.第一节通项公式常用方法题型1 利用公式法求通项 例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 2.已知为数列{}n a 的前项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ ； ⑵.总结:任何一个数列，它的前项和n S 与通项n a 都存在关系：???≥-==-)2() 1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们 统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项 例2：⑴已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式； ⑵已知为数列{}n a 的前项和，，，求数列{}n a 的通项公式. 总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“”； 迭乘法适用于求递推关系形如““；⑵迭加法、迭乘法公式：① ② . 题型3 构造等比数列求通项 例3已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法： ①令；② 在中令，；③由得，. 例4已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“”通过适当变形可转化为： “”或“求解. 数列求和的常用方法
基本不等式应用-解题技巧归纳
基本不等式应用解题技巧归纳 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。例：求函数2 y = 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈
2．已知01x <<，求函数y = 的最大值.；3．203x <<，求函数y =. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 . 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且 191x y +=，求x y +的最小值。 变式： （1）若+∈R y x ,且12=+ y x ，求y x 11+的最小值 (2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值 技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2 ＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
一次函数与方程不等式专项练习60题(有答案)
一次函数与方程、不等式专项练习60题（有答案）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（） A．x=2 B．y=2 C．x=﹣1 D．y=﹣1 2．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（） A． x＜B．x＜3 C． x＞ D．x＞3 3．如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的解集是（） A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜1 4．已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式a（x﹣1）﹣b ＞0的解集为（） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞1 D．x＜1 5．如图，直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为（1，2），则使y1＜y2的x的取值范围为（） A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．x＜2 6．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＜k1x+b的解集为（）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞2 D．x＜2 7．如图，直线y=kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y=2x过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集为（） A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜﹣1 C．﹣2＜x＜0 D．﹣1＜x＜0 8．已知整数x满足﹣5≤x≤5，y1=x+1，y2=﹣2x+4，对任意一个x，m都取y1，y2中的较小值，则m的最大值是（）A．1B．2C．24 D．﹣9 9．如图，直线y1=与y2=﹣x+3相交于点A，若y1＜y2，那么（） A．x＞2 B．x＜2 C．x＞1 D．x＜1 10．一次函数y=3x+9的图象经过（﹣，1），则方程3x+9=1的解为x=_________． 11．如图，已知直线y=ax+b，则方程ax+b=1的解x=_________． 12．如图，一次函数y=ax+b的图象经过A，B两点，则关于x的方程ax+b=0的解是_________． 13．已知直线与x轴、y轴交于不同的两点A和B，S△AOB≤4，则b的取值范围是_________．
高中数学竞赛解题方法篇不等式
高中数学竞赛解题方法篇 不等式 The pony was revised in January 2021
高中数学竞赛中不等式的解法 摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。 不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个着名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式 定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有 1211...n n n a b a b a b -+++(倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和） 其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或 12...n b b b ===时成立. （说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.） 证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。
不等式1212...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到最大值 1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有 .n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+（1-1） 事实上， 不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端， 得 即1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++. 例1（美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3 ()a b c a b c a b c abc ++≥. 思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥ 根据排序不等式有： 以上两式相加，两边再分别加上lg lg lg a a b b c c ++
高考数学不等式解题方法技巧
4 4 1 x 时，1+ log x 3 v 2log x 2 ；当 x 时，1+ log x 3 = 2log x 2） 3 3 3.利用重要不等式求函数最值 时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小 ”这17字方 针。 1 x 2 3 【例】（1）下列命题中正确的是 A 、y x 的最小值是 2 B 、y 的最小值是 2 C 、 X Vx 2 2 y 2 3x 4（x 0）的最大值是 2 4'、3 D 、y 2 3x 4 （x 0）的最小值是 2 4-3 （答：C ）； x x （2）若x 2y 1，则2x 4y 的最小值是 ______________ （答: 2^2 ）； （3）正数x, y 满足x 1 2y 1，则 1 x -的最小值为 （答： y 3 2 .2 )； a 2 b 2 a b 4.吊用不等式有：（1） ；2 2 v ab 1 1 （恨据曰标不寺式左右的运算结构选用 ）； a b (2) a 、b 、c R , a 2 .2 2 b c ab bc ca （当且仅当a b c 时，取等号）； (3) 若 a b 0,m 0，则- b m （糖水的浓度问题）。 a a m 【例】 如果正数a 、b 满足ab a b 3 ,则ab 的取值范围是 （答：9, ) 不等式应试技巧总结 1不等式的性质： （1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减 ：若a b,c d ，贝U a c b d （若a b,c d ，则 a c b d ），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘 ，但不能相除; 异向不等式可以相除 ，但不能相乘：若 a b 0,c d 0，则 ac bd (若 a b 0,0 c d ，则 a -); c d （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方 :若 a b 0 ,则 a n b n 或 n a 1 1 1 1 则 ；若ab 0 , a b ，贝U a b a b 【例】 （1）对于实数a,b,c 中， 给出下列命题： ①若a b,则 ac 2 bc 2 ； ③若a 2 2 b 0,则 a ab b ④ 若a b 0,则- 1 ⑤ a b ⑥若a b 0,则: a lb ；⑦若c a b 0,则丄 ;⑧若a b,1 1 c a c b a b 命题是 (答: ②③⑥⑦⑧）； （2）已知1 x y 1 , 1 x y 3，则3x y 的取值范围是 ______________________ （答：1 n b ； (4)若 ab 0 , a b , ②若 ac 2 bc 2 ,则a b ； b a 右a b 0,则 a b 则a 0,b 0。其中正确的 3x y 7 )； （3）已知a b c ，且a b c 0,则—的取值范围是 a (答: 2,- 2 2.不等式大小比较的常用方法 ： （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商 式） ； （ 3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性； （8）图象法。其中比较法（作差、 （常用于分数指数幕的代数 （7）寻找中间量或放缩法 【例】 时取等号） ；当0 a 1时, (2) 作商）是最基本的方法。 1 t 1 1,t 0 ,比较—log a t 和log a 的大小（答：当a 1 t 1 -lOg a t log a 」（t 1 时取等号））； 2 2 1 a 2 4a 2 ,q 2 a 2 ，试比较p,q 的大小（答：p (3) 比较 1+ log x 3 与 2log x 2( x 0且x 1）的大小（答：当0x1或x 1 t 1 1 时，-lOg a t ( t q )； 4 时，1+ log x 3 > 2log x 2 ； 3
一次函数与方程(或不等式)结合的问题
一次函数与方程（或不等式）结合的问题 一般地，一次函数中，令是一元一次方程，它的根就是的图象与x轴交点的横坐标，一元一次不等式（或）可以看作是取正值（或负值）的特殊情况，其解集可以看作相应的自变量x的取值范围。两直线的交点坐标，就是由这两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解。下面举例说明。 例1. 在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图1所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是__________，从点燃到燃尽所 用的时间分别是_________； （2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式； （3）燃烧多长时间，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高在什么时间内，甲蜡烛比乙蜡烛低 析解：（1）由图1知，燃烧前两根蜡烛的高度分别为30厘米、25厘米；燃尽所用的时间分别是2小时、小时。（2）设甲蜡烛燃烧时，y与x之间的函数关系式为。由图1可知，函数的图象过点 （2，0），（0，30），所以，解得 所以甲蜡烛燃烧时y与x的关系式为：；同理乙蜡烛燃烧时y与x的关系式为。 （3）由题意得，解得。 ； 所以，当燃烧1小时的时候，甲、乙两根蜡烛的高度相等。观察图象知当时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当时，甲蜡烛比乙蜡烛低。 说明：本题是一次函数与二元一次方程的结合，利用图象的信息，提供数据解决问题。 例2. 某零件制造车间有工人20名，已知每人每天可以制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元，在这20人中，车间每天安排x人制
高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结
1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证 .2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数 bx a x f 211 )(?+= ，若5 4)1(= f ，且 )(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证： .2 1 21)()2()1(1 -+ >++++n n n f f f Λ 例3 求证),1(22 1321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++-Λ. 例4 已知222121n a a a +++=L ，222 121n x x x +++=L ，求证：n n x a x a x a +++Λ2 211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 21 1()511)(311)(11(+>-+++ +n n Λ 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 1211 1,(1).2 n n n a a a n n +==+ ++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈L ） 例8 已知不等式 21111 [log ],,2232 n n N n n *+++>∈>L 。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,] [log 222≥+必修5--基本不等式几种解题技巧及典型例题
均值不等式应用（技巧）技巧一：凑项 1、求y = 2x+ 1 x - 3 （x > 3）的最小值 2、已知x > 3 2 ，求y = 2 2x - 3 的最小值 3、已知x < 5 4 ，求函数y = 4x – 2 + 1 4x - 5 的最大值。 技巧二：凑系数 4、当0 < x < 4时，求y = x(8 - 2x)的最大值。 5、设0 < x < 3 2 时，求y = 4x(3 - 2x)的最大值，并求此时x的值。 6、已知0 < x < 1时，求y = 2x(1 - x) 的最大值。 7、设0 < x < 2 3 时，求y = x(2 - 3x) 的最大值 技巧三：分离 8、求y = x2 + 7x + 10 x + 1 （x > -1）的值域； 9、求y = x2 + 3x + 1 x （x > 0）
的值域 10、已知x > 2，求y = x2 - 3x + 6 x - 2 的最小值 11、已知a > b > c，求y = a - c a - b + a - c b - c 的最小值 12、已知x > -1，求y = x + 1 x2 + 5x + 8 的最大值 技巧四：应用最值定理取不到等号时利用函数单调性 13、求函数y = x2 + 5 x2 + 4 的值域。 14、若实数满足a + b = 2，则3a + 3b的最小值是。 15、若 + = 2，求1 x + 1 y 的最小值，并求x、y的值。 技巧六：整体代换 16、已知x > 0，y > 0，且1 x + 9 y = 1，求x + y的最小值。
17、若x、y∈R+且2x + y = 1，求1 x + 1 y 的最小值 18、已知a，b，x，y∈R+ 且a x + b y = 1，求x + y的最小值。 19、已知正实数x，y满足2x + y = 1，求1 x + 2 y 的最小值 20、已知正实数x，y，z满足x + y + z = 1，求1 x + 4 y + 9 z 的最小值 技巧七：取平方 21、已知x，y为正实数，且x2 + y2 2 = 1，求x 1 + y2的最大值。 22、已知x，y为正实数，3x + 2y = 10，求函数y = 3x + 2y的最值。 23、求函数y = 2x - 1 + 5 - 2x（1 2 < x < 5 2 ）的最大值。 技巧八：已知条件既有和又有积，放缩后解不等式 24、已知a，b为正实数，2b + ab + a = 30，求函数y = 1 ab 的最小值。
一次函数与不等式应用题(含答案)-
一次函数与不等式应用题 【例题经典】 例1（2006年武汉市）某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品，生产1 甲乙 矿石（吨）10 4 煤（吨） 4 8 煤的价格为400元/400元，?甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，?乙产品每吨售价5500元，现将该矿石原料全部用完 ．．．．，设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元． （1）写出m与x之间的关系式； （2）写出y与x的函数表达式（不要求写自变量的范围）； （3）若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大？?最大利润是多少？ 【点评】主要考查的是一次函数与不等式的实际应用． 例2（2006年黄冈市）我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿花市场销售单价y（元）?与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、?种植技术有关外，某种植的成本单价z（元）与上市时间t（天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示． （1）直接写出图（1）中表示的市场销售单价y（元）与上市时间t（天）（t>0）?的函数关系式； （2）求出图（2）中表示的种植成本单价z（元）与上市时间t（天）（t>0）?的函数关系式； （3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元/500克．） 【点评】主要考查同学们从两个图像中获取信息的能力．
【考点精练】 1．（2006年广安市）某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务．?甲种使用者每月需缴15元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.3元；乙种使用者不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元．若一个月内通话时间为x分钟，甲、?乙两种的费用分别为y1和y2元． （1）试分别写出y1、y2与x之间的函数关系式； （2）在同一坐标系中画出y1，y2的图像； （3）根据一个月通话时间，你认为选用哪种通信业务更优惠？ 2．为了鼓励小强勤做家务，培养他的劳动意识，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．?若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图所示． （1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费为多少元；?父母是如何奖励小强家务劳动的？ （2）写出当0≤x≤20时，相对应的y与x之间的函数关系式； （3）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？
