第1章复数与复变函数(答案)

复变函数试题与答案

第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3

７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

复变函数第二章标准答案

复变函数第二章答案

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第二章 解析函数 1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z ?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z ?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z ?→?=+?+? 0 00 Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0. 2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =? 解: 22222222()||()()()(), f z z z z z z z z x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++ 这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+ 2222222,2,2, 2. x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++== 要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =?仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+- 解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=- 226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==- 四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数. (1) (,).az b c d cz d ++至少有一不为零

最新复变函数第二章答案

第二章 解析函数 1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z ?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z ?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z ?→?=+?+? 0 00 Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0. 2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =? 解: 22222222()||()()()(), f z z z z z z z z x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++ 这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+ 2222222,2,2, 2. x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++== 要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =?仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+- 解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=- 226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==- 四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数. (1) (,).az b c d cz d ++至少有一不为零

复变函数论第三版课后习题答案

第一章习题解答 （一） 1 ．设2z =z 及A rcz 。 解：由于32i z e π- = 所以1z =，2,0,1,3 A rcz k k ππ=- +=± 。 2 ．设1 21z z = = ，试用指数形式表示12z z 及 12 z z 。 解：由于6 4 12,2i i z e z i e π π - += == = 所以( )646 4 12 12222i i i i z z e e e e π π π π π - - === 54( )14 6 12 2 6 112 2 2i i i i z e e e z e π ππππ+ - = = = 。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+= ===。 4．证明2 2 2 1212 122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212 122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 121 2 122R e () z z z z z z -=+- 所以2 2 2 12 12122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0 321=++z z z , 1 321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于 1 321===z z z ，知 3 21z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 3 1z z z == ()[]()[]2 12322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 2 1212z z z z ++= 所以， 12121-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 2 1z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()3 22121=+-=z z z z

复变函数论第三版课后习题答案解析

1．设 z 1 3i ，求 z 及 Arcz 。 解：由于 z 1， Arcz 2k , k 0, 1, 。 3 (z 1 z 2)( z 1 z 2) z 1z 1 z 2z 2 (z 1z 2 z 2z 1) 2 z 1z 2 z 1 z 2 3 第一章习题解 答 (一) 2．设 z 1 i , z 3 1 ，试用指数形式表示 1 2 2 z 1z 2 及 z 1 。 z 2 4 i 6i 1 i i 解：由于 z 1 e 3 4 , z 2 3 i 2e 1 2 2 i i ( )i i 所以 z1z2 e 4i 2e 6i 2e ( 4 6)i 2e 12i i z 1 e 4 1 e (4 6)i i z 2 2e 6 2 5i 1 1 e 12 。 2 3．解二项方程 z 4 a 4 0,(a 0) 。 2k i 解： z 4 a 4 (a 4e i )4 ae 4 ,k 0,1,2,3 。 4．证明 z 1 2 2 z 1 z 2 z 1 z 2 证明：由于 2 2 z 1 z 2 z 1 2 2 z 2 2 z 1 z 2 2( z 1 所以 z 1 z 2 其几何意义是： z 2 ) 2 2 ，并说明其几何意义。 2 2 Re(z 1 z 2) z 2 2Re(z 1 z 2) z 1 z 2 2( z 1 z 2 ) 平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设 z 1， z 2，z 3三点适合条件： z1 z2 z3 0 z 1 z 2 z3 1 。证明 z 1，z 2， z 3是内 接于单位 圆 z 1 的一个正三角形的顶点。 证 由于 z 1 z 2 z3 1 ，知 z 1z 2z 3 的三个顶点均在单位圆上。 因为 所以， z 1z 2 z 1z 2 1 ， 所以 z 1 z 2

复变函数论第四版答案钟玉泉

复变函数论第四版答案钟玉泉 （1）提到复变函数，首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根，极坐标与 xy 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。 （2）复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到 复平面里面，从而引出解析函数的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓 的Cauchy—Riemann 公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。 （3）明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中，定义几乎 是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理：Cauchy 积分公式。这 个是复分析的第一个重要定理。 （4）既然是解析函数，那么函数的定义域就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数，也可 以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在，奇点根据性质分成可去奇点，极 点，本性奇点三类，围绕这三类奇点，会有各自奇妙的定理。（5）复变函数中，留数定理是一个重要的定理，反映了曲线积分和

零点极点的性质。与之类似的幅角定理 也展示了类似的关系。 （6）除了积分，导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念就可以引出Taylor 级数和 Laurent 级数的概念。除此之外，正规族里面有一个非常重要的定理，那就是Arzela 定理。 （7）以上都是从分析的角度来研究复分析，如果从几何的角度来说，最重要的定理莫过于Riemann 映照 定理。这个时候一般会介绍线性变换，就是Mobius 变换，把各种各样的区域映射成单位圆。研究 Mobius 变换的保角和交比之类的性质。 （8）椭圆函数，经典的双周期函数。这里有Weierstrass 理论，是研究Weierstrass 函数的，有经典的 微分方程，以及该函数的性质。 以上就是复分析或者复变函数的一些课程介绍，如果有遗漏或者疏忽的地方请大家指教。

复变函数第二章习题答案精编版.doc

第二章解析函数 1-6 题中： （1）只要不满足 C-R 条件，肯定不可导、不可微、不解析 （2）可导、可微的证明：求出一阶偏导u x, u y, v x, v y，只要一阶偏导存在且连续，同时满足C-R 条件。 （3）解析两种情况：第一种函数在区域内解析，只要在区域内处处可导，就处处解析；第二种情况函数在某一点解析，只要函数在该点及其邻域内处处可导则在该点解析，如果只在该点可导，而在其邻域不可导则在该点不解析。 （4）解析函数的虚部和实部是调和函数，而且实部和虚部守C-R 条件的制约，证明函数区域内解析的另一个方法为：其实部和虚部满足调和函数和C-R 条件，反过来，如果函数实部或者虚部不满足调和函数或者C-R 条件则肯定不是解析函数。 解析函数求导： f ( z) u x iv x 4、若函数f ( z)在区域 D上解析，并满足下列的条件，证明 f ( z) 必为常数。 （1）f z 0 z D 证明：因为 f ( z) 在区域上解析，所以。 令 f (z) u( x, y) iv ( x, y) ，即 u v , u v f (z) u i v 0 。 x y y x x y 由复数相等的定义得：u v u v x y 0, 0 。 y x 所以， u( x, y) C1(常数)，v( x, y) C2(常数)，即 f (z) C1 iC2为 常数。 5、证明函数在z 平面上解析，并求出其导数。 （1） e x ( xcos y y sin y) ie x ( y cos y x sin y).

证明：设 f z u x, y iv x, y = e x ( x cos y y sin y) ie x ( y cos y xsin y). 则 u , y x ( x cos y y sin y ) ， v x, y x x e e ( y cos y x sin y) u e x ( x cos y ysin y) e x cos y v e x cos y y sin ye x x cos ye x x ； y u e x ( x sin y sin y y cos y) ； v e x ( y cos y x sin y sin y) y x 满足 u v , u v 。 x y y x 即函数在 z 平面上 ( x, y) 可微且满足 C-R 条件，故函数在 z 平面上 解析。 f (z) u i v e x (x cos y y sin y cos y) ie x ( y cos y x sin y sin y) x x 8、（1）由已知条件求解析函数 f ( z) u iv u x 2 y 2 xy f (i ) 1 i 。 ， ， 解： u x 2x y, u y 2 y x 由于函数解析，根据 C-R 条件得 u x v y 2x y 于是 y 2 v 2xy (x) 2 其中 ( x) 是 x 的待定函数，再由 C —R 条件的另一个方程得 v x 2y ( x) u y 2y x ， x 2 所以 (x) x ，即 (x) c 。 2 于是 v y 2 x 2 c 2xy 2 2 又因为 f (i ) 1 i ，所以当 x 0, y 1 ，时 u 1 1 1 ， v c 1得 c 2 2

复变函数课后习题答案(全)

习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+=

（2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- =

复变函数习题答案第4章习题详解

第四章习题详解 1． 下列数列{}n a 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： 1) mi ni a n -+= 11； 2) n n i a -?? ? ? ?+=21； 3) ()11++ -=n i a n n ； 4) 2i n n e a π-=； 5) 21i n n e n a π-= 。 2． 证明：??? ????≠==>∞<=∞→1111110a a a a a a n n ,,,,lim 不存在， 3． 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性： 1) ∑∞ =1n n n i ； 2) ∑∞ =2n n n i ln ； 3) ()∑∞=+0856n n n i ； 4) ∑∞=0 2n n in cos 。 4． 下列说法是否正确？为什么？ 1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；

2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； 3) 每一个在0z 连续的函数一定可以在0z 的邻域内展开成泰勒级数。 5． 幂级数()∑∞ =-02n n n z c 能否在0=z 收敛而在3=z 发散？ 6． 求下列幂级数的收敛半径： 1) ∑∞ =1n p n n z （p 为正整数）； 2) ()∑∞=12n n n z n n !； 3) ()∑∞=+01n n n z i ； 4) ∑∞=1n n n i z e π； 5) ()∑∞=-??? ??1 1n n z n i ch ； 6) ∑∞=??? ? ?1n n in z ln 。 7． 如果 ∑∞=0n n n z c 的收敛半径为R ，证明()∑∞=0n n n z c Re 的收敛半径R ≥。[提示：()n n n n z c z c

复变函数习题答案第2章习题详解

第二章习题详解 1． 利用导数定义推出： 1) () 1 -=n n nz z ' （n 为正整数） 解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-?? ??? ?++-+ += -+= --→→ 2 2 1 12 1lim lim ' ()() 1 1 2 1 12 1----→=?? ? ?? ?++-+ = n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： () ()2 11 111 1z z z z z z z z z z z z z z z z z - =+-= +-= - += ?? ? ??→→→?????????lim lim lim ' 2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -= x x u 2=??， 0=??y u ， 0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2 1- =x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2 在直线2 1- =x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3 3 32y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则3 2x u =，3 3y v = 2 6x x u =??， 0=??y u ， 0=??x v ， 2 9y y v =??都是连续函数。 只有2 2 96y x =，即032=± y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3 3 32y i x z f +=∴在直线 032=± y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 2 2 += 解：设()iv u z f +=，则2 xy u =，y x v 2 =

复变函数论第四版第四五章练习

复变函数 第四、五章 练习 一、 掌握复级数收敛，绝对收敛的判别 1. 判断下列级数是否收敛，是否绝对收敛。 （1）2ln n n i n ∞ =∑ （2）01cos 2n n in ∞=∑ （3）0(1)2n n n n i ∞=+∑ 2.如果级数1n n c ∞=∑收敛，且存在0,,..,|arg |,2n s t c πααα><≤证明级数1n n c ∞ =∑绝对收敛. 二、充分掌握幂级数，及解析函数的泰勒展开式 3. 证明级数11n n n z z ∞ =-∑在||1z ≥上发散；在||1z <内绝对收敛且内闭一致收敛 4. 试证：黎曼函数 11(),(ln 0)z n z n n ζ∞ ==>∑，在点2z =的邻域内可展开为泰勒级数，并求收敛半径。 5.求下列幂级数的收敛半径： （1）0()n n n n a z ∞=+∑ （2）0[3(1)](1)n n n n z ∞=+--∑ （3）(1)0()(1)n n n n i z n ∞ +=-∑ 6.设0n n n a z ∞ =∑的收敛半径为R , 证明：0[Re()]n n n a z ∞=∑的收敛半径大于等于R 。 7．若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，试回答该级数在2=z 处的敛散性。 8.设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，求幂级数∑∞=0 n n n z c 的收敛半径。 9. 将函数31()z f z z -= 在点1z =-展成泰勒级数。 10.证明：若1||,2z ≤则2|ln(1)|||z z z +-≤. （这里ln(1)z +取主值支） 三、充分掌握解析函数零点阶数的求法、具有零点的解析函数的表达 式、零点的孤立性、惟一性定理、最大模原理

复变函数课后部分习题解答

（1）(3-i) 5 解：3-i=2[cos( -30°)+isin(-30°)] =2[cos30°- isin30°] (3-i)5 =25[cos(30°?5)-isin(30°?5)] =25(-3/2-i/2) =-163-16i

（2）（1+i ）6 解：令z=1+i 则x=Re （z ）=1，y=Im （z ）=1 r=z =22y x +=2 tan θ=x y =1 Θx>0,y>0 ∴θ属于第一象限角 ∴θ= 4 π ∴1+i=2（cos 4π+isin 4 π ） ∴（1+i ）6=（2）6（cos 46π+isin 4 6π ） =8（0-i ） =-8i 1.2求下式的值 (3)61-

因为 -1=（cos π+sin π） 所以 6 1-=[cos(ππk 2+/6)+sin(ππk 2+/6)] (k=0,1,2,3,4,5,6). 习题一 1.2（4）求(1-i)3 1的值。

解：(1-i)3 1 =[2(cos-4∏+isin-4 ∏ )]31 =62[cos(12)18(-k ∏)+isin(12 ) 18(-k ∏)] (k=0,1,2) 1.3求方程3z +8=0的所有根。 解：所求方程的根就是w=38- 因为-8=8（cos π+isin π） 所以38-= ρ [cos(π+2k π)/3+isin(π+2k π)/3] k=0,1,2

其中ρ=3r=38=2 即 w=2[cosπ/3+isinπ/3]=1—3i 1 w=2[cos(π+2π)/3+isin(π+2π)/3]=-2 2 w=2[cos(π+4π)/3+isin(π+4π)/3]= 1—3i 3 习题二 1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。 (1) Im(z)>0 解：设z=x+iy 因为Im(z)>0，即，y>0

复变函数与积分变换课后习题答案详解

… 复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林 （复旦大学出版社） / ——课后习题答案

习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππ2222e cos isin i i 44-??????=-+-= +-=- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+); 3 3 31313;;;.n i i z i ???? -+-- ? ? ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 3 2 2 222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ () ()()()(){ }3 3 2 3 2 1i 31i 311313313388-+??-+? ???== --?-?+?-?- ? ?????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1?? -+= ? ??? , 1i 3Im 0??-+= ? ???． ④解： ∵ () ()() ()()2 3 3 23 1313 3133i 1i 38 ??--?-?-+?-?- ?? ??-+? ? = ? ??? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1??-+= ? ?? ? , 1i 3Im 0??-+= ? ??? ． ⑤解： ∵()()1, 2i 211i, k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-???． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=． 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=?=． ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 2 22++== ()1i 11i 222i ++-??= = ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+， 则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数． 若z =x ，x ∈，则z x x ==．

复变函数试题与答案

第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π =+z arc ，6 5)2(π=-z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2123+- 3．复数)2( tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转3 π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ）

（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得22z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ）22 1=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0)Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ）

复变函数测试题及答案-精品

第一章 复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为

i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ）

复变函数D卷答案

湖南科技学院二○○ 年 学期期末考试 专业 年级 试题 考试类型：闭卷 试卷类型：D 卷 考试时量： 120 分钟 一（共7分，每小题1分) 1．nLnz Lnz n =（n 为正整数） （ ） 2．),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析，则在区域D 内),(y x u 是),(y x v 的共轭调 函数。 （ ） 3．函数在可去奇点处的留数为0。 （ ） 4．0是2sin )(z z z f = 的一阶极点。 ( ) 5．复数0的辐角主值为0。 （ ） 6．在复变函数中，0cos ,0sin ,1|cos |,1|sin |2 2 ≥≥≤≤z z z z 同样成立。 （ ） 7．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的实部),(y x u 和虚部),(y x v 都是其解析区域内的调 和函数。 （ ） 二 、填空题（共28分，每小题4分) 1． i i -1=_________. 2．? =-2 |1|2 z z dz = 。 3． dz z c ?=__________。 （其中c 是从1到的直线段） 4．幂级数n n n z n ∑ +∞ =1 的收敛半径R =

5．0为 )1()(2-=z e z z f 的 阶零点。 6．2 ||2(1)(3)z dz z z =--?=____________ 7． )1(Re z z s z +∞== 。 8.1z =+arg z =_______________。 三 、计算题（共39分) 1. 已知),(),()(y x iv y x u z f +=在z 平面上是解析函数，且2 33),(xy x y x u -=，求解)(z f ， 使得i f 2)0(=。（12分） 2. 求 ) 1(1 -z z 在10<z 内的展开式。（15分） 3. 利用留数求定积分20 1 .51sin 82 I d π θθ=-? （12分） 四、证明题（共12分） 若函数)(),(z f z f 在区域D 内都解析，证明在D 内)(z f 为常数。

复变函数题库(包含好多试卷,后面都有答案)

《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数.

第1章复变函数习题-答案~习题详解

第一章习题详解 1． 求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角： 1) i 231 + 解： ()()()13 2349232323231231i i i i i i -=+-=-+-=+ 实部：13 3 231= ??? ??+i Re 虚部：132231-=?? ? ??+i Im 共轭复数：1323231i i += ?? ? ??+ 模：131 1323231 2 22=+= +i 辐角：πππk arctg k arctg k i i Arg 232213 3132 2231231+? ?? ??-=+-=+??? ??+=??? ??+arg 2) i i i -- 131 解： ()()()2 532332113311131312i i i i i i i i i i i i i i -=-+-=++---=+-+-=-- 实部：2 3131=??? ??--i i i Re 虚部：25131-=?? ? ??--i i i Im 共轭复数：253131 i i i i +=?? ? ??-- 模：2 34 4342531312 22= =+= --i i i 辐角：πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 235223252131131+??? ??-=+???? ? ??-=+??? ??--=??? ??--arg

3) ()()i i i 25243-+ 解： ()()()2 26722672 72625243i i i i i i i --= -+= --= -+ 实部：()()2725243-=?? ? ??-+i i i Re 虚部：()()1322625243-=- =?? ? ??-+i i i Im 共轭复数：()()226725243i i i i +-= ?? ? ??-+ 模： ()() 292522627252432 2 =?? ? ??-+??? ??-=-+i i i 辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 272622722625243+??? ??=+????? ? ?--=??? ??-+ 4) i i i +-21 8 4 解：i i i i i i 3141421 8-=+-=+- 实部：( )1421 8=+-i i i Re 虚部：( )3421 8-=+-i i i Im 共轭复数：() i i i i 314218+=+- 模：103142221 8 =+=+-i i i 辐角：( )()πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 2321324421821 8 +-=+?? ? ??-=++-=+-arg 2． 当x 、y 等于什么实数时，等式 ()i i y i x +=+-++13531成立？ 解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有： ()()()i i i y i x 8235131+=++=-++ ?? ?=-=+8321y x ? ??==?111 y x 即1=x 、11=y 时，等式成立。