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二元一次方程与一次函数一

二元一次方程与一次函数一
二元一次方程与一次函数一

二元一次方程组与函数

第8讲 二元一次方程组与一次函数(A) 姓名:____________ ◆【基础知识及应用】 一、交点坐标的求法: 1 2 二、一次函数图像的平移与应用 12、与函数图像有关的图像面积计算---割补法转化,充分运用已知点的坐标求解; 三、图像理解与应用 ◆【典例精讲】 考点一、求交点坐标: 【例1】直线122y x =-与直线14y x a =-+相交于x 轴上一点,则直线1 4 y x a =-+不经过 ( ) A 、第四象限 B 、第三象限 C 、第二象限 D 、第一象限 练习:若直线m x y +=与直线42+-= x y 的交点在x 轴上,则=m ; 【例2】已知点A (0,2,B (1,4,C (c ,4c +)在同一直线上,求c 的值。 考点二、一次函数与面积有关的问题: 【例3】(黄石)梯形ABCD 的四个顶点坐标分别为A (1-,0),B (5,0),C (2,2), D (0,2) ,直线2y kx = +将梯形分成面积相等的两部分,则k 的值为( ) A 、-32 B 、-9 2 C 、-74 D 、-72

【例4】变式:如图所示:直线43 4+-=x y 与y 轴交于点A ,与直线54 54+=x y 交于点B ,且 直线5 4 54+= x y 与x 轴交于点C ,求ABC ?的面积; ◆目标训练1: 1、若直线13-=x y 与k x y -=的交点在第四象限,则k 的取值范围是( ) A 、31< k B 、13 1 <k D 、 1>k 或31)可以看成是将直线y kx =沿y 轴向上平行移动b 个单位而得到的,那么将直线y kx =沿x 轴向右平行移动m 个单位(0m >),求得到的直线方程是___________________. 考点三、图像理解与应用

二次函数和一元二次方程的关系

二次函数和一元二次方程的关系教学设计一教学设计思路通过小球飞行高度问题展示二次函数与一元二次方程的联系。然后进一步举例说明,从而得出二次函数与一元二次方程的关系。最后通过例题介绍用二次函数的图象求一元二次方程的根的方法。 教学目标二 1 知识与技能(1).经历探索函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系。总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根. (2).会利用图象法求一元二次方程的近似解。 2 过程与方法 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系. 情感态度价值观三 通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况培养学生自主探索意识,从中体会事物普遍联系的观点,进一步体会数形结合思想. 教学重点和难点四页 1 第 重点:方程与函数之间的联系,会利用二次函数的图象求一

元二次方程的近似解。 难点:二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 教学方法五 讨论探索法六教学过程设计(一)问题的提出与解决问题如图,以20m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系 h=20t5t2。考虑以下问题 (1)球的飞行高度能否达到15m?如能,需要多少飞行时间? (2)球的飞行高度能否达到20m?如能,需要多少飞行时间? (3)球的飞行高度能否达到20.5m?为什么? ?(4)球从飞出到落地要用多少时间分析:由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数 h=20t-5t2。 所以可以将问题中h的值代入函数解析式,得到关于t的一页 2 第 元二次方程,如果方程有合乎实际的解,则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值:否则,说明球的飞行高度不能达到问题中h的值。 解:(1)解方程15=20t5t2。t24t+3=0。t1=1,t2=3。

二元一次方程组与函数

第8讲 二元一次方程组与一次函数(A) :____________ ◆【基础知识及应用】 一、交点坐标的求法: 1 2 二、一次函数图像的平移与应用 12、与函数图像有关的图像面积计算---割补法转化,充分运用已知点的坐标求解; 三、图像理解与应用 ◆【典例精讲】 考点一、求交点坐标: 【例1】直线122y x = -与直线14y x a =-+相交于x 轴上一点,则直线1 4 y x a =-+不经过( ) A 、第四象限 B 、第三象限 C 、第二象限 D 、第一象限 练习:若直线m x y +=与直线42+-=x y 的交点在x 轴上,则=m ; 【例2】已知点A (0,2),B (1,4),C (c ,4c +)在同一直线上,求c 的值。 考点二、一次函数与面积有关的问题: 【例3】()梯形ABCD 的四个顶点坐标分别为A (1-,0),B (5,0),C (2,2), D (0,2) ,直线2y kx =+

A 、-32 B 、-92 C 、-74 D 、-7 2 【例4】变式:如图所示:直线434+-=x y 与y 轴交于点A ,与直线5 4 54+=x y 交于点B ,且 直线5 4 54+=x y 与x 轴交于点C ,求ABC ?的面积; ◆目标训练1: 1、若直线13-=x y 与k x y -=的交点在第四象限,则k 的取值围是( ) A 、31< k B 、13 1 <k D 、 1>k 或31)可以看成是将直线y kx =沿y 轴向上平行移动b 个单位而得到的,那么将直线y kx =沿x 轴向右平行移动m 个单位(0m >),求得到的直线方程是___________________.

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)33935

函数解题思路方法总结: ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号,或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置,要数形结合; ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数;下面以a >0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系: 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。) 动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、(湖北十堰市)如图①, 已知抛物线32++=bx ax y (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0)和点B (-3,0),与y 轴交于点C . (1) 求抛物线的解析式;

(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. (3) 如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标. 注意:第(2)问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为 顶点时,以C为圆心CM为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,②M为顶点时,以M 为圆心MC为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,③P为顶点时,线段MC的垂直平 分线与对称轴交点即为所求点P。 第(3)问方法一,先写出面积函数关系式,再求最大值(涉及二次函数最值);方 法二,先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标(涉及简单二元二次方程组),再求面积。

初三数学二次函数与圆知识点总结

初三数学知识点总结 1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时,ax 2 +bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ; 其中a 、 b,、c 可能是具体数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用, 其中直接开平方法虽然简单,但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大,但计算较繁,易发生计算错误;因式分解法适用范围较大,且计算简便,是首选方法;配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2 +bx+c=0 (a ≠0)时,Δ=b 2 -4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题: Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根; Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等). 4. 一元二次方程的根系关系: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时,如Δ≥0,有下列公式: .a c x x a b x x )2(a 2ac 4b b x ) 1(212122,1= -=+-±-=, ; ※ 5.当ax 2 +bx+c=0 (a ≠0) 时,有以下等价命题: (以下等价关系要求会用公式 a c x x a b x x 2121=-=+,;Δ=b 2 -4ac 分析,不要求背记) (1)两根互为相反数 a b -= 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0; (2)两根互为倒数 a c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0; (3)只有一个零根 a c = 0且a b -≠0 c = 0且b ≠0; (4)有两个零根 a c = 0且a b -= 0 c = 0且b=0; (5)至少有一个零根 a c =0 c=0; (6)两根异号 a c <0 a 、c 异号; (7)两根异号,正根绝对值大于负根绝对值 a c <0且a b ->0 a 、c 异号且a 、b 异号; (8)两根异号,负根绝对值大于正根绝对值 a c <0且a b -<0 a 、c 异号且a 、b 同号; (9)有两个正根 a c >0,a b ->0且Δ≥0 a 、c 同号, a 、b 异号且Δ≥0;

二元一次函数与二次函数练习

专题:二元一次与二次函数 练习一 1、已知二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围为 . 2、抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-3,0),对称轴为x=-1,顶点C到x轴的距离为2,求此抛物线表达式. 】 3、有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点: 甲:对称轴是直线x=4; 乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数; 丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三点为顶点的三角形面积为3.请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式. > 4、已知抛物线y=mx2+(3-2m)x+m-2(m≠0)与x轴有两个不同的交点.(1)求m的取值范围; (2)判断点P(1,1)是否在抛物线上; (3)当m=1时,求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标,并过P′、Q、P三点,画出抛物线草图. &

练习二 1.求下列二次函数的图象与x轴交点坐标,并作草图验证. (1)y=x2-2x;(2)y=x2-2x-3. ? 2.你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点,何时没有交点 { 3、已知二次函数y=x2-(m-3)x-m的图象是抛物线,如图2-8-10. (1)试求m为何值时,抛物线与x轴的两个交点间的距离是3 (2)当m为何值时,方程x2-(m-3)x-m=0的两个根均为负数 (3)设抛物线的顶点为M,与x轴的交点P、Q,求当PQ最短时△MPQ的面积. 】

4、在平原上,一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y (m )与飞行时间x (s ) 的关系满足y=-5 1 x 2+10x . (1)经过多长时间,炮弹达到它的最高点最高点的高度是多少 (2)经过多长时间,炮弹落在地上爆炸 ' 5、已知抛物线y=x 2-(k +1)x +k .(1)试求k 为何值时,抛物线与x 轴只有一个公共点;(2)如图,若抛物线与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边),与y 轴的负半轴交于点C ,试问:是否存在实数k ,使△AOC 与△COB 相似若存在,求出相应的k 值;若不存在,请说明理由. ¥

一次函数一二元一次方程组的关系(知识点+例题)

一次函数与二元一次方程(组) 【教学目标】 1. 理解一次函数与二元一次方程组的关系,会用图象法解二元一次方程组; 2. 学习用函数的观点看待方程组的方法,进一步感受数形结合的思想方法; 【重点难点】 1. 对应关系的理解及实际问题的探究 2.二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系的理解 【教学内容】 一、提出问题,y =3x +1是什么? 一次函数,二元一次方程. 从而引入新课. 二、新课讲解 1.探究一次函数与二元一次方程的关系 (1)对于方程358 x y +=,如何用x 表示y ? 38 55 y x =-+ (2)是不是任意的二元一次方程都能进行这样的转化呢? ① 30x y -= ② 11 =623x y + 3y x = 3 182 y x =-+ 你对二元一次方程与一次函数的解析式之间的关系有什么看法? 一一对应 (3) 直线38 55 y x =-+上每一点的坐标,)x y (都是方程358x y +=的解吗? 是 (4)你对二元一次方程与一次函数的图像之间的关系有什么看法? 总结: 一次函数与二元一次方程的关系 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的一次函数图象上. 反过来:一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程. 即每个二元一次方程都对应一个一次函数,于是也对应一条直线.

2.探究一次函数与二元一次方程组的关系 (1)在同一直角坐标系中画一次函数38 55 y x =-+ 与21y x =-的图象, 它们有交点吗?交点坐标是多少? 是方程组385521 y x y x ? =-+ ???=+?的解吗?为什么? (2)当自变量x 取何值时,函数3 8 55 y x =-+ 与21y x =-的值相等,这个值是多少?1y 1 x ==时它们的值相等, 我们已经学会了如何求一个二元一次方程组的解的方法,比如可以用代人法,也可以用加减法.我们如何用函数的观点去看待方程组的解呢? 首先,任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合.比如 ?? ????????-=+ -=?=-=+125853152853x y x y y x y x ① 对于①,根据方程组解的意义和函数的观点,就是求当x 取什么数值时,两个—次函数的y 值相等?它反映在图象上,就是求直线5 8 53 + -=x y 和直线12-=x y 的交点坐标. 教师点拨:根据方程组解的意义和函数的观点,解方程组就是求当x 取何值时,两个函数的 y 值相等;从图象上看就是求两条直线的交点坐标. 我们可以从数形两个方面归纳一次函数与二元一次方程组的关系.渗透数形结合思想. 一次函数与二元一次方程组的关系: 1 1 y o y =2x -1y = x +53-5 8 x P(1,1)从数 的角 度看:从形的角度看: 求二元一次方程组的解求二元一次方程组的解是确定两条直线交点的坐标 x 为何值时,两个函数的值相等

二次函数与直线一元二次方程的关系

二次函数与直线、一元二次方程的关系 一、二次函数与直线的关系 (1)抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点是()0,c ; (2)抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点,因为x 轴上的点的纵坐标都为0, 所以令0y =,代入得2 0ax bx c ++=,解这个一元二次方程得x =,所 以抛物线与x 轴的交点坐标是2b a ??-- ? ???和2b a ?? -+ ? ??? ; (3)一次函数()0y kx b k =+≠的图象与二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象 的交点的个数,由方程组2 y kx b y ax bx c =+??=++?的解的数目确定: ①方程组有两组不同的解?两函数图象有两个交点; ②方程组只有一组解?两函数图象只有一个交点; ③方程组无解?两函数图象没有交点。 例1、已知:抛物线的解析式为()2 2 21y x m x m m =--+-。 (1)求证:此抛物线与x 轴必有两个不同的交点; (2)若此抛物线与直线34y x m =-+的一个交点在y 轴上,求m 的值。 变式1-1、在直角坐标平面中,O 为坐标原点,二次函数()2 14y x k x =-+-+的图象与y 轴交于点A , 与x 轴的负半轴交于点B ,且6OAB S ?=。 (1)求点A 与点B 的坐标;

(2)求此二次函数的解析式; (3)如果点P 在x 轴上,且ABP ?是等腰三角形,求点P 的坐标。 二、二次函数与一元二次方程的关系 方程20ax bx c ++=的两个实数根为12x x 、,与x 轴的交点为A B 、,如下表: 判别式的情况 抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点 有两个交点 有一个交点 无交点 二次方程 20ax bx c ++=的实根 有两个不相等的实根1212,x x AB x x =-、 有两个相等的实 根12x x = 无实根 例2、(2011?潍坊)已知一元二次方程()2 00ax bx c a ++=>的两个实数根12x x 、满足124 x x +=和123x x ?=,那么二次函数()2 0y ax bx c a =++>的图象有可能是( )。 变式2-1、(2011?呼和浩特)已知一元二次方程2 30x bx +-=的一根为3-,在二次函数 23y x bx =+-的图象上有三点123451,,,546y y y ?????? -- ? ? ??????? 、、,则123y y y 、、的大小关系是 。

一次函数与二元一次方程的关系

21.5一次函数与二元一次方程的关系 学习目标 1.理解一次函数与一次方程、一次不等式的关系,能根据一次函数的图像求一元一 次方程的解和一元一次不等式的解集 2.通过对一次函数与一次方程、一次不等式关系的探究,引导学生认识事物部分与 整体的辩证统一关系 重点:理解一次函数与一次方程、一次不等式的关系。 难点:根据一次函数的图像求一元一次方程的解和一次不等式的解集,发展学生数形结合的思想和辩证思维能力。 相关知识链接: (1)2x -y=1是 方程,可变形成y= 的形式,它 是 。 (2)二元一次方程2x -y=1有 解。以每一组解的x 的值为横坐标,y 的值为纵坐标描出的各点,这些点都都在函数 的图像上。反之,函数y=2x-1的图像上各点的横纵坐标都是方程2x -y=1的 。 研学训练一:一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系。 1. 在直角坐标系中画出一次函数y=2x -1的图像。 2.问题: 1)解方程:2x-1=0 2)已知一次函y=2x-1,当 x= 时,y=0? 思考:这两个问题之间有何联系呢? 3.观察图像可以看出,一次函数 y=2x-1的图像与x 轴交点坐标为(21,0),而2 1正是方程2x-1=0的解。

小结:任何一个一元一次方程都可以化简为kx+b=0的形式,所以解一元一次方程 kx+b=0,都可转化为求函数 y=kx+b 中y=0时的x 的值。从图像上看,就是一次函数y=kx+b 的图像与x 轴交点的横坐标的值。 4. 根据上面一次函数y=2x-1的图像,你能说出一元一次不等式2x-1>0和2x-1<0 的解集吗? 当2x-1>0,就是函数y=2x-1中函数值y>0,观察图像可知,当图像在x 轴上方时y>0;同样地,图像在x 轴下方时y<0。 因为函数y=2x-1的图像与x 轴交于点(2 1,0)所以,要使y>0,即2x-1>0,应有x> 21;要使y<0,即2x-1<0,应有x<2 1. 小结:任何一个一元一次不等式都可化简为kx+b>0(或kx+b<0)的形式,所以一元一次不等式 kx+b>0 (或kx+b<0) 的解集就是使 y=kx+b 取正值(或负值)时x 的取值范围。从图像上看kx+b>0的解集是使直线y=kx+b 位于x 轴上方相应x 的取值范围, kx+b<0的解集是使直线y=kx+b 位于x 轴下方相应x 的取值 范围。 由此可以看出,一次函数与一元一次方程、一元一次不等式有着紧密的联系。 跟踪训练一: 对于这个一次函数y=2x-1,(1)当x 时,y =5? (2)当x 时,y >5? (3)当x 时,y <5? 自主学习二:一次函数与二元一次方程组的关系。 已知函数1y =-2x+3和2y =2 1x-2 解法1 (1)当x 取何值时, 1y =2y ? (2)当x 取何值时,1y >2y ? (3)当x 取何值时,1y <2y ? 解法2:借助函数图像来解答这个问题。 【学法指导】①函数图像的交点坐标表示怎样的含义?可以看做是哪个方程组的解?②1y >(或<)2y ,说明1y 的图像应该在2y 图像的什么位置?是交点的左边还是右边?应该怎样表示?

一次函数与二元一次方程的关系

课时作业(二十四) [21.5一次函数与二元一次方程的关系] 一、选择题 1.若二元一次方程3x-2y=1所对应的直线是l,则下列各点不在直线l上的是() A.(1,1) B.(-1,-1) C.(-3,-5) D. 5 2, 2?? ??? 2.下列图像中,是由方程y-2x-2=0的解为坐标的点组成的图像是() 图K-24-1 3.如图K-24-2,直线y=ax+b过点A(0,2)和点B(-3,0),则方程ax+b=0的解是() 图K-24-2 A.x=2 B.x=0 C.x=-1 D.x=-3 4.如果一次函数y=3x+6与y=2x-4的图像交于点(-10,-24),那么 10 24 x y =- ? ? =- ? , 是下列哪个方程组的解() A. 36 24 y x x y -= ? ? += ? B. 360 240 x y x y ++= ? ? --= ? C. 360 240 x y x y -+= ? ? --= ? D. 36 24 x y x y -= ? ? -= ? 5.如图K-24-3,已知函数y=ax+b和y=kx的图像交于点P,则根据图像可得, 关于x,y的二元一次方程组 y ax b y kx =+ ? ? = ? 的解是链接听课例1归纳总结()

图K-24-3 A. 3 1 x y = ? ? =- ? B. 3 1 x y =- ? ? =- ? C. 3 1 x y =- ? ? = ? D. 3 1 x y = ? ? = ? 6.以方程组 20 3 x y x y += ? ? -=- ? 的解为坐标的点(x,y)在平面直角坐标系中的位置是() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 7.如图K-24-4,能表示方程组 24 2 x y x y += ? ? -= ? 的解的图像是() 图K-24-4 8.若二元一次方程y=2x+a与y=-x+b对应的直线都经过点A(-2,0),且与y轴分别交于点B,C,则△ABC的面积是() A.4 B.5 C.6 D.7 二、填空题 9.若直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程2x+b=0的解是________. 10.若一次函数y=2x-6与y=-x+3的图像交于点P,则点P的坐标为________. 11. 如图K-24-5所示,已知函数y=ax+b和y=kx的图像交于点P,根据图像可得, 关于x,y的二元一次方程组 y ax b y kx =+ ? ? = ? 的解是________.

一次函数与二元一次方程专题

一次函数与二元一次方程专题 一.选择题(共10小题) 1.如图,两个一次函数图象的交点坐标为(2,4),则关于x,y的方程组 的解为() A.B.C.D. 2.如图,已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P,则根据图象可得,关于x、y的二元一次方程组的解是() A.B.C.D. 3.已知直线y=2x与y=﹣x+b的交点为(﹣1,a),则方程组的解为()A.B.C.D. 4.如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=x+3与直线l2:y=mx+n交于点A(﹣1,b),则关于x、y的方程组的解为() A.B.C.D. 5.直线l是以二元一次方程8x﹣4y=5的解为坐标所构成的直线,则该直线不经过的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 6.用图象法解方程组时,下图中正确的是() A.B.C.D. 7.用图象法解某二元一次方程组时,在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示,则所解的二元一次方程组是() A.B.C.D. 8.若关于x,y的二元一次方程组的解是,则直线与y= ﹣x+5的交点坐标为() A.(4,1) B.(1,4) C.(﹣4,1)D.(2,1) 9.如果是方程组的解,则一次函数y=mx+n的解析式为(() A.y=﹣x+2 B.y=x﹣2 C.y=﹣x﹣2 D.y=x+2 10.某校九年级(2)班40名同学这“希望工程”捐款,共捐款100元,捐款情况如下表: 表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚,若设捐款2元的有

x名同学,捐款3元的有y名同学,假设(x,y)是两个一次函数图象的交点,则这两个一次函数解析式分别是() A.y=27﹣x与y=x+22 B.y=27﹣x与y=x+ C.y=27﹣x与y=x+33 D.y=27﹣x与y=x+33 二.填空题(共10小题) 11.已知一次函数y=﹣mx+4和y=3x﹣n的图象交于点P(3,1),则关于x的方程组的解是. 12.如果方程组无解,那么直线y=(﹣k+1)x﹣3不经过第象限. 13.如图,一次函数y=kx1+b1的图象l1与y=kx2+b2的图象l2相交于点P,则方程组的解是. 14.如图,已知两条直线l1、l2的交点可看作是某方程组的解,则这个方程组为. 15.如图,点A的坐标可以看成是方程组的解. 16.一次函数y=x+1与y=ax+3的图象交于点P,且点P的横坐标为1,则关于x,y的方程组的解是. 17.如图,已知一次函数y=2x+b和y=kx﹣3(k≠0)的图象交于点P,则二元一次方程组的解是.

一元函数和二元一次方程组

11.3.3 一次函数与二元一次方程(组) 同步练习题 一、选择题 1.图中两直线L 1,L 2的交点坐标可以看作方程组( )的解. A .121x y x y -=??-=-? B. 1 21x y x y -=-??-=? C .321x y x y -=?? -=? D. 3 21 x y x y -=-??-=-? 2.把方程x+1=4y+ 3x 化为y=kx+b 的形式,正确的是( ) A .y=13x+1 B .y=16x+14 C .y=16x+1 D .y=13x+1 4 3.若直线y=2x +n 与y=mx-1相交于点(1,-2),则( ). A .m=12,n=-52 B .m=12,n=-1; C .m=-1,n=-52 D .m=-3,n=-3 2 4.直线y=12x-6与直线y=-231x-11 32 的交点坐标是( ). A .(-8,-10) B .(0,-6); C .(10,-1) D .以上答案均不对 5.在y=kx+b 中,当x=1时y=2;当x=2时y=4,则k ,b 的值是( ). A .00k b =??=? B. 20k b =??=? C .31k b =??=? D. 0 2k b =??=? 6.直线kx-3y=8,2x+5y=-4交点的纵坐标为0,则k 的值为( ) A .4 B .-4 C .2 D .-2 二、填空题 1.点(2,3)在一次函数y=2x-1的________;x=2,y=3是方程2x-y=1的_______. 2.已知4,3 53x y ?=????=?? 是方程组3,12x y x y +=???-=??的解,那么一次函数y=3-x 和y=2x +1的交点是________. 3.一次函数y=3x+7的图像与y 轴的交点在二元一次方程-?2x+?by=?18?上,?则b=_________. 4.已知关系x ,y 的二元一次方程3ax+2by=0和5ax-3by=19化成的两个一次函数的图像的交点坐标为(1,-1),则a=_______,b=________. 5.已知一次函数y=- 32x+m 和y=1 2 x+n 的图像都经过A(-2,?0)?,?则A?点可看成方程组________的解. 6.已知方程组230,2360y x y x -+=??+-=?的解为4, 31, x y ?=???=?则一次函数y=3x-3与y=-32x+3的交点P 的坐标是______.

二次函数与二元一次方程

第二章 二次函数 《二次函数与一元二次方程(第2课时)》 教学设计说明 一、学生知识状况分析 本节课是北师大版九年级下册第二章最后一个课时,是学生在学习掌握了二次函数和一元二次方程的基础上,研究二次函数图像与一元二次方程的近似解之间的关系.与用函数的观点看方程(组)与不等式比较类似,因此学生对函数与方程之间的联系已不再陌生.通过本节课的学习,学生可以进一步加深对二次函数的图象和性质的理解.同时让学生进一步体会数形结合的思想,也是高中阶段学习一元二次不等式的基础. 二、教学任务分析 知识与技能目标:利用二次函数的图象求一元二次方程近似解. 过程与方法目标:经历探索用二次函数图象求解一元二次方程近似解的 过程,体会用二次函数函数图象求一元二次方程解的方法. 情感态度价值观:通过图象,体会数与形的完美结合,体会解决问题的 方法,培养学生合作交流的意识和探索精神. 教学重点:利用数形结合的思想估计一元二次方程近似解 教学难点:用逼近法求一元二次方程近似解 三、教学过程分析 一、课前检测,回顾迎新 1.若方程02=++c bx ax 的根为21-=x 和32=x ,则二次函数c bx ax y ++=2的 图象与x 轴交点坐标是 . 2.二次函数x x y 22+=的图象如图所示,则一元二次方程

022=+x x 的解为 . 注:课前的训练让学生用已有的知识研究二次函数与一元二次方程的精确解,为新课研究近似解提供研究思路. 二、合作交流,探索新知 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程01022=-+x x 的根吗? 1.自主探索 (1)观察二次函数的图象,抛物线与x 轴的交点的横坐标约 为________________. (2)由图象可知,方程01022=-+x x 有 个根, 一个根在 和 之间,另一个根在 和 (填两个整数). (3)估计方程01022=-+x x 的近似根是 (精确到0.1) 注:此处以问题串的形式引导学生探索近似解的研究方法. 2.小结反思(小组合作交流,解决问题) (1)用什么方法验证你的结果是否正确? (2)利用二次函数c bx ax y ++=2的图象求一元二次方程02=++c bx ax 的近似根的一般步骤. 步骤一:____________________________________________________ 步骤二:____________________________________________________ 步骤三:____________________________________________________ 10 22-+=x x y

二次函数与一元二次方程的关系及解析式求法

1.一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2 +bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况:两个公共点(即有两个交点),一个公共点,没有公共点,因此有: (1)抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1,0)(x 2,0)一元二次方程ax 2 +bx+c=0有两个不等实根 △ =b 2 -4ac>0。 (2)抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴只有一个公共点时,此公共点即为顶点 一元二次方程ax 2 +bx+c=0有两 个相等实根, (3)抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴没有公共点 一元二次方程ax 2 +bx+c=0没有实数根 △=b 2 -4ac<0. (4)事实上,抛物线y=ax 2 +bx+c 与直线y=h 的公共点情况方程ax 2 +bx+c=h 的根的情况。 抛物线y=ax 2 +bx+c 与直线y=mx+n 的公共点情况方程ax 2 +bx+c=mx+n 的根的情况。 2.二次函数解析式求法 例1、二次函数与一元二次方程 1、抛物线2 283y x x =--与x 轴有 个交点,因为其判别式2 4b ac -= 0,相应二次方程2 3280 x x -+=的根的情况为 . 2、函数2 2y mx x m =+-(m 是常数)的图像与x 轴的交点个数为( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .1个或2个 3、关于二次函数2 y ax bx c =++的图像有下列命题:①当0c =时,函数的图像经过原点;②当0c >,且函数的图 像开口向下时,方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等的实根;③函数图像最高点的纵坐标是244ac b a -;④当0b =时, 知识梳理 新课讲解

二元一次方程与函数

1、 已知方程组{?3x +y +3=03x +2y ?6=0的解是{x =4 3y =1,试求函数y=3x-3与y= - 3 2x+3的图像的交点坐标 2、 一次函数y=3x-5与y=2x+b 的图像的交点为P (1,-2),试确定方程组{ y =3x ?5 y =2x +b 的解和b 的值 3、 已知一次函数y=2x 与y=-x+b 的交点为 (1,a ),试确定方程组{2x ?y =0 x +y ?b =0的解和a ,b 的值 4、 如图,两直线l1,l2的交 点坐标 可以看作方程组 ____ 解 5、 在弹性限度内,弹簧的长度y (cm )是所挂物体质量x (kg )的一次函数,当所挂物体的质量为 1kg 时,弹簧长15cm ;当所挂物体的质量为3kg 时,弹簧长16cm.请写出y 与x 之间的函数关系式,并求出所挂物体的质量为4kg 时弹簧长度 6、 为了倡导节约用水,某城市规定:每户居民每月的用水标准为8m3,超过标准部分加价收费,已知 某户居民两个月的用水量和水费分别是11 m3,28元和15 m3,44元,用水标准内的水价和超过标准部分的水价分别是多少? 7、 若{x =1y =3和{x =0 y =?2 都是方程ax-y=b 的解,求a 、b 的值

8、 如图,直线l1,l2的交点坐标 可以看作方程组 ____ 的解 9、 如图,直线l1,l2相交于点A , 试求点A 的坐标 10、 某学校的青年志愿者到距学校3千米的福利院参加“爱心捐助活动”.一部分人步行,另一部分人骑自 行车,他们沿相同的路线前往.如图,l 1 、l 2 分别表示步行和骑自行车的人前往目的地所 走的路程y (千米)随时间x (分钟)变化的函数图象. (1)分别求l 1 、l 2 的函数表达式; (2)求骑车的人用多长时间追上步行的人. 11、已知下列各式:①+y =2 ②2x -3y =5 ③x +xy =2 ④x +y =z -1 ⑤=,其中二元一次方程的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 12、在方程组中,如果是它的一个解,那么a 、b 的值为( ) A.a =1,b =2 B.不能惟一确定 C.a =4,b =0 D.a = ,b =-1 x 12121+x 3 12-x ???=+=-1253by x y ax ????? -== 1 21y x 2 1

一次函数与二元一次方程的关系

21.5 一次函数与二元一次方程的关系1.掌握一次函数与方程的关系;(重点) 2.综合应用一次函数与方程关系解决问题.(难点) 一、情境导入 下面三个方程有什么共同点和不同点?你能进行解释吗? (1)2x+1=3;(2)2x+1=0;(3)2x+1=-1. 能从函数的角度解这三个方程吗? 二、合作探究 探究点一:一次函数与一元一次方程

一次函数y =kx +b (k ,b 为常数,且k ≠0)的图象如图 所示,根据图象信息可求得关于x 的方程kx +b =0的解为( ) A .x =-1 B .x =2 C .x =0 D .x =3 解析:∵y =kx +b 经过点(2,3)、(0,1),∴?????b =1,2k +b =3,解得? ????b =1,k =1,∴一次函数解析式为y =x +1.令x +1=0,解得x =-1.故选A. 方法总结:当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值.从图象上看,相当于已知直线y =kx +b ,确定它与x 轴的交点的横坐标的值. 探究点二:一次函数与二元一次方程(组) 直角坐标系中有两条直线:y =35x +95,y =-32 x +6,它们的交点为P ,第一条直线交x 轴于点A ,第二条直线交x 轴于点B . (1)求A 、B 两点的坐标; (2)用图象法解方程组? ????5y -3x =9,3x +2y =12; (3)求△P AB 的面积. 解析:(1)分别令y =0,求出x 的值即可得到点A 、B 的坐标;(2)建立平面直角坐标系,然后作出两直线,交点坐标即为方程组的解;(3)求出AB 的长,再利用三角形的面积公式列式计算即可得解.

一次函数与二元一次方程(2)附答案

一次函数与二元一次方程(2)附答案 一、选择题 1.图中两直线L 1,L 2的交点坐标可以看作方程组( )的解. A .121x y x y -=?? -=-? B. 1 21x y x y -=-??-=? C .321x y x y -=?? -=? D. 3 21 x y x y -=-??-=-? 2.把方程x+1=4y+ 3x 化为y=kx+b 的形式,正确的是( ) A .y=13x+1 B .y=16x+14 C .y=16x+1 D .y=13x+1 4 3.若直线y=2x +n 与y=mx-1相交于点(1,-2),则( ). A .m=12,n=-52 B .m=12,n=-1; C .m=-1,n=-52 D .m=-3,n=-3 2 4.直线y=12x-6与直线y=-231x-11 32 的交点坐标是( ). A .(-8,-10) B .(0,-6); C .(10,-1) D .以上答案均不对 5.在y=kx+b 中,当x=1时y=2;当x=2时y=4,则k ,b 的值是( ). A .00k b =?? =? B. 20k b =??=? C .31k b =??=? D. 0 2 k b =??=? 6.直线kx-3y=8,2x+5y=-4交点的纵坐标为0,则k 的值为( ) A .4 B .-4 C .2 D .-2 二、填空题 1.点(2,3)在一次函数y=2x-1的________;x=2,y=3是方程2x-y=1的_______. 2.已知4,353x y ?=????=?? 是方程组3,12 x y x y +=?? ?-=??的解,那么一次函数y=3-x 和y=2x +1的交点是________. 3.一次函数y=3x+7的图像与y 轴的交点在二元一次方程-?2x+?by=?18?上,?则b=_________. 4.已知关系x ,y 的二元一次方程3ax+2by=0和5ax-3by=19化成的两个一次函数的图像

教案设计《一次函数与二元一次方程》

一次函数与二元一次方程(组) 人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级上册第十一章第三节 一、教材分析 1、教材的地位和作用 函数、方程和不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型。用函数的观点看方程(组)与不等式,使学生不仅能加深对方程(组)、不等式的理解,提高认识问题的水平,而且能从函数的角度将三者统一起来,感受数学的统一美。本节课是学生学习完一次函数、一元一次方程及一元一次不等式的联系后对一次函数和二元一次方程(组)关系的探究,学生在探索过程中体验数形结合的思想方法和数学模型的应用价值,这对今后的学习有着十分重要的意义。 2、教学重难点 重点:一次函数与二元一次方程(组)关系的探索。 难点:综合运用方程(组)、不等式和函数的知识解决实际问题。 3、教学目标 知识技能:理解一次函数与二元一次方程(组)的关系,会用图象法解二元一次方程组。 数学思考:经历一次函数与二元一次方程(组)关系的探索及相关实际问题的解决过程,学会用函数的观点去认识问题。 解决问题:能综合应用一次函数、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程(组)解决相关实际问题。 情感态度:在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神,在师生、生生的交流活动中,学会与人合作,学会倾听、欣赏和感悟,体验数学的价值,建立自信心。 二、教法说明 对于认知主体——学生来说,他们已经具备了初步探究问题的能力,但是对知识的主动迁移能力较弱,为使学生更好地构建新的认知结构,促进学生的发展,我将在教学中采用探究式教学法。以学生为中心,使其在“生动活泼、民主开放、主动探索”的氛围中愉快地学习。 三、教学过程 (一)感知身边数学 多媒体播放一段发生在电信公司里的情景:一顾客准备办理上网业务,发现有两种收费方式:方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费;方式B除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费。顾客说他每月上网的费用按这两种收费方式计算都是一样多。求这位顾客打算每月上网多长时间?多少费用?

二次方程与二次函数基础知识

十字相乘法与一元二次方程(函数) 一元二次方程20ax bx c ++=的求根公式是 ,韦达定理是 . 1. 用十字相乘法分解因式: (1)232x x ++ (2)256x x -+ (3)256x x -- (4)2865x x +- (5)2656x x -- (6)241615x x -+ 2. 解一元二次方程: (1)213360x x ++= (2)22480x x --= (3)22950x x ++= (4)23710x x -+= 3. 若1x 和2x 分别是一元二次方程22530x x +-=的两根. (1)12x x -= ;(2)2221x x += (3) 1211x x += (4) 2212 11x x += 4.(1)已知一个一元二次方程的两根之和为10,两根之积为13. 求此方程. (2) 已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数.

二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:2() (0)f x ax bx c a (2)顶点式:2()()(0)f x a x m n a (3)零点式:12() ()()(0)f x a x x x x a 二次函数2()(0)f x ax bx c a 的顶点坐标是_________ ,对称轴方程是__________ 5. 画出下列二次函数图象: (1)23y x = (2)233y x =-+ (3)2(2)1y x =-+ 6. 用配方法求顶点坐标: (1)221212y x x =++ (2)21212y x x = -- (3)2132 y x x =-+ (4)21y x x =-++ 7.二次函数的图象分别满足下列条件,分别求相应的二次函数解析式: (1)顶点(1,2)--,过点(1,6)- (2)过三点(2,3)A --,(0,1)B -,(1,3)C

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