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【好题】高中必修二数学下期末试卷(带答案)

一、选择题

1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U I

A ．{1,1}-

B ．{0,1}

C ．{1,0,1}-

D ．{2,3,4}

2．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A ．

B ．

8π

- C ．83

D ．

7π

- 3．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1

是较小的两份之和，则最小的一份为（） A ．

B ．

103

C ．

D ．

116

4．(2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有

A ．14斛

B ．22斛

C ．36斛

D ．66斛

5．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱

111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体

积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为

A ．21+

B ．31+

C ．

223

+ D ．

+ 6．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，

1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（）

A ．1,4a +

B ．1,4a a ++

C ．1,4

D ．1,4a +

7．已知ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ?=+，若

3b =，则ABC ?的外接圆面积为（）

A ．

π B ．

C ．12π

D ．3π

8．在ABC V 中，已知,2,60a x b B ===o

，如果ABC V 有两组解，则x 的取值范围是( )

A ．4323?? ? ???，

B ．4323??

????，

C ．4323??

?????， D ．432,3??

? ??

9．函数223()2x

x x

f x e +=的大致图像是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

10．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )

A ．

π B ． C ． D ．

π 11．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（）

A ．①③

B ．②③

C ．①④

D ．②④

12．与直线40x y --=和圆2

220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()22

112x y +++= B ．()()22

114x y -++= C ．()()2

112x y -++=

D ．()()2

114x y +++=

二、填空题

13．若,2παπ??∈

???

，1sin 43πα?

?+= ???，则sin α=_________

14．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.

15．已知0,0,2a b a b >>+=，则14

y a b =

+的最小值是__________． 16．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=?，E F 、分别是边

AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==u u u v u u u v u u u v

u u u v

,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN u u u u v

的最小值是_____.

17．若x ，y 满足约束条件10,

{30,30,

x y x y x -+≥+-≥-≤则z=x?2y 的最小值为__________.

18．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．

19．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为____________．

20．函数()sin f x x ω=（0>ω）的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为

1A ，2A ，3A ，???，n A ，???，在点列{}n A 中存在三个不同的点k A 、l A 、p A ，使得

△k l p A A A 是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为n ω，则

6ω=________. 三、解答题

21．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分

组，得到的频率分布表如表所示．组号分组

频数频率

第1组 [)160,165 5 0.050

第2组 [)165,170 ① 0.350

第3组 [)170,175 30 ②

第4组 [)175,180

20 0.200 第5组

[)180,185

0.100

（1）请先求出频率分布表中,①②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率． 22．已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；

(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．

23．如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，

BC CD AD ==

（Ⅰ）求证：CD ⊥PD ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面P AB ；

（Ⅲ）在棱PD 上是否存在点M ，使CM ∥平面P AB ，若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由.

24．已知ABC ?的三个顶点坐标分别为()4,2A --，()4,2B ，()13C ，

．（1）求边AB 上的高所在直线的一般式方程；（2）求边AB 上的中线所在直线的一般式方程.

25．以原点为圆心，半径为r 的圆O 2

:()0O x y r r +=>与直线380x --=相切. （1）直线l 过点(6)-且l 截圆O 所得弦长为43l l 的方程；

（2）设圆O 与x 轴的正半轴的交点为M ，过点M 作两条斜率分别为12,k k 12,k k 的直线交圆O 于,A B 两点，且123k k ?=-，证明：直线AB 恒过一个定点，并求出该定点坐标.

26．某学校微信公众号收到非常多的精彩留言,学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”,其留言者年龄集中在[]25,85之间,根据统计结果,做出频率分布直方图如下:

(1)求这100位留言者年龄的平均数和中位数;

(2)学校从参加调查的年龄在[)35,45和[)65,75的留言者中,按照分层抽样的方法,抽出了6人参加“精彩留言”经验交流会,赠与年龄在[)35,45的留言者每人一部价值1000元的手机,年龄在[)65,75的留言者每人一套价值700元的书,现要从这6人中选出3人作为代表发言,求这3位发言者所得纪念品价值超过2300元的概率.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】

分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ?=-，结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ??=-.

本题选择C 选项.

点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.

2．B

解析：B 【解析】【分析】

由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】

由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为

21118222123233π

π-???-????=

.故选B. 【点睛】

本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.

3．A

解析：A 【解析】【分析】

设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，

5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d 关系式，即可求出结论.

【详解】

设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，依题意可得，15535()

51002

a a S a +=

==， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556

d =

， 1355522033

a a d ∴=-=-

=. 故选:A. 【点睛】

本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.

4．B

解析：B 【解析】

试题分析：设圆锥底面半径为r ，则

2384r ??=，所以163

r =，所以米堆的体积为21116

3()5433????=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式

5．C

解析：C 【解析】

分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的

，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．

详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的

，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=??=?222111

()444AC BC AB ≤+==，当且仅当

AC BC ==

时，取等号．

∴121)12S =?+++?=

故选C ．

点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．

6．A

解析：A 【解析】

试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是

121012101210

(1101010)

y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据

i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数

据1210,,,y y y L 的方差为2144?=，综上故选A. 考点：样本数据的方差和平均数．

7．D

解析：D 【解析】【分析】先化简得23

B π

，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC ?的外接圆面积.

由题得222

222a b c b a c ab

+-?=+，

所以22222a b c a ac +-=+，所以222a b c ac -+=-，所以12cos ,cosB 2

ac B ac =-∴=-, 所以23

B π=

,R R ∴= 所以ABC ?

的外接圆面积为=3ππ. 故选D 【点睛】

本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

8．A

解析：A 【解析】【分析】

已知,,a b B ，若ABC V 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围. 【详解】

由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ?<<

，解得23

x <<.故选A. 【点睛】

本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC V 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或

b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 9．B

解析：B 【解析】

由()f x 的解析式知仅有两个零点3

x =-

与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()223

x x f x e

-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 10．A

解析：A

【分析】

由题意设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出A 2M ，从而求解．【详解】

设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．

平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角，在△A 2BM 中，2225

2()2a A B a BM a a =

=+=，，

222313

(

)2a A M a a =+=，

222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=，．故选A ．【点睛】

本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．

11．C

解析：C 【解析】【分析】

用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性. 【详解】

对于①，连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP .

对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以在平面

ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.

对于③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以

AB 与平面MNP 相交.

对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .

综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④. 故选：C 【点睛】

本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.

12．C

解析：C 【解析】

圆2

220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-2，过圆心()1,1-与直线

40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直

线40x y --=322

=2，设所求圆的圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --=4

a b --=0a b +=，解得

1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去），故所求圆的方程为

()()

112x y -++=.

故选C ．

【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．

二、填空题

13．【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属

解析：

+ 【解析】【分析】

利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可. 【详解】

因为1sin 43πα??

= ??

?,,2παπ??∈ ???,故cos 43πα??+==- ??? sin sin cos cos s s in 44i 44n 44ππππππαααα?????

?+-=+-+ ? ? ??????

14sin cos 2442336ππαα????????

+-+=--=?? ? ??? ????????????

故答案为：46

+【点睛】

本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法,同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负,同时也要利用两角和的正弦公式,属于中等题型.

14．【解析】设正方体边长为则外接球直径为【考点】球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时可恢复为长方体利用长方体的体对角线为外接球的直径求出球的半径；（2）直棱解析：

π 【解析】

设正方体边长为a ，则226183a a =?= ，

外接球直径为34427923,πππ3382

R V R ====?=. 【考点】球

【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直

时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.

15．【解析】分析：利用题设中的等式把的表达式转化成展开后利用基本不等式求得y 的最小值详解：因为所以所以（当且仅当时等号成立）则的最小值是总上所述答案为点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情

解析：

【解析】分析：利用题设中的等式，把y 的表达式转化成14

()()2a b a b

++，展开后，利用基本不等式求得y 的最小值. 详解：因为2a b +=，所以

a b

+=，所以14145259

()()222222

a b b a y a b a b a b +=

+=+=++≥+=（当且仅当2b a =时等号成立），则14

y a b =

+的最小值是92，总上所述，答案为92

. 点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算.

16．【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数

【解析】【分析】

根据条件及向量数量积运算求得AB AC ?uu u r uuu r

,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出

,AM AN u u u u r u u u r .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2

MN u u u u r ,结合二次函数性质即可求得最小

值. 【详解】

根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:

在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=?

则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202

AB AC AB AC A ?=?=??=-o

u u u r u u u r u u u r u u u r

线段EF BC 、的中点分别为M N 、则

(

)()

1122

AM AE AF AB AC λμ=

+=+u u u u r u u u r u u u r u u u

r u u u r

(

)

AN AB AC =

+u u u r u u u r u u u r

由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ????=-=-+- ? ?????

u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r

所以2

211112222MN AB AC λμ??????=-+- ? ?????????

u u u u r u u u r u u u r

222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ????????=-+-+?-?-?? ? ? ? ?????????

u u u r u u u r u u u

r u u u r 22

1111111112222222222λμλμ??????????=-+-+?-?-?- ? ? ? ? ???????????

因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477

MN μμμ??=-+=-+ ???u u u u r

因为(),0,1λμ∈ 所以当17μ=

时, 2MN u u u u r 取得最小值1

因而min

177MN

=u u u u r

故答案为7 【点睛】

本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.

17．【解析】【分析】【详解】试题分析：由得记为点；由得记为点；由得记为点分别将ABC 的坐标代入得所以的最小值为【考点】简单的线性规划【名师点睛】利用线性规划求最值一般用图解法求解其步骤是：（1）在平面直

解析：5-

【解析】【分析】【详解】试题分析：由10{

30x y x y -+=+-=得12x y =??=?，记为点()1,2A ；由10{30x y x -+=-=得3

4x y =??=?，记为

点()3,4Β；由30{

30x x y -=+-=得3

x y =??=?，记为点()3,0C .分别将A ，B ，C 的坐标代入

2z x y =-，得1223Αz =-?=-，3245Βz =-?=-，3203C z =-?=，所以2z x y =-的最小值为5-．

【考点】简单的线性规划【名师点睛】

利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：（1）在平面直角坐标系内作出可行域；

（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；

（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．

18．如果l⊥αm∥α则l⊥m 或如果l⊥αl⊥m 则m∥α【解析】【分析】将所给论断分别作为条件结论加以分析【详解】将所给论断分别作为条件结论得到如下三个命题：（1）如果l⊥αm∥α则l⊥m 正确；（2）如果

解析：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m 或如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α. 【解析】【分析】

将所给论断，分别作为条件、结论加以分析. 【详解】

将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.正确；

（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α. 【点睛】

本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.

19．x －y ＋2＝0【解析】【分析】设直线l 方程为y ＝kx+b 由题意可得圆心C1和C2关于直线l 对称利用得k 由C1和C2的中点在直线l 上可得b 从而得到直线方程【详解】由题意可得圆C1圆心为（00）圆C2的

解析：x －y ＋2＝0 【解析】【分析】

设直线l 方程为y ＝kx +b ，由题意可得圆心C 1和C 2关于直线l 对称，利用121C C l k k ?=-得k,由C 1和C 2的中点在直线l 上可得b ，从而得到直线方程．【详解】

由题意可得圆C 1圆心为（0，0），圆C 2的圆心为（﹣2，2）， ∵圆C 1：x 2+y 2＝4和圆C 2：x 2+y 2+4x ﹣4y +4＝0关于直线l 对称， ∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l 对称，设直线l 方程为y ＝kx +b ， ∴

2020k ---n ＝﹣1且022+＝k ?02

-+b ，解得k ＝1，b ＝2，故直线方程为x ﹣y ＝﹣2，故答案为：x －y ＋2＝0．【点睛】

本题考查圆与圆关于直线的对称问题，可转为圆心与圆心关于直线对称，属基础题．

20．【解析】【分析】由可求得的横坐标进而得到的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以为顶点的三角形为等腰直角三角形即可由垂直关系可得平面向量数量积为零进而求得的通项公式代入即可得到结果【详解】由得：……

解析：112

【解析】【分析】由2

x k π

ωπ=+

可求得n A 的横坐标，进而得到n A 的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分

析以1A ，2n A ，41n A -为顶点的三角形为等腰直角三角形即可，由垂直关系可得平面向量数量积为零，进而求得n ω的通项公式，代入6n =即可得到结果. 【详解】

由2

x k π

ωπ=+

，k Z ∈得：()212k x πω

，k Z ∈

1,12A πω??

∴ ???

，23,12A πω??- ???，35,12A πω?? ???，47,12A πω??- ???，…… 若123A A A ?为等腰直角三角形，则212232,2,240A A A A πππ

ωωω

?????=-?=-= ? ?????u u u u r u u u u r

解得：2

ω=

，即12

ω=

同理若147A A A ?为等腰直角三角形，则1447

0A A A A ?=u u u u r u u u u u r 232

ω∴= 同理若1611A A A ?为等腰直角三角形，则16611

0A A A A ?=u u u u r u u u u u r 352

ω∴= 以此类推，可得：()212

n n πω-= 6

112

∴=

故答案为：112

【点睛】

本题考查正弦型函数图象与性质的综合应用问题，关键是能够根据正弦函数周期性的特点确定所分析成等腰直角三角形的三个顶点的位置，进而由垂直关系得到平面向量数量积为零，构造方程求得结果.

三、解答题

21．（1）①35人，②0.300，直方图见解析；（2）3人、2人、1人；（3）35

. 【解析】【分析】

（1）由频率分布直方图能求出第2组的频数，第3组的频率，从而完成频率分布直方图．（2）根据第3,4,5组的频数计算频率，利用各层的比例，能求出第3,4,5组分别抽取进入第二轮面试的人数．

（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为

1C ，利用列举法能出所有基本事件及满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求得概

率．【详解】

（1）①由题可知，第2组的频数为0.3510035?=人，

②第3组的频率为

0.300100

=，频率分布直方图如图所示，

（2）因为第3,4,5组共有60名学生，

所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第3组： 30

6360

?=人，第4组：人，

第5组：

6160

?=人，所以第3,4,5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．

（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为

1C ，

则从这六位同学中抽取两位同学有15种选法，分别为：12,A A （），13,A A （），11,A B （），12,A B （），11,A C （），23,A A （），21,A B （），22,A B （），21,A C （），31,A B （），32,A B （），31,A C （），12,B B （），11,B C （），21,B C （），

其中第4组的2位同学12,B B 中至少有一位同学入选的有9种，分别为：

11122122A B A B A B A B （，），（，），（，），（，），

31321211A B A B B B B C （，），（，），（，），（，），21B C （，），

∴第4组至少有一名学生被A 考官面试的概率为93

155

=．【点睛】

本题考查频率分直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题． 22．（1）a n ＝－2n ＋5.（2）4 【解析】

（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，由已知条件，，解出a 1＝3，d ＝－2．所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5．

（Ⅱ）S n ＝na 1＋d ＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4，所以n ＝2时，S n 取到最大值4．

23．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点. 【解析】【分析】

（Ⅰ）由题意可得CD ⊥平面P AD ，从而易得CD ⊥PD ；（Ⅱ）要证BD ⊥平面P AB ，关键是证明BD AB ⊥；

（Ⅲ）在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点. 【详解】

（Ⅰ）证明：因为P A ⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD ，所以CD ⊥P A .

因为CD ⊥AD ，PA AD A ?=，所以CD ⊥平面P AD . 因为PD ?平面P AD ，所以CD ⊥PD .

(II )因为P A ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，所以BD ⊥P A .

在直角梯形ABCD 中，1

BC CD AD ==，由题意可得2AB BD BC ==，

所以222AD AB BD =+，

所以BD AB ⊥. 因为PA AB A =I ，所以BD ⊥平面P AB .

（Ⅲ）解：在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点. 证明：取P A 的中点N ，连接MN ，BN ，

因为M 是PD 的中点，所以1

MN AD P . 因为1

BC AD P

，所以MN BC P . 所以MNBC 是平行四边形，所以CM ∥BN .

因为CM ?平面P AB , BN ?平面P AB . 所以//CM 平面P AB . 【点睛】

本题考查平面与平面垂直的判定定理,以及直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 24．(1)250x y +-=；(2)30x y -=. 【解析】

试题分析:(1)根据垂直关系得到1

AB k =

，过点()13C ，

，得到直线方程为：250x y +-=；（2）由中点坐标公式得到()00D ，又因为过点()13C ，故得到中线方程.

解析：

（1）∵()4,2A --，()4,2B ，∴1

AB k =

， ∴边AB 上的高所在直线的一般式方程为，即250x y +-=

（2）AB 的中点为D ，∵()4,2A --，()4,2B ∴()00D ，

∴边AB 的中线CD 的斜率为3k =，

∴边AB 上的中线CD 的一般式方程为30x y -=

25．（1）2x =-

或20x +-

=100x +-=；（2）(2,0). 【解析】

分析：（1）先由直线和圆相切得到圆的方程，再由垂径定理列式，分直线斜率存在与不存在两种情况得到结果；（3）联立直线和圆，由韦达定理得到交点的坐标，由这两个点写出直线方程，进而得到直线过定点. 详解：

(1)∵圆222:(0)O x y r r +=>

与直线0x y -+=

80x --=相切， ∴圆心O

到直线的距离为4d =

=，

∴圆O 的方程为：2

16x y +=

若直线l 的斜率不存在，直线l 为2x =- 1x =，此时直线l

截圆所得弦长为

若直线l 的斜率存在，设直线l

为()2y k x =+

()1y k x =-，

由题意知，圆心到直线的距离为1d =

= 2d =

，解得：12

k =-

，

高中数学必修2综合测试题

正视图侧视图俯视图 2 1 1 高中数学必修2综合测试题文科数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若直线1=x 的倾斜角为α，则=α( )． A ．0 B.3 π C ．2π D ．π 2．已知直线1l 经过两点)2,1(--、)4,1(-，直线2l 经过两点)1,2(、)6,(x ，且21//l l ，则=x （ )． A ．2 B ．－2 C ．4 D ．1 3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )． A ．π25 B ．π50 C ．π125 D ．π200 4.若方程02 2 =++++k y x y x 表示一个圆,则k 的取值范围是( ) A.21> k B.21≤k C. 2 1 0<

高中数学必修2测试题附答案

数学必修2 一、选择题 1、下列命题为真命题的是（） A. 平行于同一平面的两条直线平行； B.与某一平面成等角的两条直线平行； C. 垂直于同一平面的两条直线平行； D.垂直于同一直线的两条直线平行。 2、下列命题中错误的是：（） A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β； B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β； C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β； D. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ. 3、右图的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’ 中,异面直线AA ’与BC 所成的角是（） A. 300 B.450 C. 600 D. 900 4、右图的正方体ABCD- A ’B ’C ’D ’ 中，二面角D ’-AB-D 的大小是（） A. 300 B.450 C. 600 D. 900 5、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（） A.a=2,b=5; B.a=2,b=-5; C.a=-2，b=5 D.a=-2，b=-5 6、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（） A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0 C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=0 8、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（） A.3 a π; B. 2 a π; C.a π2; D.a π3. A B D A ’ B ’ D ’ C C ’

人教版高中数学必修二测试卷

高中数学必修二检测题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间90分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 、一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4∶9，则此棱锥的侧棱被分成上下长度两部分之比为（） A ．4∶9 B ．2∶1 C ．2∶3 D ．2∶5 2 、如果实数x ，y 满足22 (2)3x y -+=，那么y x 的最大值是（） A 、3 B 、3- C 、33 D 、33 - 3 、已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 4 、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（） A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 5 、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为（）俯视图主视图侧视图 A.24πcm 2，12πcm 3 B.15πcm 2，12πcm 3 C.24πcm 2，36πcm 3 D.以上都不正确 6 、棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．平行或相交 D ．不相交

7 、直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（） A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1) 8 、两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（） A ．4 B C D 9、直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（） (A)2 2 (B)4 (C)2 4 (D)2 10、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1B C 成60角 11 、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ?M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 12 、点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（） (A) 11<<-a (B) 10<-