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二维颗粒堆积体中力的传递与分布研究

二维颗粒堆积体中力的传递与分布研究
二维颗粒堆积体中力的传递与分布研究

第27卷 第4期 岩 土 工 程 学 报 Vol.27 No.4 2005年 4月 Chinese Journal of Geotechnical Engineering Apr.,2005 二维颗粒堆积体中力的传递与分布研究

Force distributions in two dimensional granular packs

刘 源1,2,缪馥星1,苗天德1

(1.兰州大学 力学系,甘肃 兰州 730000;2.兰州交通大学 土木工程学院,甘肃 兰州 730070)

摘 要:颗粒介质已成为国内外科学研究的热点,其研究结果正在被逐渐推广应用到岩土工程中去。本文运用焦散线法和激光全息光弹法对受集中荷载作用的颗粒堆中力的分布进行了较为详细的实验研究,通过对实验数据的定量分析得知:与传统连续介质弹性理论所揭示的规律不同,堆积体内部力的传递与分布遵循抛物线型方程。所得结果对现实工程具有重要指导意义。

关键词:颗粒介质;力的传递与分布;焦散线法;激光全息光弹法

中图分类号:TU 411.2 文献标识码:A 文章编号:1000–4548(2005)04–0468–06

作者简介:刘 源(1979– ),女,硕士,主要从事岩土力学、颗粒介质和风沙物理学等方面的科研工作。

LIU yuan1,2,MIAO Fu-xing1,MIAO Tian-de 1

(1. Department of Mechanics, Lanzhou University, Lanzhou 730000, China;2. School of Civil Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China) Abstract:In this article, the caustics method and holo-photoelasticity method are used to investigate the distribution of contact forces inside a pack of discrete square cells submitted to a compressive load. Our results demonstrate that the collective response of the pack contradicts the traditional elasticity theory predictions and supports a description by equations of the parabolic type. These results are significant to solve problems in soil mechanics.

Key words: force distributions; granular packs; caustics method; holo-photoelasticity method

0 前 言

自然界中,颗粒介质普遍存在,如砂糖、谷物、沙粒、矿石等,它们组成了大量的颗粒介质集合,如沙漠、土体或被裂隙分割成块状的岩体等。颗粒介质的实际工程应用相当广泛,如:采矿业中煤和矿石的开采运输,建筑业中块状石料在地基、路基以及铁路道渣等工程中的应用。

颗粒堆积体通常是一个自然的非线性系统,颗粒与颗粒之间无粘性连接,没有变形协调的约束。颗粒集合具有很强的动态性和多变性。随着外界因素的变化,系统通过“自组织”对各种扰动作出反应,其工程性能也随之改变。颗粒介质具有许多复杂而奇异的特性,如应力链,崩塌,非线性波,倍周期分岔等[1,2],它的研究是当前国际上的一个热点,具有重要的基础科学意义和工程应用价值。

长期以来,人们对颗粒堆积体中的静力学问题,都是运用经典弹塑性理论来处理的。在屈服极限之下时,系统被认为是弹性的,应力场遵循双调和方程。这个方程是椭圆型的,且依赖于整体的边界条件。当系统在塑性状态时,则通常采用Mohr-Coulomb屈服条件导出一系列双曲型偏微分应力方程。但近来的实验表明:与经典的连续介质理论所预示的本质不同,颗粒介质有着令人惊奇的力学特性,其中最受人关注的是应力链(stress chain)[3,4]和拱效应(arching effect)[5,6]。颗粒介质特殊的力学性质引起了人们对经典弹塑性连续理论描述颗粒堆积体力学特性的能力的怀疑。研究人员急于揭开颗粒堆积体内力的传递和分布规律,以建立一个统一而完善的力学模型,用来指导建筑业、采矿业等行业的有效运作,如路基的铺筑、卡塞现象的避免等等。在国内,青藏铁路的建设是人类工程史上的一大创举。在该铁路穿越永久冻土区时,采用抛石路基,已初步证明是最有效保护冻土带的工程措施之一,而抛石路基就是一个典型的颗粒堆积体。显然,研究颗粒介质的力学特性对于探索这种路基在运营过程中的力学状态和工程监控有着重要的指导意义。

现实中颗粒介质的形状各异,材料成千上万,组成颗粒堆积的方式千变万化,这就使得不同的颗粒堆具有不同的力学特性。现有的实验和理论只涉及到其中小部分特定的颗粒堆,得到的结果并不统一。对于由块状颗粒组成的二维颗粒堆,Silva和Rajchenbach所作的光弹实验[7]表明无序排列的颗粒堆受集中荷载作用时,其中的应变区域有一条抛物线型的边界,这不同于连续介质弹性理论的结果,但他们并未对堆积内部的法向力进行定量研究。本文则采用不同于Silva和

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基金项目:国家自然科学基金资助项目(10172041);国家自然科学青年基金资助项目(10402012)

收稿日期:2004–07–06

第4期 刘 源, 等. 二维颗粒堆积体中力的传递与分布研究 469

Rajchenbach 的实验方法,研究了受集中荷载作用的二维颗粒堆内的应变区域范围,并进一步得到了不同深度下法向力的半定量分布曲线,同时探索了荷载的大小和不同基底对力的分布的影响,讨论了堆积体内部力的分布规律,所得结论可用于指导现实工程的施工与运作。

1 实验方法与过程

1.1 实验模型

采用与Silva 和Rajchenbach 实验[7]

中相类似的颗粒堆。颗粒堆由相互接触的弹性正方块组成。为了减小颗粒间的摩擦力,方块与方块间的接触面经过磨光处理,角点被修圆。它们用有机玻璃制成,杨氏模量Y =3.15×109 Pa ,泊松比ν=0.36,颗粒均为同一尺寸,正面均为15 mm ×15 mm ,厚度是10 mm 。实验中,颗粒堆未用金属框固定,这与Silva 和Rajchenbach 的实验情况不同。除底部外,颗粒堆的其余边界都是自由边界。

考虑到颗粒本身的离散性,颗粒堆的实际受力区域与连续介质体不同,为此,用砌墙的方法将颗粒堆排列成金字塔形(如图1,2)。整体上,颗粒呈层状排列,层与层之间可错动。我们将图1所示的堆积方式称为对称排列(上一层颗粒的侧边恰好位于下一层颗粒上边界的1/2处),并将其余任意错动后的排列统称为非对称排列。

图1 无荷载作用时的对称排列颗粒堆

Fig. 1 The granular pack piled in symmetric array without load

图2 非对称排列的颗粒堆受P = 400 N 荷载作用的焦散线图 Fig. 2 The caustics photograph of an asymmetric pack submitted

to a point load of 400 N

1.2 实验方法

焦散线法[8]

是一种光学实验方法。该方法使用相干性良好的激光光源。将一束激光垂直照射在一块透

明薄板试件上,当试件承受外加载荷而厚度发生改变时,从试件的前后表面反射和折射的光线将相互干涉,形成明亮的干涉条纹。若在试件的前面或后面一定距离处放置与试件表面保持平行的屏幕,则可在屏幕上观察到一条明亮的曲线,即焦散线。在屏幕上显示的焦散线图可以用照相机拍摄下来。由于焦散线的大小和形状与受力点的接触情形和外加载荷大小有关,故焦散线法通常可用于研究接触力学中的压力分布问题。因此,将此法应用于研究颗粒堆积体内部的力的分布是切实可行的。本文采用功率为10-40mW ,波长

为6328A λ= 的He-Ne 激光器作光源;根据实验模型

为半透明材料这一特点,采用透射式光学测量系统。光路图如图3所示。

图3 焦散线法透射式光学测量系统光路图 Fig. 3 Sketch of transmission caustics method

激光全息光弹法[8, 9]是将全息照相和光弹性法结合起来的一种新的实验应力分析方法,它不仅可以得到模型内的等和线,还可得到等差线;避免了普通光弹性法中由剪应力差产生的误差和等倾线精度不够高所带来的误差;具有计算简便,精度较高的特点。在这里,我们根据颗粒的材质是有机玻璃的特点,通过二次曝光获得颗粒堆内的等和线来研究两种基底上的对称排列颗粒堆内的力传递。光路图如图4所示。

图4 全息光弹法光路图 Fig. 4 Sketch of holo-photoelasticity

1.3 实验过程

本文拟通过以下途径展开实验:

(1)采用与文献[7]不同的两种方法,即用焦散线法和激光全息光弹法研究二维颗粒堆受集中荷载时力的传递范围;

(2)根据焦散线与力的对应关系,通过焦散线法进一步研究堆积体内部的力的分布。

470 岩土工程学报 2005年

1.3.1 力的传递范围

首先采用焦散线法研究受集中荷载作用时颗粒堆内部的力的传递范围。将排列好的颗粒堆放在光路图的相应位置,在第一层顶部加集中荷载P(P远远大于颗粒堆的自重)。用相机记录相应排列下的焦散线图。图2是刚性基底上非对称排列颗粒堆受P=400N 集中荷载作用的焦散线图,图中在黑色近似圆点周边的亮线为颗粒因受力产生的焦散线。点的大小与该处所受力的大小有关。

改变颗粒堆排列方式,重复实验过程,得到不同排列情形的焦散线图。叠加这些图片,得到无序排列的颗粒堆受集中荷载时其内部的应变区域。图5(a)和图5(b)分别是采用刚性基底和弹性基底时的应变区域图,图中发亮的部分是应变区域。取应变区域边界上的点进行曲线拟合,则得相应应变区域的边界曲线拟合图,如图5(c)。

图5 无序排列颗粒堆的内部应变区域图

Fig.5 The strained regions of disordered packings 取对称排列的颗粒堆,依次加集中荷载P=250 N,400 N,600 N。用相机记录相应荷载下的焦散线图。卸载后,重复实验过程,叠加同一荷载下的焦散线图,得到受不同荷载作用的对称排列颗粒堆中应变区域图。图6(a)、6(b)分别为不同荷载下的刚性基底和弹性基底上应变区域边界图。图中的点是应变区域的边界点,线是对应的边界拟合线。

本文又运用激光全息光弹法对两种基底上的对称

排列颗粒堆内部的力的传递进行了实验研究。当颗粒堆受初荷载(P

=400 N)作用时,对全息底片进行

曝光一次;然后将荷载增加至末荷载(P

=600 N),对全息底片再曝光一次,即对同一张全息底片进行两次曝光,把颗粒堆两次受载的两个物理光波记录在全息底片上。然后将全息底片进行显影,定影处理后,获得二次曝光法全息图。最后将全息图再现,用相机记录,则得到颗粒堆受集中荷载(P=200 N)的等和线条纹图。所受荷载P等于末荷载与初荷载之差,即P P P

末初

=-。需要说明的是,颗粒堆在受荷载作用时,自身会因其离散性而发生错动,产生实验误差。为了将颗粒堆自身错动所产生的位移减小到最小,我们这里的初荷载不为零,而是取为400 N。图7为对称排列颗粒堆受200 N荷载作用时的等和线条纹图。对图7中条纹区域的边界进行数据处理,并进行数据拟合,得到相应情形的颗粒堆内部应变区域的边界线,如图7(c)所示,其中圆点和三角形点为我们的实验数据,点线和破折线为相应实验数据的拟合曲线,实线为Silva和Rajchenbach的实验拟合曲线[7]。

图6 不同荷载下应变区域边界图

Fig. 6 The boundary curves of strained regions under various point loads

1.3.2 力的大小分布

如何测量颗粒堆内部力的大小分布,一直以来是一个十分困难的问题。Silva和Rajchenbach在实验中[7]未对颗粒堆内部力的大小进行定量分析。在这里,我们利用焦散线与力的对应关系,定量分析块状颗粒堆内部的法向力大小。

第4期刘源,等.二维颗粒堆积体中力的传递与分布研究471

图7 (a),(b)为激光全息法得到的对称排列颗粒堆受集中荷载作

用(P=200 N)时的等和线条纹图。(c)为对应于图(a) , (b)

中应变区域边界的实验数据拟合图。其中x,y,d同图5中

的说明

Fig. 7 Isopachics fringe pictures of holo-photoelasticity. (a): on a

rigid base, (b): on an elastic base. Here the packing piled in

symmetric form and P

=200N. (c): the boundary curves of

strained regions

图8 P = 400 N荷载作用下,对称排列颗粒堆内部

不同深度处的法向力分布

Fig. 8 Dimensionless normal force (normal force/p) versus

horizontal distance x at various depths y. The packing

is piled in symmetric form. P=400 N

焦散线的大小与力的大小及接触的情况有关。我

们认为颗粒间都是近似点接触的,且力的大小与焦散

线的大小成正比。测量前面焦散线图中黑点周围亮边

曲线的大小,得到颗粒堆中法向力在不同深度处的分

布。图8为外加载荷P = 400 N时对称排列颗粒堆内

部法向力的分布图。将不同排列情形颗粒堆内部力的

分布进行统计,得到无序排列时颗粒堆内部法向力的

分布曲线,如图9

所示。

9 P = 400 N荷载作用下,无序排列颗粒堆内部不同深度处

的法向力分布

Fig. 9 The same as fig.8, but for a disordered packing

图10 密实沙基上的颗粒堆受不同荷载作用时的焦散线图

Fig. 10 Caustics photographs of a packing placed on a compacted

sandy base under various point loads

472 岩土工程学报 2005年

此外,为了研究基底的沉降对堆积内部的力的分布的影响,我们除了用弹性基底和刚性基底进行实验外,还特别采用密实沙基底研究了颗粒堆内部力的分布情形。如图10所示,密实沙基底由一个装有沙子的开口容器组成。容器透光的面是两块平行的透明玻璃板,其余面用木框做成。玻璃板之间的距离与颗粒的厚度相等。实验时,将普通的实验沙分层倒入该容器中,每倒入一层,都用平板将沙面压实。将颗粒堆对称排列,并选取载荷数P=100 N、200 N、300 N、400 N,缓慢加载,得到对应不同荷载下的焦散线图。图10是对应荷载P=100 N、200 N、300 N、400 N时颗粒堆的焦散线图。

2 实验结果与分析

2.1 实验结果

(1) 实验得到的焦散线图显示:二维颗粒堆中力通过点接触,从受力点沿树状层次结构向下传递(如图2)。

(2) 焦散线法和激光全息光弹法实验表明二维块状颗粒堆无序排列和对称排列时,其内部应变区域边界为抛物线形状(图5~图7)。这里,由于本实验中荷载较小,颗粒的变形都在弹性范围之内,应变与应力是一一对应的,因而,图中的应变区域相应于力的传递范围。因此,堆积内部的力的传递范围有一条抛物线型边界。

(3) 图6显示了荷载的大小(250 N~600 N)对颗粒堆内部应变区域的影响。从图中可见,无论弹性基底,还是刚性基底,随着荷载的增大,应变区域虽有少许扩大,但总体变化不大,可以认为这是由小荷载观测困难带来的影响。对于大小不同的荷载,应变区域的边界曲线均为抛物线。密实沙基底的焦散线图(图10) 亦显示了外荷载P从100 N增加到400 N,颗粒堆中应变区域及力的接触点个数都未发生明显变化。

(4) 由图8和图9可知,无序排列和对称排列颗粒堆内的力的分布曲线在y>15 mm(单个颗粒边长d=15 mm)的深度处,都在荷载的作用点之下(x = 0处)有一个最大值,并未出现拱效应。

(5) 较大的基底沉陷对颗粒堆内部力的分布有影响。基底沉陷很小时,无论对称排列还是无序排列(图5和图7),虽然颗粒堆在刚性基底上的应变区域略小于弹性基底上的传递范围,但颗粒堆内部应变区域边界均为抛物型,力的分布曲线亦基本相同。而对于沉陷很大的基底(如密实沙基底),图10则向我们展现了另一幅完全不同的景象。置于密实沙组成的基底上的颗粒堆,有着与刚性基底和弹性基底时完全不同的应变区域。它的应变区域呈斜线向下传递,其内部的力随荷载的增加,逐渐向颗粒堆边侧聚集,拱效应出现。

2.2 讨 论

(1) 实验中,二维颗粒堆内部的力通过点接触,沿应力链向下方传递。这一点早已被研究者们用实验证明[3, 4, 7]。可以明显地看出,颗粒介质中力的传递与连续介质中力的传递存在很大差别。

(2) 在连续介质弹性理论中,法向受集中载荷的半平面体已有较为完善的解析解:

2

2

2

2

x)

(

π

2

y

x

y

x

P

+

?

=

σ,(1)

2

2

2

3

y)

(

π

2

y

x

y

P

+

?

=

σ,(2)

2

2

2

2

xy)

(

π

2

y

x

xy

P

+

?

=

σ。(3)由式(1)、(2)、(3)可见,受法向集中力的半平面上,不同参数的等倾线汇集于荷载作用点处,等差线与等和线都是通过荷载作用点的一系列圆。由式(2)

可知,法向应力

y

σ在x = 0处有最大值,在给定深度处是一条单峰曲线,峰的宽度随深度y而变化,并与之成正比。

另一方面,BCC等双曲模型[10]则显示颗粒堆中存在两条通过力作用点的等倾线,这两条线沿特征方向对称分布,应力响应函数在给定深度有一条双峰曲线,在x =0处存在一个局部最小值,两峰之间的宽度与深度y的平方根成正比。

而本文实验却是与弹性理论和BCC等双曲模型相违背的。焦散线实验和激光全息光弹实验都显示应变区域的边界是一条抛物线见(图5,7),这表明块状颗粒堆内的应力响应函数与深度y 的平方根成正比。由焦散线法得到的法向力分布曲线(见图8,9)可见,颗粒堆在大于单位颗粒尺寸(d=15 mm)的深度处,法向力分布曲线都呈现为中间大,两边小,其宽度与深度的平方根成正比。抛物线型边界的存在表明二维颗粒堆中的应力响应不是弹性理论的椭圆型。力的最大值在x =0处的出现则否决了BCC等双曲型方程的结果,本文的结果是与q模型[11]一致的。q模型指出在外部点荷载作用下,颗粒堆内的应力响应满足抛物线型偏微分方程,其应变区域的边界是一条抛物线,且这条抛物线的扩散系数为0.5个颗粒尺寸,而本文的扩散系数为0.35±0.03。将本文的试验结果与Silva和Rajchenbach实验结果相比较,可以看出,虽然本文采用了不同于Silva等的边界条件(Silva等的颗粒堆侧面边界是固定的,而颗粒堆侧面边界是自

第4期 刘 源, 等. 二维颗粒堆积体中力的传递与分布研究 473

由的。),颗粒堆内部力的传递规律并无明显变化(见图5,7),只在扩散系数上有所不同(Silva 等的扩散

系数为0.45±0.05个颗粒尺寸)

。因而,二维块状颗粒堆内力的分布满足抛物线型方程,并非弹性理论的椭圆型方程,亦非BCC 等提出的双曲型方程。

(3) Geng J.[12]等用光弹影像中像素的密集度来决定力的大小,分析了圆形与五边形颗粒组成的颗粒堆内部的应力,并得出了相应的定量结果。他们发现由规则的圆盘组成的颗粒堆具有明显的双峰效应(即拱效应),而对于由两种尺寸的圆盘或五边形颗粒组成的颗粒堆则没有双峰效应,应力响应函数是一条单峰曲线,峰的宽度与深度y (图中符号为z )成正比。我们的实验结果则表明:由块状颗粒组成的颗粒堆,其应力响应函数是单峰曲线,但峰的宽度与

y 成正比。由

此可看出,组成堆积体的颗粒自身的形状及尺寸对堆积内部的力的分布及有无拱效应有着很大的影响。如何解释这些实验现象还有待更深入的研究。

(4) 荷载的大小对颗粒堆内的应变区域没有明显的影响,即对其内部的力的传递范围没有影响。这是与颗粒间通过点接触传递力相一致的。

(5) 用δ表示基底的沉陷,H 表示堆积的高度,H

δ表示基底沉陷度。实验显示:对于弹性基底(H

δ

≈×54

10?)和刚性基底(H

δ

=0),力的分布基本一

致。而对于沙基来说,随沉陷度的增加(图10中a ,b

的H

δ≈1.9%,c 的H

δ≈5.3%,d 的H

δ≈14.3%),

颗粒堆内部的力在两个侧边明显有局部最大值,拱效应出现在各个深度。这是由于在力的作用下,基底各部分发生不均匀沉降,基底中部的沙子沉降很大,两侧较小。这种沉降引起底层边侧的颗粒发生偏转,使得颗粒堆的边侧颗粒与中部颗粒形成一个拱形结构,从而改变了颗粒堆内部整体的力的分布。这个实验结果也是与前人的实验结果[13]相一致的。因而,基底的不均匀沉降会导致堆积内部的力分布发生变化,出现拱效应。

3 结 语

(1) 块状颗粒组成的二维颗粒堆受集中荷载作用时,其内部力的传递与分布遵循抛物线型方程,与q 模型的预测相吻合,但与经典弹性理论相违背。

(2) 在弹性变形范围内,颗粒堆内部力的分布区域与荷载的大小没有明显的关系,而与组成颗粒堆的颗粒的形状等几何特性有着很大的关系。

(3) 变形较大的基底引起的不均匀沉降能够改变颗粒堆内部的力的分布情形,会导致拱效应的出现。

块状颗粒在岩土工程中广泛应用,岩土工程中都采用连续介质弹塑性理论处理颗粒堆积体的静力问题,而近年的研究和本文的实验与理论分析则表明块

状颗粒组成的颗粒堆内部的力的分布规律并不满足连

续介质弹性理论,这对于从根本上揭示颗粒堆积体中存在应力链等特性的机理有着十分重要的意义,且有 助于现实工程特别是岩土工程中技术问题的正确解决。总之,目前对颗粒堆积体静力学行为的研究处于起步阶段,距形成成熟理论尚远,已有的各种理论模型只能符合部分实验结果,并不能从根本上解释所有的实验现象。一个统一而完善的理论模型的建立,还有待于科研人员的进一步努力。

本文实验部分的工作是在兰州大学王廷栋教授的悉心指导下完成的,特此向王教授致以诚挚的谢意!

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