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1.4.1~1.4.2全称量词与存在量词

1.4.1~1.4.2全称量词与存在量词
1.4.1~1.4.2全称量词与存在量词

1.4.1全称量词

1.4.2存在量词

学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法.

知识点一全称量词、全称命题

思考观察下面的两个语句,思考下列问题:

P:m≤5;

Q:对所有的m∈R,m≤5.

(1) 上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系?

(2)常见的全称量词有哪些?(至少写出五个).

答案(1)语句P无法判断真假,不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分.

(2)常见的全称量词有:“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等. 梳理(1)概念

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“?”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题.

(2)表示

将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值范围用M表示.那么,全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.

(3)全称命题的真假判定

要判定全称命题是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立,但要判定全称命题

是假命题,只需举出一个x0∈M,使得p(x0)不成立即可.

知识点二存在量词、特称命题

思考观察下面的两个语句,思考下列问题:

P:m>5;

Q:存在一个m0∈Z,m0>5.

(1)上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系?

(2)常见的存在量词有哪些?(至少写出五个)

答案(1)语句P无法判断真假,不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分.

(2)常见的存在量词有:“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.

梳理(1)概念

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“?”表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题.

(2)表示

特称命题“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”可用符号简记为?x0∈M,p(x0),读作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”.

(3)特称命题真假判定

要判定一个特称命题是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可,否则这一特称命题就是假命题.

类型一全称命题与特称命题的判断

命题角度1全称命题与特称命题的不同表述

例1设p(x):2x是偶数,试用不同的表述方式写出下列命题:

(1)全称命题:?x∈N,p(x);

(2)特称命题:?x0∈N,p(x0).

解(1)全称命题:

①对所有的自然数x,2x是偶数;

②对一切的自然数x,2x是偶数;

③对每一个自然数x,2x是偶数;

④任选一个自然数x,2x是偶数;

⑤凡自然数x,都有2x是偶数.

(2)特称命题:

①存在一个自然数x 0,使得2x 0是偶数; ②至少有一个自然数x 0,使得2x 0是偶数; ③对有些自然数x 0,使得2x 0是偶数; ④对某个自然数x 0,使得2x 0是偶数; ⑤有一个自然数x 0,使得2x 0是偶数.

反思与感悟 全称命题或特称命题的表述形式虽然很多,但是具体到一个问题时最为恰当的却只有一个,解题时注意理解.

跟踪训练1 “有些整数是自然数”这一命题为________命题.(填“全称”或“特称”) 答案 特称

解析 依据特称命题的构成易得. 命题角度2 全称命题与特称命题的识别 例2 判断下列命题是全称命题,还是特称命题: (1)凸多边形的外角和等于360°; (2)有的向量方向不定;

(3)对任意角α,都有sin 2α+cos 2α=1.

解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”,故为全称命题. (2)含有存在量词“有的”,故是特称命题. (3)含有全称量词“任意”,故是全称命题.

反思与感悟 判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词.由于某些全称命题的量词可能省略,所以要根据命题表达的意义判断,同时要会用相应的量词符号正确表达命题. 跟踪训练2 判断下列命题是全称命题还是特称命题,并用符号“?”或“?”表示下列命题.

(1)自然数的平方大于或等于零;

(2)圆x 2+y 2=1上存在一个点到直线y =x +1的距离等于圆的半径; (3)有的函数既是奇函数又是增函数;

(4)对于数列?

???

??

n n +1,总存在正整数n 0,使得0n a 与1之差的绝对值小于0.01.

解 (1)是全称命题,表示为?x ∈N ,x 2≥0.

(2)是特称命题,表示为?(x 0,y 0)∈{(x ,y )|x 2+y 2=1},满足|x 0-y 0+1|

2=1.

(3)是特称命题,?f (x )∈{函数},f (x )既是奇函数又是增函数. (4)是特称命题,?n 0∈N *,|0n a -1|<0.01,其中0n a =n 0

n 0+1.

类型二 全称命题与特称命题的真假的判断 例3 判断下列命题的真假.

(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x ,y )都对应一点P ; (2)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数; (3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示; (4)存在一个实数x 0,使得等式x 20+x 0+8=0成立; (5)?x ∈R ,x 2-3x +2=0; (6)?x 0∈R ,x 20-3x 0+2=0. 解 (1)真命题.

(2)真命题,如函数f (x )=0,既是偶函数又是奇函数.

(3)假命题,如边长为1的正方形,其对角线的长度为2,2就不能用正有理数表示. (4)假命题,方程x 2+x +8=0的判别式Δ=-31<0,故方程无实数解. (5)假命题,只有x =2或x =1时,等式x 2-3x +2=0才成立.

(6)真命题,x 0=2或x 0=1,都能使等式x 20-3x 0+2=0成立.

反思与感悟 要判定全称命题“?x ∈M ,p (x )”是真命题,需要对集合M 中每个元素x ,证明p (x )都成立;如果在集合M 中找到一个元素x 0,使得p (x 0)不成立,那么这个全称命题就是假命题.

要判定特称命题“?x 0∈M ,p (x 0)”是真命题,只需在集合M 中找到一个元素x 0,使p (x 0)成立即可;如果在集合M 中,使p (x )成立的元素x 不存在,那么这个特称命题就是假命题. 跟踪训练3 判断下列命题的真假: (1)有一些奇函数的图象过原点; (2)?x 0∈R ,2x 20+x 0+1<0; (3)?x ∈R ,sin x +cos x ≤ 2.

解 (1)该命题中含有“有一些”,是特称命题.如y =x 是奇函数,其图象过原点,故该命题是真命题.

(2)该命题是特称命题.

∵2x 20+x 0+1=2(x 0+14)2+78≥78>0, ∴不存在x 0∈R ,使2x 20+x 0+1<0. 故该命题是假命题. (3)该命题是全称命题.

∵sin x +cos x =2sin(x +π

4

)≤2恒成立,

∴对任意实数x ,sin x +cos x ≤2都成立,故该命题是真命题. 类型三 利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围 例4 已知下列命题p (x )为真命题,求x 的取值范围. (1)命题p (x ):x +1>x ;

(2)命题p (x ):x 2-5x +6>0; (3)命题p (x ):sin x >cos x .

解 (1)∵x +1>x ,∴1>0(此式恒成立),∴x ∈R . (2)∵x 2-5x +6>0,∴(x -2)(x -3)>0, ∴x >3或x <2.

(3)∵sin x >cos x ,∴2k π+π4

4

(k ∈Z ).

反思与感悟 已知含量词的命题真假求参数的取值范围,实质上是对命题意义的考查.解决此类问题,一定要辨清参数,恰当选取主元,合理确定解题思路.

解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识,利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围,解题过程中要注意变量取值范围的限制.

跟踪训练4 若方程x 2+ax +1=0,x 2+2ax +2=0,x 2-ax +4=0中至少有一个方程有实根,求a 的取值范围.

解 由方程x 2+ax +1=0无实根,可知a 2-4<0,即a 2<4,即-2

∴当a ≤-2或a ≥2时,三个方程中至少有一个方程有实根. 故a 的取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞).

1.下列命题中,不是全称命题的是( ) A.任何一个实数乘以0都等于0 B.自然数都是正整数 C.每一个向量都有大小

D.一定存在没有最大值的二次函数 答案 D

解析 D 选项是特称命题.

2.命题p :?x ∈N ,x 3

答案 A

解析 ∵x 3

故选A.

3.已知函数f(x)=|2x-1|,若命题“存在x1,x2∈[a,b]且x1f(x2)”为真命题,则下列结论一定成立的是()

A.a≥0

B.a<0

C.b≤0

D.b>1

答案 B

解析函数f(x)=|2x-1|的图象如图所示:

由图可知f(x)在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数,∴要满足存在x1,x2∈[a,

b]且x1f(x2)为真命题,则必有a<0,故选B.

4.特称命题“?x0∈R,|x0|+2≤0”是________命题.(填“真”或“假”)

答案假

解析不存在任何实数,使得|x|+2≤0,所以是假命题.

5.若命题“?x0∈R,x20+mx0+2m-3<0”为假命题,则实数m的取值范围是________.

答案[2,6]

解析由已知得“?x∈R,x2+mx+2m-3≥0”为真命题,则Δ=m2-4×1×(2m-3)=m2-8m+12≤0,解得2≤m≤6,即实数m的取值范围是[2,6].

1.判断全称命题的关键:一是先判断是不是命题;二是看是否含有全称量词.

2判定全称命题的真假的方法.定义法:对给定的集合的每一个元素x,p(x)都为真;代入法:在给定的集合内找出一个x0,使p(x0)为假,则全称命题为假.

3.判定特称命题真假的方法:代入法,在给定的集合中找到一个元素x0,使命题p(x0)为真,否则命题为假.

40分钟课时作业

一、选择题

1.下列命题中为真命题的是()

A.?x0∈R,x20+1<0

B.?x0∈Z,3x0+1是整数

C.?x∈R,|x|>3

D.?x∈Q,x2∈Z

答案 B

2.已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列

命题为真命题的是( )

A.p ∧q

B.(綈p )∧(綈q )

C.(綈p )∧q

D.p ∧(綈q ) 答案 D

解析 p 为真命题,q 为假命题,故綈p 为假命题,綈q 为真命题.从而p ∧q 为假,(綈p )∧(綈

q )为假,(綈p )∧q 为假,p ∧(綈q )为真,故选D.

3.已知命题“?x 0∈R ,使2x 20+(a -1)x 0

+12≤0”是假命题,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,-1) B.(-1,3) C.(-3,+∞) D.(-3,1)

答案 B

解析 原命题的否定为?x ∈R ,2x 2+(a -1)x +1

2

>0,

由题意知,原命题的否定为真命题,则Δ=(a -1)2-4×2×1

2<0,则-2

故选B.

4.已知命题“?x 0∈R ,x 20+ax 0-4a <0”为假命题,则实数a 的取值范围为( ) A.[-16,0]B.(-16,0)C.[-4,0]D.(-4,0) 答案 A

解析 由题意可知“?x ∈R ,x 2+ax -4a ≥0”为真命题, ∴Δ=a 2+16a ≤0,解得-16≤a ≤0,故选A. 5.下列四个命题:

①没有一个无理数不是实数;②空集是任何一个非空集合的真子集;③1+1<2;④至少存在一个整数x ,使得x 2-x +1是整数. 其中是真命题的为( )

A.①②③④

B.①②③

C.①②④

D.②③④ 答案 C

解析 ①所有无理数都是实数,为真命题; ②显然为真命题; ③显然不成立,为假命题;

④取x =1,能使x 2-x +1=1是整数,为真命题. 6.已知命题p :?x 0∈R ,2

x >3

x ;命题q :?x ∈(0,π

2

),tan x >sin x ,则下列是真命题的是( )

A.(綈p )∧q

B.(綈p )∨(綈q )

C.p ∧(綈q )

D.p ∨(綈q ) 答案 D

解析 当x =-1时,2-1>3-

1,所以p 为真命题;当x ∈(0,π2)时,tan x -sin x =sin x (1-cos x )cos x >0,

所以q 为真命题,所以p ∨(綈q )是真命题,故选D. 二、填空题

7.已知命题p :?x ∈R ,x 2+2x -a >0.若p 为真命题,则实数a 的取值范围是_______. 答案 (-∞,-1)

解析 由题意得Δ=4+4a <0,解得a <-1. 8.下列命题:

①偶数都可以被2整除;②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等;③正四棱锥的侧棱长相等;④有的实数是无限不循环小数;⑤有的菱形是正方形;⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是______,既是特称命题又是真命题的是______.(填上所有满足要求的序号) 答案 ①②③ ④⑤

解析 ①是全称命题,是真命题; ②是全称命题,是真命题;

③是全称命题,即任意正四棱锥的侧棱长相等,是真命题; ④含存在量词“有的”,是特称命题,是真命题; ⑤是特称命题,是真命题;

⑥是特称命题,是假命题,因为任意三角形内角和为180°. 9.用符号“?”或“?”表示含有量词的命题. (1)实数的平方大于等于0,符号表示为____________.

(2)存在一对实数x 0,y 0,使2x 0+3y 0+3>0成立,符号表示为____________________. 答案 (1)?x ∈R ,有x 2≥0

(2)?x 0,y 0∈R ,使2x 0+3y 0+3>0成立 解析 由题意,可表示为(1)?x ∈R ,有x 2≥0. (2)?x 0,y 0∈R ,使2x 0+3y 0+3>0成立.

10.已知命题p :“?x ∈[0,1],a ≥e x ”,命题q :“?x 0∈R ,x 20+4x 0+a =0”,若命题“p ∧q ”是真命题,则实数a 的取值范围是________. 答案 [e ,4]

解析 由命题“p ∧q ”是真命题,得命题p ,q 都是真命题.因为x ∈[0,1],所以e x ∈[1,e ],

所以a≥e;?x0∈R,x20+4x0+a=0,即方程x2+4x+a=0有实数根,所以Δ=42-4a≥0,解得a≤4,取交集得a∈[e,4].

三、解答题

11.判断下列命题是否为全称命题或特称命题,若是,用符号表示,并判断其真假.

(1)存在一条直线,其斜率不存在;

(2)对所有的实数a,b,方程ax+b=0都有惟一解;

(3)存在实数x0,使得1

x20-x0+1

=2.

解(1)是特称命题,用符号表示为“?直线l,l的斜率不存在”,是真命题.

(2)是全称命题,用符号表示为“?a,b∈R,方程ax+b=0都有惟一解”,是假命题.

(3)是特称命题,用符号表示为“?x0∈R,1

x20-x0+1

=2”,是假命题.

12.已知命题p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“?x0∈R,x20+2ax0+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,求实数a的取值范围.

解由“p且q”是真命题,知p为真命题,q也为真命题.

若p为真命题,则a≤x2对于x∈[1,2]恒成立,

所以a≤1.

若q为真命题,则关于x的方程x2+2ax+2-a=0有实根,

所以Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≥1或a≤-2.

综上,实数a的取值范围为a≤-2或a=1.

13.若?x∈R,函数f(x)=mx2+x-m-a的图象和x轴恒有公共点,求实数a的取值范围.

解①当m=0时,f(x)=x-a与x轴恒有公共点,

所以a∈R.

②当m≠0时,二次函数f(x)=mx2+x-m-a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ=1+4m(m+a)≥0恒成立,即4m2+4am+1≥0恒成立.

又4m2+4am+1≥0是一个关于m的二次不等式,恒成立的充要条件是Δ1=(4a)2-16≤0,解得-1≤a≤1.

综上所述,当m=0时,a∈R;

当m≠0时,a∈[-1,1].

高中数学选修2-1 1.4全称量词与存在量词

组长评价: 教师评价: §1.4全称量词与存在量词 编者:史亚军 学习目标 1. 认识常见的全称量词和存在量词;并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性;掌握含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律. 2. 使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力. 3. 激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养积极进取的精神. 重点:理解全称量词与存在量词的意义. 难点:全称命题和特称命题真假的判定和含一个量词的否定. 学习过程 使用说明: (1)预习教材P 2 ~ P 8,用红色笔画出疑惑之处,并尝试完成下列问题,总结规律方法; (2)用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容; (3)不做标记的为C 级,标记★为B 级,标记★★为A 级。 预习案(20分钟) 一.知识链接 下列语句是命题吗?假如是命题你能判断它的真假吗? (1)是整数; (2); (3)如果两个三角形全等,那么它们的对应边相等; (4)平行于同一条直线的两条直线互相平行; (5)任丘一中今年所有高中一年级的学生数学课本都是人民教育出版社A 版的教科书; (6)所有有中国国籍的人都是黄种人; (7)对所有的; (8)对任意一个是整数。 二.新知导学 问题1:什么是全称量词?什么是存在量词?它们如何表示? 问题2:我们如何对含有全称量词和存在量词的命题进行否定呢?它们的否定形式有何规律? 问题3:请把下列日常用语,哪些表示全称量词,哪些表示存在量词? “凡”、“所有”、“有一个”、“一切”、 “ 至多有一个”、“任意一个”、“存在一个”、“有些”、“至少有一个”。 其中: 全称量词的有: 存在量词的有: 问题4:辨别下列命题格式?并给出相应的否定形式? (1) (2) 探究案(30分钟) 三.新知探究 【知识点一】含有全称量词和存在量词的命题结构与否定 例1:用符号“”与“”表示下列含有量词的命题?并给出相应的否定形式?

全称量词与存在量词

1.4.1全称量词与存在量词 教学目标: 1.了解量词在日常生活中和数学命题中的作用, 2.正确区分全称量词和存在量词的概念, 3.能准确使用和理解两类量词。 教学重点: 理解全称量词、存在量词的概念区别; 教学难点: 正确使用全称命题、特称命题; 课型: 新授课 教学手段: 多媒体 教学过程: 一、创设情境 在前面的学习过程中,我们曾经遇到过一类重要的问题:给含有"至多、至少、有一个┅┅"等量词的命题进行否定,确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助,今天我们将专门学习和讨论这类问题,-----------------全称量词与存在量词 二、活动尝试 问题1:下列命题中含有哪些量词? (1)对所有的实数x,都有x2≥0;

(2)存在实数x,满足x2≥0; (3)至少有一个实数x,使得x2-2=0成立; (4)存在有理数x,使得x2-2=0成立; (5)对于任何自然数n,有一个自然数s 使得 s = n × n; (6)有一个自然数s 使得对于所有自然数n,有 s = n × n; 上述命题中含有:"所有的"、"存在"、"至少"、"任何"等表示全体和部分的量词。 三、师生探究 1、全称量词和存在量词 上述量词被分为两类:一类是全称量词,另一类是存在量词。全称量词:如"所有"、"任何"、"一切"等。 存在量词:如"有"、"有的"、"有些"等。 2、全称命题和特称命题 (1)全称命题:含有全称量词的命题。“对 x∈M,有p(x)成立”简记成“ x∈ M,p(x)”。 (2)特称命题:含有存在量词的命题。“ x0∈M,有p(x0)成立” 简记成“x0∈M, p(x0)”。 问题2:判断下列命题是全称命题,还是特称命题? (1)方程2x=5只有一解; (2)凡是质数都是奇数; (3)方程2x2+1=0有实数根; (4)没有一个无理数不是实数;

高中数学 第一章《全称量词与存在量词》教案 新人教A版选修2-1

1.4全称量词与存在量词 1.4.1全称量词1.4.2存在量词 (一)教学目标 1.知识与技能目标 (1)通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词. (2)了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题 及 判断其命题的真假性. 2.过程与方法目标使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力. 3.情感态度价值观 通过学生的举例,培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质,在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育. (二)教学重点与难点 重点:理解全称量词与存在量词的意义难点: 全称命题和特称命题真假的判定. 教具准备:与教材内容相关的资料。 教学设想:激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度,培养积极进取的精神. (三)教学过程 学生探究过程:1.思考、分析 下列语句是命题吗?假如是命题你能判断它的真假吗? (1)2x+1是整数; (2) x>3; (3) 如果两个三角形全等,那么它们的对应边相等; (4)平行于同一条直线的两条直线互相平行; (5)海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书; (6)所有有中国国籍的人都是黄种人; (7)对所有的x∈R, x>3; (8)对任意一个x∈Z,2x+1是整数。 1.推理、判断 (让学生自己表述) (1)、(2)不能判断真假,不是命题。 (3)、(4)是命题且是真命题。 (5)-(8)如果是假,我们只要举出一个反例就行。 注:对于(5)-(8)最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。 (5)的真假就看命题:海师附中今年存在个别(部分)高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书;这个命题的真假,该命题为真,所以命题(5)为假; 命题(6)是假命题.事实上,存在一个(个别、部分)有中国国籍的人不是黄种人.

高中数学全称量词与存在量词-量词

全称量词与存在量词-量词 教学目标:了解量词在日常生活中和数学命题中的作用,正确区分全称量词和存在量词的概念,并能准确使用和理解两类量词。 教学重点:理解全称量词、存在量词的概念区别; 教学难点:正确使用全称命题、存在性命题; 课型:新授课 教学手段:多媒体 教学过程: 一、创设情境 在前面的学习过程中,我们曾经遇到过一类重要的问题:给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定,确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助,今天我们将专门学习和讨论这类问题,以解心中的郁结。 问题1:请你给下列划横线的地方填上适当的词 ①一纸;②一牛;③一狗;④一马;⑤一人家;⑥一小船 ①张②头③条④匹⑤户⑥叶 什么是量词?这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。汉语的物量词纷繁复杂,又有兼表形象特征的作用,选用时主要应该讲求形象性,同时要遵从习惯性,并注意灵活性。不遵守量词使用的这些原则,就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。 二、活动尝试 所有已知人类语言都使用量化,即使是那些没有完整的数字系统的语言,量词是人们相互交往的重要词语。我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题,而是更多的给予它数学的意境。 问题2:下列命题中含有哪些量词? (1)对所有的实数x,都有x2≥0; (2)存在实数x,满足x2≥0; (3)至少有一个实数x,使得x2-2=0成立; (4)存在有理数x,使得x2-2=0成立; (5)对于任何自然数n,有一个自然数s 使得s = n × n; (6)有一个自然数s 使得对于所有自然数n,有s = n × n; 上述命题中含有:“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。 三、师生探究 命题中除了主词、谓词、联词以外,还有量词。命题的量词,表示的是主词数量的概念。在谓词逻辑中,量词被分为两类:一类是全称量词,另一类是存在量词。 全称量词:如“所有”、“任何”、“一切”等。其表达的逻辑为:“对宇宙间的所有事物x来说,x都是F。”例句:“所有的鱼都会游泳。” 存在量词:如“有”、“有的”、“有些”等。其表达的逻辑为:“宇宙间至少有一个事物x,x是F。”例句:“有的工程师是工人出身。” 含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。 单称命题:其公式为“(这个)S是P”。例句:“这件事是我经办的。”单称命题表示个体,一般不需要量词标志,有时会用“这个”“某个”等。在三段论中是作为全称命题来处理的。全称命题:其公式为“所有S是P”。例句:“所有产品都是一等品”。全称命题,可以用全称量词,也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达,甚至有时可以没有任何的量词标志,如“人类是有智慧的。”

全称量词与存在量词(有答案)

姓 名 年级 性 别 学 校 学 科 教师 上课日期 上课时间 课题 9.1 全称量词与存在量词 知识点一、全称量词与全称命题 1.短语“所有的”,“任意一个”在逻辑中通常叫做______________,并用符号“_______”表示. 2.含有_____________的命题叫做全称命题,用符号表示为:“对M 中任意一个x ,有p (x )成立”,记为________________. 知识点二、存在量词与特称命题 1.短语“存在一个”,“至少有一个”在逻辑中叫做____________,用符号“_______”表示. 2.含有_______________的命题,叫做特称命题,用符号表示:“存在M 中的元素x 0,使p (x 0)成立,记为:________________”. 知识点三、含有一个量词的命题的否定 类型一 全称命题和特称命题的概念及真假判断 例1 、指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断它们的真假. (1)?x ∈N,2x +1是奇数;(2)存在一个x 0∈R ,使1 x 0-1 =0; (3)对任意向量a ,|a|>0;(4)有一个角α,使sin α>1. 【自主解答】 (1)是全称命题,因为?x ∈N,2x +1都是奇数,所以该命题是真命题. (2)是特称命题.因为不存在x 0∈R ,使1 x 0-1=0成立,所以该命题是假命题. (3)是全称命题.因为|0|=0,∴|a |>0不都成立,因此,该命题是假命题. (4)是特称命题,因为?α∈R ,sin α∈[-1,1],所以该命题是假命题. 变式:判断下列命题的真假: (1)?x ∈R ,x 2+2x +1>0;(2)?x ∈(0,π 2 ),cos x <1; (3)?x 0∈Z ,使3x 0+4=0;(4)至少有一组正整数a ,b ,c 满足a 2+b 2+c 2≤3. 【解】 (1)∵当x =-1时,x 2+2x +1=0,∴原命题是假命题. (2)由y =cos x 在(0,π2)的单调性.∴?x ∈(0,π 2),cos x <1为真命题. (3)由于3x +4=5成立时,x =1 3 ?Z ,因而不存在x ∈Z ,使3x +4=5. 所以特称命题“?x 0∈Z ,使3x 0+4=5”是假命题. (4)由于取a =1,b =1,c =1时,a 2+b 2+c 2≤3是成立的,所以特称命题“至少有一组正整数a ,b ,c 满足a 2+b 2+c 2≤3”是真命题. 类型二 含有一个量词的命题的否定 例2、写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)p :不论m 取何实数,方程x 2+x -m =0必有实数根;(2)q: 存在一个实数x 0使得x 20+x 0+1≤0;

高中数学全称量词与存在量词教案1 新人教A版选修2-1

1.4全称量词与存在量词 (一)教学目标 1.知识与技能目标 (1)通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词. (2)了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性. 2.过程与方法目标 使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力. 3.情感态度价值观 通过学生的举例,培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质,在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育. (二)教学重点与难点 重点:理解全称量词与存在量词的意义 难点: 全称命题和特称命题真假的判定. (三)教学过程 1.思考、分析 下列语句是命题吗?假如是命题你能判断它的真假吗? (1)2x+1是整数; (2) x>3; (3) 如果两个三角形全等,那么它们的对应边相等; (4)平行于同一条直线的两条直线互相平行; (5)海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书; (6)所有有中国国籍的人都是黄种人; (7)对所有的x∈R, x>3; (8)对任意一个x∈Z,2x+1是整数。 1.推理、判断 (让学生自己表述) (1)、(2)不能判断真假,不是命题。 (3)、(4)是命题且是真命题。 (5)-(8)如果是假,我们只要举出一个反例就行。 注:对于(5)-(8)最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。 (5)的真假就看命题:海师附中今年存在个别(部分)高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书;这个命题的真假,该命题为真,所以命题(5)为假; 命题(6)是假命题.事实上,存在一个(个别、部分)有中国国籍的人不是黄种人.命题(7)是假命题.事实上,存在一个(个别、某些)实数(如x=2), x<3.(至少有一个x∈R, x≤3) 命题(8)是真命题。事实上不存在某个x∈Z,使2x+1不是整数。也可以说命题:存在某个x∈Z使2x+1不是整数,是假命题. 3.发现、归纳 命题(5)-(8)跟命题(3)、(4)有些不同,它们用到“所有的”“任意一个”这

《全称量词与存在量词》教案全面版

《全称量词与存在量词》教案 1.4.1全称量词1.4.2存在量词 (一)教学目标 1.知识与技能目标 (1)通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词. (2)了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性. 2.过程与方法目标使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力. 3.情感态度价值观 通过学生的举例,培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质,在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育. (二)教学重点与难点 重点:理解全称量词与存在量词的意义难点: 全称命题和特称命题真假的判定. 教具准备:与教材内容相关的资料。 教学设想:激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度,培养积极进取的精神. (三)教学过程 学生探究过程:1.思考、分析 下列语句是命题吗?假如是命题你能判断它的真假吗? (1)2x+1是整数; (2) x>3; (3) 如果两个三角形全等,那么它们的对应边相等; (4)平行于同一条直线的两条直线互相平行; (5)海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书; (6)所有有中国国籍的人都是黄种人; (7)对所有的x∈R, x>3; (8)对任意一个x∈Z,2x+1是整数。 1.推理、判断 (让学生自己表述) (1)、(2)不能判断真假,不是命题。 (3)、(4)是命题且是真命题。 (5)-(8)如果是假,我们只要举出一个反例就行。 注:对于(5)-(8)最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。 (5)的真假就看命题:海师附中今年存在个别(部分)高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书;这个命题的真假,该命题为真,所以命题(5)为假; 命题(6)是假命题.事实上,存在一个(个别、部分)有中国国籍的人不是黄种人.命题(7)是假命题.事实上,存在一个(个别、某些)实数(如x=2), x<3. (至少有一个x∈R, x≤3) 命题(8)是真命题。事实上不存在某个x∈Z,使2x+1不是整数。也可以说命题:存在某个x∈Z使2x+1不是整数,是假命题.

全称量词与存在量词练习题

全称量词与存在量词练习题 一、选择题 1.下列全称命题中真命题的个数是() ①末位是0的整数,可以被2整除; ②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; ③正四面体中两侧面的夹角相等; A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列存在性命题中假命题的个数是() ①有的实数是无限不循环小数; ②有些三角形不是等腰三角形; ③有的菱形是正方形; A.0 B.1 C.2 D.3 3.下列命题为存在性命题的是() A.偶函数的图象关于y轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线是平行直线 D.有很多实数不小于3 4.命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为() A. 所有自然数的平方都不是正数 B. 有的自然数的平方是正数 C. 至少有一个自然数的平方是正数 D. 至少有一个自然数的平方不是正数 5.命题“存在一个三角形,内角和不等于1800”的否定为() A.存在一个三角形,内角和等于1800 B.所有三角形,内角和都等于1800 C.所有三角形,内角和都不等于1800 D.很多三角形,内角和不等于1800 6. 命题p:存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根,则“非p”形式的命题是()A.存在实数m,使得方程x2+mx+1=0无实根; B.不存在实数m,使得方程x2+mx+1=0有实根; C.对任意的实数m,使得方程x2+mx+1=0有实根; D.至多有一个实数m,使得方程x2+mx+1=0有实根;

二、填空题 7.命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是___________________ ; 8.命题“?x∈R,x2-x+3>0”的否定是______________;\ 9.“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是;否命题是; 三、解答题 10.用符号“?”与“?”表示含有量词的命题 (1)实数的平方大于等于0 (2)存在一对实数,使2x+3y+3>0成立 11.写出下列命题的否定: (1)存在实数x是方程5x-12=0的根; (2)对于任意实数x,存在实数y,使x+y>0; 12. 用全称量词和存在量词符号“?”、“?”翻译下列命题,并写出它们的否定: (1)若2x>4,则x>2; (2)若m≥0,则x2+x-m=0有实数根;

《全称量词与存在量词》教学设计

课题:全称量词与存在量词(授课人:) 一、教学目标 1、知识与技能通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词和存在量词的意义;掌握全称 命题和特称命题的概念及判断它们真假的一般方法. 2、过程与方法培养学生分析问题,总结问题的能力. 3、情感、态度、价值观在数学中运用好有关的量词进而用符号熟练表达数学思想. 二、教学重点、难点 1、重点通过生活和数学中的丰富实例,理解全称命题和特称命题的概念及判断它们真假的 一般方法. 2、难点全称命题和特称命题的真假判定。 三、教学过程 一)新课学习 (一)、全称量词 由课本21页思考(幻灯片上思考1)引出问题,即由: (1)x>3; (2)2x+1是整数. (3)对于所有的x∈R,x>3; (4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数. 由上面例子引出: 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词(universal quantifier),并用符号 “?”表示,含有全称量词的命题,叫做全称命题. 注:1、常见的全称量有:“一切”,“每一个”, “任给”,“所有的”等; 2、组织列举其他数学例子,加深对全称量词的理解 总结全称命题的符号语言: 通常,将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值范围用M来表示.那么,全程命题“对于M中任意一个x,有p(x)成立”可以用符号简记为 ), x(p, M x∈ ?读作“对任意x属于M,有p(x)成立”. 例1:判断下列全称命题的真假: (1)所有的素数是奇数 (2) 2 ,11; x R x ?∈+≥ 例后小结:1、引导学生体会符号语言表达数学内容的准确性、简洁性,从而提倡学生在今后的数学学习中,自觉地运用符号语言表达一些数学内容 2、判断全称命题真假的一般方法:举反例法. 例后练习:课本23页1题。 (二)、存在量词 由课本22页思考(幻灯片上思考2)引出问题,即由: (1)2x+1=3 (2) x能被2和3整除;

全称量词与存在量词(学生版)

课题:全称量词与存在量词 前置学案: 问题1:在日常生活和学习中,我们经常遇到这样的命题: (1)所有中国公民的合法权益都受到中华人民共和国宪法的保护; (2)对任意实数x,都有x2≥0; (3)存在有理数x,使220 x-=. 上述命题有何不同? 问题2: (1)所有的人都喝水; (2)存在有理数x,使220 x-=; (3)对所有的实数a,都有||0 a≥. 尝试对上述命题进行否定,你发现有什么规律? 一、数学建构(知识梳理) 1.全称量词与全称命题: (1)全称量词: 用符号“?x”表示“对任意x”. (2)全称命题:. 一般形式:. 2.存在量词和存在性命题: (1)存在量词:. 用符号“x?”表示“存在x”. (2)存在性命题:. 一般形式:. 3.全称命题的否定:一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,全称命题p:?x∈M,p(x)它的否定?p:. 4.存在性命题的否定:一般地,对于含有一个量词的存在性命题的否定,存在性命题p:?x ∈M,p(x)它的否定┐p:.

二、例题选讲 例1.判断下列命题的真假: (1)?x ∈R ,x 2>x ; (2)?x ∈R ,x 2>x ; (3)?x ∈Q ,x 2-8=0; (4)?x ∈R ,x 2+2>0. 例2.写出下列命题的否定: (1)所有人都晨练; (2)01,2 >++∈?x x R x ; (3)平行四边形的对边相等; (4)01,2 =+-∈?x x R x 例3.(1)已知命题“()01,,02 >+-+∞∈?ax x x ”为真命题, 则实数a 的取值范围 . (2)已知命题“()01,,02 <+-+∞∈?ax x x ”为真命题, 则实数a 的取值范围 . (二)变式训练 变式 (1)已知命题“01,2 >+-∈?ax ax R x ” 为假命题,则实数a 的取值范围是_______ . (2)命题“?x ∈R ,2x 2-3ax +9<0”为假命题,则实数a 的取值范围为 . (三)小结提炼 四、课堂总结

全称量词与存在量词附答案

1.4 全称量词与存在量词(1) 第1课时:全称量词与存在量词 情景设计: 已知2 ():20p x x x +-=,():sin cos q x x x >, (1)语句()p x ,()q x 是命题吗?为什么? (2)如果在语句()p x 或()q x 前面加上“对所有x R ∈”或“存在一个x R ∈”,它们是命 题吗?为什么? 点拔提示:(1)在x 未赋值之前,语句()p x ,()q x 不能判断其真假,所以它们不是命题; (2)在语句()p x 或()q x 前面加上“对所有x R ∈”或“存在一个x R ∈”后,()p x ,()q x 的真假就能确定,所以它们是命题. 阅读与积累: 1.短语“__________”、“____________” 逻辑中称为全称量词,并用符号“_____” 表示。 对所有的 对任意一个 ? 2.短语“__________”、“____________” 逻辑中称为存在量词,并用符号“_____” 表示。 存在一个 至少有一个 ? 3.含有全称量词的命题称为____________;含有存在量词的命题称为___________. 全称命题 特称命题 4.全称命题形式:_____________;特称命题形式:____________ 。 其中M 为给定的集合, p (x )是一个关于x 的命题。 ,()x M p x ?∈ ,()x M p x ?∈ 问题与思考: 题1:判断下列命题是全称命题还是特称命题. (1)对任意的n ∈Z, 2n +1 是奇数 (2)所有的正方形都是矩形 (3)有的平行四边形是菱形 (4)有一个素数不是奇数 答案:(1)(2)都是全称命题 ;(3)(4)都是特称命题 题2: 判断下列命题的真假吗? (1)4 ,1x N x ?∈≥有 (2)2 ,10x R x x ?∈-+>有 (3)1,2=+∈?x x R x 使 (4)5,2 =∈?x Z x 使 答案:(1) 假命题 (2)真命题 (3) 真命题 (4) 假命题 [合作学习与问题探究] [难点·疑点·方法] 问题1: 你能用符号“?”与“?”表达下列命题吗? ①自然数的平方大于或等于零_______________________________________ ②圆2 2 1x y +=上存在一个点到直线1y x =+的距离等于圆的半径____________________________________________________________________ ③基本不等式:________________________________________________ ④对于数列1n n ?? ? ?+?? ,总存在正整数n ,使得n a 与1之差的绝对值小于0.01: 解: ①2 ,0x N x ?∈≥; ②(){}22(,),/11x y x y x y ?∈+== ③,,2 a b a b R ++?∈≥; ④,10.01n n N a +?∈-<

《全称量词与存在量词》测试练习

《全称量词与存在量词》测试练习 1.给出下列几个命题: ①至少有一个x 0,使x 20+2x 0+1=0成立; ②对任意的x ,都有x 2+2x +1=0成立; ③对任意的x ,都有x 2+2x +1=0不成立; ④存在x 0,使x 20+2x 0+1=0成立. 其中是全称命题的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .0 2.将“x 2+y 2≥2xy ”改写成全称命题,下列说法正确的是( ) A .?x ,y ∈R,都有x 2+y 2≥2xy B .?x 0,y 0∈R,使x 20+y 20≥2x 0y 0 C .?x >0,y >0,都有x 2+y 2≥2xy D .?x 0<0,y 0<0,使x 20+y 20≤2x 0y 0 3.全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是( ) A .所有被5整除的整数都不是奇数 B .所有奇数都不能被5整除 C .存在一个被5整除的整数不是奇数 D .存在一个奇数,不能被5整除 4.已知命题p :对任意x ∈R,有cos x ≤1,则( ) A .非p :存在x ∈R,使cos x ≥1 B .非p :对任意x ∈R,有cos x ≥1 C .非p :存在x ∈R,使cos x >1 D .非p :对任意x ∈R,有cos x >1 5..“a 和b 都不是偶数”的否定形式是( ) A .a 和b 至少有一个是偶数 B .a 和b 至多有一个是偶数 C .a 是偶数,b 不是偶数 D .a 和b 都是偶数 6.命题“某些平行四边形是矩形”的否定命题是( ) A .某些平行四边形不是矩形 B .任何平行四边形是矩形 C .每一个平行四边形都不是矩形 D .以上都不对 7.命题“原函数与反函数的图象关于y =x 对称”的否定是( ) A .原函数与反函数的图象关于y =-x 对称 B .原函数不与反函数的图象关于y =x 对称 C .存在一个原函数与反函数的图象不关于y =x 对称 D .存在原函数与反函数的图象关于y =x 对称 8.命题“有的函数没有解析式”的否定是( ) A .有的函数有解析式 B .任何函数都没有解析式 C .任何函数都有解析式 D .多数函数有解析式 9.将a 2+b 2+2ab =(a +b )2改写成全称命题是( ) A .?a ,b ∈R,使a 2+b 2+2ab =(a +b )2 B .?a <0,b >0,使a 2+b 2+2ab =(a +b )2 C .?a >0,b >0,使a 2+b 2+2ab =(a +b )2 D .?a ,b ∈R,使a 2+b 2+2ab =(a +b )2 10.已知命题p :“?x ∈[1,2],x 2-a ≥0”,命题q :“?x ∈R,x 2+2ax +2-a =0”,则命题“p 且q ” 是真命题的充要条件( ) A .a ≤-2或a =1 B .a ≤-2或1≤a ≤2 C .a ≥1 D.-2≤a ≤1 11.命题“?n ∈N *,?m ∈N,使m 20;④有一个 素数含有三个正因数.以上命题的否定为真命题的序号依次是________(填序号). 17.写出命题“若a 和b 都大于0,则a +b >0”的否定为 ________________________________________________________________________.

全称量词和存在量词完美版

全称量词和存在量词 教学目标 1.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义; 2.能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容,并判断全称命题和特称命题的真假 教学重点及难点 理解全称量词与存在量词的意义,并判断全称命题和特称命题的真假 教学类型:新授课 教学过程 一.引入 下列语句是命题吗? ⑴3 x>; ⑵21 x+是整数; ⑶对所有的x∈R,3 x>; ⑷对任意一个x∈Z,21 x+是整数。 ⑴与⑶、⑵与⑷之间有什么关系? 结论:由命题的定义出发,(1)(2)不是命题,(3)(4)是命题。分析(3)(4)分别用短语“对所有的”“对任意一个”对变量x 进行限定,从而使(3)(4)称为可以判断真假的语句。 二.教授新课:

①.概念: 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“?”表示。 含有全称量词的命题,叫做全称命题。 例如: ⑴对任意n∈N,21 n+是奇数; ⑵所有的正方形都是矩形。 常见的全称量词还有: “一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”等。 通常,将含有变量x的语句用() r x表示,变量x的取 q x、() p x、() 值范围用M表示。 全称命题“对M中任意一个x,有() p x p x成立”。简记为:x M ?∈,()读作:任意x属于M,有() p x成立。 ②.例1:判断下列全称命题的真假: ⑴所有的素数都是奇数; ⑵x?∈R,211 x+≥; ⑶对每一个无理数x,2x也是无理数。 (学生练习——个别回答——教师点评并板书) 点评:要判定全称命题的真假,需要对取值范围M内的每个元素x,证明p(x)是否成立,若成立,则全称命题是真命题,否则为假。

全称量词与存在量词

全称量词与存在量词 编稿:张希勇 审稿:李霞 【学习目标】 1.理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念; 2.能准确地使用全称量词和存在量词符号“?” “? ”来表述相关的教学内容; 3.掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法; 4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【要点梳理】 要点一、全称量词与全称命题 全称量词 全称量词:在指定范围内,表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词. 常见全称量词:“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“?” 表示,读作“对任意”. 全称命题 全称命题:含有全称量词的命题,叫做全称命题. 一般形式:“对M 中任意一个x ,有()p x 成立”, 记作:x M ?∈,()p x (其中M 为给定的集合,()p x 是关于x 的语句). 要点诠释:有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词,例如:(1)“末位是0 的整数,可以被5整除”;(2)“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”; (3)“负数的平方是正数”;都是全称命题. 要点二、存在量词与特称命题 存在量词 定义:表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词. 常见存在量词:“有一个”,“存在一个”,“至少有一个”,“有的”,“有些”等.通常用符号“? ” 表示,读作“存在 ”. 特称命题 特称命题:含有存在量词的命题,叫做特称命题. 一般形式:“存在M 中一个元素0x ,有0()p x 成立”, 记作:0x M ?∈,0()p x (其中M 为给定的集合,()p x 是关于x 的语句). 要点诠释: (1)一个特称命题中也可以包含多个变量,例如:存在,R R αβ∈∈使

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