(完整版)复变函数试题库
《复变函数论》试题库
梅一A111
《复变函数》考试试题（一）
1、 =-?=-1||0
0)(z z n z z dz
__________.（n 为自然数） 2.
=+z z 2
2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.
4.设
11
)(2+=
z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.
5.幂级数
n
n nz
∞
=∑的收敛半径为__________.
6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.
7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.=
)0,(Re n z
z e s ________，其中n 为自然数.
9. z
z sin 的孤立奇点为________ .
10.若0z
是
)(z f 的极点，则___
)(lim 0
=→z f z z .
三.计算题（40分）：
1. 设
)2)(1(1
)(--=
z z z f ，求)(z f 在}
1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.
2. .cos 1
1||?=z dz z
3. 设
?
-++=C d z z f λ
λλλ1
73)(2，其中
}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +
4. 求复数
11
+-=
z z w 的实部与虚部.
四. 证明题.(20分) 1. 函数
)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，
那么它在
D 内为常数.
2. 试证
: ()f z =
在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两
个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.
《复变函数》考试试题（二）
二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z
2.
设
C
iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(2
2
2
，则
=+→)(lim 1z f i
z ________.
3.
=-?=-1||00)(z z n z z dz
_________.（n 为自然数）
4. 幂级数
n
n nz
∞
=∑的收敛半径为__________ .
5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.
6. 函数e z 的周期为__________.
7. 方程08323
5
=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设2
11
)(z z f +=
，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.
10. ____)1,1
(Res 4=-z
z .
三. 计算题. (40分)
1. 求函数
)2sin(3
z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数
z 在正
实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点
i z =处的值.
3. 计算积分：?-=i
i
z z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）
的右半圆.
4. 求
dz
z z
z ?
=-2
2
)2
(sin π
.
四. 证明题. (20分)
1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.
2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.
《复变函数》考试试题（三）
二. 填空题. (20分) 1. 设1
1
)(2+=
z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z
的周期为_________.
3. 若n n n
i n n z )1
1(12++-+=
，则=∞→n z n lim __________.
4. =+z z 2
2
cos sin ___________.
5. =-?=-1||0
0)(z z n z z dz
_________.（n 为自然数） 6. 幂级数
∑∞
=0
n n
nx
的收敛半径为__________.
7. 设1
1
)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.
8. 设
1-=z e ，则___=z . 9. 若0z
是
)(z f 的极点，则___)(lim 0
=→z f z z .
10. ____)0,(Res =n z
z
e
.
三. 计算题. (40分)
1. 将函数12()z
f z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.
2. 试求幂级数n
n n
z n
n ∑+∞
=!的收敛半径. 3. 算下列积分：
?-C z z z z
e )9(d 22，其中C 是1||=z .
4. 求0282269
=--+-z z z z
在|z |<1内根的个数.
四. 证明题. (20分) 1. 函数
)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常
数，那么它在D 内为常数.
2. 设
)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数
R 及M ，使得当
R z ≥||时
n z M z f |||)(|≤，
证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（四）
二. 填空题. (20分) 1. 设i
z -=11
，则___Im __,Re ==z z .
2. 若ξ=∞
→n n z lim ，则=+++∞→n
z z z n
n (i)
21______________.
3. 函数e z
的周期为__________. 4. 函数2
11
)(z
z f +=
的幂级数展开式为__________ 5. 若函数f (z )在复平面上处处解析，则称它是___________.
6. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________.
7. 设
1|:|=z C ，则___)1(=-?C
dz z .
8. z
z sin 的孤立奇点为________.
9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0
=→z f z z .
10.
=)0,(Res n z
z
e _____________.
三. 计算题. (40分)
1. 解方程013
=+z .
2. 设1
)(2-=z e z f z
，求).),((Re ∞z f s
3.
.))(9(2||2?=+-z dz i z z z
.
4. 函数()f z =z e z
1
11--有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它
的阶数）.
四. 证明题. (20分)
1. 证明：若函数
)(z f 在上半平面解析，则函数)(z f 在下半平面解
析.
2. 证明0364
=+-z z 方程在2||1< 《复变函数》考试试题（五） 二. 填空题.（20分） 1. 设 i z 31-=，则____,arg __,||===z z z . 2. 当___=z 时，z e 为实数. 3. 设1-=z e ，则___=z . 4. z e 的周期为___. 5. 设 1|:|=z C ，则___)1(=-?C dz z . 6. ____)0,1 (Res =-z e z . 7. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________。 8. 函数2 11 )(z z f += 的幂级数展开式为_________. 9. z z sin 的孤立奇点为________. 10. 设C 是以为a 心，r 为半径的圆周，则 ___)(1 =-?C n dz a z . （n 为自然数） 三. 计算题. (40分) 1. 求复数1 1+-z z 的实部与虚部. 2. 计算积分： z z I L d R e ?=， 在这里L 表示连接原点到1i +的直线段. 3. 求积分：I = ?+-π θθ 202cos 21a a d ，其中0 4. 应用儒歇定理求方程)(z z ?=，在|z|<1内根的个数，在这里 )(z ?在1||≤z 上解析，并且1|)(| 四. 证明题. (20分) 1. 证明函数2||)(z z f =除去在0=z 外，处处不可微. 2. 设 )(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个数R 及M ，使得当 R z ≥||时 n z M z f |||)(|≤， 证明:)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数. 《复变函数》考试试题（六） 1. 一、填空题（20分） 1. 若21 (1)1n n n z i n n +=++-，则lim n z =___________. 2. 设 21 ()1 f z z =+，则()f z 的定 义 域 为 ____________________________. 3. 函数sin z 的周期为_______________________. 4. 22sin cos z z +=_______________________. 5. 幂级数 n n nz +∞ =∑的收敛半径为________________. 6. 若0z 是()f z 的m 阶零点且1m >，则0z 是()f z '的____________零点. 7. 若函数()f z 在整个复平面处处解析，则称它是______________. 8. 函数()f z z =的不解析点之集为__________. 9. 方程5 3 2380z z z -++=在单位圆内的零点个数为___________. 10. 公式cos sin ix e x i x =+称为_____________________. 二、计算题（30分） 1、2lim 6n n i →∞ -?? ??? . 2、设2371 ()C f z d z λλλλ++=-?，其中{}:3C z z ==，试求(1)f i '+. 3、设2()1z e f z z =+，求Re ((),)s f z i . 4、求函数3 6 sin z z 在0z <<∞内的罗朗展式. 5、求复数1 1 z w z -=+的实部与虚部. 6、求3 i e π -的值. 三、证明题（20分） 1、 方程7 6 3 9610z z z ++-=在单位圆内的根的个数为6. 2、 若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析，(,)v x y 等于常数， 则()f z 在D 恒等于常数. 3、 若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1 () f z 的m 阶极点. ６．计算下列积分．（８分） (1) 2 2 sin ()2 z z dz z π =-? ?； (2) 2242 (3)z z dz z z =--??． ７．计算积分 20 53cos d π θ θ +? ．（６分） ８．求下列幂级数的收敛半径．（６分） (1) 1 (1)n n n i z ∞ =+∑； (2) 21(!)n n n n z n ∞ =∑． ９．设3232 ()()f z my nx y i x lxy =+++为复平面上的解析函数，试确定l ， m ，n 的值．（６分） 三、证明题． １．设函数()f z 在区域D 内解析，()f z 在区域D 内也解析，证明()f z 必为常数．（５分） ２．试证明0az az b ++=的轨迹是一直线，其中a 为复常数，b 为实常数．（５分） 试卷一至十四参考答案 《复变函数》考试试题（一）参考答案 二．填空题 1. 2101i n n π=??≠? ； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5. 1 6. 整函数； 7. ξ； 8. 1 (1)! n -； 9. 0； 10. ∞. 三．计算题. 1. 解 因为01,z << 所以01z << 111()(1)(2)12(1)2 f z z z z z ==- ----001()22n n n n z z ∞ ∞===-∑∑. 2. 解 因为 2 2 2 12Re ()lim lim 1cos sin z z z z s f z z z π ππ π → →= + ===--, 2 2 2 12Re ()lim lim 1cos sin z z z z s f z z z π ππ π →- →-=- - ===-. 所以 22 2 1 2(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-= =+=?. 3. 解 令2 ()371?λλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, () ()2()c f z dz i z z ?λπ?λ= =-?. 所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i π?ππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222 122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a b w z z a b a b a b -+-+= =-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re( )11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z b z a b -=+++. 四. 证明题. 1. 证明 设在D 内()f z C =. 令2 222 (),()f z u iv f z u v c =+=+=则. 两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1) 0(2)x x y y uu vv uu vv +=??+=? 因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为 00 x x x x uu vv vu uv +=?? -=?. 消去x u 得, 22 ()0x u v v +=. 1) 若2 2 0u v +=, 则 ()0f z = 为常数. 2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数). 所以12()f z c ic =+为常数. 2. 证明()f z = 0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的 z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支. 由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角 增加π. 所以 ()f z =2 π . 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2 π , 故2 (1)i f e π -==. 《复变函数》考试试题（二）参考答案 二. 填空题 1.1，2π-， i ； 2. 3(1sin 2)i +-； 3. 2101 i n n π=??≠?； 4. 1； 5. 1m -. 6. 2k i π，()k z ∈. 7. 0； 8. i ±； 9. R ； 10. 0. 三. 计算题 1. 解 3212163 3 00 (1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞ ∞==--==++∑∑. 2. 解 令i z re θ =. 则22 (),(0,1)k i f z k θπ+===. 又因为在正实轴去正实值，所以0k =. 所以4 ()i f i e π=. 3. 单位圆的右半圆周为i z e θ =, 2 2 π π θ- ≤≤ . 所以 222 2 2i i i i z dz de e i ππ θ θππ --- ===? ?. 4. 解 dz z z z ? =-2 2 ) 2 (sin π 2 )(sin 2ππ= ' =z z i 2cos 2π π= =z z i =0. 四. 证明题. 1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以 ,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-. 比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故 ()f z 在D 内为常数. 2. 即要证“任一 n 次方程 1 01100 (0)n n n n a z a z a z a a --++???++=≠ 有且只有 n 个根”. 证 明 令 1011()0 n n n n f z a z a z a z a --=++???++=, 取 10max ,1n a a R a ??+???+? ?>?????? , 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n n n n n z a R a R a a a R a R ?---≤+???++<+???+<. ()f z =. 由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程1 0110n n n n a z a z a z a --++???++= 与 00n a z = 有相 同个数的根. 而 00n a z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R < 内有n 个根. 《复变函数》考试试题（三）参考答案 二.填空题. 1.{} ,z z i z C ≠±∈且; 2. 2()k i k z π∈; 3. 1ei -+; 4. 1; 5. 21 01 i n n π=?? ≠?; 6. 1; 7. i ±; 8. (21)z k i π=+; 9. ∞; 10. 1 (1)! n -. 三. 计算题. 1. 解 12 22 2 011(1)2!! n z n z z e z z z n -+∞ ==+++???=∑. 2. 解 11 !(1)11 lim lim lim()lim(1)(1)!n n n n n n n n n n c n n n e c n n n n +→∞→∞→∞→∞+++=?==+=+. 所以收敛半径为e . 3. 解 令 22()(9)z e f z z z =-, 则 2001 Re ()99 z z z e s f z z ====--. 故原式022Re ()9 z i i s f z ππ===- . 4. 解 令 962 ()22f z z z z =-+-, ()8z z ?=-. 则在:C 1z =上()()f z z ?与均解析, 且()6()8f z z ?≤<=, 故 由儒歇定理有 (,)(,)1N f C N f C ??+=+=. 即在 1z < 内, 方程只有一个根. 四. 证明题. 1. 证明 证明 设在D 内()f z C =. 令2 2 2 2 (),()f z u iv f z u v c =+=+=则. 两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1) 0(2)x x y y uu vv uu vv +=??+=? 因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变 为 00 x x x x uu vv vu uv +=?? -=?. 消去x u 得, 22 ()0x u v v +=. 1) 22 0u v +=, 则 ()0f z = 为常数. 2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数). 所以12()f z c ic =+为常数. 2. 证明 取 r R >, 则对一切正整数 k n > 时, () 1!()!(0)2n k k k z r k f z k Mr f dz z r π+=≤≤?. 于是由r 的任意性知对一切k n >均有() (0)0k f =. 故0 ()n n n k f z c z == ∑, 即()f z 是一个至多n 次多项式或常数. 《复变函数》考试试题（四）参考答案 . 二. 填空题. 1. 12, 12 ; 2. ξ; 3. 2()k i k z π∈; 4. 20 (1)(1)n n n z z ∞ =-<∑; 5. 整函数; 6. 亚纯函数; 7. 0; 8. 0z =; 9. ∞; 10. 1 (1)! n +. 三. 计算题. 1. i i z i z i i z k k i k z z 232135sin 35cos 1sin cos 2 3 213sin 3cos 2 ,1,03 2sin 32cos 1:3213-=+=-=+=+=+==+++=?-=πππππππ πππ解 2. 解 11Re ()12z z z e e s f z z ====+, 111Re ()12 z z z e e s f z z -=-=-== +-. 故原式1 1 1 2(Re ()Re ())()z z i s f z s f z i e e ππ-==-=+=-. 3. 解 原式2 2Re ()295 z i z i z i s f z i z π ππ=-=-=== -. 4. 解 z e z 111--=)1(1 -+-z z e z e z ，令0)1(=-z e z ，得i k z z π2,0==，Λ,2,1±±=k 而 z z z z z z z z z ze e e z e e z z e +--=-+-=--→→→11lim )1(1lim )111(lim 000 21 lim 0-=++-=→z z z z z ze e e e 0=∴z 为可去奇点 当i k z π2=时， 01),0(≠+-≠z e z k 而 []0 212)1(≠=+-=='-i k z ze e i k z z e z z z ππ i k z π2=∴为 一阶极点. 四. 证明题. 1. 证明 设()()F z f z =, 在下半平面内任取一点0z , z 是下半平面内异于0z 的点, 考虑 0 00000000 ()()()()()() lim lim lim z z z z z z F z F z f z f z f z f z z z z z z z →→→---==---. 而0z , z 在上半平面内, 已知()f z 在上半平面解析, 因此 00()()F z f z ''=, 从而()()F z f z =在下半平面内解析. 2. 证明 令()63f z z =-+, 4 ()z z ?=, 则()f z 与()z ?在全平面解析, 且在1:2C z =上, ()15()16f z z ?≤<=, 故在2z <内11(,)(,)4N f C N C ??+==. 在2:1C z =上, ()3()1f z z ?≥> =, 故在1z <内22(,)(,)1N f C N f C ?+==. 所以f ?+在12z <<内仅有三个零点, 即原方程在12z <<内仅有三个根. 《复变函数》考试试题（五）参考答案 一. 判断题. 1．√２．√ ３．×４．√５．× 6．× ７．× ８．√ ９．√ 10．√. 二. 填空题. 1.2, 3 π - , 1+; 2. 2(,)a k i k z a π+∈为任意实数; 3. (21)k i π+, ()k z ∈; 4. 2,()k i k z π∈; 5. 0; 6. 0; 7. 亚纯函数; 8. 20 (1)(1)n n n z z ∞ =-<∑; 9. 0; 10. 21 01 i n n π=?? ≠?. 三. 计算题. 1. 解 令z a bi =+, 则 222222 122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a b w z z a b a b a b -+-+= =-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re( )11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z b z a b -=+++. 2. 解 连接原点及1i +的直线段的参数方程为 (1)01z i t t =+≤≤, 故{}11001Re Re[(1)](1)(1)2 c i zdz i t i dt i tdt +=++=+=???. 3. 令i z e θ =, 则dz d iz θ=. 当0a ≠时 212()(1) 12cos 1()z a az a a a z z a z θ----+=-++= , 故11()(1)z dz I i z a az == --?, 且在圆1 z <内1 ()()(1) f z z a az =--只以z a =为 一 级 极 点 , 在 1z =上无奇点, 故 211 Re (),(01)11z a z a s f z a az a === = <<--, 由残数定理有 2 122Re (),(01)1z a I i s f z a i a ππ===≤<-. 4. 解 令(),f z z =- 则(),()f z z ?在1z ≤内解析, 且在:C 1z =上, ()1()z f z ?<=, 所以在1z <内, (,)(,)1N f C N f C ?+==, 即原方程在 1z <内只有一个根. 四. 证明题. 1. 证 明 因 为 22(,),(,)0 u x y x y v x y =+≡, 故 2,2,0x y x y u x u y v v ====. 这四个偏导数在z 平面上处处连续, 但只在0z =处满足..C R -条件, 故()f z 只在除了0z =外处处不可微. 2. 证明 取 r R >, 则对一切正整数 k n > 时, () 1!()!(0)2n k k k z r k f z k Mr f dz z r π+=≤≤?. 于是由r 的任意性知对一切k n >均有() (0)0k f =. 故0 ()n n n k f z c z == ∑, 即()f z 是一个至多n 次多项式或常数. 《复变函数》考试试题（六）参考答案 二、填空题：1. 1ei -+ 2. 1z ≠± 3. 2π 4. 1 5. 1 6. 1m -阶 7. 整函数 8. ￡ 9. 0 10. 欧拉公式 三、计算题： 1. 解：因为 21,6i -==< 故2lim( )06 n n i →∞ -=. 2. 解：13,i + 1() ()2C f f z d i z λλπλ∴= -? 2371.C d z λλλλ++=-? 因此 2 ()2(371)f i λπλλ=++ 故2 ()2(371)f z i z z π=++ 1(1)2(67)2(136)2(613)i f i i z i i i πππ+'+=+=+=-+. 3.解：211 () 12z z e e z z i z i =?+++- Re ((),).2i e s f z i ∴= 4.解：321 3 (1)()sin ,(21)!n n n z z n +∞ =-=+∑ 363 60 sin (1).(21)!n n n z z z n ∞ -=-∴=+∑ 5．解：设z x iy =+, 则2222 11(1)211(1)z x iy x y yi w z z iy x y --++-+===+++++. 2222 22 12Re ,Im .(1)(1)x y y w w x y x y +-∴= = ++++ 6 ．解：3 1 cos()sin()(1).332 i e i π ππ-=-+-=- 四、1. 证明：设6 73()9,()61,f z z z z z ?==+- 则在1z =上，()9, ()1618,f z z ?=≤++= 即有()()f z z ?>. 根据儒歇定理，()f z 与()()f z z ?+在单位圆内有相同个数的零点，而()f z 的零点个数为6，故7 6 3 9610z z z ++-=在单位圆内的根的个数 为6. 2.证明：设(,)v x y a bi =+，则0x y v v ==, 由于()f z u iv =+在内D 解析，因此(,)x y D ?∈有 0x y u v ==, 0y x u v =-=. 于是(,)u x y c di ≡+故()()()f z a c b d i =+++，即()f z 在内D 恒为常数. 3.证明：由于0z 是()f z 的m 阶零点，从而可设 0()()()m f z z z g z =-， 其中()g z 在0z 的某邻域内解析且0()0g z ≠， 于是 0111 ()()() m f z z z g z =?- 由0()0g z ≠可知存在0z 的某邻域1D ，在1D 内恒有()0g z ≠，因此 1() g z 在内1D 解析，故0z 为 1 () f z 的m 阶极点. 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（ ） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（ ） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（ ） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点 练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13 《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT- 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ） )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无 界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） 二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z (在0=z解析。【】 f= z ) 2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。【 】 3．z e z f =)(是周期函数。【 】 4． 每一种幂函数在它收敛圆周上处处收敛。【 】 5． 设级数∑∞=0n n c 收敛，而||0∑∞=n n c 发散，则∑∞ =0n n n z c 收敛半径为1。【 】 6． 1tan()z 能在圆环域)0(||0+∞<<< 复变函数与积分变换(A)参照答案与评分原则 (.7.5) 一.填空(各3分) 1.3ln 2i k e +-π； 2. 三级极点 ； 3. 23z ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. e 1 ；7. 322)1(26+-s s ；8. 0； 9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[ 21++-+++-ωπδωπδωωj j 。 二.判断1.错；2.错；3.对的； 4. 错 ；5.对的 ；6.错； 7.错 ； 8. 错 ；9. 对的 ；10. 错 。 三(8分) 解：1)在2||1< 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z 2010-2011 第一 复变函数与积分变换 (A) 数理学院 自动化各专业 （答案写在答题纸上，写在试题纸上无效） 一、 选择题（每小题3分，共18分） 1、设z =1-i ,则Im(21z )=____________. A 、1- B 、2 1- C 、21 D 、1 2、设z=cosi ，则____________. A 、Imz=0 B 、Rez=π C 、|z|=0 D 、argz=π 3、设C 为正向圆周|z|=1，则积分?c z dz ||=____________. A 、0 B 、2πi C 、2π D 、－2π 4、幂极数∑∞ =+1n n z (2n)!1)!n （的收敛半径为____________. A 、0 B 、1 C 、2 D 、＋∞ 5、点z =0是函数) 1(sin )1()(2--=z z z e z f z 的_____________. A 、可去奇点 B 、一阶极点 C 、二阶极点 D 、本性奇点 6、函数? ??><-=0101sgn t t t 在傅氏变换下的像为_____________. A 、ωi -11 B 、 ωi 1 C 、 ωi 2 D 、 ω i +11 课程考试试题 学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业: 二、 填空题（每小题3分，共21分） 1、当1≤z 时，a z n +的最大值为_____________. 2、i i )1(+为_________. 3、函数) 3)(2()(-+=z z z z f 在1=z 的泰勒展开式的收敛圆域为_____________. 4、若)(z f =ζζζζζd z ?=-+2 353,则()f i ''-=_____________ 5、设)1()(1 -=z e z z f ,则Res[f (z ),0]=__________. 6、已知函数t e 在拉氏变换下的像为才，则t e t 2)1(-在拉氏变换下的像为______. 7、函数z 1=ω把z 平面上的曲线x y =映射成ω平面上的像为 ______. 三、 计算题（每小题10分，共50分） 1、试讨论定义于复平面内的函数)Re()(z z z f =在何处可导？何处解析？在可导点求其导函数。 2、求) 2)(1(12)(+-+=z z z z f 在圆环域1 【最新整理，下载后即可编辑】 【最新整理，下载后即可编辑】 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||00)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2.=+z z 2 2 cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数0 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中 n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0=→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设)2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的 罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证 : ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. 《复变函数》考试试题（二） 二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z 2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i z ________. 3. =-?=-1||0 0)(z z n z z dz _________.（n 为自然数） 复变函数试题库 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内 第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1） （2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部． 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是 )(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数， 那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两 个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. 第一套 第一套 一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。 A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?（ ） 。 A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的（ ）。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。 A. 22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k s 1 . 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 23 (1)i += [1] ； ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ---------------------------------------------------- 一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212-- 的指数形式是 2、函数w =z 1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 2222= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 232 1- B 2 23i - C 223i +- D i 2 3 21+ - 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1 cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =- 1 2 3 z z dz B ?=- 1 2 1 z z dz C ?=++12 42z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-0 2121n n n n z （z <1） B () ∑∞ =+-0 1 221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-0 1 2121n n n n z （z <1） D () ∑∞ =-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 复变函数与积分变换试题与答案 1.（5）复数z与点(,) x y对应,请依次写出z的代数、几何、三角、指数表达式和z的3次方根。 2.（6）请指出指数函数z e w=、对数函数z w ln =、正切函数=的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。 z w tan 3.（9）讨论函数2 2i =的可导性，并求出函数)(z z f+ ) (y x f在可导点的导数。另外，函数) f在可导点解析吗？是或否请说明 (z 理由。 4.（7）已知解析函数v u z f i )(+=的实部y x y u 233-=，求函数 v u z f i )(+=的表达式，并使0)0(=f 。 5.（6×2）计算积分： （1）?+-C n z z z 1 0) (d , 其中C 为以0z 为圆心,r 为半径的正向圆周, n 为正整数； （2）?=+-3||2d ) 2()1(e z z z z z 。 6.（5×2）分别在圆环 （1）1||0< 7.（12）求下列各函数在其孤立奇点的留数。 (1) 3 sin )(z z z z f -=; (2) z z z f sin 1)(2=; (3) 11 e )(-=z z z f . 8.（7）分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。 9.（6分）求将上半平面 0)Im( z 保形映照成单位圆 1|| w 的分式线性函数。 10.（5×2）（1）己知 F )()]([ωF t f =，求函数)52(-t f 的傅里叶变换； （2）求函数) i 5)(i 3(2 )(ωωω++= F 的傅里叶逆变换。 《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 31i -的幅角是（ 2,1,0,23 ±±=+- k k ππ ） ； 2.)1(i Ln +-的主值是（ i 4 32ln 21π + ）； 3. 2 11)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4 sin z z z -的（ 一级 ）极点； 5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ） ； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周 3=z ，如果函数=)(z f （ D ） ，则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 ) 1(3--z z ； （C ） 2)2()1(3--z z ； （D ） 2 )2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在（C ） （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ） i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( B ) （A ）如果函数 )(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果 )(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、) ,(y x v复变函数试题及答案
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