高二数学选修2-2知识点
高二数学选修2-2知识点总结
第一章 导数及其应用
1．函数的平均变化率为
=
??=??x
f
x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x
x f x x f x y
x x ?-?+=??→?→?)()(lim
lim
0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即
)(0'x f =x
x f x x f x y
x x ?-?+=??→?→?)()(lim
lim
0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
常见的函数导数和积分公式
常见的导数和定积分运算公式
若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：
用导数求函数单调区间的步骤
①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的
点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/
()f x 在方程根左右的值的符号，
如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值
利用导数求函数的最值的步骤
求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
求曲边梯形的思想和步骤
分割→近似代替→求和→取极限 （“以直代曲”的思想）
定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1
a b dx b
a
-=?1
性质5 若[]b a x x f ,,0)(∈≥，则0)(≥?b a
dx x f
①推广：1212[()()()]()()()b
b b b
m m a
a
a
a
f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±?
???L L
②推广:
12
1
()()()()k
b
c c b
a
a
c c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++?
???L
定积分的取值情况
定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x 轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x 轴上方图形面积的相反数；
（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方
的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积． 12．物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。
第二章 推理与证明
13.归纳推理的定义：从个别事实．．．．中推演出一般性．．．的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 归纳推理是由部分到整体．．，由个别到一般．．的推理。 14.归纳推理的思维过程 大致如图：
15.归纳推理的特点: ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
16.类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊．．到特殊．．的推理。 17.类比推理的思维过程
18.演绎推理的定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般．．到特殊．．的推理。 19．演绎推理的主要形式：三段论
20.“三段论”可以表示为：①大前题：M 是P ②小前提：S 是M ③结论：S 是P 。
其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。
22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。
23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证A ，只要证B ，B 应是A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。
24反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确．．．，即所求证命题正确。 26常见的“结论词”与“反义词”
27.反证法的思维方法:正难则反．．．．
28.归缪矛盾（1）与已知条件．．．．矛盾:（2）与已有公理、定理、定义．．．．．．．．．．矛盾； （3）自相．．
矛盾． 29．数学归纳法（只能证明与正整数．．．有关的数学命题）的步骤(1)证明：当n 取第一个值．．．．()
00n n N *∈时
命题成立；(2)假设当n=k (k ∈N *，且k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1．．．．．时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确 [注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确
性的证明。
第三章 数系的扩充和复数的概念
30.复数的概念：形如a+bi ．．．．
的数叫做复数，其中i 叫虚数单位，a 叫实部， b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。
规定：a bi c di +=+?a=c ．．．且．b=d ．．．
，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。 31．数集的关系：0000b Z a b a =??
≠???≠??
=???
实数 ()
复数一般虚数()虚数 ()纯虚数()
32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。
33.复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数bi a z +=，都可以由一个有序实数对),(b a 唯一确定。由于有序实数对),(b a 与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
34.求复数的模(绝对值)与复数z 对应的向量OZ 的模r 叫做复数bi a z +=的模(也叫绝对值)记作
bi a z +或。由模的定义可知：22b a bi a z +=+=
35.复数的加、减法运算及几何意义①复数的加、减法法则：12z a bi c di =+=+与z ，则12()z z a c b d i ±=±+±。注：复数的加、减法运算也可以按向量．．的加、减法来进行。 ②复数的乘法法则：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++。 ③复数的除法法则：
2222
()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad
i c di c di c di c d c d ++-+-==+++-++其中c di -叫做实数化因子 36.共轭复数:两复数a bi a bi +-与互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。
常见的运算规律
(1);
(2)2,2;z z z z a z z bi =+=-=
2
2
22(3);(4);(5)z z z z a b z z z z z R ?===+==?∈
41
42
43
44
(6),1,,1;
n n n n i
i i
i
i i
++++==-=-=
()
2
2
11(7)1;(8),,
11i i i i i i i i i +-±=±==-=±-+
)9(设2
31i +-=
ω是1的立方虚根，则012
=++ωω，1,,332313===+++n n n ωωωωω