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二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习

二项分布?还是超几何分布

二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型,实际中的许多问题都可以利用 这两个概率模型来解决.在实际应用中,理解并区分两个概率模型是至关重要的.下面举例进行对比辨析. 例1袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.求: (1)有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列; (2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列.

解:(1)有放回抽样时,取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率

均为

51,3次取球可以看成3次独立重复试验,则1~35X B ??

???

,. 0

3

3

1464(0)55125P X C ????==?= ? ?????∴; 1

2

131448(1)55125P X C ????==?=

? ?????; 2

1

23

1412(2)55125P X C ????==?= ? ?????; 3

33141(3)55125

P X C ????==?= ? ?????. 因此,X 的分布列为

(2)不放回抽样时,取到的黑球数Y可能的取值为0,1,2,且有:

03283107(0)15C C P Y C ===;12283107(1)15C C P Y C ===;21283101

(2)15

C C P Y C ===.

因此,Y 的分布列为

Y 0 1 2

P

715 715 1

15

例2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本

称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为(490,495],(495,500],……,(510,515],由此 得到样本的频率分布直方图,如图4

(1)根据频率分布直方图,求重量超过505克的产品数量,

(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y 为重量超过505克

二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习

的产品数量,求Y 的分布列;

(3)从该流水线上任取5件产品,求恰有2件产品的重量超过505

克的概率。

X 0 1 2 3 P

64125 48125 12125 1

125

17.:(1)505????解重量超过克的产品数量是:

40(0.055+0.015)=400.3=12.(2)Y 的分布列为:

2

2353

(3)10

373087*********

3087

.10000

设所取的5件产品中,重量超过505克的产品件数为随机变量Y,则Y

B(5,),

从而P(Y=2)=C (

)()=.即恰有2件产品的重量超过505克的概率为

超几何分布与二项分布特点

(A)判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征: 一个总体(共有N 个)内含有两种不同的事物()A M 个、()B N M -个,任取n 个,其中恰有X 个

A .符合该条件的即可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列()k n k M N M

n

N

C C P X k C --== (0,1,2,,k m =)进行处理就可以了.

(B)二项分布必须同时满足以下两个条件:①在一次试验中试验结果只有A 与A 这两个,且事件A 发生的概 率为p ,事件A 发生的概率为1p -;②试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件A 发生 的概率都是同一常数p ,事件A 发生的概率为1p -.

辨析:通过2个例可以看出:有放回抽样时,每次抽取时的总体没有改变,因而每次抽到某物的概率都是相同的,可以看成是独立重复试验,此种抽样是二项分布模型.而不放回抽样时,取出一个则总体中就少一个,因此每次取到某物的概率是不同的,此种抽样为超几何分布模型.因此,二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.所以,在解有关二项分布和超几何分布问题时,仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的.例1与例2中的EX=EY=0.6 注意 ▲ 超几何分布和二项分布都是离散型分布

超几何分布和二项分布的判断方法

(1)超几何分布需要知道总体的容量,而二项分布不需要; (2)超几何分布是不放回抽取,而二项分布是放回抽取(独立重复) (3)当总体的容量非常大时,超几何分布近似于二项分布。

Y 0

1

2

P

228

240

C C 112812

2

40

C C C ? 212

240

C C

二项分布、超几何分布、正态分布练习题

一、选择题

1.设随机变量ξ~B ???

?6,1

2,则P (ξ=3)的值为( ) A.516 B.316 C.58 D.7

16

2.设随机变量ξ ~ B (2,p ),随机变量η ~ B (3,p ),若P (ξ ≥1) =5

9,则P (η≥1) =( )

A.13

B.59

C.827

D.1927

3.一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球 出现10次时停止,设停止时共取了ξ次球,则P (ξ=12)=( )

A .C 1012????3810·????582

B .

C 911????389????582·38 C .C 911????589·????382

D .C 911????389·???

?582 4.在4次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则 事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )

A .[0.4,1)

B .(0,0.6]

C .(0,0.4]

D .[0.6,1) 5.已知随机变量ξ服从正态分布N (2,σ2),P (ξ≤4)=0.84,则P (ξ<0)=( ) A .0.16 B .0.32 C .0.68 D .0.84 二、填空题

6.某篮运动员在三分线投球的命中率是1

2,他投球10次,恰好投进3个球的概率________.

7.从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出两个球,设其中有X 个红球,则X 的分布列为______. 8.某厂生产的圆柱形零件的外径ε~N (4,0.25).质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件,测得它的外径为5.7 cm.则该厂生产的这批零件是否合格________. 三、解答题

9、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康,要求产品在进入市场前必须进行两轮核

辐射检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率 为

16,第二轮检测不合格的概率为110

,两轮检测是否合格相互没有影响. (Ⅰ)求该产品不能销售的概率;

(Ⅱ)如果产品可以销售,则每件产品可获利40元;如果产品不能销售,则每件产品亏损

80元(即获利-80元).已知一箱中有产品4件,记一箱产品获利X 元,求X 的分布 列,并求出均值E (X ).

频率组距

20 25 30 35 40 45 年龄

10、为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机

抽样100名志愿者的年龄情况如下表所示. (Ⅰ)频率分布表中的①、②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图(如图),

再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[3035,)岁的人数; (Ⅱ)在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活

动,从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人,记这2名志愿者中“年龄低于30岁” 的人数为X ,求X 的分布列及数学期望.

11、2015年南京青奥组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图(单位:cm ):若身高在175cm 以上(包括175cm )定义为“高个子”,身高在175cm 以下(不包括175cm )定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.

(Ⅰ)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人,

再从这5人中选2人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?

(Ⅱ)若从所有“高个子”中选3名志愿者,用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,

试写出ξ的分布列,并求ξ的数学期望.

分组 (单位:岁) 频数 频率

[)20,25 5 050.0

[)25,30 ① 200.0 [)30,35 35 ② [)35,40 30 300.0

[]40,45 10 100.0 合计 100 00.1

二项分布、超几何分布、正态分布参考答案

1、解析:P (ξ=3)=C 36? ????123? ????1-123=516. 答案:A

2、解析:∵P (ξ≥1) =2p (1-p )+p 2

=59, ∴p =13

∴P (η≥1) =C 13? ????13? ????232+C 23? ????132? ????23+C 33? ????133

=1927

,故选D.

3、解析:P (ξ=12)表示第12次为红球,前11次中有9次为红球,从而P (ξ=12)=C 9

11·? ????389? ????582×38

.

答案:B

4、解析:C14p (1-p )3

≤C24p 2

(1-p )2

,即2(1-p )≤3p ,∴p ≥0.4.又∵p <1,∴0.4≤p <1 5、解析:∵P (ξ≤4)=0.84,μ=2,∴P (ξ<0)=P (ξ>4)=1-0.84=0.16.故选A. 6、解析:由题意知所求概率P =C 310? ????123? ????127

=15128

.

7、解析:这是超几何分布,P (X =0)=C 03C 2

2C 25=0.1;P (X =1)=C 13C 1

2C 25=0.6; P (X =2)=C 23C 0

2

C 25

=0.3,

分布列如下表:

8、解析:根据3σ原则,在4-3×0.5=2.5~4+3×0.5=5.5之外为异常,所以这批零件不合格. 9、(Ⅰ)记“该产品不能销售”为事件A ,则1

11()1(1)(1)6104

P A =--?-

=. 所以,该产品不能销售的概率为

1

4

. (Ⅱ)由已知,可知X 的取值为320,200,80,40,160---.

411(320)()4256P X =-==, 1

34133(200)()4464P X C =-=??=,

22241327(80)()()44128P X C =-=??=,3341327(40)()4464P X C ==??=, 4381

(160)()4256

P X ===.

所以X 的分布列为

X -320

-200

-80

40

160

P

1

256 364 27128 2764 81

256

……………………………………11分 E (X )11272781

32020080401602566412864256

=-?-?-?+?+?

40=, 故均值E (X ) = 40.……12分

X 0 1 2 P

0.1

0.6

0.3

频率组距

20 25 30 35 40 45 年

10、(Ⅰ)①处填20,②处填35.0;

补全频率分布直方图如图所示. 500名志愿者中年龄在[)35,30

的人数为 0.35500175?=人.

(Ⅱ)用分层抽样的方法,从中选取20人,

则其中“年龄低于30岁”的有5人, “年龄不低于30岁”的有15人. 故X 的可能取值为0,1,2;

21522021

(0)38

C P X C ===,

1115522015(1)38C C P X C ===, 252202

(2)38C P X C ===,……11分

所以X 的分布列为:

X

0 1 2 P

2138 1538 238 ∴ 211521

0123838382

EX =?+?+?

=. 11、(Ⅰ)根据茎叶图,有“高个子”12人,“非高个子”18人……1分

用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是

6

1

305=………2分 所以选中的“高个子”有26112=?人,“非高个子”有36

1

18=?人.……3分

用事件A 表示“至少有一名“高个子”被选中”,则它的对立事件A 表示“没有一名“高个子”被选中”,

则()P A =-125

2

3

C C 1071031=-=.……5分

因此,至少有一人是“高个子”的概率是10

7

.…6分

(Ⅱ)依题意,ξ的取值为0,1,2,3.………………7分

5514C C )0(31238===ξP , 5528C C C )1(3

1228

14===ξP , 5512C C C )2(3121824===ξP , 55

1C C )3(3

1234

===ξP ……9分 因此,ξ的分布列如下:

ξ 0 1 2

3

p 5514 5528 55

12

551 ……10分

155

13551225528155140=?+?+?+?

=ξ∴E .…………12分