2019届高考数学一轮复习第九章平面解析几何课时跟踪训练50椭圆文

课时跟踪训练(五十)

椭圆(二)

[基础巩固]

一、选择题

1．(2017·辽宁师大附中期中)过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 2

2＋y 2

＝1交于P 1，P 2两点，

线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( )

A ．2

B ．－2 C.12 D ．－1

2

[解析] 由过点M (－2,0)的直线m 的方程为y －0＝k 1(x ＋2)，代入椭圆的方程，化简得(2k 21

＋1)x 2

＋8k 21

x ＋8k 21

－2＝0，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－8k 2

1

2k 21＋1

，∴P 的横坐

标为－4k 2

12k 21＋1，P 的纵坐标为k 1? ????－4k 2

12k 21＋1＋2＝2k 12k 21＋1，即点P ? ??

??－4k 2

1

2k 21＋1，2k 12k 21＋1，∴直线OP 的

斜率k 2＝－12k 1，∴k 1k 2＝－1

2

.故选D.

[答案] D

2．如图，F (c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的右焦点，A ，B 为椭圆的上、下顶点，P 为直

线AF 与椭圆的交点，则直线PB 的斜率k PB ＝( )

A.c a 2

B.b a 2

C.

b ＋

c a 2 D.bc a

2 [解析] 直线AF 的方程为x c ＋y b ＝1，把y ＝－b c x ＋b 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得a 2＋c 2a 2c 2x 2－2

c

x ＝0，

∴x P ＝2a 2

c a 2＋c 2，y P ＝

c 2

b －a 2

b

a 2＋c 2

， ∴k PB ＝c 2b －a 2b

a 2＋c 2＋

b 2a 2

c a 2＋c

2＝bc

a 2. [答案] D

3．(2017·河北唐山统考)平行四边形ABCD 内接于椭圆x 24＋y 2

2＝1，直线AB 的斜率k 1＝1，

则直线AD 的斜率k 2＝( )

A.12 B ．－12 C ．－1

4

D ．－2 [解析] 解法一：设AB 的中点为G ，由椭圆与平行四边形的对称性知O 为平行四边形

ABCD 的对角线的交点，则GO ∥AD .设A (x 1

，y 1

)，B (x 2

，y 2

)，则有?????

x 214＋y 21

2＝1，x 2

2

4＋y

22

2＝1，

两式相

减是

x 1－x 2

x 1＋x 2

4

＝－

y 1－y 2

y 1＋y 2

2

，整理得

x 1＋x 22y 1＋y 2＝－y 1－y 2

x 1－x 2

＝－k 1＝

－1，即

y 1＋y 2x 1＋x 2＝－1

2

. 又G ? ????x 1＋x 22

，y 1＋y 22，所以k OG

＝y 1＋y 2

2－0

x 1＋x 22

－0

＝－12

，

即k 2＝－1

2

，故选B.

解法二：设直线AB 的方程为y ＝x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用椭圆与平行四边形的对称性可得D (－x 2，－y 2)．则直线AD 的斜率k 2＝

y 1＋y 2x 1＋x 2＝x 1＋x 2＋2t x 1＋x 2＝1＋2t

x 1＋x 2

.联立?????

y ＝x ＋t ，x 2

＋2y 2

－4＝0，

消去y 得3x 2＋4tx ＋2t 2

－4＝0，则x 1＋x 2＝－4t 3

，

∴k 2＝1＋

2t －43

t ＝－1

2.故选B. [答案] B 二、解答题

4．(2017·河北涞水波峰中学、高碑店三中联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的离心

率为12

，且椭圆C 与圆M ：x 2＋(y －3)2

＝4的公共弦长为4.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)已知O 为坐标原点，过椭圆C 的右顶点A 作直线l 与圆x 2＋y 2

＝85

相切并交椭圆C 于

另一点B ，求OA →

·OB →

的值．

[解] (1)∵椭圆C 与圆M 的公共弦长为4，∴椭圆C 经过点(±2,3)，∴4a 2＋9

b

2＝1，又

c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝16，b 2

＝12，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212

＝1. (2)已知右顶点A (4,0)，∵直线l 与圆x 2＋y 2

＝85相切，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，

∴

|4k |1＋k

2

＝

85，∴9k 2＝1，∴k ＝±13.联立y ＝±13(x －4)与x 2

16＋y 2

12

＝1，消去y ，得31x 2－32x －368＝0.设B (x 0，y 0)，则由根与系数的关系得4x 0＝－36831，∴OA →·OB →

＝4x 0＝－368

31

.

5．(2017·吉林长春外国语学校期中)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别

为F 1，F 2，P 是椭圆上任意一点，且|PF 1|＋|PF 2|＝22，它的焦距为2.

(1)求椭圆C 的方程．

(2)是否存在正实数t ，使直线x －y ＋t ＝0与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2

＝56

上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．

[解] (1)∵F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上任意一点，且|PF 1|＋|PF 2|＝22，∴a ＝ 2.

∵2c ＝2，∴c ＝1，∴b ＝a 2

－c 2

＝1， ∴椭圆C 的方程为x 2

2

＋y 2

＝1.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立?????

x －y ＋t ＝0，x 2

2

＋y 2

＝1，化简得

3x 2

＋4tx ＋2t 2

－2＝0.①

由①知x 1＋x 2＝－4t 3，∴y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2t ＝2t

3.

∵线段AB 的中点在圆x 2＋y 2

＝56

上，

∴? ????－2t 32＋? ????t 32＝5

6，解得t ＝62(负值舍去)，

故存在t ＝

6

2

满足题意．

6．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为1

2.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →

＝2MB →

，求直线l 的方程．

[解] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为c ＝1，c a ＝1

2

，所以a ＝2，b ＝3，

所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2

3

＝1. (2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，

则由?????

y ＝kx ＋1，x 24＋y

2

3

＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ＝192k 2

＋96>0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由AM →＝2MB →

得x 1＝－2x 2. 又?????

x 1

＋x 2

＝－8k 3＋4k 2，x 1

·x 2

＝－8

3＋4k

2

，所以?????

－x 2

＝－8k

3＋4k 2

，－2x 2

2

＝－8

3＋4k

2

，

消去x 2，得? ????8k 3＋4k 22＝43＋4k

2，解得k 2

＝14，k ＝±12.

所以直线l 的方程为y ＝±1

2

x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.

[能力提升]

7．(2017·河南考前预测)已知椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的焦点是F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，离

心率为12

.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)若过椭圆右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求|AF 2|·|F 2B |的取值范围．

[解] (1)因为椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)，

由题意知?????

a 2＝

b 2＋

c 2，

c a ＝1

2，

2c ＝2，

解得a ＝2，b ＝ 3.

所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2

3

＝1.

(2)因为F 2(1,0)，所以①当直线l 的斜率不存在时，A ? ????1，32，B ?

????1，－32，

则|AF 2|·|F 2B |

＝9

4

. ②当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程可设为y ＝k (x －1)．

由?????

y ＝k x －1，x 24＋y

23

＝1消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2

－12＝0.(*)

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两个根，所以x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2

－123＋4k 2.

所以|AF 2|＝x 1－1

2＋y 21＝1＋k 2

·|x 1－1|，

|F 2B |＝

x 2－12

＋y 2

2＝1＋k 2

·|x 2－1|，

所以|AF 2|·|F 2B |＝(1＋k 2

)·|x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1| ＝(1＋k 2

)·????

??4k 2

－123＋4k 2－8k 2

3＋4k 2＋1

＝(1＋k 2

)·????

?

?－93＋4k 2 ＝(1＋k 2

)·93＋4k 2

＝94?

?

???1＋13＋4k 2.

当k 2

＝0时，|AF 2|·|F 2B |取最大值3，

所以|AF 2|·|F 2B |的取值范围为? ????94，3.

由①②知|AF 2|·|F 2B |的取值范围为????

??94，3. 8．(2018·河北百校联盟期中)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)右

焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为1

2

.

(1)求M 的方程；

(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． [解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则

x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1

＝－1.

由此可得b 2x 2＋x 1a 2y 2＋y 1＝－y 2－y 1

x 2－x 1

＝1.

因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12

，所以a 2＝2b 2

.

又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2

－b 2

＝3. 因此a 2

＝6，b 2

＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 2

3

＝1.

(2)由?????

x ＋y －3＝0，x 26＋y 2

3

＝1解得???

??

x ＝

433，y ＝－3

3

或??

?

x ＝0，

y ＝ 3.

因此|AB |＝46

3

.

由题意可设直线CD 的方程为

y ＝x ＋n ? ??

??

－

533

设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由?????

y ＝x ＋n ，x 26＋y

2

3

＝1，

得3x 2

＋4nx ＋2n 2

－6＝0.

于是x 3＋x 4＝－4n 3，x 3·x 4＝2n 2

－6

3.

因为直线CD 的斜率为1， 所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2

.

由已知，四边形ACBD 的面积

S ＝12|CD |·|AB |＝

869

9－n 2

. 当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为86

3.

所以四边形ACBD 面积的最大值为86

3

.

9．设焦点在x 轴上的椭圆M 的方程为x 24＋y 2b 2＝1(b >0)，其离心率为2

2

.

(1)求椭圆M 的方程；

(2)若直线l 过点P (0,4)，则直线l 何时与椭圆M 相交？

[解] (1)因为椭圆M 的离心率为22

， 所以4－b 2

4＝? ????222，得b 2

＝2.

所以椭圆M 的方程为x 24＋y 2

2

＝1.

(2)①过点P (0,4)的直线l 垂直于x 轴时，直线l 与椭圆M 相交． ②过点P (0,4)的直线l 与x 轴不垂直时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋4.

由?????

y ＝kx ＋4，x 24＋y

22

＝1，消去y ，得(1＋2k 2)x 2

＋16kx ＋28＝0.

因为直线l 与椭圆M 相交，

所以Δ＝(16k )2

－4(1＋2k 2

)×28＝16(2k 2

－7)>0， 解得k <－

142或k >14

2

. 综上，当直线l 垂直于x 轴或直线l 的斜率的取值范围为? ?

???－∞，－142∪? ??

??142，＋∞时，直线l 与椭圆M 相交．

10．(2017·广东惠州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6

3

，椭圆短轴的

一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为52

3

.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)已知动直线y ＝k (x ＋1)与椭圆C 相交于A ，B 两点． ①若线段AB 中点的横坐标为－1

2

，求斜率k 的值；

②已知点M ? ??

??－73，0，求证：MA →·MB →

为定值． [解] (1)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)满足a 2＝b 2＋c 2，又c a ＝63，12×b ×2c ＝523，解得a 2

＝5，

b 2＝5

3

，

则椭圆方程为x 25＋3y 2

5＝1.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

①将y ＝k (x ＋1)代入x 25＋3y 2

5＝1，

得(1＋3k 2

)x 2

＋6k 2

x ＋3k 2

－5＝0， ∴Δ＝48k 2

＋20>0，x 1＋x 2＝－6k

2

3k 2＋1

，

∵AB 中点的横坐标为－1

2，

∴－3k 2

3k 2＋1＝－1，解得k ＝±33

.

②证明：由①知x 1＋x 2＝－6k 2

3k 2＋1，x 1x 2＝3k 2

－53k 2＋1，

∴MA →·MB →

＝? ????x 1＋73，y 1·? ????x 2＋73，y 2

＝?

????x 1＋73? ????x 2＋73＋y 1y 2 ＝?

????x 1＋73? ????x 2＋73＋k 2

(x 1＋1)(x 2＋1)

＝(1＋k 2

)x 1x 2＋? ??

??73＋k 2(x 1＋x 2)＋499＋k 2

＝(1＋k 2

)3k 2

－53k 2＋1＋? ????73＋k 2? ?

???－6k 23k 2＋1＋499

＋k 2

＝－3k 4－16k 2

－53k 2

＋1＋499＋k 2

＝4

9

(定值)．