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三角函数中蕴含的数学之美

三角函数中蕴含的数学之美
三角函数中蕴含的数学之美

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/fd17350095.html,

三角函数中蕴含的数学之美

作者:王燕

来源:《新课程学习·中》2013年第09期

摘要:数学中充满着美的因素。如何去解读数学中的美?感受它、喜爱它。以三角函数

为例,引领学生去感受数学之美。

关键词:美;学习兴趣;抽象美

美是能够引起人们愉悦或使人感到和谐、快慰或让人产生爱(或类似爱)的情感、欣赏享受感、心旷神怡感或有益于人类、社会的客观事、物的一种特殊属性。通常我们所说的美以自然美、社会美以及此基础上的艺术美、科学美的形式存在。数学美是自然美的客观反映,是科学美的核心,是数学中奇妙的、有规律的、让人愉悦的美的东西。

我国著名数学家华罗庚说:“就数学本身而言是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人,只是看到了数学的严谨性,而没有体会出数学的内在美。”

数学中充满着美的因素。数学家徐利治说:“作为科学语言的数学,具有一般语言文字与艺术所共有的美的特点,即数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的某种美,即所谓数学美。数学美的含义是丰富的,如数学概念的简单性、统一性,结构关系的协调性、对称性,数学命题与数学模型的概括性、典型性、普遍性,还有数学中的奇异性等都是数学美的具体内容。”

数学美有别与其他形式的美。它没有鲜艳的色彩,没有美妙的声音,没有动感的画面。它却是一种独特的美。它的美可表现在数学对象的外表:精美的图形、优美的公式、巧妙的解法。但总的来说:数学中的美还是深深地蕴含在它的基本结构之中,这种内在的理性美学生往往难以感受、认识和理解。

在数学教学中,如何解读数学的美,让学生充分感受数学的美,培养和提高学生的审美能力,激发学生对数学美的热爱和追求,进而提高学生对数学的学习兴趣。笔者以三角函数为例,分别从以下几方面发掘数学中蕴含的美的因素。

一、对称美

数学作为研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学,其中充斥着对称之美。有几何图形的对称,还有定理、公式的对称。而最易让学生感受,并产生强烈的视觉美感的莫过于几何图形、函数图象的对称之美。

例如,在讲解“三角函数y=sinx的图象和性质”时,可这样设计教学过程:

中职数学三角函数练习题

第五单元测试题 姓名: 班别: 一、 选择题: 1.与角?-30终边相同的角的集合是( ); A.},36030|{Z k k x x ∈??+?= B.},18030-|{Z k k x x ∈??+?= C.},27030|{Z k k x x ∈??+?-= D.},36030|{Z k k x x ∈??+?-= 2.角 3 7π所在的象限为( ); A.一 B.二 C.三 D.四 - 3.设角α的终边经过点)1,3(-,则ααtan cos +等于( ); A.231+- B.231-- C.63 D.63- 4.已知角α的终边经过点),2(a ,且54 sin -=α,则a 的值为( ); A.38 B.38- C.83± D.83- 5.计算6tan 6cos 4tan 2cos 3tan 3sin π πππππ ?+?-?的结果为( ); A.1 B.1- C.2 D.2- 6.如果θsin 与θcos 同号,则角θ所在的象限为( ); A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 ( 7.若角α是ABC ?的一个内角,且5 1cos =α,则αsin 等于( ); A.54 B.562 C. 562- D.562±

8.若角α第三象限角,则化简αα2sin 1tan -?的结果为( ); A.αsin - B.αsin C.αcos D.αcos - 9.若5tan -=α,且α第二象限角,则αsin 的值为( ); A.66 B.66- C. 630- D.630 10.若角α是钝角三角形中的最大角,则化简ααααcos sin 1sin cos 122-+-的结果为 ( ); A.0 B.1 C.2 D.2- | 11.化简1)cos()cos()(sin 2+-?+-+ααπαπ的结果为( ); A.1 B.α2sin 2 C.0 D.2 12.已知21tan =α,则ααα αsin 4cos 3sin 4cos -+等于( ); A.3 B.12- C.3- D.21 13.函数x x x f cos ||)(+=是( ); A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 14.下列函数中是奇函数的是( ); A.1sin -=x y B.|sin |x y = C.x y sin -= D.1cos 3+=x y " 15.函数x y sin 3-=的最大、最小值分别是( ); A.2,4 B.4,2 C.3,1 D.4,2- 16.下列命题中正确的是( ).

三角函数的基本概念与诱导公式

三角函数的概念、基本关系式及诱导公式 一、角的相关概念 1、按旋转方向的不同形成_________,___________,___________ 2、终边位置的不同形成__________,__________,____________ 例如:第一象限角的集合________________ 终边在y 轴上角的集合_________________ 终边在x 轴上角的集合_________________ 3、终边相同的角的集合________________ 4、注意第一象限角、锐角的不同,钝角与第二象限角的不同 5、已知α是第二象限的角,则 2 α是第几象限的角? 二、弧度制与角度制: 1、弧度制的定义:圆周上弧长等于_______的弧所对的圆心角的大小为1弧度(1rad ) 2、 3602=π 180=π _______1=rad rad _______1= 弧度制与角度制的换算_________________________________ 3、扇形的弧长、面积公式 ____________________________________________ 例1、已知一扇形周长为)0(>C C ,当扇形中心角为多少弧度时,它的面积最大? 例2、扇形中心角为 120,则扇形面积与其内切圆的面积之比为_____________ 三、任意角的三角函数: 1、定义:设α是一个任意角,α的终边上任一点),(y x P O 为坐标原点,则 )(022y x r r OP +=>=则 r y = αsin r x =αcos x y =αtan y r =αcsc _____sec =α _____cot =α 实质是____________________ 2、三角函数的符号___________________________ 3、特殊角的三角函数值: ___________________________________________________________ 四、单位圆与三角函数线: 1、第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限的角的三角函数线 2、三角函数线的应用——用来解决三角不等式

三角函数中的数学思想

学习方法报社 全新课标理念,优质课程资源 1 第1 页共1 页 三角函数中的数学思想 山东侯怀有苗伟 一、方程思想 例1 如图1,为了知道空中一静止的广告气球A的高度,小宇在B处测得气球A的仰角为18°,他向前走了20m到达C处后,再次测得气球A的仰角为45°.已知小宇的眼睛距地面1.6m,求此时气球A距地面的高度(参考数据:sin18°≈0.309,cos18°≈0.951, tan18°≈0.325;结果精确到0.1m). 图1 解析:如图1,过点A作AD⊥BC于点D,交FG于点E. ∵∠AGE=45°,∴AE=GE. 设AE=xm,则GE=xm,tan∠AFE= AE EF ,即tan18°= 20 x x+ ,解得x≈9.63. 易得ED=FB=1.6.∴AD=AE+ED≈9.63+1.6=11.23≈11.2(m). 即此时气球A距地面的高度约为11.2m. 点评:方程思想是解直角三角形最常用的思想方法之一,其应用的关键是找出等量关系,列出方程. 二、分类讨论思想 例2 在△ABC中,AB=8,∠ABC=30°,AC=5,求BC的长. 分析:本题没有给出图形,∠C可能是锐角也可能是钝角,因此要分类求解. 解:当∠C为锐角时,如图2-①,过点A作AD⊥BC于点D . Rt△ABD中,AB=8,∠ABD=30°,则AD=4,BD=43; 在Rt△ACD中,AC=5,AD=4,由勾股定理,得CD=22 AC AD -=3. ∴BC=BD+CD=43+3. 当∠C为钝角时,如图2-②,过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D . 同理(1)可求得CD=3,BD=43,则BC=BD-CD=43-3. 综上,BC的长为43+3或43-3. 图2 点评:在没有给出图形的问题中,往往需要分类讨论,注意考虑全面,不要漏解.

中职数学三角函数试卷

中等职业技术学校 数学基础模块上册《三角函数》试卷 班级 姓名 座号 评分 一、选择题.(每小题4分,共40分.) 1、已知α是锐角,则2α是( ) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 小于180°的正角 D. 不大于直角的正角 2、下列各角中,与330°角终边相同的角是( ) A. 510° B. 150° C. -150° D. -390° 3、角326 π是第( )象限角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 4、若α是△ABC 的一个内角,且53 cos -=α,则=αsin ( ) A. 54 B. 53- C. 54- D. 53 5、已知=αsin 54 ,且α∈( 0 ,π),则=αtan ( ) A. 34 B. 43 C. ±34 D. ±43 6、?600sin 等于( ) A.21 B. -21 C. 23 D. -23 7、若,0cos sin >?θθ 则角θ属于( ) A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第三、四象限 8、在△ABC 中,已知21 sin =A ,则∠A =( ) A. 30° B. 60° C. 60°或120° D. 30°或150° 9、下列四个命题中正确的是( ) ①x sin y =在[-π,π]上是增函数 ②x sin y =在第一象限上是减函数 ③x cos y =在[-π,0]上是增函数④x cos y =在第一象限上是减函数 A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 10、计算:=?-?+?-?0cos 270sin 180cos 90sin ( ) A. 1 B. -1 C. -2 D. 0 二.填空题.(每小题4分,共28分) 1、与-45°角终边相同的角的集合S= .

三角函数基本概念

三角函数基本概念 1.角的有关概念 (1)从运动的角度看,角可分为正角、负角和零角.(2)从终边位置来看,可分为象限角和轴线角. (3)若α与β是终边相同的角,则β可用α表示为S ={β|β=α+k ·360°,k ∈Z }(或{β|β=α+2k π,k ∈Z }). 2.象限角 3.弧度与角度的互化 (1)1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad 表示. (2)角α的弧度数:如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,那么l =rα,角α的弧度数的绝对值是|α| = l r . (3)角度与弧度的换算①1°=π 180rad ;②1 rad =?π 180 (4)弧长、扇形面积的公式:设扇形的弧长为l ,圆心角大小为α(rad),半径为r ,又l =rα,则扇形的面积为 S =12lr =12 |α|·r 2 . 4.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),那么 y 叫做的正弦,记作sin x 叫做的余弦,记作cos x y 叫做的正切,记作tan α 三角函数 正弦 余弦 正切 各象限符号 Ⅰ 正 正 正 Ⅱ 正 负 负 Ⅲ 负 负 正 Ⅳ 负 正 负 各象限符号 口诀 一全正,二正弦,三正切,四余弦 5.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P ,过P 作PM 垂直于x 轴于M ,则点M 是点P 在x 轴上的正射影.由三角函数的定义知,点P 的坐标为(cosα,sinα),即P(cosα,sinα),其中cosα=OM ,sinα=MP ,单位圆与x 轴的正半轴交于点A ,单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ,则tanα=AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.

高中数学三角函数知识点归纳总结

《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线,围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角,不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角:{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角:{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角:{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角:{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角:{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角: {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角:{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角: {}090αα<

,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制:弧长等于半径时,所对的圆心角为1弧度的圆心角,记作1rad . 7、角度与弧度的转化:01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长:l R α=?;面积:211 22 S l R R α=?=?,注意:这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦:sin y r α=;余弦cos x r α=;正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标,r = 2、三角函数值对应表: 3、三角函数在各象限中的符号

上海教材三角函数的概念、性质和图象

三角函数的概念、性质和图象 复习要求(以下内容摘自《考纲》) 1. 理解弧度的意义,并能正确进行弧度和角度的换算. 2. 掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值、三角函数的性质、同角三角函数的关系式与诱导公式,了解周期函数和最小正周期的意义.会求y =A sin(ωx +?)的周期,或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期,能运用上述三角公式化简三角函数式,求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式. 3. 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数y =A sin(ωx +?)的简图,并能解决与正弦曲线有关的实际问题. 4.正弦函数、余弦函数的对称轴,对称点的求法。 5.形如y x y y x y cos sin cos sin -=+=或 的辅助角的形式,求最大、最小值的总题。 6.同一问题中出现y x y x x x cos sin ,cos sin ,cos sin ?-+,求它们的范围。如求y x y x y cos sin cos sin ?++=的值域。 7.已知正切值,求正弦、余弦的齐次式的值。 如已知求,2tan =x 4cos cos sin 2sin 22++?+y y x x 的 8 正弦定理:)R R C c swinB b A a 为三角形外接圆的半径(2sin sin === C B A c b a s i n :s i n :s i n ::= 余弦定理:A ab c b a cos 2222-+=,…ab a c b A 2cos 2 22-+= 可归纳为表9-1. 表9-1 三角函数的图象三、主要内容及典型题例 三角函数是六个基本初等函数之一,三角函数的知识包括三角函数的定义、图象、性质、

三角函数中数学思想方法解析

三角函数中数学思想方法解析 在三角函数这一章的学习和复习过程中,熟练掌握以下几种数学思想方法,有助于提高同学们灵活处理问题和解决问题的能力。下面通过例题透视三角函数中的数学思想。 1、数形结合思想 三角函数中可利用的图形有两类,即函数图象和三角函数线(单位圆). 例1 求不等式x x cos sin >在[]ππ,-上的解集。 解析:设x y sin 1=,x y cos 2=,在同一坐标系中作出在[]π,0上两函数图像(如图 1),在[]π,0上解得x x cos sin =的解为4π =x 或 43π= x ,故由图像得要使得21y y >,即4 34ππ<

职高数学第五章三角函数习题及答案

练习5.1.1 1、一条射线由原来的位置OA ,绕着它的端点O ,按逆时针(或顺时针)方向旋转到另一位置OB 就形成角α.旋转开始位置的射线OA 叫角α的 ,终止位置的射线OB 叫做角α的 ,端点O 叫做角α的 . 2、按逆时针方向旋转所形成的角叫做 ,按顺时针方向旋转所形成的角叫做 .当射线没有作任何旋转时,也认为形成了一个角,这个角叫做 . 3、数学中经常在平面直角坐标系中研究角.将角的顶点与坐标原点重合,角的始边在x 轴的正半轴,此时,角的终边在第几象限,就把这个角叫做 。终边在坐标轴上的角叫做 4、—1950角的终边在 ( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 答案: 1、始边 终边 顶点 2、正角 负角 零角 3、第几象限的角 界限角 4、B 练习5.1.2 1、 与角α终边相同的角有无限多个,它们所组成的集合为 2、 写出终边在x 轴上的角的集合 3、 在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并指出它们是哪个象限的角: ⑴—50°; ⑵1650°; (3) -3300°. 答案: 1、S ={β︱360,k k βα=+?∈Z o }. 2、},180|{0 Z n n ∈?=ββ 3、 (1) 3100 第四象限角 (2)2100 第三象限角 (3)3000 第四象限 练习5.2.1 1、将等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 ,记作 .以弧度为单位 来度量角的单位制叫做 . 2、 把下列各角从角度化为弧度: ⑴ 150°; ⑵305°; ⑶ —75°;

3、 把下列各角从弧度化为角度: ⑴π3 2-; ⑵π65; ⑶π125; 答案: 1、1弧度的角 1弧度或1rad 弧度制 2、 (1)π65 (2) π3661 (3)—π125 3、 (1) —1200 (2)1500 (3) 750 练习5.2.2 1.填空: ⑴ 若扇形的半径为5cm ,圆心角为30°,则该扇形的弧长l = ,扇形面 积S = . ⑵ 已知10°的圆心角所对的弧长为2m ,那么这个圆的半径是 m . 2.自行车行进时,车轮在1min 内转过了50圈.若车轮的半径为0.4m ,则自行车1小时前进了多少米? 答案: 1、(1)π6 5 cm π1225 cm 2 (2)π 36 2、π2400米 练习5.3.1 已知角α的终边上的点P 的座标如下,分别求出角α的正弦、余弦、正切值: ⑴)2,5(-P ; ⑵)4,3(P ; ⑶)23,21(- P . 答案: (1) 52tan ,29295cos ,29292sin -=-== ααα (2)3 4tan ,53cos ,54sin ===ααa (3)3tan ,21cos ,23sin -=-==a a a

-高中三角函数知识点复习总结

第四章 三角函数 一、三角函数的基本概念 1.角的概念的推广 (1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转) (2)终边相同角:)(3600Z k k ∈+?=αβ (3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 2.角的度量 (1)角度制与弧度制的概念 (2)换算关系:8157)180(1) (180'≈==οο ο π π弧度弧度 (3)弧长公式:r l ?=α 扇形面积公式:22 1 21r lr S α== 3.任意角的三角函数 y x x y x r r x y r r y = ===== ααααααcot tan sec cos csc sin 注:三角函数值的符号规律“一正全、二正弦、三双切、四余弦” 二、同角三角函数的关系式及诱导公式 (一) 诱导公式: α±? 2 k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“立变平不变,符号 看象限”。如: ()?? ? ??--??? ??+απαπαπ25sin ;5tan ,27cos 等。 (二) 同角三角函数的基本关系式:①平方关系1 cos sin 22 =+αα; α ααα22 22tan 11cos cos 1tan 1+=?= +②商式关系 α α α tan cos sin =;αααcot sin cos =③倒数关系1cot tan =αα;1sec cos ;1csc sin ==αααα。 (三) 关于公式1cos sin 22 =+αα的深化

() 2 cos sin sin 1ααα±=±; α ααcos sin sin 1±=±; 2 cos 2 sin sin 1α α α+=+ 如: 4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+;4cos 4sin 8sin 1-=- 注:1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为ο0~ο90角的三角函数。 2、主要用途: a) 已知一个角的三角函数值,求此角的其他三角函数值(①要注意题设中角的范围,②用三角函数的定义求解会更方便); b) 化简同角三角函数式; 证明同角的三角恒等式。 三、两角和与差的三角函数 (一)两角和与差公式 ()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=± ()β αβαβαsin sin cos cos cos μ=± ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan μ±= ± (二)倍角公式 1、公式βαα cos sin 22sin = cos 2α= 2 2cos 1α + sin 2α= 2 2cos 1α - ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= α αα2tan 1tan 22tan -= α α ααα sin cos 1cos 1sin 2 tan -= += )sin(cos sin 22?ααα++=+b a b a )sin ,(cos 2 2 2 2 b a a b a b += += ?? 注: (1)对公式会“正用”,“逆用”,“变形使用”。(2)掌握“角的演变”规律(3)将公式和其它知识衔接起来使用。(4)倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律,可实现函数式的降幂的变化。 2、两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型: (1)求值 ①“给角求值”:给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点,找出和特殊角之间的关系,利用公式转化或消除非特殊角 ②“给值求值”:给出一些角得三角函数式的值,求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解 ③ “给值求角”:转化为给值求值,由所得函数值结合角的范围求出角。 ④ “给式求值”:给出一些较复杂的三角式的值,求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简,再求之 三角函数式常用化简方法:切割化弦、高次化低次 注意点:灵活角的变形和公式的变形, 重视角的范围对三角函数值的影响,对角的范围要讨论

高中数学_生活中的三角函数教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计 一.课前教学设计: (一)提前一周学生活动:按照五个教学班把学生分成五组,以“生活中的三角函数”为课题查找材料,选出组长、确定主讲人,制作PPT 或视频、文件材料,做好课上交流的准备。 教师活动:及时监督、指导学生活动的进度、内容、分工和辅导学生发言和研究工作。 设计意图:前面对三角函数的定义、图象和性质的学习是纯数学知识,三角函数来源于生活、服务于生活的理念学生并不知晓,为了调动学生的学习兴趣和学习积极性,让学生自己发现、挖掘、猜想和应用生活中的三角函数,大大提高了学生的参与度和学习兴趣,为数学建模做好铺垫。 (二)上课前一晚的教学活动:给学生发自主学习任务单,学生独立完成,教师及时批阅。 1. 函数 f (x) Asin( x ) B(A 0, 0) 的图象与性质 (1) 图象的画法:“五点法”和图象变换法. (2) 定义域: ____________ . (3) 值域:_______________ .当x _______ ( k Z)时,f (x) 取最大值 A B ; 当x _________ (k Z)时,f(x) 取最小值 A B. 思考:如何用 f(x)max和f(x)min求A和B的值? (4) 周期:T ______ .

(5) 奇偶性:当且仅当k (k Z )时,函数f(x) Asin( x ) 是

换? 设计意图: 复习并巩固函数 f(x) Asin( x ) B(A 0, 0)的图象与 性质,为本课做好知识储备。 二.课堂教学设计: (一)复习反馈: 对自主学习任务单的内容进行总结性讲评, 学生的易错点是 函 数 f(x) Asin( x ) B(A 0, 0)的对称中心是 (k ,B)(k Z) , 教师强 调第 2 题图象变换的格式。 (二)新课引入: 学生朗读唐·白居易《琵琶行》片段并配有琵琶乐曲:“低眉 信手续续弹,说尽心中无限事.轻拢慢捻抹复挑, 初为《霓裳》后《六 幺》.大弦嘈嘈如急雨,小弦切切如私语.嘈嘈切切错杂弹,大珠小 珠落玉盘.间关莺语花底滑,幽咽泉流冰下难.冰泉冷涩弦凝绝,凝 绝不通声暂歇. 别有幽愁暗恨生, 此时无声胜有声??座中泣下谁最 多?江州司马青衫湿. ”学生深情地朗读完后, 教师现场采访该学生, 师说:“你能从这首诗里感受到数学的韵律函数; 当且仅当 k (k Z )时,函数 f (x) Asin( x ) 是 _______ 函数. 2 (6) 单调性:单调递增区间是每一个 单调递减区间是每一个 (7) 对称性:函数图象与 x 轴的交点是对称中心,即对称中心是 ,对称轴与函数图象的交点的纵坐标是函数的最值 称轴是直线 2. f (x) Asin( x )(x R,A 0, 2)的图象如图所示. 1) 求 f(x) 的解析式; 2) 要得到 y sin x 的图象,只需将 f ( x)的图象进行怎样的图象变

5.2 三角函数的概念(解析版).docx

5.2 三角函数的概念 A 组-[应知应会] 1.(2020·周口市中英文学校高一期中)已知角α终边经过点122P ?? ? ??? ,则 cos α=( ) A . 1 2 B C D .12 ± 【参考答案】B 【解析】由于1,r OP x === ,所以由三角函数的定义可得cos x r α==,应选参考答案B . 2.(2019·渝中·重庆巴蜀中学高一期末)若cos 0θ<,cos sin θθ-=那么θ的( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角 D .第四象限角 【参考答案】C 【解析】由题意得sin cos θθ==-, 即cos sin sin cos θθθθ-=-,所以sin θcos θ 0,即sin cos θθ≤,又cos 0θ<,所以sin 0,θ<θ位于第三象限,故选C. 3.若α为第二象限角,则下列各式恒小于零的是( ) A .sin cos αα+ B .tan sin αα+ C .cos tan αα- D .sin tan αα- 【参考答案】B 【分析】画出第二象限角的三角函数线,利用三角函数线判断出sin tan 0αα+<,由此判断出正确选项. 【解析】如图,作出sin ,cos ,tan ααα的三角函数线,显然~OPM OTA ??,且MP AT <,∵0MP >,0AT <,∴MP AT <-.∴0MP AT +<,即sin tan 0αα+<.故选B. 4.若角α的终边经过点()() sin 780,cos 330P ?-?,则sin α=( ) A B . 12 C D .1 【参考答案】C 【分析】利用诱导公式化简求得P 点的坐标,在根据三角函数的定义求得sin α的值.

高考中常见的三角函数题型和解题方法-数学秘诀

第12讲 三角函数 高考试题中的三角函数题相对比较传统,难度较低,位置靠前,重点突出。因此,在复习过程中既要注重三角知识的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习,又要注重三角知识的工具性,突出三角与代数、几何、向量的综合联系,以及三角知识的应用意识。 一、知识整合 1.熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点,常规使用方法等;熟悉三角变换常用的方法——化弦法,降幂法,角的变换法等;并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明;掌握三角变换公式在三角形中应用的特点,并能结合三角形的公式解决一些实际问题. 2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数的性质;熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点,并会用五点画出函数sin()y A x ω?=+的图象;理解图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这两种变换研究函数图象的变化. 二、高考考点分析 2004年各地高考中本部分所占分值在17~22分,主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分,我认为有以下几个层次: 第一层次:通过诱导公式和倍角公式的简单运用,解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次:三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。 第三层次:充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质,解决较复杂的函数问题。如分段函数值,求复合函数值域等。 三、方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos 2θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 (2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2 x ;配凑角:α=(α+β)-β,β= 2 β α+- 2 β α-等。 (3)降次与升次。(4)化弦(切)法。 (4)引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+?),这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定,?角的值由tan ?= a b 确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。 (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。 四、例题分析

三角函数基本概念和表示

第三章三角函数 第一节三角函数及概念 复习要求: 1.任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化; 2.三角函数 (1)借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义; (2)借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。 知识点: 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置,绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止 位置,就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边,叫终边,射 线的端点叫做叫的顶点。 2.角的分类 为了区别起见,我们规定: 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。 3.象限角 角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合。那么,角的终边(除端点外)落在第几象限,我们就说这个角是第几象限角。 (1)第一象限角的集合: |22, 2 k k k Z π απαπ ?? <<+∈ ???? (2)第二象限的集合:。 O

(3)第三象限角的集合: 。 (4)第四象限角的集合: 4.轴线角 角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合。若角的终边落在坐标轴上,称这个角为轴线角。它不属于任何象限,也称为非象限角。 5.终边相同的角 所有与角α终边相同的角连同角α在内,构成的角的集合,称之为终边相同的角。记为: {} |360,S k k Z ββα==+?∈或 {} |2,S k k Z ββαπ==+∈。它们彼此相差 2()k k Z π∈,根据三角函数的定义知,终边相同的角的各种三角函数值都相等。 6.区间角 区间角是指介于两个角之间的所有角,如5| ,6 666π πππααα? ??? =≤≤ =????? ???。 7,角度制与弧度制 角度制:规定周角的1 360为1度的角,记作0 1,它不会因圆的大小改变而改变, 与r 无关 弧度制:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角,记作1rad 或1弧度或1(单位可以省略不写)。 角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分,如-π,-2π等等,一般地, 正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 8.角的度量 (1)角的度量制有:角度制,弧度制 (2)换算关系:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π=o 。

三角函数知识点汇总

1三角函数的概念 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、角的概念与推广 1.任意角的概念:正角、负角、零角 2.象限角与轴线角: 与α终边相同的角的集合:},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合:{|22,}2 k k k Z π βπβπ<<+∈ 第二象限角的集合:{| 22,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 第三象限角的集合:3{|22,}2 k k k Z π βππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合:3{| 222,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合:{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合:{|,}2 k k Z π ββπ=+∈ 终边在坐标轴上的角的集合:{|,}2 k k Z π ββ=∈ 要点诠释: 要熟悉任意角的概念,要注意角的集合表现形式不是唯一的,终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 三角函数的概念 角的概念的推广、弧度制 正弦、余弦的诱导公式 同角三角函数的基本关系式 任意角的三角函数

考点二、弧度制 1.弧长公式与扇形面积公式: 弧长l r α= ?,扇形面积21 122 S lr r α==扇形(其中r 是圆的半径,α是弧所对圆心角的弧度数). 2.角度制与弧度制的换算: 180π=;180 10.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=; 要点诠释: 要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数 1. 定义:在角α上的终边上任取一点(,)P x y ,记r OP ==则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α=,cot x y α=,sec r x α=,csc r y α= 2. 三角函数线:如图,单位圆中的有向线段MP ,OM ,AT 分别叫做α的正弦线,余弦线,正切线. 3. 三角函数的定义域:sin y α=,cos y α=的定义域是R α∈;tan y α=,sec y α=的定义域是 {|,}2 k k Z π ααπ≠+ ∈;cot y α=,csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈. 4. 三角函数值在各个象限的符号: 考点四、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系:2 2 2222sin cos 1;sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α. 2. 商数关系:sin cos tan ;cot cos sin α α α= α= α α . 3. 倒数关系:tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α?α=αα=α?α= 要点诠释: ①同角三角函数的基本关系主要用于:(1)已知某一角的三角函数,求其它各三角函数值;(2)证明三角恒等式;(3)化简三角函数式. ②三角变换中要注意“1”的妙用,解决某些问题若用“1”代换,如2 2 1sin cos =α+α, 221sec tan tan 45=α-α== ,则可以事半功倍;同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法 及方程思想的运用. 考点五、诱导公式 1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号.

中职数学-三角函数教案(中职教学)

三角函数 一、任意角 1. 角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 A B α O ⑵“正角”与“负角”“0角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角,如图,以OA 为始边的角α=210°,β=-150°,γ=660°。 2100 -1500 6600 特别地,当一条射线没有作任何旋转时,我们也认为这时形成了一个角,并把这个角叫做零角。记法:角α或α∠ 可以简记成α。 2. “象限角” 角的顶点合于坐标原点,角的始边合于x 轴的正半轴,这样一来,角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限) 3. 终边相同的角 所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合。{ } Z k k S ∈?+==,360| αββ 二、弧度制 1. 定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad ,读做弧度, 这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制. 说明:(1)正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0 (2)角α 的弧度数的绝对值公式:l r α= (l 为弧长, r 为半径)

2. 角度制与弧度制的换算: ∵ 360?=2π rad ∴180?=π rad ∴ 1?= rad rad 01745.0180 ≈π '185730.571801 =≈?? ? ??=πrad 3. 两个公式 1)弧长公式:α?=r l 由公式:?= r l α α?=r l 比公式180 r n l π= 简单 弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积 2)扇形面积公式 lR S 2 1 = 其中l 是扇形弧长,R 是圆的半径 4. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住: 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π /6 2π 5. 应确立如下的概念:角的概念推广之后,无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系 正角 零角 负角 正实数 零 负实数 任意角的集合 实数集R

应用三角函数中的数学思想

应用三角函数中的数学思想 应用三角函数解决实际问题,常常涉及到一些数学思想,如方程思想,转化思想,建模思想等,熟练把握这些数学思想有利于我们更好的解决与之有关的问题. 一、建模思想 所谓建模思想,就是根据实际问题建立相应的数学模型来解决单纯的数学问题,以此达到解决实际问题的一种数学思想方法. 例1如图1,为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m ,计算需要准备多长水管? 分析:要求水管的长,根据实际问题,可以抽象出一个Rt △ABC (如图2),其中BC 的长为水管出口的高度,AB 的长为水管的长,∠BAC 为斜坡与水平面所成角.只要借助三角函数即可解决问题. 解:如图2,在Rt △ABC 中,BC=35m , ∠BAC=30°, 因为sin ∠BAC=AB BC , 所以AB 3521 , 图1 图2 所以AB=70, 所以需要准备70m 长水管. 二、转化思想 所谓转化思想,就是将未知转化为已知,将复杂转化为简单等的一种解题思想方法.如在解决实际问题中,可将非直角三角形转化为 直角三角形,从而利用三角函数解决问题. 例2 兰州市城市规划期间,欲拆除黄河岸边 的一根电线杆,已知电线杆AB 的水平距离14m

F E D C B A 处是河岸,即BD=14m.该河岸的坡面CD 的坡角∠CDF 的正切值为2,岸高CF 为2米,在坡顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°,D 、E 之间是宽 2m 的人行道,请你通过计算说明在拆除电线杆A B 时,为确保安全,是否将此人行道封上? (在地面上以点B 为圆心,以AB 长为半径的圆形区域为危险区域) 析解:本题实质上是比较BE 与AB 的大小,若BE>AB 不用封道,若BEAB,不需要封人行道。 说明:此题在求解过程中,好多地方运用了“转化”的数学思想方法,由所求的问题一步步的探索,最终到达了胜利的彼岸,使人产生了一种由衷的喜悦之情,获得了成就感,增强了学习数学的兴趣,这就是数学之美。 三、方程思想 所谓方程思想,就是依据题意设出未知数,列出方程或方程组来解决问题的一种思想方法.在解决直角三角形问题中,方程思想具有广泛的应用. 例2已知:如图,在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为?45,沿着坡度为?30的斜坡前进400米到D 处(即米400,30=?=∠CD DCB ),测得山顶A 的仰角为?60,求山的高度AB 。 分析:先过点D 作DE ⊥AB 于E ,作DF ⊥BC 于F 构造直角三角形,由于图中有三个直角三角形,已知米400=CD ,不好直接计算,可以设DE 为x 米,通过列方程求解。 解:作DE ⊥AB 于E ,作DF ⊥BC 于F , 在RT △FDC 中,∠DFC =90°,∵,?=∠30DCF 米400=CD , ∴DF=CD ×sin30°=400×2 1=200(米),

中职数学-三角函数教案

三角函数 、任意角 1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 ⑵“正角”与“负角”“0 角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角,如图,以OA为始边的角α=210°,β=-150°,γ=660°。 特别地,当一条射线没有作任何旋转时,我们也认为这时形成了一个角,并把这个角叫做零角。记法:角或可以简记成。 2.“象限角” 角的顶点合于坐标原点,角的始边合于x轴的正半轴,这样一来,角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限) 3.终边相同的角 所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合。S =| =+k360,k Z 二、弧度制 1.定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1弧度的角王奎新新屯疆敞它的单位是 rad,读做弧度,这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制. 说明:(1)正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是 0王新奎新疆屯敞 (2)角的弧度数的绝对值公式: = l(l 为弧长, r 为半径)

∵ 360 = 2 rad ∴ 180 =rad r 2.角度制与弧度制的换算:

∴ 1 = rad 0.01745rad 180 3. 两个公式 1)弧长公式: l = r 由公式: = l l =r 比公式l = n r 简单 r 180 弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积 2)扇形面积公式 S = 1lR 其中l 是扇形弧长, R 是圆的半径 2 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π /6 2π 实数的集合之间建立一种一一对应的关系 王奎新新屯疆敞 三、任意角三角函数的定义 1. 设 是一个任意角,在 的终边上任取(异于原点的)一点 P (x ,y ) 1rad = 57.30 = 5718' 任意角的集合 实数集 R

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