2014年秋季班数学八年级讲义(7)

图2

图4

图1

2014年秋季班数学八年级讲义（7）

【基础知识】

1、线段垂直平分线的性质

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC .

2、线段垂直平分线性质定理的逆定理

到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.

3、关于三角形三边垂直平分线的定理

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

如图3，若直线i ，j ，k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线i ，j ，k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.

4、角平分线的性质定理：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

如图4，已知OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，若CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点

D ，则CF ＝DF.

角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理：

在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.

如图5，已知点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，若PC ＝PD ，则点P 在∠AOB 的平分线上.

6、关于三角形三条角平分线的定理：

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.

如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么：①AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；②若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA

【提高练习】

C

B

C F

N

1. 已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线，OA=OC ，求证：点O 在BC 的垂直平分线

2. 已知如图，在△ABC 中，AB=AC ，O 是△ABC 内一点，且OB=OC ，求证：AO ⊥BC.

3. 已知：如图，点B 、C 在∠A 的两边上，且AB=AC ，P 为∠A PF ⊥AB ，垂足分别是E 、F 。求证：PE=PF

4. 已知：PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 平分线，它们交于P ，PD ⊥BM 于D ，

PF ⊥BN 于F ，求证：BP 为∠MBN 的平分线。

5. 如图，已知在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，且∠BAD 与∠BCD 互补，求证：

AD ＝CD.

6. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，且DC ＝AC ，求△ABC

各角的大小

7. 如图，在△ABC 中，DF 垂直平分AB 于点D ，交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，且

AE ＝EF ，∠A ：∠F ＝4：3，求∠A 的度数

人教版八年级数学上册讲义(全册)

八年级数学讲义 第11章 三角形 一、 三角形的概念 1． 三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接． 2．三角形的表示 △ABC 中，边：AB ，BC ，AC 或 c ，a ，b ． 顶点：A ，B ，C ． 内角：∠A ，∠B ，∠C ．． 二、 三角形的边 1. 三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法） (1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a (2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-ca 时,就可构成三角形. 1.2 确定三角形第三边的取值范围: 两边之差<第三边<两边之和. 2. 三角形的主要线段 2.1三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线. ①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点； ②直角三角形三条高线交于直角顶点； ③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点 2.2三角形的角平分线 三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 三条角平分线交于三角形内部一点. 2.3三角形的中线 连结三角形一个顶点与它对边中点 的线段叫做三角形的中线。 A C B A D

三角形的三条中线交于三角形内部一点. 三、三角形的角 1 三角形内角和定理 结论1：△ABC中：∠A+∠B+∠C=180°※三角形中至少有2个锐角 结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．※三角形中至多有1个钝角 注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B） ②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角． 如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数 2三角形外角和定理 2.1外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角． 2.2性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 2.3外角个数： 过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等）， 可见一个三角形共有6个外角 四、三角形的分类 (1) 按角分：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形 (2) 按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形 五多边形及其内角 1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。 3、多边形的对角线 (1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。 (2)n边形共有条对角线。 4、n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)。任意凸形多边形的外角和等于360° ※多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关. ※多边形最多有3个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）； ※多边形的外角中最多有3个钝角，最少没有钝角. 5、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。【考点三】判断三角形的形状 8、若△ABC的三边a、b、c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，试判断△ABC的形状。 9、已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断△ABC的形状。

学而思初二数学秋季班第13讲.几何综合.提高班.学生版

43 初二秋季·第13讲·提高班·学生版 全等三角形是初中几何学习中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有SAS 、ASA 、AAS 、SSS 和HL （直角三角形），如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件，引出相应的辅助线然后再证明。 一、常见辅助线的作法有以下几种： 1. 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对称”； 2. 若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”； 3. 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对称”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理； 思路导航 13 名校期末试题点拨——几何部分 题型一：全等三角形与轴对称

44 初二秋季·第13讲·提高班·学生版 4. 过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”； 5. 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 二、常见模型 1.最值问题：“将军饮马”模型； 2. 全等三角形经典模型：三垂直模型、手拉手模型、半角模型以及双垂模型等。 三、尺规作图 部分地区会考察尺规作图，难点在于构造轴对称图形解决几何问题。 【例1】 ⑴如下左图，把△ABC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若∠A =60°， ∠1=95°，则∠2的度数为（ ） A ．24° B ．25° C ．30° D ．35° ⑵长为20，宽为a 的矩形纸片（10＜a ＜20），如上右图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n =3时，a 的值为 ． 典题精练 2 1C' B' F E C B A 第二次操作 第一次操作

浙教版八年级数学下册各章复习讲义 并附带讲义分析

第一章《二次根式》复习 二次根式为了方便，我们把一个数的算术平方根（如）也叫做二次根式。 二、二次根式被开方数不小于0 1、下列各式中不是二次根式的是 （ ） （A ）12+x （B ）4- （C ）0 （D ） ()2b a - 2、判断下列代数式中哪些是二次根式？ ⑴21， ⑵16-， ⑶9+a ， ⑷12+x ， ⑸222++a a ， ⑹x -（0≤x ）， ⑺()23-m 。 答：_____________________ 3、下列各式是二次根式的是（ ） A B 4、下列各式中，不是二次根式的是（ ） A ． B D ． 5、下列各式中，是二次根式是（ ）. （A ）（B （C ） （D ）6、若01=++-y x x ，则20052006y x +的值为： （ ） A 、0 B 、1 C 、 -1 D 、 2 7、已知1y =，则y x = 。 8、若x 、y 都为实数，且152********+-+-=x x y ，则y x +2=________。 三、含二次根式的代数式有意义（1）二次根式被开方数不小于0 （2）分母含有字母的，分母不等于0 1、x （ ）

（A ）x ＞ 45 （B ）x ＜54 （C ）x ≥54- （D ） x ≤54- 2、如果x --35是二次根式，那么x 应适合的条件是（ ） A 、x ≥3 B 、x ≤3 C 、x ＞3 D 、x ＜3 3、求下列二次根式中字母的取值范围 （1）x x --+31 5；（2）22)-(x ； 4、使代数式32 x x -+有意义的x 取值范围是（ ） A ．2x ≠-； B ．32x x <≠-且，； C ．32x x ≠且，；≤ D ．32x x ≠-且，；≤ 5、求下列二次根式中字母x 的取值范围： ⑴ 12-x ， ⑵ 32+x ， ⑶ 52-x ， ⑷ x x --+22， ⑸ 11-+x x ， ⑹ x x -22. 6、二次根式2 12--x x 有意义时的x 的范围是＿＿＿＿＿＿ 7、求下列二次根式中字母的取值范围： （1）3a +； （2）13a --； （3）21a + 8、使代数式8a a -+有意义的a 的范围是（ ） A 、0>a B 、0

人教版数学八年级下册代数部分综合复习讲义

A B C D h t t t t h h h 0 0 0 0 代数复习 基础知识点 1．若二次根式5x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞－5 B ．x ＜－5 C ．x ≠－5 D ．≥x －5 2．下列各式中，最简二次根式是（ ） A ．27 B ．6 C ． a 1 D ．23a 3．在平面直角坐标系中，直线y kx b =+()0, 0k b <>不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．将直线1y kx =-向上平移2个单位长度，可得直线的解析式为（ ） A ．3y kx =- B ．1y kx =+ C ．3y kx =+ D ．1y kx =- 5．已知()()1122P 3, P 2, y y -， 是一次函数21y x =+的图象上的两个点，则12, y y 的大小关系是（ ） A ．12y y > B ．12y y < C ．12y y = D ．不能确定 6．某同学对甲、乙、丙、丁四个市场二月份每天的白菜价格进行调查，计算后发现这个月四个市场的价格平均值 相同，方差分别为，，，，则二月份白菜价格最稳定的市场是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 7．某班抽取6名同学进行体育达标测试，成绩如下：80，90，75，80，75，80．下列关于这组数据描述错误的是（ ） A ．众数是80 B ．平均数是80 C ．中位数是75 D ．极差是15 8．如图是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果以固定流速向这个蓄水池注水，下面能大致表示水的最大深度h 和时间t 之间的变化关系的图象的是（ ） 9．计算：368?-=_________． 10．如图，若设用户上网的时间为x 分钟，A 、B 两种收费方式的费用分别为A y （元）、 B y （元） ，它们的函数图象如图所示，则当上网时间 多于400钟时，选择 种方式省钱． 重点题型1 【二次根式】 例题1：（1）1 2123524 ?÷ （2） () 3482273-÷

八年级下册数学讲义

目录 第一节等腰三角形 (1) 第二节直角三角形 (7) 第三节线段的垂直平分线 (12) 第四节角平分线 (16) 第五节一元一次不等式 (20) 第七节一元一次不等式组 (30) 第八节一元一次不等式组的应用 (33) 第十节图形的平移与旋转 (44) 第十一讲中心对称 (49) 第十二讲本章复习 (54)

第一节等腰三角形 知识点一：等腰三角形的两腰相等，两个底角相等（简写成“等边对等角”） 例1. 等腰三角形的一个角是70°，它的一个底角的度数是。 例2. 已知等腰三角形两边长为4 和3，则周长为。 例3. 如图1，△ABC 中，AB=AC=BD，DA=DC，则∠BAC 的度数是。 图1 图2 知识点二：等腰三角形的三线合一即等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，也就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 例4. 如图2，在三角形ABC 中，AB=AC。 若AD⊥BC，则，； 若BD=CD，则，； 若AD 平分∠BAC，则，； 例5. 如图3，在△ABC 中，AB=AC，AD 是BC 边上的中线，BE⊥AC 于点 E．求证：∠CBE=∠B AD． 知识点三：两边相等证等腰三角形 例6. 如图，点D，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F，∠1=∠2；AD=BE。 求证：△ABF 是等腰三角形． 1

知识点四：两角相等证等腰三角形（等角对等边） 例7. 如图1，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线， 且相交于点F，则图中的等腰三角形有（） A. 6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个 例8. 如图，点D，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F，∠1=∠2；AD=BE。 求证：△ABC 是等腰三角形． 知识点五：角平分线+平行线=等腰三角形 例9. 在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E，过点E 作MN∥BC 交AB 于M，交AC 于N，求证：BM+CN=MN 2

八年级数学学困生辅导计划

八年级数学学困生辅导计划 河北远洋希望学校：张敬迎一个班集体，难免会有一些学习基础较差的学生，因此，要提高学生的综合素质，做好转化后进生的工作显得十分迫切而又重要。不能选择适合教育的学生，只能选择适合学生的教育。一、指导思想 为了实施素质教育、面向全体学生，就必须做好后进生的转化工作。在后进生的转化工作中，班主任除了倾注爱心，发现闪光点，因材施教，抓好反复教育外，还要注重后进生非智力因素与智力因素的的培养。本学期，根据学生的特点制定如下计划：二、转化目的： 为了充分发挥每一个学生的特长，不让一个学生掉队，尤其是充分调动学困生的积极性，制定本计划。 三、转化时间 充分利用课间、班会、早、午、晚休时间进行转化，转化工作重在坚持，相信每个同学都会有不同程度的提高。相信这些后进学生的积极性调动起来，班级工作也一定会上一个新台阶。四、转化目标 通过本学期的转化，本班学困生能基本掌握学习的方法，能树立学习态度，对于掌握基本技能起到推动作用。引导学生，树立学生要学、肯学、苦学的思想，努力彻底地改变自己，实现自我价值。使本班学困生转化率达到90%。 五、目标要求 转化学困生的根本目的是引起学生的思想转变，使后进生真正提高认识，提高觉悟，提高思想素质，变得有道德、有教养、有纪律，从而少犯错误。培养学生具有爱学、肯学、勤学的学习习惯，帮助、教育学生敢于克服惰性思想，培养学生的吃苦进取精神。所以我们必须注意运用科学的批评教育的艺术和方法。 六、具体措施 1、课堂上有意识给他们制造机会，让优生吃得饱，让差生吃得好。 2、课外组织学困生加以辅导训练。 3、发挥优生的优势，指名让他带一名差生，介绍方法让差生懂得怎样学，激起他们的学习兴趣。 4、对于差生主要引导他们多学习，多重复，在熟练的基础上不断提高自己的能力，尤其是学习态度的转变和学习积极性的提高方面要花大力气。

北师大版初二数学秋季班(教师版) 第8讲 一次函数--尖子班

北师大初二数学8年级上册秋季版（教师版） 最 新 讲 义

第8讲一次函数 知识点1 一次函数的定义 一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的函数叫做一次函数. 正比例函数也是一次函数，是一次函数的特殊形式. 【典例】 1.下列函数：①y=πx；②y=2x﹣1；③y=5 x ；④y=3x-3（x-5）；⑤y=x2﹣1；⑥y=（x+1）（x-1） -x2﹣2x；⑦y= 3 2 x 1 x +中，是一次函数的有________________. 【答案】①②⑥ 【解析】解：①y=πx是一次函数； ②y=2x﹣1是一次函数； ③y=5 x ，未知数出现在分母的位置，不是一次函数； ④原式可化简为y=15，不是一次函数； ⑤y=x2﹣1，为指数的系数不为1，不是二次函数， ⑥原式可化简为y=-2x-1，是一次函数. ⑦y= 3 2 x 1 x +，未知数出现在分母位置，不是一次函数. 故事一次函数的有①②⑥ 故答案为①②⑥. 【方法总结】 本题主要考查了一次函数的定义，一个函数为一次函数的条件是：

①能化成形如y=kx+b 的形式；②k、b为常数，k≠0. 注意：①未知数的次数为1，且不能出现在分母的位置； ②正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定是正比例函数. 2.已知y=（m﹣3）x|m|﹣2+1是一次函数，则m的值是__________. 【解析】解：由y=（m﹣3）x|m|﹣2+1是一次函数，得 {|m|?2=1 m?3≠0， 解得m=﹣3，m=3（不符合题意的要舍去）． 故答案为-3. 【方法总结】 一次函数y=kx+b满足：①k、b为常数；②k≠0；③自变量次数为1，由此可得答案． 牢记一次函数的定义，掌握判定一个函数是一次函数需要满足的条件是解题的关键. 【随堂练习】 1．（2017秋?蚌埠期中）当k=_____ 时，函数y=（k+3）x|k+2|﹣5是关于x的一次函数． 【解答】解：由原函数是一次函数得， k+3≠0 且|k+2|=1 解得：k=﹣1 故答案是：﹣1． 2．（2017秋?句容市月考）若函数y=（m+3）x2m+1+4x﹣2（x≠0）是关于x的一次函数，m=_______． 【解答】解：∵函数y=（m+3）x2m+1+4x﹣2（x≠0）是关于x的一次函数， ∴2m+1=1，m+3+4≠0， 解得：m=0； 或2m+1=0， 解得：m=﹣； 或m+3=0， 解得：m=﹣3．

(完整word)新湘教版八年级下册数学复习资料及训练

c b a C B A P E D C B A E D C B A P F E D C B 21A 直角三角形题型训练（一） 1、角平分线： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 如图，∵AD 是∠BAC 的平分线（或∠1=∠2）， PE ⊥AC ，PF ⊥AB ∴PE=PF ·如图，在ΔABC 中，∠C=90°∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D, 若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D 到直线AB 的距 离是________厘米。 ·如图：在△ABC 中，，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点。 求证：点O 在∠A 的平分线上。 2、线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等 。 如图，∵CD 是线段AB 的垂直平分线， ∴PA=PB ·如图，△ABC 中，DE 是AB 的垂直平分线，AE=4cm ，△ABC 的周长是18 cm ，则△BDC 的周长是＿＿。 ·已知：如图，求作点P ，使点P 到A 、B 两点的距离相等， 且P 到∠MON 两边的距离也相等． 3、勾股定理及其逆定理 ①勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等 于斜边c 的平方，即222 a b c +=。 求斜边，则22c a b =+；求直角边，则22a c b =-或22 b c a =-。 ·如图是拉线电线杆的示意图。已知CD ⊥AB ，， ∠CAD=60°，则拉线AC 的长是________m 。 ·若一个直角三角形的两边长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是______。 O C B A O N M · · A B

人教八年级上册数学讲义

八年级数学讲义 第11章三角形 一、三角形的概念 1．三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接． 2．三角形的表示 △ABC中，边：AB，BC，AC 或c，a，b． 顶点：A，B，C ． 内角：∠A ，∠B ，∠C．． 二、三角形的边 1.三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法） (1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a (2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-ca时,就可构成三角形. 确定三角形第三边的取值范围:两边之差<第三边<两边之和. 2.三角形的主要线段 三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线. ①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点； ②直角三角形三条高线交于直角顶点； ③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点 三角形的角平分线

三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三条角平分线交于三角形内部一点. 三角形的中线 连结三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。 三角形的三条中线交于三角形内部一点. 三、三角形的角 1 三角形内角和定理 结论1：△ABC中：∠A+∠B+∠C=180°※三角形中至少有2个锐角 结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．※三角形中至多有1个钝角 注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B） ②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角． 如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数 2三角形外角和定理 外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角． 性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 外角个数： 过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有6个外角 四、三角形的分类 (1) 按角分：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形 (2) 按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形

人教版八年级数学下精品讲义

第十六章 二次根式 第一节二次根式的相关概念 一、课标导航 二、核心纲要 1．二次根式 形如()0≥a a 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号. 注:(1)在二次根式中，被开方数a 可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式. (2) 0≥a 是a 为二次根式的前提条件. (3)形如()0≥n n m 的式子也是二次根式，它表示m 与n 的乘积. 2．二次根式的性质 (1) ()00≥≥a a 具有双重非负性. (2) () ()02 ≥=a a a . ()() ()()?? ???<-=>==000032a a a a a a a 或()()?? ?<-≥==002a a a a a a 或()()???≤->==002 a a a a a a ． 注:(1)化简2 a 时，一般先将它化成a ，再根据绝对值的意义进行化简. (2) ()2 a 与 2a 的区别和联系.

区别：以a2中的a可以取任意实数，而(a)2中的“必须是非负数．当a＜0时，(a)2无意义，而a2＝－a． 联系：当a≥0时，(a)2=a2＝a． 3.非负数的三种常见形式 (1)绝对值：|a|≥0． (2)偶次幂：a2n≥0（n为正整数）． (3)二次根式：a≥0(a≥0)． 若|a|＋b2＋c＝0，则a＝b＝c＝0 4.积、商的算术平方根的性质 (1)积的算术平方根的性质：ab＝a?b(a≥0，b≥0) (2)商的算术平方根的性质：a b＝ a b (a≥0，b＞0)． 5.确定二次根式所含字母的取值范围 若二次根式有意义，只要被开方数大于或等于零即可．即当a≥0时，a有意义. 6.最简二次根式 (1)被开方数中不含分母，即根号内无分母，分母内无根号． (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即开方开得尽. 我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式. 7.同类二次根式 如果几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式． 注：(1)前提条件：二次根式是最简二次根式. (2)被开方数相同. 本节重点讲解：两个性质，三个概念

八年级数学寒假班讲义二第17讲-平面向量(四川北路)864LB4V8JP8F

1对3辅导讲义 学员姓名： 学科教师： 年 级： 辅导科目： 授课日期 时 间 主 题 第17讲 平面向量 学习目标 教学内容 1．（1）既有 、又有 的量，叫做向量． （2）向量的 也叫向量的模（或向量的长度）——它是一个 ． （3）零向量：大小为 ，方向 的向量；记作____ ____． 2．（1）方向 且大小 的两个向量叫做相等向量． （2）方向 且大小 的两个向量叫做相反向量． （3）方向 的两个向量叫做平行向量． 3．向量的运算： （1）向量加法、减法的三角形法则： AB BC +=u u u r u u u r _____________；AC BC -=u u u r u u u r ___ ____． （2）向量加法、减法的平行四边形法则： AB AD +=u u u r u u u r _____________；AB AD -=u u u r u u u r ___ ____． （3）向量的加法运算律： 向量加法满足交换律，即： ； 向量加法满足结合律，即： ． 参考答案：1．（1）大小，方向；（2）大小，数；（3）零，任意，0r ； 2．（1）相同，相等； （2）相反，相等；（3）相同或相反； 3．（1）AC u u u r ，AB u u u r ； （2）AC u u u r ，DB u u u r ； （3）；a b b a +=+r r r r ， C B A D

()()a b c a b c ++=++r r r r r r 。 1．下列各式中，正确的个数是（ ） ①若0a =r ，则0a =r ； ②若0a =r r ，则0a =r r ； ③若a b =r r ，则a b =r r 或a b =-r r ； ④若0a =r r ，则0a -=r r ． A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 2．设b r 是a r 的相反向量，则下列说法错误的是（ ） A 、a r 与b r 的长度必相等 B 、a r ∥b r C 、a r 与b r 所在直线一定平行 D 、a r 是b r 的相反向量 3．下列说法不正确的是（ ） A 、零向量是没有方向的向量 B 、零向量的方向是任意的 C 、零向量与任一向量平行 D 、零向量只能与零向量相等 4．如图，梯形AECD 中，CD //A E ，AD ＝CE ，点B 在AE 上，BC //AD ． 则图中与CD uuu r 相等的向量： ． 与AB u u u r 相反的向量： ． 与AB u u u r 平行的向量有： ． AD =u u u r ． 参考答案：1．B ； 2．A ； 3．A ； 4．略． 例题1： 练习 B A E C D

初二数学寒假培优班讲义

第一讲 分式 主要公式： 1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn 7.负指数幂: a -p =1 p a a 0=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 例1、当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 4 4+-x x （2） 2 32+x x 例2、当x 取何值时，下列分式的值为0. （1） 3 1 +-x x （2） 4 2||2 --x x 例3、当x 为何值时，分式x -84为正； 例4、已知：511=+y x ，求 y xy x y xy x +++-2232的值. 例5已知：21=-x x ，求221 x x +的值. 例6、若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y x 241 -的值.

例7、计算： （1） m n m n m n m n n m ---+-+22； （2）11 2 ---a a a ； 例8、先化简后求值 1 1 124212 22-÷+--?+-a a a a a a ，其中a 满足a=2. 例9、解下列分式方程 （1）x x 311=-； （2） 3 4 23-=--x x x ； 例10、若分式方程12 2-=-+x a x 的解是正数，求a 的取值范围. 例11．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a 小时相遇，若同向而行，则b 小时甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的（ ）。 （A ） a b b + (B)b a b + (C)b a b a +- (D)b a b a -+ 例12. A 、B 两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购贷方式不同，其中，采购员A 每次购买1000千克，购贷员B 每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购贷方式合算？（ ） （A ）Ａ (B)Ｂ （C)都一样 (D)不能确定 例13．某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务，设原计划每天固沙造林x 公顷，根据题意列方程正确的是（ ）。

北师版初二数学上册培优秋季班讲义

第1讲复杂的“旋转型”与弦图 + 知识点1 复杂的“旋转型” 在一些特殊图形中，由两边相等可以利用“旋转”的方式将三角形“转移”，从而达到转移边或角的目的.在没有明确给出“旋转”后的图形时，有的需要作辅助线进行构造. 常见的一些模型如下： 【典例】 1.如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边作正方形BCDE，对角线的交点为O，连接AO，如果AB=3，AO=，求AC的长.

【方法总结】 在AC上截取CF=AB，利用“边角边”证明△ABO和△FCO全等，根据全等三角形的性质可得OF=AO，∠AOB=∠FOC，然后判定出△AOF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍求出AF，再根据AC=AF+CF，代入数据进行计算即可得解． 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形与等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点． 2.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于D，求DE的长. 【方法总结】 过P作PF∥BC交AC于F，得出三角形APF是等边三角形，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，由AAS证出△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．本题综合考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键.此题培养了学生综合分析问题和解决问题的能力，难度适中．

【随堂练习】 1.如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，AF⊥BE于点F，交BD于点G，则下述结论中不成立的是（） A.AG=BE B.△ABG≌△BCE C.AE=DG D.∠AGD=∠DAG 2.如图，点E是边长为5的正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．若EF=6，则CF的长为（） 3.如图，D是等边△ABC的边AC上的一点，E是等边△ABC外一点，若BD=CE，∠1=∠2，则对△ADE的形状最准确的是（） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形

人教版初二数学下册同步精编讲义

第1讲二次根式 知识点1 二次根式的概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． 注意：①“”称为二次根号； ②a（a≥0）是一个非负数． 【典例】 【题干】下列各式中：①；②；③；④；⑤， 一定是二次根式的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 【方法总结】 本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义进行判断即可．

【随堂练习】 1．（2018春?滨江区期末）当a=﹣3，则=____． 2．（2018春?东西湖区期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n是____． 知识点2 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 【典例】 1.若代数式有意义，则x满足的条件是______________． 【方法总结】 本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数大于或等于0可以求出x的范围．注意：当二次根式在分母上时还要考虑分母不能等于零．

【随堂练习】 1．（2018春?汶上县期末）若已知a、b为实数，且+2=b+4，则a+b= ___． 2．（2018春?瑶海区期中）若在实数范围内有意义，则x_____． 3．（2018春?黄陂区期中）若x，y为实数，y=，则4y﹣3x的平方根是____． 知识点3 二次根式的性质与化简 二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0；a≥0（双重非负性）． ②=a（a≥0）． ③=|a|= （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．=?(a≥0， b≥0)，=(a≥0，b＞0) （3）化简二次根式的步骤：

八年级数学上册培优讲义(人教版)

2016年最新人教版八年级上册数学培优讲义 第一讲认识三角形 考点·方法·破译 1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线. 2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．了解与三角形有关的角(内角、外角) . 4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题. 6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法. 经典·考题·赏析 【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________；当周长为奇数时，x＝______________. 【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12， 【变式题组】 01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________. 02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，则以a，b，c 为边的三角形，共有______________个. 03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是() A．1 B．2 C．3 D．4 【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长. 【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为 58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为5818 2 ＝20，则三边为20， 20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边. 解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm. 【变式题组】 01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是() A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm 02．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是() A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm 03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________. 【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC 的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________.

2014年秋季班数学八年级讲义(8)

2014年秋季班数学八年级讲义（8） 掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（H.L.） 【基础知识】 1.判断下列条件能否判断两直角三角形全等，并说明理由 （1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等。 （2）一个锐角和这个锐角相邻的一条直角边对应相等。 （3）一锐角与斜边对应相等。 （4）两直角边对应相等。 （5）两边对应相等。 （6）两锐角对应相等。 （7）一锐角和一边对应相等 2.下面说法不正确的是（） A、有一角和一边对应相等的两个直角三角形全 B、有两边对应相等的两个直角三角形全等 C、有两角对应相等的两个直角三角形全等 D、有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等 3.如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠CAB，CM＝20cm，那么M到AB的距离是 __________cm 4.如图2，已知：AD是△ABC中BC边上的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC 5.如图3，已知：AD＝BC，BE⊥AC，DF⊥AC，且BE＝DF。求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）AB∥CD 6.如图4，已知：∠A＝90°，AB=BD，ED⊥BC于D。求证：AE＝ED

【提高练习】 1.如图所示的网格中（4×4的正方形），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝____________ 2.已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，求证：CD⊥BE 3.已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC，求证：DG=EG。 4.如图，A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝ CD，试证明BD平分EF 5.如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在点P（4，4）处，两直角边与坐标轴交于点A和点B． （1）求OA+OB的值； （2）将直角三角形绕点P逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B，求OA+OB的值．

2018年八年级数学寒假培训资料

2018年培训学校寒假班初二数学学习资料 【新授知识】第1课时1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ) 【知识概括】 1．掌握直角三角形两个锐角互余的性质． 2．会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形． 3．理解和掌握直角三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半”． 【典型题例】 旧知回顾： 1．什么叫直角三角形？直角三角形的内角和是多少？ 解：有一个角是的三角形叫直角三角形；它的内角和是°. 2．直角三角形除了有一个角是直角这条性质外还有没有别的性质呢？还有没有其他方法判定一个三角形是否是直角三角形呢？这节课我们来探究这些问题． 知识模块一直角三角形的性质 【自主探究】 阅读教材P2说一说：回答：如图在Rt△ABC中，∠A＝90°，则∠B＋∠C＝°．【合作探究】 如图(1)在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝40°，则∠BCD＝°．如图(2)在△ABC中，∠B＝50°，高AD，CE交于点H，则∠AHC＝°． 归纳：性质定理：直角三角形的两个锐角． 知识模块二直角三角形的判定 【自主探究】 阅读教材P2议一议：完成：在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，判定△ABC的形状． 【合作探究】 如图，AB∥CD，∠A和∠C的平分线相交于点H.那么△AHC是直角三角形吗？为什么？

知识模块三 直角三角形斜边上的中线的性质定理 【自主探究】 阅读教材P 3探究：动手操作一下，你会发现什么结论？ 归纳：在直角三角形中，斜边上的中线等于 ． 【合作探究】 1．教材P 4例1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的中线，将△ACD 沿AC 边折叠，使点D 落在点E 处．求证：EC ∥AB. 【考题训练】 1.如图，在ABC ?中，已知3:2:1::=∠∠∠C B A ,AB=10cm. （1）求证：ABC ?为直角三角形。 （2）求AB 边上的中线. 2.如图，090=∠C ，BD 是角平分线，若BD=AD ，AB=6cm,求BC 的长。 C

2014年秋季班数学八年级讲义(5)

图1 D C 图 22014年秋季班数学八年级讲义（5） 掌握添加辅助线的基本方法 掌握证明举例中的基本思路 【基础知识】 1. 如图，△ABC 中，∠ABC=∠BAC=45°，点P 在AB 上，AD ⊥CP ，BE ⊥CP ，垂足分别为D 、E ，已知DC=2，求BE 的长。 2. （1） 90303ABC BAC B AD BC BD CD ?∠=?∠=?⊥=已知：在中，、、，求证： （2）90330ABC BAC AD BC BD CD B ?∠=?⊥=∠=?已知：在中，、、，求证： 3. 已知：如图1所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于点O ，求证：AC ＝AE ＋CD 4. 已知：如图2，四边形ABCD 是正方形，点E 、点F 分别是边BC 和边CD 上的点，且∠FAD ＝∠FAE ，求证BE ＋DF ＝AE

C D 5. 已知：如图，在四边形ABCD 中, AB =CD ，点 E 、 F 分别是边AB 、CD 的中点，DE =BF ． 求证：∠A ＝∠C ． 6. 求证：在两个锐角三角形中，如果有两边及其中一边上的高对应相等，那么这两个三角 形全等。（画图、写出已知、求证和证明） 【提高练习】 1. 如图，在△ABC 中，∠BAC 、∠BCA 的平分线相交于点I ，若∠B ＝35°，BC ＝AI ＋AC ， 求∠BAC 的度数 2. 如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上移动，但A 到EF 的距离AH 始终保 持与AB 长相等，问在E 、F 移动过程中： （1）求证：∠EAF ＝45o （2）△ECF 的周长是否有变化？请说明理由 3. ,120ABC AB AC BAC ?=∠=?已知：在中， (1)2D BC DE AB DF AC DE DF BC D BC DE AB DF AC DE DF BC ⊥⊥⊥⊥是上的一动点，，，你能发现、、之间的数量关系吗？ （）是直线上的一动点，直线，直线 ，试探究线段、之间的数量关系。

八年级数学培优讲义下册

第十六章 分式 测试1 从分数到分式 学习要求 掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为0、为1的条件． 课堂学习检测 一、填空题 1．用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成的形式，如果除式B 中，该分式的分式． 2．把下列各式写成分式的形式： （1）5÷为. （2）（3x ＋2y ）÷（x －3y ）为. 3．甲每小时做x 个零件，做90个零件所用的时间，可用式子表示成小时． 4．n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷的产量可用式子表示成吨． 5．轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米／时，轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成小时． 6．当x ＝时，分式 1 3-x x 没有意义． 7．当x ＝时，分式1 1 2--x x 的值为0． 8．分式 y x ，当字母x 、y 满足时，值为1；当字母x ，y 满足时值为－1． 二、选择题 9．使得分式 1 +a a 有意义的a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0 B ．a ≠1 C ．a ≠－1 D ．a ＋1＞0 10．下列判断错误．． 的是（ ） A ．当32 =/x 时，分式2 31-+x x 有意义 B ．当a ≠b 时，分式2 2b a ab -有意义 C ．当2 1- =x 时，分式x x 41 2+值为0 D ．当x ≠y 时，分式x y y x --2 2有意义 11．使分式 5 +x x 值为0的x 值是（ ） A ．0 B ．5 C ．－5 D ．x ≠－5 12．当x ＜0时， x x | |的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．不确定 13．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ ) A ．x x 12+ B ． 1 1 2--x x C ． 1 1 +-x x D ． 1 1 2+-x x