高考数学选择题的简捷解法专题教师版(北京版)
高考数学选择题的简捷解法专题
前
言
高考数学选择题，知识覆盖面宽，概括性强，小巧灵活，有一定深度与综合性，而且分值大，能否迅速、准确地解答出来，成为全卷得分的关键。
选择题的解答思路不外乎两条：一是直接法，即从题干出发，探求结果，这类选择题通常用来考核考生最起码的基础知识和基本技能，这一般适用于题号在前1~6的题目；二是间接法，即从选项出发，或者将题干与选项联合考察而得到结果。因为选择题有备选项，又无须写出解答过程，因此存在一些特殊的解答方法，可以快速准确地得到结果，这就是间接法。这类选择题通常用来考核考生的思维品质，包括思维的广阔性和深刻性、独立性和批判性、逻辑性和严谨性、灵活性和敏捷性以及创造性；同直接法相比，间接法所需要的时间可能是直接法的几分之一甚至几十分之一，是节约解题时间的重要手段。
然而，有相当一部分考生对于用间接手段解题并不放心，认为这样做“不可靠”，以至于在用间接法做过以后又用直接法再做一遍予以验证；甚至有思想不解放的，认为这样做“不道德”，而不明白这其实正是高考命题者的真实意图所在，高考正是利用选择题作为甄别不同层次思维能力的考生的一种重要手段。
解选择题常见的方法包括数形结合、特值代验、逻辑排除、逐一验证、等价转化、巧用定义、直觉判断、趋势判断、估计判断、退化判断、直接解答、现场操作，等等。考生应该有意识地积累一些经典题型，分门别类，经常玩味，以提高自己在这方面的能力。
下面主要就间接法分别举例说明之，并配备近两年北京模拟考试题中的选择题，每题至少提供有一种解法。
一、数形结合
画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。例1
（2011西城二模理8）设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22
a b +
（A）最小值为
15
（B）最小值为
5
（C）最大值为
15
（D）最大值为
5
仿1：（2010海淀一模文8）直线
12=+by ax 与圆122=+y x 相交于A,B 两点（其中b a ,是实数），
且AOB ?是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P ),(b a 与点)1,0(之间距离的最大值为（）
A
12+ B.2
C.
2
D.
1
2?仿2：（2010东城一模理8）定义在R 上的函数()y f x =是减函数，且函数(1)y f x =?的图象关
于(1,0)成中心对称，若s ，t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t ?≤??．则当14s ≤≤时，t
s
的取值范围是（）
A ．1[,1)4?
B ．1[,1]4
?
C ．1[,1)2
?
D ．1[,1]2
?
仿3（2010崇文期末理8）若函数12)()
1()1(2
?=
?++?a bx x
a x f 的定义域为R ，则a
b 3?的取值范
围是
（A）]
3 ,(??∞（B）)
,3[∞+?（C）]
3 ,(?∞（D）)
,3[∞+
仿4（2011丰台二模理7）已知直线l ：
(A ，B 不全为0)，两点，，
若
，且
，则
(A)直线l 与直线P 1P 2不相交
(B)直线l 与线段P 2P 1的延长线相交(C)直线l 与线段P 1P 2的延长线相交(D)直线l
与线段P 1P 2相交
例2
（2011东城二模理8文8）已知函数
则函数
的零点
个数是（A）4
（B）3（C）2（D）1
例3
（2011北京理8）设,，,.记为平行四
边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的
点，则函数
的值域为
（A
）（B）
（C）（D）
例4
（2011丰台二模理8）用表示a ，b 两个数中的最
大数，
设
，若函数
有2个零点，则k 的取值范围是
(A)
(B)
(C)
(D)
例5
（2010崇文理8）设定义在R 上的函数
1
,(1),
()1,(1)x x f x x ?≠??=?
?=?
．若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有3个不同的实数解1x ，
2x ，3x ，则123x x x ++等于（A）3（B）2（C）
1
b ??（D）
c
例6
（2012朝阳一模理8）已知点集
{}22(,)48160A x y x y x y =+??+≤，
{}(,)4,B x y y x m m 是常数=≥?+，点集A 所表示
的平面区域与点集B 所表示的平面区域的边界的交点为,M N .若点(,4)D m 在点集A 所表示的平面区域内（不在边界上），则△DMN 的面积的最大值是
A.
1
B.
2 C. D.
4
仿：（2012朝阳一模文14）已知集合{}
22
(,)4A x y x y =+≤，集合
B =(){},,x y y m x m ≥为正常数.若O 为坐标原点，M ，N 为集合A 所表示的平面区域与
集合B 所表示的平面区域的边界的交点,则MON ?的面积S 与m 的关系式为
．
例7
（2012朝阳一模文8）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有
(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个
不同的公共点，则实数a 的值为A.
n ()
n ∈Z B.
2n ()n ∈Z C.2n 或1
24
n ?
()
n ∈Z D.n 或1
4
n ?
()n ∈Z
仿（2012朝阳一模理6）.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有
(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象在[0,2]
内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是
A.0
B.0或12
?
C.14?
或12
? D.0或1
4
?
仿(2012东城一模理8)已知函数21,
0,
()(1),
0.
x x f x f x x ???≤=?
?>?若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是
(),1?∞（B ）(],1?∞（C ）()
0,1（D ）[)
0,+∞例8
（2012丰台一模理8）已知定义在R 上的函数y =f (x )满足f (x +2)=f (x )，当-1 a =5或a = 15 (B)1(0,)[5,) 5 a ∈+∞U (C)11[,][5,7]75a ∈U (D)11[,)[5,7) 75 a ∈U 仿：（2012丰台一模文8）已知定义在R 上的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，当11x ?<≤时， 3()f x x =．若函数()()log a g x f x x =?至少有6个零点，则a 的取值范围是 (A)(1，5) (B)1 (0,)[5,)5 +∞U (C)1(0,][5,)5 +∞U (D)1[,1)(1,5] 5 U 二、特值代验 包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置和特殊图形，代入或者比照选项来确定答案。这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率很高的方法。例1： （2011海淀二模理7文8）若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1 22 2 222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：①椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点；② 11 22 a b a b >；③22212221b b a a ?=?；④1212a a b b ? 其中，所有正确结论的序号是A．②③④ B.①③④ C ．①②④ D.①②③ 例2 （2011西城一模理7）已知曲 线 及两 点 和 ，其中 .过 ，分别作轴的垂线，交曲线于，两点，直线与轴交于 点 ，则 （A ）成等差数列（B ）成等比数列 （C ）成等差数列（D ）成等比数列 例3 （2010北京文7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A） ； （B） （C）（D ） 例4 （2010宣武二模理8）如图抛物线1C ：px y 22=和圆2C : 4222 2 p y p x = +???????，其中0>p ，直线l 经过1C 的焦点，依次交1C ，2C 于,,,A B C D 四点，则CD AB ?的值为（）A ． 4 2 p B ． 3 2 p C ． 2 2 p D ．2 p 例5 （2010崇文二模例8）已知圆的方程2225x y +=，过(4,3)M ?作直线,MA MB 与圆交于点,A B ，且,MA MB 关于直线3y =对称，则直线AB 的斜率等于（A ）43 ? （B）34 ? （C）54 ? （D）45 ? 例6 (2012东城一模文8)设集合1[0,)2A =，1[,1]2B =，函数1,,()2 2(1), . x x A f x x x B ? +∈?=???∈?若 0x A ∈，且0[()]f f x A ∈，则0x 的取值范围是 （A ）(4 1 , 0]（B ）( 2 1,41]（C ）( 2 1,41)（D ）[0， 8 3] 三、筛选判断 包括逐一验证法——将选项逐一代入条件中进行验证，或者逻辑排除法，即通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定。 例1 （2011丰台二模理6）已知函数的 图象如图所示，则该函数的解析式可能是 (A)(B) (C)(D) 例2 （2012海淀期末理7）已知函数，那么下列命题中假命题 ...是（）（A）既不是奇函数也不是偶函数（B）在上恰有一个零点 （C）是周期函数（D）在上是增函数 例3 （2011海淀期末理7文8）已知椭圆：，对于任意实数，下列直线被椭圆 所截弦长与：被椭圆所截得的弦长不可能 ...相等的是 A．B．C．D． 四、等价转化 解题的本质就是转化，能够转化下去就能够解下去。至于怎样转化，要通过必要的训练，达到见识足、技能熟的境界。在解有关排列组合的应用问题中这一点显得尤其重要。例1 （2011海淀二模理8）在一个正方体1111ABCD A B C D ?中，P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点， 线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=uuuu r uuuu r 的实数λ的值 有A.0个 B. 1个 C.2个 D. 3个 仿： （2010西城一模理8文8）如图，平面α⊥平面β，αβ=I 直线l ，,A C 是α内不同的两点,,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ?直线l ,,M N 分别是线段,AB CD 的中点.下列判断正确的是 A ．当2CD A B =时，,M N 两点不可能重合 B ．,M N 两点可能重合，但此时直线A C 与直线l 不可能相交C ．当AB 与C D 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交D ．当 ,AB CD 是异面直线时，MN 可能与l 平行 例2 (2011朝阳二模理8)已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF ∥BC ，实数x ，y 满足0=++y x .设△ABC ， △PBC ，△PCA ，△PAB 的面积分别为S ，S 1，S 2，S 3，记11 λ=S S ， 1 β α l B A C D M N ·· 22λ=S S ，33λ=S S .则当32λλ?取最大值时，2x+y 的值为A 32 B 12 C 1 D 2 例3 （2011丰台二模理8）已知函数 ， (a >0)，若 ， ，使得f (x 1)=g (x 2)，则实数a 的取值范围是 (A)(B)(C)(D) 例4 （2012朝阳期末理8）已知集合 , .若存在实数 使得 成立,称点 为“￡”点，则“￡”点在平面区域内的个数是( ) A. B.1 C.2 D.无数个例5 （2011北京文8）已知点。若点 在函数 的图象上，则使得ABC △的面积为2的点的个数为 （A ）4 (B)3 (C)2 (D)1 例6 （2011海淀一模文8）若直线被圆所截的弦长不小于2，则与下列曲线一定 有公共点的是 A ． ()1 122=+?y x B．． C.D ． 例7 （2011海淀期末理8）如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点,F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//面A 1BE，则B F 与平面CDD 1C 1所成角的正切值构成的集合是 A . B . C . D . 例8 (2010朝阳期末文8)设集合01234{,,,,}S A A A A A =，在S 上定义运算⊙为：i A ⊙j k A A =，其中||k i j =?，,i j =0,1,2,3,4.那么满足条件(i A ⊙)j A ⊙21A A =（i A ,j A S ∈）的有序数 对(,)i j 共有 （A）12个（B ）8个（C ）6个（D ）4个 例9 （2012石景山一模理8）如图，已知平面l αβ=I ，A 、B 是l 点，C 、D 在平面β内，且,, DA CB αα⊥⊥4AD =，6,8AB BC ==，在平面α上有一个 动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则P ABCD ?体积的最大值是（）A ．B ．16 C ．48 D ．144 仿：（2012石景山一模文8）如图，已知平面l αβ =I ，A 、B 是l 上的两个点，C 、D 在平面β内，且,,DA CB αα⊥⊥4AD =， 6,8AB BC ==，在平面α上有一个动点P ，使得 APD BPC ∠=∠，则PAB ?面积的最大值是（ ） A ． 2 3 9B ． 5 36C ．12D ．24 例10 （2012海淀一模文8）在棱长为1的正方体 ''''ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足 '2PA PC +=的点P 的个数为 （A ）4（B ）6（C ）8 （D ）12 β A 'B' C 'D' A B C D 五、巧用定义 定义是知识的生长点，因此回归定义是解决问题的一种重要策略。 例1 （2012海淀期末理8）点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能 ...是 （A）圆（B）椭圆（C）双曲线的一支（D）直线 例2 （2012海淀期末文8）点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离. 已知点，圆：，那么平面内到圆的距离与到点的距离之差为1的点的轨迹是 （A）双曲线的一支（B）椭圆 （C）抛物线（D）射线 例3 (2011东城一模理8文8)空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面，，两两互相垂直，点∈，点到，的距离都是，点是上的动点，满足到的距离是到到点距离的倍，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是 （A）（B） （C）（D） 例4 （2011朝阳一模理7）如图，双曲线的中心在坐标原点， 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，是双曲线的左顶点，为双 曲线的左焦点，直线与相交于点.若双曲线的离心率为 2，则的余弦值是 （A）（B）（C）（D） 例5 （2011朝阳期末文7）设椭圆的两个焦点分别为， ，过 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交， 其中的一个交点为 ，若△ 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （A ）（B ）（C ）（D ） 例6 (2010海淀二模理8）已知动圆C 经过点F (0，1),并且与直线1y =?相切，若直线34200x y ?+=与圆C 有公共点，则圆C 的面积A ．有最大值为πB ．有最小值为πC ．有最大值为4π D ．有最小值为4π 例7 （2010西城二模理8）在等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，且AB=2AD ，设)2, 0(,π θθ∈=∠DAB ， 以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为 2e ，则（ ） A ．随着角度θ的增大，1e 增大，21e e 为定值 B ．随着角度θ的增大，1e 减小，21e e 为定值 C ．随着角度θ的增大，1e 增大，21e e 也增大 D ．随着角度θ的增大，1e 减小，21e e 也减小 例8 （2010东城二模理6）已知双曲线22 221x y a b ?=(0,0)a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，点A 在双曲线上，且2AF x ⊥轴，若 125 3 AF AF =，则双曲线的离心率等于（） A .2 B .3C . D . 例9 （2010西城期末文8）若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2：1，则此椭圆离心率的取值范围是（）A ．] 3 1 ,41[B ．2 1,31[C ．) 1,3 1(D ．) 1,3 1[六、六、直觉判断 直觉判断数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式，逻辑思维严格遵守概念和逻辑规则，而直觉思维 不受固定的逻辑规则约束，直接领悟事物本质，大大节约思考时间。逻辑思维在数学思维中始终占据着主导地位，而直觉思维又是思维中最活跃、最积极、最具有创造性的成分。两者具有辨证互补的关系。因此，作为选拔人才的高考命题人，很自然要考虑对直觉思维的考查。例1 (2011朝阳二模理7)已知棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BB 1，DD 1 上的动点，且BE=D 1F =λ（0<λ≤1 2 ）.设EF 与AB 所成的角为α，与BC 所成的角为β，则α+β的最小值为A 不存在B 等于60° C 等于90° D 等于120° 七、趋势判断 趋势判断法，包括极限判断法，连同估值法，大致可以归于直觉判断法一类。具体来讲，顾名思义，趋势判断法的要义是根据变化趋势来发现结果，要求化静为动，在运动中寻找规律，因此是一种较高层次的思维方法。例1 （2010朝阳二模理6）函数2 ()(2)e x f x x x =-的图象大致是 八、估值判断 有些问题，属于比较大小或者确定位置的问题，我们只要对数值进行估算，或者对位置进行估计，就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。例1 （2011朝阳二模文6）已知函数x x x f cos )(2?=，则)6.0(),0(),5.0(f f f ?的大小关系是A. ) 6.0()5.0()0(f f f ) 0()6.0()5.0(f f f < 6.0()0()5.0(f f f < （2011海淀一模理8）已知抛物线 ：，圆 ： （其中为常数，）.过点（1，0）的直线交圆 于 、D 两点，交抛物线 于 、 两点，且满足 的直线只有三条的必要条件是 A ． B． C． D． （A ）（B ）（C ）（D ） （2010海淀期末理8）点P 在曲线C ： 2 214 x y +=上，若存在过P 的直线交曲线C 于A 点， 交直线l ：4x =于B 点，满足PA PB =或PA AB =，则称点P 为“H 点”，那么下列结论正确的是 A ．曲线.C .上的所有点都是“H 点” B ．曲线 C 上仅有有限个点是“H 点”C ．曲线C 上的所有点都不是“H 点” D ．曲线C 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H 点” 仿：（2010海淀期末文8）已知椭圆C ：14 22 =+y x 的焦点为12,F F ，若点P 在椭圆上，且满足 212||||||PO PF PF = （其中O 为坐标原点），则称点P 为“★点”.那么下列结论正确的是A ．椭圆C 上的所有点都是“★点” B ．椭圆 C 上仅有有限个点是“★点” C ．椭圆C 上的所有点都不是“★点” D ．椭圆C 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“★ 点” 九、直接解答 并不是所有的选择题都要用间接法求解，一般来讲，高考卷的前5、6道选择题本身就属于容易题，用直接法求解往往更容易；另外，有些选择题也许没有间接解答的方法，你别无选择；或者虽然存在间接解法，但你一下子找不到，那么就必须果断地用直接解答的方法，以免欲速不达。当然要记得一个原则，用直接法也要尽可能的优化你的思路，力争小题不大作。例1： （2011西城二模文8）已知点 (1,0),(1,0)A B ?及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足 PA m PB =，则m 的最大值为 （A）3 （B）2 （D） （2012朝阳期末文6）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（） A．B．C．D． 例3 （2011朝阳一模理8）定义区间，，，的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如,的长度. 用表示不超过的最大整数，记，其中.设， ，若用分别表示不等式，方程，不等式 解集区间的长度，则当时，有 （A）（B） （C）（D） 例4 （2011朝阳一模文8）已知，用表示不超过的最大整数，记，若，则与的大小关系是 （A）不确定（与的值有关）（B）< （C）=（D）> （2011丰台一模文8）若函数满足条件：当时，有 成立，则称．对于函数，，有 (A)且(B)且 (C)且(D)且 仿：（2011东城期末理8文8）已知函数的定义域为，若存在常数，对任意， 有，则称为函数．给出下列函数：①；② ；③；④是定义在上的奇函数，且满足对一 切实数均有．其中是函数的序号为 （A）②④（B）①③（C）③④（D）①② 例6 （2011西城期末理8）对于函数①，②， ③，判断如下两个命题的真假： 命题甲：在区间上是增函数； 命题乙：在区间上恰有两个零点，且. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是 （A）①（B）②（C）①③（D）①② （2010海淀一模理8）已知数列()1212:,,,0,3n n A a a a a a a n ≤<<<≥L L 具有性质P ：对任 意(),1i j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a ?两数中至少有一个是该数列中的一项.现给出以下四个命题： ①数列0,1,3具有性质P ；②数列0,2,4,6具有性质P ；③若数列A 具有性质P ，则10a =；④若数列()123123,,0a a a a a a ≤<<具有性质P ，则1322a a a +=. 其中真命题有（）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 例8 （2010东城期末理8文8）如图所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm 和半径为3cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图（2）水平放置时，液面高度为20cm ，当这个几何体如图（3）水平放置时，液面高度为28cm ，则这个简单几何体的总高度为（）A ．29cm B ．30cm C ．32cm D ．48cm 图（1）图（2）图（3） 例9 （2010西城期末理8）某水库建有10个泄洪闸.现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在按照一个不变的速度增加.为了防洪，需调节泄洪速度.假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30个小时水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，10个小时水位降至安全线.根据抗洪形势，需要用3个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为（）A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 高考数学压轴选择题 _________班______号姓名_________________ 一、2007年以来广东高考数学压轴选择题的基本情况 1、（2007广东8）设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若 对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（ ） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b = D ．()[()]****a b b a b b = 2、（2008广东8）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ） A ． 1142+a b B ．2133+a b C ．11 24 +a b D ．1 233 + a b 3、（2009广东8）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是（ ） A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面 B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面 C ．在0t 时刻，两车的位置相同 D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面 4、（2010广东8）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 （ ） A ．1205秒 B ．1200秒 C ．1195秒 D ．1190秒 5、（2011广东） 8.,,,,.,,.,,,,,,,.:( ) A. T,V B.T,V C. T,V S Z a b S ab S S T V Z T V Z a b c T abc T x y z V xyz V ?∈∈=?∈∈?∈∈设是整数集的非空子集如果有则称关于数的乘法是封闭的若是的两个不相交的非空子集且有有则下列结论恒成立的是中至少有一个关于乘法是封闭中至多有一个关于乘法是封闭中有且只有一个关于乘法是封闭 D.T,V 中每一个关于乘法是封闭 神奇巧解高考数学选择题专题 前 言 高考数学选择题，知识覆盖面宽，概括性强，小巧灵活，有一定深度与综合性，而且分值大，能否迅速、准确地解答出来，成为全卷得分的关键。 解选择题常见的方法包括数形结合、特值代验、逻辑排除、逐一验证、等价转化、巧用定义、直觉判断、趋势判断、估计判断、退化判断、直接解答、现场操作，等等。考生应该有意识地积累一些经典题型，分门别类，经常玩味，以提高自己在这方面的能力。下面主要就间接法分别举例说明之，并配备足够的对应练习题，每题至少提供有一种解法。 例题与题组 一、数形结合 画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。 【例题】、（07江苏6）设函数()f x 定义在实数集上，它的图象关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，则有（ ）。 A 、132()()()323f f f p p B 、231 ()()()323 f f f p p C 、213()()()332f f f p p D ．321()()()233f f f p p 【解析】、当1x ≥时，()31x f x =-，()f x 图象关于直线1x =()|1|f x x =-的图象代替它也可以。由图知， 符合要求的选项是B ， 【练习1】、若P （2，-1）为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A 、30x y --= B 、230x y +-= C 、10x y +-= D 、250x y --= （提示：画出圆和过点P 的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A ） 【练习2】、（07辽宁）已知变量x 、y 满足约束条件20170x y x x y -+≤??≥??+-≤?，则y x 的取值范围是（ ） A 、9,65?????? B 、[)9 ,6,5??-∞+∞ ???U C 、(][),36,-∞+∞U D 、[]3,6 （提示：把y x 看作可行域内的点与原点所在直线的斜率，不难求得答案 ，选A 。） 【练习3】 、曲线[]12,2)y x =+∈- 与直线(2)4y k x =-+有两个公共点时， k 的取值范围是（ ） A 、5(0,)12 B 、11 (,)43 C 、5(,)12+∞ D 、53(,)124 （提示：事实上不难看出，曲线方程[]12,2)y x =∈-的图象为22(1)4(22,13)x y x y +-=-≤≤≤≤，表示以（1，0）为圆心，2为半径的上半圆，如图。直线(2)4y k x =-+过定点（2，4），那么斜率的范围就清楚了，选D ）] 【练习4】、函数)1(||x x y -=在区间 A 上是增函数，则区间A 是（ ） A 、(]0,∞- B 、?? ????21,0 高三理科数学限时训练 一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分.每题都给出四个结论，其中有且只有一个 结论是正确的.) 1. 复数z 满足(2)z z i =+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 2. 已知实数a ≠0，函数2,1()2,1x a x f x x a x + 高考数学中选择题的解法 一、选择题的解法 1.直接法 (1)直接计算法; (2)直接推理法; (3)直接判断法; (4)数形结合法。 2。间接法 (1)验证排除法; (2)特例排除法; (3)逻辑排除法。 二、举例与练习 1.直接法 (1)直接计算法 例题1：如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么，这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的( ) A 18倍 B 12倍 C 9倍 D 4倍 例题2：某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒状磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方法共有( ) A 5种B 6种C 7种D 8种 练习题1：用0、1、2、3、4这五个数字组成没有重复数字的四位数，那么在这些四位数中，是偶数的共有( ) A 120个 B 96个 C 60个 D 36个 练习题2：一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积的比是( ) A B C D 练习题3：在各项均为正数的等比数列{ }中，若=9，则……+ 等于( ) A 12 B 10 C 8 D 2+ (2)直接推理法 例题3：如果AC0，且BC0，那么直线Ax+By+C=0不通过( ) A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 练习题4：的最小正周期是( ) A π B 2π C D 4π 练习题5：在等比数列{ }中，1，且前n项和满足，那么的取值范围是( ) A (1，+∞) B (1，4) C (1，2) D (1，) (3)直接判断法 例题4：“ 0”是方程“ 表示双曲线”的( ) A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 即不是充分条件也不是必要条件 练习题6：函数(a0且a≠1)是( ) A 奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数 (4)数形结合法 例题5：曲线(-2≤x≤2)与直线有两个交点时，实数k的取值范围是( ) 10分钟秒杀高考数学选择题——老师不会教你的技巧 特值法： 从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等 例1 (2017·卷)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋1b ＜b 2a ＜log 2(a ＋b ) B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1 b C.a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2 a D.log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2 a 例2．设4 7 10 310()22222()n f n n N +=++++ +∈，则()f n =（ ） A 、 2(81)7n - B 、12(81)7n +- C 、32(81)7n +- D 、42 (1)7 n n +- 【解析】思路一（特值法）：令0n =，则34 4 7 10 421(2)2 (0)2222(81)12 7 f ??-?? =+++= =--，对照选项，只有D 成立。 思路二：f （n ）是以2为首项，8为公比的等比数列的前4n +项的和，所以 44 2(18)2()(1)187 n n f n n ++-==--，选D 。这属于直接法。 例3.若函数(1)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的对称轴是（ ） A 、0x = B 、1x = C 、1 2 x = D 、2x = 【解析】：因为若函数(1)y f x =+是偶函数，作一个特殊函数2 (1)y x =-，则(2)y f x =变为2 (21)y x =-，即知(2)y f x =的对称轴是1 2 x = ，选C 例4．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，=m(++)OH OA OB OC ，则实数m= 【答案】1 【解析】取特殊的直角三角形△ABC ，点O 为斜边的中点，点H 与三角形直角顶点C 重合，这时候有=++OH OA OB OC ，所以m=1 高考数学选择题专项训练（二） 1、函数y =cos 4x -sin 4x 图象的一条对称轴方程是（ ）。 （A ）x =-2π （B ）x =-4π （C ）x =8 π （D ）x =4π 2、已知l 、m 、n 为两两垂直且异面的三条直线，过l 作平面α与m 垂直，则直线n 与平面α的关系是（ ）。 （A ）n //α （B ）n //α或n ?α （C ）n ?α或n 不平行于α （D ）n ?α 3、已知a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，且xy ≠0，那么y c x a +的值为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4、如果在区间[1, 3]上，函数f (x )=x 2+px +q 与g (x )=x + 21x 在同一点取得相同的最小值，那么下列说法不对．． 的是（ ）。 （A ）f (x )≥3 (x ∈[1, 2]) （B ）f (x )≤4 (x ∈[1, 2]) （C ）f (x )在x ∈[1, 2]上单调递增 （D ）f (x )在x ∈[1, 2]上是减函数 5、在(2+43)100展开式中，有理数的项共有（ ）。 （A ）4项 （B ）6项 （C ）25项 （D ）26项 6、等比数列{a n }的公比q <0，前n 项和为S n , T n =n n a S ，则有（ ）。 （A ）T 1 7、设集合A ＝ο/，集合B ＝{0}，则下列关系中正确的是（ ） （A ）A ＝B （B ）A ?B （C ）A ?B （D ）A ?B 8、已知直线l 过点M （－1，0），并且斜率为1，则直线l 的方程是（ ） （A ） x ＋y ＋1＝0 （B ）x －y ＋1＝0 （C ）x ＋y －1＝0 （D ）x ―y ―1＝0 9、已知集合A ＝{整数}，B ＝{非负整数}，f 是从集合A 到集合B 的映射，且f ：x → y ＝x 2（x ∈A ，y ∈B ），那么在f 的作用下象是4的原象是（ ） （A ）16 （B ）±16 （C ）2 （D ）±2 10、已知函数y ＝1 -x x ,那么（ ） （A ）当x ∈（－∞，1）或x ∈（1，＋∞）时，函数单调递减 （B ）当x ∈（－∞，1）∪（1，＋∞）时，函数单调递增 （C ）当x ∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递减 （D ）当x ∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递增 11、在(2－x )8的展开式中，第七项是（ ） （A ）112x 3 （B ）－112x 3 （C ）16x 3x （D ）－16x 3x 12、设A ＝{x | x 2＋px ＋q ＝0},B ＝{x | x 2＋(p －1)x ＋2q ＝0}, 若A ∩B ＝{1}，则（ ）。 （A ） A ?B （B ）A ?B （C ）A ∪B ＝{1, 1, 2} （D ）A ∪B ＝(1,－2)高考数学选择题之压轴题
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