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01-01有限单元法的基本概念

01-01有限单元法的基本概念
01-01有限单元法的基本概念

第一章绪论

§1-1 有限单元法的基本概念

有限单元法(The Finite Element Method)是随着高速电子计算机的应用日益普及和数值分析在工程中的作用日益增长而发展起来的一种实用有效,较为新颖的数值方法。

一、思路

有限单元法最早是用于固体力学。

应力和变形计算(强度和刚度)设计是工程设计的重要内容之一。也是有限单元法最基本的内容。

经典的固体力学(包括结构力学、弹性力学、塑性力学等)主要是对结构进行强度和刚度分析,也就是求应力和变形(应变和位移)。

?结构力学:由小杆入手,建立力和变形的物理关系,合成得总的变形和力关系

?连续体力学

(经典的解析法是从研究连续体中无限小的微分体入手,得出描述连续体性质的微分方程。然后根据边界条件、初始条件可解得一个通解。这个解可给出连续体内任一点上所求参数的值。如弹性力学。然而,对于大多数工程实际问题,由于几何形状的不规则,材料的非线性和不均匀,边界条件、初始条件复杂或不健全等问题,解析法的解题能力非常有限。)

方法:

(1)由微分体受力分析入手,建立平衡方程、几何方程、物理方程等微分方程,并利用它们将各参数表示成一个参数(如位移法是位移-基本未知量)的函数,

(2)想方设法解出这个参数关于坐标的函数。如假定一个试探函数,使之满足平衡方程、几何方程、物理方程等基本方程,初始条件和边界条件等特定条件。

这个解就是所谓的解析解。有二个特点:

(1)适用于全域,是一个统一函数解;

(2)满足所有初始条件和边界条件。

这是其优点,也是其困难所在:

(1)边界形状复杂;

(2)边界条件多变(约束、应力、温度等);

(3)初始条件多变;

(4)材料复杂。

正是这些条件决定了解的唯一性(特解)。但仅是将这些条件用数学表达式表示都很困

难(数学描述,科学的表征问题,每个方面都是一门学问。),更不要说寻求满足上述所有条件的统一的、精确的数学解了。

特别是随着科学技术的进步和生产的发展,工程结构的几何形状和载荷情况日益复杂,新材料也不断出现,这使得寻找结构分析的解析解十分困难,甚至不可能。

统一的、精确的数学解就像一个设计完美的、复杂曲面的整体大屋顶,是不容易做出来的。一般的做法是将屋顶分解成有限个小块,做出来,拼接起来即可。更进一步简化,将小块做成相同形状的(就是瓦),以便于成批生产。造房时只要将这些瓦片按一定的要求在几个点上支起来并按一定方式拼接即可。

这样做出来的房顶是不光滑的,和设计形状有误差。但可以想像:

(1)只要这些瓦片足够小;

(2)支承位置足够精确。

这样出来的房顶也是不错的。

基于同样的思路,在求解力学(数学)问题时采用同样的方法:整体解不易求,若将整体划分为有限个小块,将其上的力、位移、边界条件简单化,解是容易的、好找的,将小块拼合起来就是整体解。

有限单元了法的基本思路是(以位移法为例):

(1)首先,简化:四个假设:

?假想地把连续的介质或结构分割成有限个数目的形状规则的小块,这些小块称为单元;

?单元和单元仅在有限个指定点(节点)处相互联接;

?结构原来所受外载也以某种规则移置成等效力作用于节点处;

?原来的边界约束也简化为节点约束。

也就是,用一个由有限个具有一定形状规则的、仅在节点相互连接、仅在节点处承受外载和约束的单元的组合体来代替原来的具有任意形状的、承受各种可能外载和约束的连续体和结构。

(2)然后,对小块进行分析,建立对应的物理关系:

?对于每个单元、根据分块近似的思想,选择一个简单的函数来近似地表示其位移分量的分布规律(相当于设定瓦的形状);

?并按弹塑性等力学理论建立单元节点力和位移之间的关系。

(3)最后,集合小块,建立整体的物理关系并示解之。

?把所有单元的这种特性关系集合起来,就得到一组以节点位移为未知量的代数方程组,

?解之可以求出原有物体有限个点处位移的近似值,并可进一步求得其他物理量

(应力、应变等)。

可以想像,这种方法要求

(1)有限个点处满足边界条件和初始条件的要求;

(2)各小块的解有一定模式,更容易解了。

按这一思路,有限单元法可以将各种复杂问题,简化为一种典型标准化模式,形成系统公式,建立标准算法,比解析解更有力。

对于其他的领域,有限元法的思路是一样的。其实质就是把具有无限个自由度的连续体,理想化为只有有限个自由度的单元集合体,使问题简化为适合于数值解法的结构型问题。

二、分类

1.由于所取未知量的不同,有限单元法可以分为

和固体力学一样,有限单元法的算式推导中并不一定要取节点位移为基本未知量,也可以取节点力为未知量。

(1)位移法——以节点位移作为基本未知量;

(2)力法——以节点力作为基本未知量;

(3)混合法——以一部分节点位移,一部分节点的力作为基本未知量。

由于位移法的基本未知量为位移分量,比力法的基本未知量应力分量的数量少,使用经典力学的基本方程就可以求解。位移法得出的方程组和计算程序也简单,故得到广泛应用。

2.从公式推导方法来看,有限单元法也可以分三类:

(1)直接法――把各个单元的节点力与节点位移的关系式,按照一定的次序进行迭加,而求出整个物体的方程组的方法,称为直接法。

?直接刚度法就是其典型代表。

?这种方法比较直观,易于理解。但仅适用于求解比较简单的问题。不易给出准确的理论解释。

(2)变分法――应用变分原理,把有限单元法归结为求泛函的极值问题。对于固体力学来讲,就是应用最小能量原理来求整个物体的方程组。

?变分原理的应用,使有限单元法建立在更加坚实的数学基础上,并扩大了其应用范围。

(3)加权余收法――即迦辽金法。这种方法可以直接从基本微分方程导出有限元列式,而不需要利用泛函的概念。

?因此,对于不存在泛函的工程领域也可采用,从而进一步扩大了有限单元法的应用范围。

三、地位

由上可知,有限单元法属于力学分析方法中的离散模型的数值解法。

四、特点

1.优点:

和其他力学方法相比,有限单元法具有许多优点,其中主要有:

(1)概念浅显,容易掌握,可以在不同水平上建立起对该法的理解。

我们可以通过非常直观的物理途径来学习和运用这一方法,也可以为该法建立严格的数学和物理学解释。

(2)该法有很强的适用性,应用范围极为广泛。

它不仅已能成功地处理如应力分析中的非均质材料、各向异性材料、非线性应力-应变关系以及复杂边界条件等难题;而且随着其理论基础和方法的逐步改进和完善,还成功地用来求解如热传导、流体力学以及电磁场领域的许多问题。现在,它几乎适用于求解所有的连续介质和场问题。

特别是近年来计算机技术的发展更扩大和推进了其应用。

(3)该法采用矩阵形式的表达。

便于编制计算机程序,可以充分利用高速电子计算机所提供的方便。

(4)整个计算过程是通过编制好的程序在电子计算机上自动进行。

它具有极大的通用性,在程序功能范围内,只要改变输入的数据,就可以求解不同的实际问题。这种解法完全改变了解析法中针对一种实际问题寻找一种解法的局限性。

因而,有限单元法己被公认为应力分析的有效工具而受到普遍重视。

2.缺点:

(1)作为一种数值近似方法,计算结果存在一定误差。这种误差是和多种因素相关的。因此在使用有限单元法算题时,最好与有关试验配合使用,特别是对于复杂问题。

(2)有限单元法运用,还需花费较大的人力物力,这也是值得改进的。不过随着计算机技术的发展,这一问题已得到极大的改善。

有限单元法基本思想,原理,数值计算过程

有限单元法学习报告 在对力学问题分析求解过程中,方法可以概括为两种方法,一种为解析法,对具体问题具体分析,通过一定的推导用具体的表达式获得解答,由于实际工程中结构物的复杂性,此方法在处理工程问题是十分困难的;另一种是数值法,有限元法是其中一种方法,其数学逻辑严谨,物理概念清晰,又采用矩阵形式表达基本公式,便于计算机编程,因此在工程问题中获得广泛的应用。 有限元法基本原理是,将复杂的连续体划分为简单的单元体;将无限自由度问题化为有限自由度问题,因为单元体个数是有限的;将偏微分方程求解问题化为有限个代数方程组的求解问题。通常以位移为基本未知量,通过虚功原理和最小势能原理来求解。 基本思想是先化整为零,即离散化整体结构,把整体结构看作是由若干个通过结点相连的单元体组成的整体;再积零为整,通过结点的平衡来建立代数方程组,最后计算出结果。我将采用最简单的三结点三角形为基本单元体,解决弹性力学中的平面问题为例,解释有限单元法的基本原理、演示数值计算过程和一般性应用结论。 一、离散化 解决平面问题时,主要单元类型包括三角形单元(三结点、六结点)和四边形单元(四结点矩形、四结点四边形、八结点四边形)等。选用不同的单元会有不同的精度,划分的单元数越多,精度越高,但计算量也会越大。因此在边界曲折,应力集中处单元的尺寸要小些,但最大与最小单元的尺寸倍数不宜过大。在集中力作用点及分布力突变的点宜选为结点,不同厚度,不同材料不能划分在同一单元中。三角形单元以内角接近60°为最好。充分利用对称性与反对称性。 二、单元分析 将一个单元上的所有未知量用结点位移表示,并将分布在单元上的外力等效到结点上。 1、位移函数选取: 根据有限元法的基本思路,将连续体离散为有限的单元集合后,此时单元体满足连续性、均匀性、各向同性、完全线弹性假设。单元与单元之间通过结点连接并传递力,位移法(应用最广)以结点位移δi=(u i v i)T为基本未知量,以离散位移场代替连续位移场。单元体内的位移变化可以用位移函数(位移模式)来表示,因为有限元分析所得结果是近似结果,为了保证计算精度和收敛性,x位移函数应尽可能反应物体中的真实位移,即满足完备性和连续性的要求:

有限元基础知识归纳

有限元知识点归纳 1.、有限元解的特点、原因? 答:有限元解一般偏小,即位移解下限性 原因:单元原是连续体的一部分,具有无限多个自由度。在假定了单元的位移函数后,自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度,即位移函数对单元的变形进行了约束和限制,使单元的刚度较实际连续体加强了,因此,连续体的整体刚度随之增加,离散后的刚度较实际的刚度K为大,因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。 2、形函数收敛准则(写出某种单元的形函数,并讨论收敛性)P49 (1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0; (2)在单元之间,必须使由其定义的未知量连续; (3)应包含完全一次多项式; (4)应满足∑Ni=1 以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。可以推证,由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元,所以一定是收敛的。 4、等参元的概念、特点、用时注意什么?(王勖成P131) 答:等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体(笛卡尔)坐标中的几何形状扭曲的单元,以满足对一般形状求解域进行离散化的需要,必须建立一个坐标变换。即: 为建立上述的变换,最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式,即: 其中m是用以进行坐标变换的单元节点数,xi,yi,zi是这些结点在总体(笛卡尔)坐标内的坐标值,Ni’称为形状函数,实际上它也是局部坐标表示的插值函数。称前者为母单元,后者为子单元。 还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式:在形式上是相同的。如果坐标变换和函数插值采用相同的结点,并且采用相同的插值函数,即m=n,Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。 5、单元离散?P42 答:离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分,各部分之间用有限个点相连。每个部分称为一个单元,连接点称为结点。对于平面问题,最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元,单元之间在三角形顶点上相连。这种单元称为常应变三角形单元。常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。 6、数值积分,阶次选择的基本要求? 答:通常是选用高斯积分 积分阶次的选择—采用数值积分代替精确积分时,积分阶数的选取应适当,因为它直接影响计算精度,计算工作量。选择时主要从两方面考虑。一是要保证积分的精度,不损失收敛性;二是要避免引起结构总刚度矩阵的奇异性,导致计算的失败。

最新电流和电路知识点总结经典

最新电流和电路知识点总结经典 一、电流和电路选择题 1.如图所示是一个能吹出冷热风的电吹风简化电路图,图中A是吹风机,B是电热丝.下列分析正确的是() A. 只闭合开关S2,电吹风吹出热风 B. 只闭合开关S1,电吹风吹出冷风 C. 同时闭合开关S1、S2,电吹风吹出冷风 D. 同时闭合开关S1、S2,电吹风吹出热风 【答案】 D 【解析】【解答】开关S2在干路上,S1在B所在的支路. A、只闭合开关S2时,电热丝所在支路的开关是断开的,电热丝不工作,只有吹风机接入电路,吹出冷风,A不符合题意; B、此时干路开关S2是断开的,电路没有接通,所有用电器都不工作,B不符合题意; C、同时闭合开关S1、S2时,电热丝与吹风机并联接入电路,同时工作,吹出热风,C不符合题意,D符合题意. 故答案为:D. 【分析】根据电路的工作状态,电路并联,且电热丝有开关,并联时同时工作. 2.在图所示的实物电路中,当开关闭合时,甲电流表的示数为0.5 A,乙电流表的示数为0.2 A,则下列判断正确的是() A. 通过灯L1的电流为0.5 A B. 通过灯L1的电流为0.3 A C. 通过灯L2的电流为0.7 A D. 通过灯L2的电流为0.3 A 【答案】 B 【解析】【解答】由图示可知,两个灯泡是并联的,电流表甲测干路的电流为0.5A,电流表乙测通过灯泡L2的电流为0.2A,根据并联电路中电流的特点可知,通过灯泡L1的电流为0.5A-0.2A=0.3A,B符合题意. 故答案为:B。

【分析】首先判断电流表所测量的位置,根据并联电路中的干路电流和各支路电流的关系分析各支路电流。 3.汽车的手动刹车器(简称“手刹”)在拉起时处于刹车制动状态,放下时处于解除刹车状态。如果手刹处在拉爆状态,汽车也能运动,但时间长了会损坏刹车片,有一款汽车设计了一个提醒司机的电路;汽车启动,开关S1闭合,手刹拉起,开关S2闭合,仪表盘上的指示灯会亮;汽车不启动,开关S1断开,指示灯熄灭,或者放下手刹,开关S2断开,指示灯也熄灭,下列电路图符合上述设计要求的是() A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】【解答】根据用电器的工作要求,当开关都闭合时用电器才能工作,所以电路是串联电路,A符合题意。 故答案为:A. 【分析】串联电路的特点是各用电器互相影响。 4.有一个看不见内部情况的小盒(如图所示),盒上有两只灯泡,由一个开关控制,闭合开关两灯都亮,断开开关两灯都灭;拧下其中任一灯泡,另一灯都亮。选项所示的图中符合要求的电路图是() A. B.

电流和电路知识点总结

电流和电路 、电荷 1、物体有了吸引轻小物体的性质,我们就说物体带了电荷;换句话说,带电体具有吸引轻小物体的 性质。 2、用摩擦的方法使物体带电叫摩擦起电; 3、摩擦起电的实质:摩擦起电并不是创生了电,而是电子从一个物体转移到了另一个物体,失去电 子的带正电;得到电子的带负电。 二、两种电荷: 1、把用丝绸摩擦过的玻璃棒带的电荷叫正电荷:电子从玻璃棒转移到丝绸。 2、把用毛皮摩擦过的橡胶棒带的电荷叫负电荷:电子从毛皮转移到橡胶棒。 3、基本性质:同种电荷相互排斥,异种电荷相互吸引; 4、带电体排斥带同种电荷的物体;带电体吸引带异种电荷的物体和轻小物体。 例:1、A带正电,A排斥B , B肯定带正电; 2、A带正电,A吸引B , B可能带负电也可能不带电。(A、B都是轻小物体) 三、验电器 1、用途:用来检验物体是否带电;从验电器张角的大小,可以粗略的判断带电体所带电荷的多少。 2、原理:利用同种电荷相互排斥; 四、电荷量(电荷)电荷的多少叫电荷量,简称电荷;单位:库仑(C)简称库; 五、原子的结构质子(带正电) 「原子核< 原』I中子(不带电) 电子(带负电) 原子核所带的正电荷与核外所有电子总共带的负电荷数在数量上相等,整个院子呈中性,原子对外不显带电的性质。 六、元电荷 1、最小的电荷叫做元电荷,用符号e表示,e=1.6*10-19C。 2、电子电荷量的大小是最小的。 七、导体、绝缘体 1、善于导电的物体叫导体:如:金属、人体、大地、石墨、酸碱盐溶液; 2、不善于导电的物体叫绝缘体.如:橡胶、玻璃、塑料、陶瓷、油、空气等; 3、导体和绝缘体在一定条件下可以相互转换; 例如:1、干木头(绝缘体)、湿木头(导体)2、玻璃通常是绝缘体、加热到红炽状态(导体)。

有限元分析及其应用思考题附答案2012

有限元分析及其应用-2010 思考题: 1、有限元法的基本思想是什么?有限元法的基本步骤有那些?其中“离散”的含义是什 么?是如何将无限自由度问题转化为有限自由度问题的? 答:基本思想:几何离散和分片插值。 基本步骤:结构离散、单元分析和整体分析。 离散的含义:用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合,且单元之间仅在节点处连接,单元之间的作用仅由节点传递。当单元趋近无限小,节点无限多,则这种离散结构将趋近于实际的连续结构。 2、有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别? 区别:差分法:均匀离散求解域,差分代替微分,要求规则边界,几何形状复杂精度较低; 里兹法:根据描述问题的微分方程和相应的定解构造等价的泛函表达式,求得近似解; 有限元:基于变分法,采用分片近似进而逼近总体的求解微分方程的数值计算方法。 3、一根单位长度重量为q的悬挂直杆,上端固定,下端受垂直向下的外力P,试 1)建立其受拉伸的微分方程及边界条件; 2)构造其泛函形式; 3)基于有限元基本思想和泛函求极值构造其有限元的计算格式(即最小势能原理)。4、以简单实例为对象,分别按虚功原理和变分原理导出有限元法的基本格式(单元刚度矩 阵)。 5、什么是节点力和节点载荷?两者有何区别? 答:节点力:单元与单元之间通过节点相互作用 节点载荷:作用于节点上的外载 6、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有何特点?其中每个矩阵元素的物理意义是什么(按自 由度和节点解释)? 答:单元刚度矩阵:对称性、奇异性、主对角线恒为正 整体刚度矩阵:对称性、奇异性、主对角线恒为正、稀疏性、带状性。 Kij,表示j节点产生单位位移、其他节点位移为零时作用i节点的力,节点力等于节点位移与单元刚度元素乘积之和。 7、单元的形函数具有什么特点?有哪些性质? 答:形函数的特点:Ni为x,y的坐标函数,与位移函数有相同的阶次。 形函数Ni在i节点的值为1,而在其他节点上的值为0; 单元内任一点的形函数之和恒等于1; 形函数的值在0~1间变化。 8、描述弹性体的基本变量是什么?基本方程有哪些组成? 答:基本变量:外力、应力、应变、位移 基本方程:平衡方程、几何方程、物理方程、几何条件 9、何谓应力、应变、位移的概念?应力与强度是什么关系? 答:应力:lim△Q/△A=S △A→0 应变:物体形状的改变 位移:弹性体内质点位置的变化 10、问题的微分方程提法、等效积分提法和泛函变分提法之间有何关系?何谓“强形 式”?何谓“弱形式”,两者有何区别?建立弱形式的关键步骤是什么?

有限元分析理论基础

有限元分析概念 有限元法:把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元(子域)所构成,其模型给出基本方程的分片(子域)近似解,由于单元(子域)可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸,所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件 有限元模型:它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成,单元之间通过节点连接,并承受一定载荷。 有限元分析:是利用数学近似的方法对真实物理系统(几何和载荷工况)进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素,即单元,就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的,所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中,材料的应力与应变呈线性关系,满足广义胡克定律;应力与应变也是线性关系,线弹性问题可归结为求解线性方程问题,所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法,也有助于降低有限元分析的时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。 非线性问题与线弹性问题的区别: 1)非线性问题的方程是非线性的,一般需要迭代求解; 2)非线性问题不能采用叠加原理; 3)非线性问题不总有一致解,有时甚至没有解。 有限元求解非线性问题可分为以下三类:

1)材料非线性问题 材料的应力和应变是非线性的,但应力与应变却很微小,此时应变与位移呈线性关系,这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系,所以,一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据,有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟,尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有:非线性弹性(包括分段线弹性)、弹塑性、粘塑性及蠕变等。 2)几何非线性问题 几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时,应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题,橡胶部件形成过程为大应变问题。 3)非线性边界问题 在加工、密封、撞击等问题中,接触和摩擦的作用不可忽视,接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题,如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等,当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。

有限元法基本原理与应用

有限元法基本原理与应用 班级机械2081 姓名方志平 指导老师钟相强 摘要:有限元法的基础是变分原理和加权余量法,其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元,在每个单元内,选择一些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式,借助于变分原理或加权余量法,将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式,便构成不同的有限元方法。 关键词:有限元法;变分原理;加权余量法;函数。 Abstract:Finite element method is based on the variational principle and the weighted residual method, the basic idea is to solve the computational domain is divided into a finite number of non-overlapping units, each unit, select some appropriate function for solving the interpolation node points as , the differential variables rewritten or its derivative by the variable value of the selected node interpolation functions consisting of linear expressions, by means of variational principle or weighted residual method, the discrete differential equations to solve. Different forms of weight functions and interpolation functions, it constitutes a different finite element method. Keywords:Finite element method; variational principle; weighted residual method; function。 引言 有限元方法最早应用于结构力学,后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中,把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元,在每个单元内选择基函数,用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解,整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的,则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中,常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同,有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说,有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法,从计算单元网格的形状来划分,有三角形网格、四边形网格和多边形网格,从插值函数的精度来划分,又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数,伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数;最小二乘法是令权函数等于余量本身,而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小;在配置法中,先在计

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电流和电路知识点总结及经典习题(含答案)(word)

电流和电路知识点总结及经典习题(含答案)(word) 一、电流和电路选择题 1.如图所示,无风条件下卡通造型铝箱气球两次均向带电棒靠近但未接触,气球() A. 不带电 B. 带正电 C. 带负电 D. 带电情况无法判断【答案】 A 【解析】【解答】气球可以被带正电的物体吸引,也可以被负电吸引,说明气球不带电,A符合题意。 故答案为:A. 【分析】带电体可以吸引不带电的轻小物体。 2.如图所示,开关S闭合时,可能发生的现象是() A. L1、L2都不发光 B. L1不发光、L2发光 C. 电池被烧坏 D. L1发光、L2不发光 【答案】 B 【解析】【解答】由图示电路图可知,开关闭合时,L1被短路,只有L2接入电路,则闭合开关后L1不发光,L2发光,电池没有被短路,不会烧坏电池. 故答案为:B. 【分析】由图可知,当开关闭合时,开关与L1并联,此时电流只过开关,而不经过灯泡L1,所以灯泡L1被短路. 3.轿车装有日间行车灯后可提高行车的安全性。当轿车启动,即电键闭合,日间行车灯发光,若电键再闭合,近灯光可同时发光。在如图所示的电路中,符合上述情况的是() A. B. C. D.

【答案】D 【解析】【解答】A.由电路图可知,只闭合S1时,两灯泡均不亮,A不符合题意;B.由电路图可知,只闭合S1时,两灯泡都亮,再闭合S2时,L1不亮,B不符合题意;C.由电路图可知,只闭合S1时,车前大灯L2亮,再闭合S2时,日间行车灯L1亮,C不符合题意; D.由电路图可知,只闭合S1时,日间行车灯L1亮,再闭合S2时,车前大灯L2亮,D符合题意. 故答案为:D. 【分析】由题知,S1闭合,L1发光,再闭合S2,L2也发光,说明L1与L2可以独立工作即为并联,且S1位于干路,S2位于L2支路. 4.图所示的电路中a、b是电表,闭合开关要使电灯发光,则:() A. a、b都是电流表 B. a、b都是电压表 C. a是电流表,b是电压表 D. a是电压表,b 是电流表 【答案】 C 5.下列各电路中,闭合开关,两个灯泡不能都发光的电路是() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【解答】解:A、由图示电路图可知,两灯泡并联,闭合开关,两灯泡都发光,故A错误; B、由图示电路图可知,两灯泡串联,闭合开关,两灯泡都发光,故B错误; C、由图示电路图可知,闭合开关,灯L2发光,灯L1被短路,L1不能发光,即两个灯泡不能都发光,故C正确;

有限单元法

有限单元法 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法,其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元,在每个单元内,选择一些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式,借助于变分原理或加权余量法,将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式,便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学,后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中,把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元,在每个单元内选择基函数,用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解,整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的,则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中,常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同,有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说,有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法,从计算单元网格的形状来划分,有三角形网格、四边形网格和多边形网格,从插值函数的精度来划分,又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数,伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数;最小二乘法是令权函数等于余量本身,而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小;在配置法中,先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程,即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成,但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示,但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类,一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值,称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值;另一种不仅要求插值多项式本身,还要求它的导数值在插值点取已知值,称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标,有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系,它的定义取决于单元的几何形状,一维看作长度比,二维看作面积比,三维看作体积比。在二维有限元中,三角形单元应用的最早,近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元,常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。 对于有限元方法,其基本思路和解题步骤可归纳为 (1)建立积分方程,根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理,建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式,这是有限元法的出发点。 (2)区域单元剖分,根据求解区域的形状及实际问题的物理特点,将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作,这部分工作量比较大,除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外,还要表示节点的位置坐标,同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。 (3)确定单元基函数,根据单元中节点数目及对近似解精度的要求,选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的,由于各单元具有规则的几何形状,在选取基函数时可遵循一定的法则。 (4)单元分析:将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近;再将近似函数代入积分方程,并对单元区域进行积分,可获得含有待定系数(即单元中各节点的参数值)的代数方程组,称为单元有限元方程。 (5)总体合成:在得出单元有限元方程之后,将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加,形成总体有限元方程。

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第十五章电流和电路 摩擦起电:摩擦过的物体具有吸引轻小物体的现象——带电体==本质:电荷 的转移 正电荷:被丝绸摩擦过的玻璃棒带的电荷 种类 电荷负电荷:被毛皮摩擦过的橡胶棒带的电荷 性质:同种电荷互相排斥,异种电荷互相排斥 检验:验电器——原理:同种电荷互相排斥 电量: q 单位:库伦简称:库符号: C 元电荷:最小电荷:e=1.6 × 10 19 C 组成:电源、开关、导线、用电器 电源:提供电能 开关:控制电路通断 作用用电器:消耗电能 导线:传输电能的路径 导体:金属、人体、食盐水 两种材料 绝缘体:橡胶、玻璃、塑料 电流产生条件①电路闭合 ②保持通路 定义:正电荷移动的方向 电路电流的方向 在电源中电源的正极→用电器→电源的负极 单位: A 103 mA 10 3 A 工具:电流表 ○ A 测量使用方法①电流表必须和被测的用电器串联电流的大小( I )②看清量程、分度值,不准超过电流 表的量程 ③必须正入负出 ④任何情况下都不能直接连到电源 的两极 电路的连接:先串后并,就近连线,弄清首尾 通路:接通的电路 三种状态断路:断开的电路 短路:电流不经过用电器直接回到电源的负极 两种类型: 类型定义开关作用 串联把用电器逐个连接起来的电路可以控制所有用电器,与开关位置无关 并联把用电器并列连接起来的电路在干路时,可控制所有用电器;在支路时,只可 以控制本支路的用电器

类型电流规律用电器特点 串联在串联电路中,电流处处相等任何一个用电器工作与否,都会影响其他的 用电器 并联在并联电路中,干路电流等于支路任何一个用电器工作与否,不会影响其他的电流之和用电器 一、电荷 1、物体有了吸引轻小物体的性质,我们就说物体带了电荷;换句话说,带电体具有吸引 轻小物体的性质。 2、用摩擦的方法使物体带电叫摩擦起电; 3、摩擦起电的实质:摩擦起电并不是创生了电,而是电子从一个物体转移到了另一个物 体,失去电子的带正电;得到电子的带负电。 二、两种电荷: 1、把用丝绸摩擦过的玻璃棒带的电荷叫正电荷;电子从玻璃棒转移到丝绸。 2、把用毛皮摩擦过的橡胶棒带的电荷叫负电荷;电子从毛皮转移到橡胶棒。 3、基本性质:同种电荷相互排斥,异种电荷相互吸引; 4、带电体排斥带同种电荷的物体;带电体吸引带异种电荷的物体和轻小物体。 例: 1、A 带正电, A 排斥 B , B 肯定带正电; 2、A 带正电, A 吸引 B , B 可能带负电也可能不带电。( A 、 B 都是轻小物体) 三、验电器 1、用途:用来检验物体是否带电;从验电器张角的大小,可以粗略的判断带电体所带电 荷的多少。 2、原理:利用同种电荷相互排斥; 电荷;单位:库仑( C)简称库; 四、电荷量(电荷)电荷的多少叫电荷量,简称 五、原子的结构质子(带正电) 原子核 原子中子(不带电) 电子(带负电) 原子核所带的正电荷与核外所有电子总共带的负电荷数在数量上相等,整个院子呈中性,原子对外不显带电的性质。 六、元电荷 1、最小的电荷叫做元电荷,用符号 e 表示, e=1.6*10 -19C。 2、电子电荷量的大小是最小的。 七、导体、绝缘体 1、善于导电的物体叫导体;如:金属、人体、大地、石墨、酸碱盐溶液; 2、不善于导电的物体叫绝缘体,如:橡胶、玻璃、塑料、陶瓷、油、空气等; 3、导体和绝缘体在一定条件下可以相互转换; 例如: 1、干木头(绝缘体)、湿木头(导体) 2、玻璃通常是绝缘体、加热到红炽状态(导体) 一、电流 1、电荷的定向移动形成电流;(电荷包括正电荷和负电荷定向移动都可以形成电流) 3、规定:正电荷定向移动的方向为电流的方向(负电荷定向移动的方向与电流方向相反,

电流和电路知识点归纳总结

第五章基础知识 一、电荷 1、摩擦过的物体物体具有吸引轻小物体的性质,我们就说物体带了电,或者说带了电荷; 二、两种电荷: 1、用绸子摩擦的玻璃棒带的电荷叫正电荷; 2、用毛皮摩擦过的橡胶棒带的电荷叫负电荷; 3、基本性质:同中电荷相互排斥,异种电荷相互吸引; 三、验电器 1、用途:用来检验物体是否带电; 2、原理:同种电荷相互排斥; 四、电荷量(电荷) 1、电荷的多少叫电荷量、简称电荷; 2、电荷的单位:库仑(C)简称库; 五、元电荷: 1、原子是由位于中心的带正电的原子核和核外带负电的电子组成; 2、把最小的电荷叫元电荷(一个电子所带电荷)用e表示;e=1.60×10-19C; 4、在通常情况下,原子核所带正电荷与核外电子总共所带负电荷在数量上相等,整个原子呈中性; 六、摩擦起电 1、原因:不同物体的原子核束缚电子的本领不同; 2、摩擦起电的实质:摩擦起电并不是创造了电荷,而是电子从一个物体转移到了另一个物体,失去电子的带正电。得到电子的带负电; 七、导体和绝缘体 1、善于导电的物体叫导体;如:金属、人体、大地、酸碱盐溶液; 2、不善于导电的物体叫绝缘体,如:橡胶、玻璃、塑料等; 3、金属导体靠自由电子导电,酸碱盐溶液靠正负离子导电; 4、导体和绝缘体在一定条件下可以相互转换; 八、电流 1、电荷的定向移动形成电流; 2、能够供电的装置叫电源。 3、规定:真电荷定向移动的方向为电流的方向(负电荷定向移动方向和电流方向相反) 4、在电源外部,电流的方向从电源的正极流向负极; 九、电路:用导线将用电器、开关、用电器连接起来就组成了电路; 1、电源:提供持续电流,把其它形式的能转化成电能; 2、用电器:消耗电能,把电能转化成其它形式的能(电灯、电风扇等) 3、导线:输送电能的; 4、开关:控制电路的通断;十、电路的工作状态 1、通路:处处连同的电路; 2、开路:某处断开的电路; 3、短路:用导线直接将电源的正负极连同;(不允许发生) 十一、电路图及元件符号: 1、用符号表示电路连接的图叫电路图,常用的符号如下: 画电路图时要注意:整个电路图是长方形;导线要横平竖直;元件不能画在拐角处。 十二、串联和并联 十三、电路的连接方法 1、线路简其捷、不能出现交叉; 2、连出的实物图中各元件的顺序一定要与电路图保持一致; 3、一般从电源的正极起,顺着电流方向,依次连接,直至回到电源的负极; 4、并联电路连接中,先串后并,先支路后干路,连接时找准分支点和汇合点。 5、在连接电路前应将开关断开; 十四、电流的强弱 1、电流:表示电流强弱的物理量,符号I 2、单位:安培,符号A,还有毫安(mA)、微安(μA)1A=1000mA 1mA=1000μA 十五、电流的测量:用电流表;符号A 1、电流表的结构:接线柱、量程、示数、分度值 2、电流表的使用 (1)先要三“看清”:看清量程、指针是否指在临刻度线上,正负接线柱 (2)电流表必须和用电器串联;(相当于一根导线) (3)电流表必须和用电器串联;(相当于一根导线) (4)选择合适的量程(如不知道量程,应该选较大的量程,并进行试触。) 注:试触法:先把电路的一线头和电流表的一接线柱固定,再用电路的另一线头迅速试触电流表的另一接线柱,若指针摆动很小(读数不准),需换小量程,若超出量程(电流表会烧坏),则需换更大的量程。 3、电流表的读数 (1)明确所选量程(0-3A和0-0.6A)(2)明确分度值(每一小格表示的电流值) (3)根据表针向右偏过的格数读出电流值 4、电流表接入电路时,如果指针迅速偏到最右端(所选量程太小)如果指针向左偏转(正负接线柱接反)如果指针偏转角度很小(所选量程太大) 5、使用电流表之前如果指针不在零刻度线上,就进行调零。 十六、串、并联电路中电流的特点:串联电路中电流处处相等;(I=I1+I2+……+I n) 并联电路干路电流等于各支路电流之和;(I=I1=2=……I n )

有限单元法原理与应用(第三版)

122123 60 组建 周年60组建 周年 主要完成人:朱伯芳 受奖单位:水电中心/结构材料所 【创新性】 全面系统地阐述了有限单元法的基本原理及其在土木、水利工程问题中的应用,包括弹性力学平面问题和空间问题、薄板、薄壳、厚板、厚壳、弹性稳定、塑性力学、大位移、断裂、动力反应、徐变、岩土力学、极限分析、混凝土和钢筋混凝土、流体力学、渗流分析、热传导、工程反分析、仿真分析、网格自动生成、误差估计及自适应技术等。本书取材实用、由浅入深、先易后难,便于自学;对于实际工程中有用的计算方法力求讲述清楚并给出具体计算公式,便于应用;对有限元法的工程应用,注意工程的物理特性,要求采用的概化假定、计算参数和计算荷载等尽量接近实际,注重计算方法精度的适应性等,并重视有限元计算结果与实际观测资料相验证。【影响力】 我国最早的有限元专著之一,为在我国推广有限元法发挥了重要作用;本书共出版三版,第一版于1976年8月,第二版于1998年10月,第三版于2009 年6月;曾作为多所高校的有限元课程教材使 用;英文版已由清华大学出版社和美国Wiley 出版社联合出版;中国科学技术信息研究所编著的《中国高被引指数分析》(2011版)中,本书列为国内水利工程领域高被引图书第2名。 有限单元法原理与应用(第三版) 著作类成果 【Innovation】 This book expounds, in an all-round and systematic manner, the basic theory of the finite element method and its application to civil engineering and hydraulic engineering , including plane and space problems of elasticity, thin plate, thin shell, thick plate, thick shell, elastic stability, plasticity, large displacement, fracture, dynamic response, creep, rock and soil mechanics, limit analysis, concrete and reinforced concrete, fluid mechanics, seepage analysis, heat conduction, back analysis in engineering, simulated analysis, automatic generation of meshes, error estimation and adaptive technique. This book is learner-friendly because it contains practical content and expounds knowledge step by step and from easy to difficult; and is also easy to use because it strives to clarify the computing methods usable in actual engineering and gives corresponding formulas. Regarding the engineering application of the finite element method, it pays attention to the physical characteristics of projects, requires adopted conceptualized assumption, calculation parameter and calculation load be close enough to reality and accuracy of calculation methods be adaptive, and stresses the verification between the calculation result of the finite element method and actual observational data. 【Influence】 Amongst the earliest finite element books in China, this book plays an important role in generalizing the finite element method in China. It has registered three editions, with the first edition published in August, 1976, the second edition in October, 1998 and the third edition in June, 2009. It served as a finite element textbook of many colleges and universities; and its English version has been published jointly by Tsinghua University Press and the U.S.-based Wiley & Sons, Inc. This book ranks second amongst the highly-cited books of hydraulic engineering in China, according to the Analysis Report of Chinese Highly Cited Paper 2011 of the Institute of Scientific and Technical Information of China (ISTIC) Main Contributor : Zhu Bofang Award-winning Unit : Research Center for Sustainable Hydropower/Department of Structures and Materials THE FINITE ELEMENT METHOD THEORY AND APPLICATIONS(EDITION III)

最新有限单元法部分课后题答案

1.1 有限单元法中“离散”的含义是什么?有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度问题的?位移有限元法的标准化程式是怎样的? (1)离散的含义即将结构离散化,即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元,并在其上设定有限个节点;用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体,而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。 (2)给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律,即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。因节点位移个数是有限的,故无限自由度问题被转变成了有限自由度问题。 (3)有限元法的标准化程式:结构或区域离散,单元分析,整体分析,数值求解。 1.3 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质?各自的物理意义是什么?两者有何区别?单元刚度矩阵的性质:对称性、奇异性(单元刚度矩阵的行列式为零)。整体刚度矩阵的性质:对称性、奇异性、稀疏性。单元 Kij 物理意义 Kij 即单元节点位移向量中第 j 个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时,在第 j 个自由度方向引起的节点力。整体刚度矩阵 K 中每一列元素的物理意义是:要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移,而其他节点位移都保持为零的变形状态,在所有个节点上需要施加的节点荷载。 2.2 什么叫应变能?什么叫外力势能?试叙述势能变分原理和最小势能原理,并回答下述问题:势能变分原理代表什么控制方程和边界条件?其中附加了哪些条件? (1)在外力作用下,物体内部将产生应力σ和应变ε,外力所做的功将以变形能的形式储存起来,这种能量称为应变能。 (2)外力势能就是外力功的负值。 (3)势能变分原理可叙述如下:在所有满足边界条件的协调位移中,那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函取驻值,即势能的变分为零 δ∏p=δ Uε+δV=0 此即变分方程。对于线性弹性体,势能取最小值,即 δ2∏P=δ2Uε+δ2V≥0 此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。 势能变分原理代表平衡方程、本构方程和应力边界条件,其中附加了几何方程和位移边界条件。 2.3 什么是强形式?什么是弱形式?两者有何区别?建立弱形式的关键步骤是什么? 等效积分形式通过分部积分,称式 ∫ΩCT(v)D(u)dΩ+∫ΓET(v)F(u)dΓ 为微分方程的弱形式,相对而言,定解问题的微分方程称为强形式。 区别:弱形式得不到解析解。建立弱形式的关键步骤:对场函数要求较低阶的连续性。2.4 为了使计算结果能够收敛于精确解,位移函数需要满足哪些条件?为什么? 只要位移函数满足两个基本要求,即完备性和协调性,计算结果便收敛于精确解。 2.6 为什么采用变分法求解通常只能得到近似解?变分法的应用常遇到什么困难?Ritz 法收敛的条件是什么? (1)在 Ritz 法中,N 决定了试探函数的基本形态,待定参数使得场函数具有一定的任意性。如果真实场函数包含在试探函数之内,则变分法得到的解答是精确的;如果试探函数取自完全的函数序列,则当项数不断增加时,近似解将趋近于精确解。然而,通常情况下试探函数不会将真实场函数完全包含在内,实际计算时也不可能取无穷多项。因此,试探函数只能是真实场函数的近似。可见,变分法就是在某个假定的范围内找出最佳解答,近似性就源于此。 (2)采用变分法近似求解,要求在整个求解区域内预先给出满足边界条件的场函数。通常情况下这是不可能的,因而变分法的应用受到了限制。 (3)Ritz 法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性,也就是说,如果试探函数满足完备性和连续性的要求,当试探函数的项数趋近于无穷时,则 Ritz 法的近似解将趋近于数学微分方程的精确解。 3.1 构造单元形函数有哪些基本原则? 形函数是定义于单元内坐标的连续函数。单元位移函数通常采用多项式,其中的待定常数应该与单元节点自由度数相等。为满足完备性要求,位移函数中必须包括常函数和一次式,即完全一次多项式。多项式的选取应由低阶到高阶,尽量选择完全多项式以提高单元的精度。若由于项数限制而不能选取完全多项式时,也应使完全多项式具有坐标的对称性,并且一

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