2020年中考数学专题复习：反比例函数(含答案)
2020年中考数学专题复习：反比例函数
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(共4题，每题4分，共16分)
1.反比例函数y ＝－1
x 的图象上有两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若x 1<0 确的是( ) A. y 1 B. y 1<0 C. y 1>y 2>0 D. y 1>0>y 2 2.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v 千米/小时与时间t 小时的函数关系是( ) A. v ＝320t B. v ＝320t C. v ＝20t D. v ＝20 t 3.若一次函数y ＝mx ＋6的图象与反比例函数y ＝n x 在第一象限的图象有公共点，则有 ( ) A. mn ≥－9 B. －9≤mn ＜0 C. mn ≥－4 D. －4≤mn ≤0 4.如图，O 为坐标原点，四边形OACB 是菱形，OB 在x 轴的正半轴上，sin ∠AOB ＝4 5， 反比例函数y ＝48 x 在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ，则△AOF 的面积等于 ( ) 第4题图 A. 60 B. 80 C. 30 D. 40 二、填空题(共7题，每题4分，共28分) 5.如图，点A 在函数y ＝4 x (x >0)的图象上，且OA ＝4，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，则 △ABO 的周长为________． 第5题图 第6题图 6.已知反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象如图所示，则k 的值可能是________(写一个即可)． 7.如图所示，反比例函数y ＝k x (k ≠0，x >0)的图象经过矩形OABC 的对角线AC 的中点 D ，若矩形OABC 的面积为8，则k 的值为________． 第7题图 第9题图 8.双曲线y ＝m －1 x 在每个象限内，函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 ________． 9.如图，点A 在双曲线y ＝5x 上，点B 在双曲线y ＝8 x 上，且AB ∥x 轴，则△OAB 的面积 等于________． 10.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的面积为12，点B 在y 轴上，点C 在反比例函数y ＝k x 的图象上，则k 的值为________． 第10题图 第11题图 11.如图，点A 为函数y ＝9x (x ＞0)图象上一点，连接OA ，交函数y ＝1 x (x ＞0)的图象于点 B ，点 C 是x 轴上一点，且AO ＝AC ，则△ABC 的面积为________． 三、解答题(共4题，第12题6分，第13～15题每题10分，共36分) 12.如图，已知在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A (2，5)在反比例函数y ＝k x 的图 象上，一次函数y ＝x ＋b 的图象经过点A ，且与反比例函数图象的另一交点为B . (1)求k 和b 的值； (2)设反比例函数值为y 1，一次函数值为y 2，求y 1>y 2时x 的取值范围． 第12题图 13.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A ，B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，点B 的坐标是(m ，－4)，连接AO ，AO ＝5，sin ∠AOC ＝3 5 . (1)求反比例函数的解析式； (2)连接OB ，求△AOB 的面积． 第13题图 14.如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝m x (x >0)的图象交于A (2，－1)，B (1 2， n )两点，直线y ＝2与y 轴交于点C . (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求△ABC 的面积． 第14题图 15.环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天以内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y (mg/L)与时间x (天)的变化规律如图所示．其中线段AB 表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y 与时间x 成反比例关系． (1)求整改过程中硫化物的浓度y 与时间x 的函数表达式； (2)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L ？为什么？ 第15题图 参考答案 1. D 【解析】根据反比例函数的性质或者利用特殊值法即可作出选择．方法一：∵反比例函数y ＝－1 x 中k ＝－1＜0，∴当x ＜0时，y ＞0；当x ＞0时，y ＜0.又∵x 1＜0＜x 2，∴y 1 ＞0＞y 2.故选D.方法二：令x 1＝－1，则y 1＝1，令x 2＝1，则y 2＝－1，∴y 1＞0＞y 2. 2. B 【解析】∵由题意可得路程s ＝80×4＝320，∴v ＝320 t . 第3题解图 3. A 【解析】如解图，根据题意，两个函数的图象在第一象限有公共点，则关于x 的方程n x ＝mx ＋6有实数根，方程化简为：mx 2＋6x －n ＝0，显然m ≠0，Δ＝36＋4mn ≥0，所 以mn ≥－9，由于一次函数与反比例函数y ＝n x 在第一象限的图象有公共点，所以n ＞0，显 然当一次函数y 随x 的增大而增大时，两个函数图象在第一象限有交点，即mn ≥－9符合题意． 第4题解图 4. D 【解析】如解图所示，过点A 作AG ⊥OB ，垂足为G ，设A 点纵坐标为4m ，∵sin ∠AOB ＝45，∴OA ＝5m ，根据勾股定理可得OG ＝3m ，又∵点A 在反比例函数y ＝48 x 上， ∴3m ×4m ＝48，∴m 1＝2，m 2＝－2(不合题意，舍去)，∴AG ＝8，OG ＝6，OA ＝OB ＝10，∵四边形OBCA 是菱形，∴BC ∥OA ，∴S △AOF ＝12S 菱形OBCA ＝12×AG ×OB ＝1 2×8×10＝40. 故选D . 5. 26＋4 【解析】设点A 的坐标为(x ，y)，根据反比例函数的性质得，xy ＝4，在Rt △ABO 中，由勾股定理得，OB 2＋AB 2＝OA 2，∴x 2＋y 2＝16，∵(x ＋y)2＝x 2＋y 2＋2xy ＝16＋8＝24，又∵x ＋y>0，∴x ＋y ＝26，∴△ABC 的周长＝26＋4. 6. －2(答案不唯一) 【解析】根据反比例函数的图象在二、四象限，则k ＜0，如k ＝－2(答案不唯一)． 第7题解图 7. 2 【解析】由题意可知，D 点在反比例函数图象上，如解图所示，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，作DF ⊥y 轴于点F ，则k ＝x D ·y D ＝DF·DE ＝S 矩形OEDF ，又D 为对角线AC 中点，所以S 矩形OEDF ＝1 4 S 矩形OABC ＝2，∴k ＝2. 8. m ＜1 【解析】∵在每个象限内，函数值y 随x 的增大而增大，∴双曲线在二、四象限内，∴在函数y ＝ m －1 x 中，m －1＜0，即m ＜1. 9. 32 【解析】设点A 的坐标为(a ，5a )．∵AB ∥x 轴，∴点B 的纵坐标为5a ，将y ＝5a 代入y ＝8x ，求得x ＝8a 5，∴AB ＝8a 5－a ＝3a 5，∴S △OAB ＝12·3a 5·5a ＝3 2 . 第10题解图 10. －6 【解析】如解图，连接AC 交y 轴于点D ，因为四边形ABCO 是菱形，且面积为12，则△OCD 的面积为3，利用反比例函数k 的几何意义可得k ＝－6. 11. 6 【解析】 设A 点的坐标为(a ，9a )，直线OA 的解析式为y ＝kx ，于是有9 a ＝ka ， ∴k ＝9a 2 ，直线为y ＝9a 2 x ，联立得方程组???y ＝9 a 2 x y ＝1 x ，解得B 点的坐标为(a 3，3a )，∵AO ＝AC ， A(a ，9a )，∴C(2a ，0)，∴S △ABC ＝S △AOC －S △BOC ＝12×2a ×9a －12×2a ×3 a ＝9－3＝6. 12. 解：(1)把点A(2，5)代入反比例函数的解析式y ＝k x ， ∴k ＝xy ＝10， 把(2，5)代入一次函数的解析式y ＝x ＋b ，(2分) ∴5＝2＋b ， ∴b ＝3.(3分) (2)由(1)知k ＝10，b ＝3， ∴反比例函数的解析式是y ＝ 10x ， 一次函数的解析式是y ＝x ＋3. 解方程x ＋3＝10 x ，(4分) ∴x 2＋3x －10＝0，(5分) 解得x 1＝2(舍去)，x 2＝－5， ∴点B 坐标是(－5，－2)， ∵反比例函数的值大于一次函数值，即反比例函数的图象在一次函数图象上方时，x 的取值范围， ∴根据图象可得不等式的解集是x ＜－5或0＜x ＜2.(6分) 13.【思路分析】如解图，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，由三角函数求出点A 坐标，再用 待定系数法求出反比例函数的解析式便可． 第13题解图 解：如解图过点A 作AE ⊥x 轴于点E ， ∵OA ＝5，sin ∠AOC ＝3 5， ∴AE ＝OA·sin ∠AOC ＝5×3 5＝3， OE ＝OA 2－AE 2＝4， ∴A(－4，3)，(3分) 设反比例函数的解析式为y ＝k x (k ≠0)，把A(－4，3)代入解析式，得k ＝－12， ∴反比例函数的解析式为y ＝－ 12 x .(5分) (2)【思路分析】先把B 点坐标代入所求出的反比例函数解析式，求出m 的值，进而求出直线AB 的解析式，再求出点D 的坐标，便可求△AOD 与△BOD 的面积之和，即△AOB 的面积． 解：把B(m ，－4)代入y ＝－ 12 x 中，得m ＝3， ∴B(3，－4)． 设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A(－4，3)和B(3，－4)代入得， ? ????－4k ＋b ＝33k ＋b ＝－4， 解得? ????k ＝－1b ＝－1，(7分) ∴直线AB 的解析式为y ＝－x －1，(8分) 则AB 与y 轴的交点D(0，－1)， ∴S △AOB ＝S △AOD ＋S △BOD ＝12×1×4＋1 2×1×3＝3.5.(10分) 14. 解：(1)∵点A(2，－1)在反比例函数y ＝m x 的图象上， ∴－1＝m 2 ，即m ＝－2.(1分) ∴反比例函数的解析式为y ＝－2 x .(2分) ∵点B(12，n)在反比例函数y ＝－2 x 的图象上， ∴n ＝－212 ＝－4，即点B 的坐标为(1 2，－4)． 将点A(2，－1)和点B(1 2 ，－4)分别代入y ＝kx ＋b ，得 第14题解图 ?????2k ＋b ＝－112 k ＋b ＝－4，解得?????k ＝2b ＝－5， ∴一次函数的解析式为y ＝2x －5.(5分) (2)如解图，设直线AB 交y 轴于点D. 令y ＝2x －5中x ＝0，得y ＝－5，即点D 的坐标是(0，－5)， ∴OD ＝5.(7分) ∵直线y ＝2与y 轴交于点C ， ∴C 点的坐标是(0，2)，(8分) ∴CD ＝OC ＋OD ＝7. ∴S △ABC ＝S △ACD －S △BCD ＝12×7×2－12×7×12＝7－74＝21 4.(10分) 15. 解：(1)当0≤x ≤3时，设线段AB 的解析式为y ＝kx ＋b ， 代入点A(0，10)，B(3，4)，得：?????b ＝10 3k ＋b ＝4， 解得? ????k ＝－2 b ＝10，(3分) ∴线段AB 的解析式为y ＝－2x ＋10.(5分) 当x>3时，设反比例函数的解析式为y ＝m x ，代入点B(3，4)，得m ＝12， ∴反比例函数的解析式为y ＝ 12x ， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝???? ?－2x ＋10（0≤x ≤3）12x （x>3）.(8分) (2)能．理由如下： 当x ＝15时，代入y ＝ 12 x ，得y ＝0.8<1.0，(9分) 所以企业能在15天内使所排污水的硫化物的浓度不超过1.0 mg /L .(10分)