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2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线学案

第2讲 圆锥曲线

[考情考向分析] 圆锥曲线中的基本问题一般以定义、标准方程、几何性质等作为考查的重点,多为填空题.椭圆的有关知识为B 级要求,双曲线、抛物线的有关知识为A 级要求.

2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线学案

热点一 圆锥曲线的定义和标准方程

例1 (1)(2018·江苏省南京师大附中模拟)已知双曲线x 2a 2-y 2

b

2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =2x ,

它的一个焦点与抛物线y 2

=20x 的焦点相同,则双曲线的方程是________. 答案

x 2

5

-y 2

20

=1 解析 由题意得b a =2,c =5,再由c 2=a 2+b 2得a 2=5,b 2

=20,故双曲线的方程是x 25-y 220

=1.

(2)(2018·南通等六市调研)在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C 与双曲线x 2

-y 2

3=1有公共的渐近线,

且经过点P ()-2,3,则双曲线C 的焦距为________. 答案 4 3

解析 ∵双曲线C 与双曲线x 2

-y 2

3=1有公共的渐近线,

∴设双曲线C 的方程为x 2

-y 2

3=λ(λ≠0),

∵双曲线C 经过点P ()-2,3, ∴λ=4-1=3,

∴双曲线C 的方程为x 23-y 2

9=1.

∴双曲线C 的焦距为23+9=4 3.

思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理解细节部分:比如椭圆的定义要求PF 1+PF 2>F 1F 2,双曲线的定义中要求|PF 1-PF 2|<F 1F 2.(2)注意数形结合,画出合理草图.

跟踪演练1 (1)已知方程x 2

m 2+n -y 2

3m 2-n

=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围

是________. 答案 (-1,3)

解析 ∵方程x 2

m 2+n -y 23m 2-n

=1表示双曲线,∴(m 2+n )·(3m 2-n )>0,解得-m 2

2

=(m 2+n )+(3m 2-n )=4m 2

(其中c 是半焦距), ∴焦距2c =2×2|m |=4,解得|m |=1,∴-1

(2)如图,过抛物线y 2

=2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ,B ,交其准线于点C ,若BC =2BF ,且AF =3,则此抛物线方程为________.

2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线学案

答案 y 2

=3x

解析 如图分别过点A ,B 作准线的垂线,分别交准线于点E ,D ,

2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线学案

设准线与x 轴的交点为G ,设BF =a , 则由已知得BC =2a ,

由抛物线定义,得BD =a ,故∠BCD =30°, 在Rt△ACE 中,

∵AE =AF =3,AC =3+3a , 由2AE =AC ,得3+3a =6, 从而得a =1,FC =3a =3. ∴p =FG =12FC =3

2,

因此抛物线方程为y 2

=3x . 热点二 圆锥曲线的几何性质

例2 (1)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的左焦点,A ,B 分别为C 的左、右顶点.P 为

C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为________.

答案 13

解析 设M (-c ,m ),则E ?

??

??

0,

am a -c ,OE 的中点为D , 则D ? ?

?

??

0,am

2(a -c ),又B ,D ,M 三点共线,

所以m 2(a -c )=m a +c ,a =3c ,e =1

3

(2)双曲线x 2a 2-y 2

b

2=1(a >0,b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ,OC 所在的直线,点B 为该双曲线的焦点,若

正方形OABC 的边长为2,则a =________. 答案 2

解析 设B 为双曲线的右焦点,如图所示.∵四边形OABC 为正方形且边长为2,

2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线学案

∴c =OB =2 2. 又∠AOB =π

4,

∴b a =tan

π

4

=1,即a =b . 又∵a 2

+b 2

=c 2

=8,∴a =2.

思维升华 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题,其关键就是确立一个关于a ,b ,c 的方程或不等式,再根据a ,b ,c 的关系消掉b 得到a ,c 的关系式,建立关于a ,b ,c 的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等.

跟踪演练2 (1)已知双曲线E :x 2a 2-y 2

b

2=1(a >0,b >0),若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,AB ,CD 的中点为E

的两个焦点,且2AB =3BC ,则E 的离心率是________. 答案 2

解析 由已知得AB =2b 2

a ,BC =2c ,∴2×2

b 2

a

=3×2c ,又∵b 2=c 2-a 2,整理得2c 2-3ac -2a 2

=0,两边同除

以a 2

得2? ??

??c a 2-3c a

-2=0,即2e 2

-3e -2=0,

解得e =2或e =-1

2

(舍去).

(2)(2018·江苏省盐城中学模拟)已知F 1(-c,0),F 2(c,0)为椭圆x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆上一

点,且PF 1→·PF 2→=c 2

,则此椭圆离心率的取值范围是________. 答案 ??

????3

3

,22 解析 设P (x ,y ),则PF 1→·PF 2→=(-c -x ,-y )·(c -x ,-y )=x 2-c 2+y 2=c 2

,(*)

将y 2

=b 2

-b 2a

2x 2

代入(*)式,

解得x 2

=(2c 2-b 2)a 2c 2=(3c 2-a 2)a 2

c

2

, 又x 2∈[0,a 2],∴2c 2≤a 2≤3c 2

, ∴e =c a ∈??

??

??

33,22.

热点三 直线与圆锥曲线

例3 已知椭圆E :x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ,短轴的一个端点为M ,直线l :3x -4y =0交椭圆E 于

A ,

B 两点.若AF +BF =4,点M 到直线l 的距离不小于45

,则椭圆E 的离心率的取值范围是________.

答案 ? ??

??0,

32 解析 设左焦点为F 0,连结F 0A ,F 0B ,则四边形AFBF 0为平行四边形.

2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线学案

∵AF +BF =4, ∴AF +AF 0=4,∴a =2.

设M (0,b ),则4b 5≥4

5

,∴1≤b <2.

离心率e =c

a =

c 2a 2=a 2-b 2

a 2

=4-b 2

4∈?

????

0,32. 思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程组求解点的坐标或利用根与系数的关系、设而不求等求解,解题中要注意使用条件Δ≥0.涉及中点问题也可以用点差法.

跟踪演练3 (1)过双曲线x 2a 2-y 2

b

2=1()a >0,b >0上任意一点P ,引与实轴平行的直线,交两渐近线于R ,Q 两

点,则PR →·PQ →

的值为________. 答案 a 2

解析 设P ()x ,y ,则R ? ????a b y ,y ,Q ? ????-a b y ,y ,于是PR →·PQ →=? ????a b y -x ,0· ? ??

??-a b y -x ,0

=? ????a b y -x ·? ??

??-a b y -x =x 2-a 2b 2y 2=1b 2()b 2x 2-a 2y 2=a 2b 2

b 2=a 2

.

(2)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与双曲线C 2:x 2

-y 24

=1有公共的焦点,C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为

直径的圆相交于A ,B 两点,若C 1恰好将线段AB 三等分,则b =________. 答案

2

2

解析 由双曲线x 2

-y

2

4=1知渐近线方程为y =±2x ,

又∵椭圆与双曲线有公共焦点,

∴椭圆方程可化为b 2x 2

+(b 2

+5)y 2

=(b 2

+5)b 2

, 联立渐近线与椭圆方程消去y ,得x 2

=(b 2

+5)b

2

5b 2+20

又∵C 1将线段AB 三等分, ∴1+22

×2

(b 2+5)b 2

5b 2

+20=2a 3,解得b 2

=12.∴b =22

.

2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线学案

1.(2018·江苏)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2a 2-y 2

b

2=1(a >0,b >0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线

的距离为3

2

c ,则其离心率的值为________. 答案 2

解析 双曲线的渐近线方程为bx ±ay =0,焦点F (c,0)到渐近线的距离d =

|bc |

b 2+a 2

=b .

∴b =

32

c , ∴a =c 2-b 2

=12c ,∴e =c a

=2.

2.(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 2

3-y 2

=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,

其焦点是F 1,F 2,则四边形F 1PF 2Q 的面积是________. 答案 2 3

解析 渐近线方程为y =±

33x ,右准线方程为x =32

, 得P ,Q 坐标分别为? ????3

2

,±32.

PQ =3,F 1F 2=2c =4,

所以四边形F 1PF 2Q 的面积等于1

2

×4×3=2 3.

3.已知双曲线C :x 2a 2-y 2

b 2=1(a >0,b >0),过双曲线C 的右焦点F 作C 的渐近线的垂线,垂足为M ,延长FM 与

y 轴交于点P ,且FM =4PM ,则双曲线C 的离心率为_________________.

答案

5

解析 双曲线C :x 2

a

2-y 2

b

2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =b a

x ,右焦点F ()c ,0, 过F 与渐近线垂直的直线为y =-

a

b

()x -c , 由?????

y =b a x ,y =-a

b ()x -

c ,

可解得x M =a 2c ,y M =ab c

在y =-

a b ()x -c 中,令x =0,可得y P =ac b

, ∵FM =4PM ,∴FM →=4MP →

∴a 2c -c =4? ??

??0-a 2c ,

整理得5a 2

=c 2

,则e 2

=5, ∴e =5,

即双曲线C 的离心率为 5.

4.如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点,直线y =b

2

与椭圆交于B ,C 两点,

且∠BFC =90°,则该椭圆的离心率是_________________________________.

2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线学案

答案

6

3

解析 联立方程组????

?

x 2a 2+y 2

b 2

=1,y =b

2,

解得B ,C 两点坐标为B ? ????-32a ,b 2,C ? ??

??32a ,b 2, 又F (c,0),

则FB →=? ?

???-32a -c ,b 2,FC →=? ????3a 2-c ,b 2,

又由∠BFC =90°,可得FB →·FC →

=0,代入坐标可得 c 2

-34a 2+b

2

4

=0,(*)

又因为b 2=a 2-c 2

.

代入(*)式可化简为c 2a 2=23,则椭圆离心率为e =c

a

23=6

3

. 5.(2018·无锡期末)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)与椭圆x 216+y 2

12

=1的焦点重合,离心率互为倒数,

设F 1,F 2分别为双曲线C 的左、右焦点,P 为右支上任意一点,则PF 2

1

PF 2

的最小值为________.

答案 8

解析 由已知c =16-12=2,

∴F 1()-2,0,F 2()2,0,e =24=12 .又双曲线C 与椭圆焦点重合,离心率互为倒数,∴a 2+b 2=c 2

=4,e c =

2a

=1

e =2,∴a 2

=1,b 2

=3 ,则双曲线C: x 21-y 2

3

=1.P 在右支上, ∴PF 1>PF 2,根据双曲线的定义有PF 1-PF 2=2a =2,

∴PF 1=2+PF 2 ,PF 2

1

=()2+PF 22

=PF 22

+4PF 2+4,∴PF 21PF 2=PF 2

2+4PF 2+4

PF 2

=PF 2+

4

PF 2

+4≥2

PF 2·4

PF 2

+4=8,当且仅当PF 2=2时等号成立.

故PF 21

PF 2

的最小值为8.

2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线学案

A 组 专题通关

1.若双曲线x 2

-y 2

m

=1的离心率为3,则实数m =____________________________________.

答案 2

解析 由双曲线的标准方程知,

a =1,

b 2=m ,

c =1+m ,

故双曲线的离心率e =c a

=1+m =3, ∴1+m =3,解得m =2.

2.(2018·淮安等四市模拟)已知双曲线x 2a 2-y 2

b

2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为x -2y =0,则该双曲线的

离心率为________. 答案

52

解析 y =b a x =12x ,所以b a =12,得离心率e =c a =5

2

.

3.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线C :x

2

a 2-y

2

4=1(a >0)的一条渐近线与直线y =2x +1平行,则实数a 的

值是________. 答案 1

解析 由双曲线的方程可知其渐近线方程为y =±2a x .因为一条渐近线与直线y =2x +1平行,所以2

a

=2,解

得a =1.

4.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在x 轴上,若曲线C 经过点P (1,3),则其焦点到准线的距离为________. 答案 92

解析 由题意设抛物线方程为y 2

=2px (p ≠0), 又因为过点P (1,3),则p =9

2.

即为焦点到准线的距离.

5.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线x 24-y 2

12=1上一点M 的横坐标为3,则点M 到此双曲线的右焦点的

距离为________. 答案 4

解析 设右焦点为F (4,0).

把x =3代入双曲线方程得y =±15, 即M (3,±15). 由两点间距离公式得

MF =(3-4)2+(±15-0)2=4.

6.已知双曲线x 2a 2-y 2b

2=1(a >0,b >0)的一条渐近线过点(2,3) ,且双曲线的一个焦点在抛物线y 2

=47x

的准线上,则双曲线的方程为________. 答案

x 24

-y 2

3

=1 解析 双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的渐近线方程为y =±b

a

x ,

又渐近线过点(2,3), 所以2b

a

=3,即2b =3a ,①

抛物线y 2

=47x 的准线方程为x =-7, 由已知,得a 2

+b 2

=7, 即a 2

+b 2

=7,②

联立①②,解得a 2=4,b 2

=3, 所以双曲线的方程为x 24-y 2

3

=1.

7.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1

4,则该椭圆的离心率为

________. 答案 12

解析 如图,由题意得,BF =a ,OF =c ,OB =b ,OD =14×2b =1

2

b .

2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线学案

在Rt△FOB 中,OF ×OB =BF ×OD ,即cb =a ·12b ,解得a =2c ,故椭圆离心率e =c a =1

2

.

8.在平面直角坐标系xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 2

2+y 2

=1有两个不同的交点,则k

的取值范围为________________. 答案 ? ????-∞,-

22∪? ??

??22,+∞ 解析 设直线l 的方程为 y -2=k ()x -0, 即y =kx +2,

与椭圆方程联立可得 ()2k 2

+1x 2

+42kx +2=0,

直线与椭圆有两个不同的交点,则 Δ=()42k 2

-8()2k 2

+1>0,

解得k 的取值范围为? ????-∞,-

22∪? ??

??22,+∞. 9.(2018·扬州期末)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2a 2-y 2b

2=1(a >0,b >0)的渐近线与圆x 2+y 2

-6y +5

=0没有交点,则双曲线离心率的取值范围是________.

答案 ?

??

??1,32

解析 圆的方程可化为x 2

+()y -32

=4,双曲线的渐近线方程为bx ±ay =0,

依题意有

3a

a 2+

b 2

>2,

整理得3a >2c ,∴e <3

2

又e >1,∴双曲线离心率的取值范围是? ??

??1,32. 10.已知椭圆方程为x 216+y 2

12=1,若点M 为右准线上一点,点A 为椭圆C 的左顶点,连结AM 交椭圆于点P ,

PM

AP

的取值范围是____________. 答案 ????

??12,+∞ 解析 设点P 的横坐标为x 0, 则

PM AP =12x 0+4

-1, ∵-4<x 0≤4,∴PM AP =12x 0+4-1≥1

2

PM AP 的取值范围是????

??12,+∞.

B 组 能力提高

11.已知双曲线C :x 2a 2-y 2

b

2=1(a >0,b >0)的一条渐近线与直线3x +6y +3=0垂直,以C 的右焦点F 为圆

心的圆(x -c )2

+y 2

=2与它的渐近线相切,则双曲线的焦距为________. 答案 2 5

解析 由已知,得b a ·? ??

??-36=-1,所以b a =6

3.

由点F (c,0)到渐近线y =

6

3

x 的距离d =63

c ? ??

??632+(-1)2=2,

可得c =5,则2c =2 5.

12.已知双曲线x 2a 2-y 2b

2=1(a >0,b >0)的两条渐近线均和圆C :x 2+y 2

-6x +5=0相切,且双曲线的右焦点为

圆C 的圆心,则该双曲线的方程为________________. 答案

x 25

-y 2

4

=1 解析 由圆C :x 2

+y 2

-6x +5=0,得(x -3)2

+y 2

=4, 因为双曲线的右焦点为圆C 的圆心(3,0),所以c =3, 又双曲线的两条渐近线bx ±ay =0均和圆C 相切, 所以

3b

a 2+b

2

=2,即3b

c

=2,

又因为c =3,所以b =2,即a 2

=5,

所以该双曲线的方程为x

2

5-y

2

4

=1.

13.已知F 1,F 2为椭圆x 225+y 2

16=1的左、右焦点,若M 为椭圆上一点,且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π,则

满足条件的点M 有________个. 答案 2

解析 由椭圆方程x 225+y 2

16=1可得a 2=25,b 2

=16,

∴a =5,b =4,c =3.

由椭圆的定义可得MF 1+MF 2=2a =10, 且F 1F 2=2c =6,

∴△MF 1F 2的周长为MF 1+MF 2+F 1F 2=10+6=16. 设△MF 1F 2的内切圆的半径为r , 由题意可得2πr =3π,解得r =3

2.

设M (x 0,y 0), 则12

MF F S

=12

(MF 1+MF 2+F 1F 2)·r =1

2

·F 1F 2·|y 0|, 即12×16×32=1

2×6·|y 0|,解得|y 0|=4. ∴y 0=±4,∴M (0,4)或M (0,-4). 即满足条件的点M 有2个.

14.(2018·江苏省盐城中学期末)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b

2=1()a >b >0与圆C 2:x 2+y 2=b 2

,若椭圆C 1上存在点P ,

由点P 向圆C 2所作的两条切线为PA, PB 且∠APB =60°,则椭圆C 1的离心率的取值范围是________. 答案 ??

??

??

32,1 解析 因为∠APB =60°,所以∠POB =60°,在Rt △POB 中,由OB =b ,得PO =2b ,由点P 在椭圆上知, b

=4()a 2

-c 2

≤a 2

,解得e ≥

32,又知0

??

32,1. 15.(2018·全国大联考江苏卷)已知M ,N 是离心率为2的双曲线x 2a 2-y 2

b 2=1(a >0,b >0)上关于原点对称的两点,

P 是双曲线上的动点,且直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2,k 1k 2≠0,则|k 1|+4|k 2|的最小值为________.

答案 4 3

解析 设M (p ,q ),N (-p ,-q ),P (s ,t ),则p 2a 2-q 2b 2=1, s 2a 2-t 2b 2=1,两式相减整理得,p 2a 2-s 2a 2=q 2b 2-t 2

b

2,

q 2-t 2p 2-s 2=b 2a 2,又∵双曲线x 2a 2-y

2

b 2

=1的离心率为2, ∴c a =2,c 2a 2=4,∴b 2a 2=3,由斜率公式可得k 1k 2=q 2-t 2p 2-s

2=3,∴k 1与k 2同号,∴|k 1|+4|k 2|≥2 |k 1|·4|k 2|=4|k 1|·|k 2|=43,当且仅当|k 1|=4|k 2|,即k 1=4k 2时等号成立,∴|k 1|+4|k 2|的最小值为4 3.

16.如图,已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和圆C 2:x 2+y 2=r 2

都过点P (-1,0),且椭圆C 1的离心率为22

过点P 作斜率为k 1,k 2的直线分别交椭圆C 1,圆C 2于点A ,B ,C ,D ,且k 1=λk 2,若直线BC 恒过定点Q (1,0),

则λ=________.

2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线学案

答案 2

解析 因为椭圆过点P (-1,0),所以a =1, 又椭圆的离心率为

22,所以c =22

, 则b 2=1-12=12,故C 1:x 2+2y 2

=1,

又由题意得圆C 2:x 2

+y 2

=1.

由x 2

+y 2

=1与y =k 1(x +1)联立,消去y 得 (k 2

1+1)x 2

+2k 2

1x +k 2

1-1=0, 解得x =-1或x =1-k 2

1

k 21+1

故B ? ??

??1-k 2

1k 21+1,2k 1k 21+1, 同理可得C ? ????1-2k 2

2

2k 22+1,2k 22k 22+1.

因为B ,C ,Q 三点共线, 所以2k 1k 21+11-k 21k 21+1-1=2k 22k 22+11-2k 2

2

2k 2

2+1-1, 解得k 1=2k 2,故λ=2.