数值模拟偏微分方程的三种方法

数值模拟偏微分方程的三种方法

I.三者简介

有限差分方法(Finite Difference Methods)是数值模拟偏微分方程最早采用的方法，至今仍被广泛使用。该方法包括区域剖分和差商代替导数两个步骤。首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解区域。其次，利用Taylor级数展开等方法将偏微分方程中的导数项在网格节点上用函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知量的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且十分成熟的数值方法。

差商代替导数后的格式称为有限差分格式，从格式的精度来考虑，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间离散形式来考虑，有中心格式和迎风格式。对于瞬态方程，考虑时间方向的离散，有显格式、隐格式、交替显隐格式等。目前常见的差分格式，主要是以上几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于结构网格，网格的大小一般根据问题模型和Courant 稳定条件来决定。

有限元方法(Finite Element Methods)的基础是虚位移原理和分片多项式插值。该方法的构造过程包括以下三个步骤。首先，利用虚位移原理得到偏微分方程的弱形式，将计算区域划分为有限个互不重叠的单元(三角形、四边形、四面体、六面体等)，在每个单元上选择合适的节点作为求解函数的插值点，将偏微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的分片插值基函数组成的线性表达式，得到微分方程的离散形式。利用插值函数的局部支集性质及数值积分可以得到未知量的代数方程组。

有限元方法有较完善的理论基础，具有求解区域灵活(复杂区域)、单元类型灵活(适于结构网格和非结构网格)、程序代码通用(数值模拟软件多数基于有限元方法)等特点。有限元方法最早应用于结构力学，随着计算机的发展已经渗透到计算物理、流体力学与电磁学等各个数值模拟领域。

根据所采用的检验函数(虚位移函数)和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从检验函数的选择来说，有配置法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多面体网格等，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。

对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为

(1)建立积分方程，根据虚位移原理或方程余量，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。

(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分采用有限元方法的前处理完成，并给出计算单元和节点编号相互之间的关系、节点的位置坐标，同时还需要列出问题的边界的节点号和相应的边值条件。

(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元的形函数。有限元方法中的形函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取形函数时可遵循一定的法则。

(4)单元分析：将各个单元中的求解函数用单元形函数的线性组合表达式进行逼近;再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点的函数值)的单元矩阵与荷载。

(5)总体合成：在得出单元矩阵与荷载之后，将区域中所有单元矩阵与荷载按一定法则进行迭加，形成总体有限元方程。

(6)边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(Dirichlet边界条件 )、自然边界条件(Neumann边界条件)、混合边界条件(Cauchy边界条件)。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则后对总体有限元方程进行修正。

(7)解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，采用适当的代数方程组求解器，求出各节点的函数值。

有限体积法(Finite Volume Method)又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列互不重叠的控制体，并使每个网格点周围有一个控制体;将待求解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。该方法的未知量为网格点上的函数值。为了求出控制体积的积分，须假定函数值在网格点控制体边界上的变化规律。从积分区域的选取方法来看，有限体积法属于有限元方法中检验函数取分片常数插值的子区域法;从未知量的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似多项式插值逼近。

有限体积法的基本思路易于理解，能够保持物理量在控制体上的守恒性质，也即离散方程保持了微分方程物理量在控制体满足某种守恒原理的物理意义。这是有限体积法吸引人的优点。此外，在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，因此可以对微分方程中不同的项采取不同的插值函数。

II.三者各有长短

有限差分方法直观，经验丰富，格式众多。但是不规则区域处理繁琐，虽然网格生成可以使FDM应用于不规则区域，但是对区域的形状有较大的限制，并且使用不方便，FDM是三种方法中计算量最少的一种，并且易于编程。

有限元方法适合处理复杂区域和各种边值条件，但程序复杂，编程量和计算量是三种方法之首。

有限体积法主要用于流体与传热传质的计算，可以简单应用于非结构网格，能处理复杂区域，但是精度较低，对边值处理较繁琐，不如有限元灵活，程序量与计算量皆居中。

来源元计算官网

(完整版)偏微分方程的MATLAB解法

引言 偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。 偏微分方程 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。

一、MATLAB方法简介及应用 1.1 MATLAB简介 MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 1.2 Matlab主要功能 数值分析 数值和符号计算 工程与科学绘图 控制系统的设计与仿真 数字图像处理 数字信号处理 通讯系统设计与仿真 财务与金融工程 1.3 优势特点 1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来； 2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化； 3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握； 4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，

偏微分方程数值解期末试题及标准答案

偏微分方程数值解试题(０6B ） 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2 1)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令 ),(2),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+-+=+=, （3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分) 反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(2 1)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分） 评分标准：)(λ?的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分 二（10分）、 对于两点边值问题:?????==∈=+-=0 )(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. （3分)

第十章-偏微分方程数值解法

第十章 偏微分方程数值解法 偏微分方程问题，其求解十分困难。除少数特殊情况外，绝 大多数情况均难以求出精确解。因此，近似解法就显得更为重要。本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。 §1 差分方法的基本概念 1.1 几类偏微分方程的定解问题 椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson ）方程 ),(22 2 2y x f y u x u u =??+??=? 特别地，当0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯（Laplace ）方程，又 称 为调和方程 22 22=??+??=?y u x u u Poisson 方程的第一边值问题为 ?? ???Ω ?=Γ=Ω∈=??+??Γ∈),(),(),() ,(),(22 22y x y x u y x y x f y u x u y x ?

其中 Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΓΩY 称为定解区域，),(y x f ，),(y x ?分别为Ω，Γ上的已知连 续函数。 第二类和第三类边界条件可统一表示为 ),(),(y x u u y x ?α=??? ? ??+??Γ∈n 其中n 为边界Γ的外法线方向。当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。 抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程 2 20(0)u u a a t x ??-=>?? 方程可以有两种不同类型的定解问题： 初值问题 ?? ???+∞ <<∞-=+∞<<-∞>=??-??x x x u x t x u a t u )()0,(,00 22? 初边值问题

2 212 00,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u u a t T x l t x u x x x l u t g t u l t g t t T ????-=<<<

偏微分方程数值解法试题与答案

一．填空（1553=?分） 1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lm R ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方 程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{} )(,,),()(21 Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x 关于内积=1),( g f _____________________是Hilbert 空间； 3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3 x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________； 5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。 二．（13分）设有椭圆型方程边值问题 用1.0=h 作正方形网格剖分 。 （1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为)(2 h O 的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为 三．（12）给定初值问题 x u t u ??=?? ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。 1．所选用的差分格式是： 2．计算所求近似值： 四．（12分）试讨论差分方程 ()h a h a r u u r u u k l k l k l k l ττ + - = -+=++++11,111 1 逼近微分方程 0=??+??x u a t u 的截断误差阶R 。 思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。 思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格 式。

偏微分方程数值解法

一、 问题 用有限元方法求下面方程的数值解 2 u u u f t ?-?+=? in (]0,T Ω? 0u = on []0,T ?Ω? ()00,u x u = in Ω 二、 问题分析 第一步 利用Green 公式，求出方程的变分形式 变分形式为：求()()21 00,;u L T H ∈Ω，使得 ()())(2 ,,,,u v u v u v f v t ???+??+= ???? ()10v H ?∈Ω （*） 以及 ()00,u x u =. 第二步 对空间进行离散，得出半离散格式 对区域Ω进行剖分，构造节点基函数，得出有限元子空间：()12,,,h NG V span ???=???，则（*）的Galerkin 逼近为： []0,t T ?∈，求()()1 0,h h u t x V H ∈?Ω，使得 ()()()()() () )(2 ,,,,h h h h h h h d u t v u t v u t v f v dt +??+= h h v V ?∈ （**） 以及()0,0h h u u =，0,h u 为初始条件0u 在h V 中的逼近，设0,h u 为0u 在h V 中的插值. 则0t ?≥，有()()1 N G h i i i u t t ξ? == ∑，0,h u =01 N G i i i ξ?=∑，代人（**）即可得到一常微分方程组. 第三步 进一步对时间进行离散，得到全离散的逼近格式 对 du dt 用差分格式.为此把[]0,T 等分为n 个小区间[]1,i i t t -，其长度1i i T t t t n -?=-= ,n t T =. 这样把求i t 时刻的近似记为i h u ，0 h u 是0u 的近似.这里对（**）采用向后的欧拉格式，即 ()()() () )(2 11 11 1 ,,,,i i i i h h h h h h h i h u u v u v u v f v t ++++-+??+ = ? h h v V ?∈ (***) i=0,1,2…,n-1. 0 h u =0,h u 由于向后欧拉格式为隐式格式且含有非线性项，故相邻两时间步之间采用牛顿迭代，即：

偏微分方程数值解总复习

偏微分方程数值解总复习 一、考虑一维经典的初值问题： ?????=∈= (0)T ) (0, ),(0u u t u t f dt du 设函数),(u t f 在G ＝R T *],0[中连续，并且是关于u 满足Lipschitez 条件，即存在一个只依赖区域G ，而与变量t ，u 无关的常数L （称为Lipschitez 常数），使得对任意的（t ，u 1）和（t ，u 2）∈G ，都有2121),(),(u u L u t f u t f -≤-，这里的?表示R 中的任一种范数。给定等距分割：T t t t t n ≤<<<<= 2100，其中步长m m t t h -=+1，1,,1,0-=n m 。 在],[1+m m t t 上作：),(1m m m m u t hf u u +=+，1,,1,0-=n m 这一方法称为Euler 方法。 如果记)(m t u 为微分方程在m t t =处的精确解，m u 为差分方程在m t t =处的精确解。 1、在],[h t t +上，定义算子： ))(,()()(]);([t u t hf t u h t u h t u L --+= 当2),(]);([≥=p h O h t u L p 时，称数值方法是相容的。 2、当0→h 时，若)(m m t u u →，],0[T t m ∈，则称该数值方法是收敛的。 3、如果由初值0u 得到精确解m u ；由初值0v 得到精确解m v ，若存在常数C 和充分小的步长0h ，使得00v u C v u m m -≤-，0h h ≤，T mh ≤。则称数值方法是稳定的。 证明：Euler 方法是相容的、收敛的、和稳定的。 证明 1、 将)(h t u +在t 处做Taylor 展开，得 2)(2 1 ))](,()([]);([h u h t u t f t u h t u L ξ''+-'= 2) (21))](,()([h t u u f t f h t u t f t u t ξ =????+??+-'= )()))(((2122)(h O h t t,u f u f t f t t u =??+??= =ξ 是微分方程的解 所以该数值方法是相容的。 2、设m m m v u e -=，),(111---+=m m m m u t hf u u ，),(111---+=m m m m v t hf v v ， 则 ),(),(11111------+≤m m m m m m v t f u t f h e e 111)1(---+=+≤m m m e hL e hL e 0)1(e hL m +≤≤

偏微分方程数值解期末试题及答案(内容参考)

偏微分方程数值解试题(06B) 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一（10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2 1 )(n R x x b x Ax x J ∈-= ，)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?,则称称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点,对于任意的n R x ∈,令 ),(2 ),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+ -+=+=, (3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有 0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若 n R x ∈0满足 b Ax =0,则对于任意的 x ,)(),(2 1 )0()1()(00x J x Ax x x J >+ ==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λ?的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分 二（10分）、 对于两点边值问题：????? ==∈=+-=0 )(,0)() ,()(' b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ] ,[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和 Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11 =∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间.取),(1 b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)

偏微分方程数值解法

“十二五”国家重点图书出版规划项目 信息与计算科学丛书 67 偏微分方程数值解法 陈艳萍鲁祖亮刘利斌编著

内 容 简 介 本书试图用较少的篇幅描述偏微分方程的几种数值方法. 主要内容包括：Sobolev空间初步, 椭圆边值问题的变分问题, 椭圆问题的有限差分方法, 抛物型方程的有限差分方法, 双曲型方程的有限差分方法, 椭圆型方程的有限元方法, 抛物及双曲方程的有限元方法, 椭圆型方程的混合有限元方法, 谱方法等. 本书内容丰富, 深入浅出, 尽可能地用简单的方法来描述一些理论结果, 并根据作者对有限差分、有限元、混合有限元、谱方法的理解和研究生教学要求, 全面、客观地评价各种数值计算方法，并列举一些数值计算的例子, 阐述许多新的学术观点. 本书可作为高等学校数学系高年级本科生和研究生的教材或参考书, 也可作为计算数学工作者和从事科学与工程计算的科研人员的参考书. 图书在版编目(CIP)数据 偏微分方程数值解法/陈艳萍, 鲁祖亮, 刘利斌编著. —北京：科学出版社, 2015.1 (信息与计算科学丛书67) ISBN 978-7-03-000000-0 Ⅰ. ①偏… Ⅱ. ①陈… ②鲁… ③刘… Ⅲ. ① Ⅳ.① 中国版本图书馆CIP数据核字(2014) 第000000号 责任编辑: 王丽平／责任校对: 彭涛 责任印制: 肖钦／封面设计: 陈敬 出版 北京东黄城根北街16号 邮政编码: 100717 https://www.wendangku.net/doc/f617468582.html, 印刷 科学出版社发行 各地新华书店经销 * 2015年1月第一版开本: 720×1000 1/16 2015年1月第一次印刷印张: 14 字数: 280 000 定价: 88.00元 (如有印装质量问题, 我社负责调换)

偏微分方程数值解复习题(2011硕士)

偏微分方程数值解期末复习（2011硕士） 一、考题类型 本次试卷共六道题目，题型及其所占比例分别为： 填空题20%；计算题80% 二、按章节复习内容 第一章 知识点：Euler法、向前差商、向后差商、中心差商、局部截断误差、整体截断误差、相容性、收敛性、阶、稳定性、显格式、隐格式、线性多步法、第一特征多项式、第二特征多项式、稳定多项式、绝对稳定等； 要求: 会辨认差分格式, 判断线性多步法的误差和阶; 第二章 知识点：矩形网格、(正则,非正则)内点、边界点、偏向前(向后,中心)差商、五点差分格式、增设虚点法、积分插值法、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容收敛和、稳定性等； 要求: 建立椭圆型方程边值问题的差分格式, 极值原理; 第四章 知识点：最简显格式、最简隐格式、CN格式、双层加权格式、Richardson 格式、网格比、传播因子法(分离变量法) 、传播因子、传播矩阵、谱半径、von Neumann条件、跳点格式、ADI格式、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容收敛和稳定性等； 要求: 建立抛物型方程边值问题的差分格式, 计算局部截断误差; 第五章 知识点：左偏心格式、右偏心格式、中心格式、LF格式、LW格式、Wendroff 格式、跳蛙格式、特征线、CFL条件等； 要求: 建立双曲型方程边值问题的差分格式, 计算局部截断误差; 第七章 要求: 会用线性元(线性基)建立常微分方程边值问题的有限元格式

三 练习题 1、 已知显格式21131()22 n n n n u u h f f +++-=-，试证明格式是相容的，并求它的阶。 P39+P41 2、用Taylor 展开原理构造一元函数一阶导数和二阶导数的数值微分公式。 提示：向前、向后和中心差商与一阶导数间关系，二阶中心差商与二阶导数 之间的关系 课件 3、用数值微分方法或数值积分方法建立椭圆型方程 2222(,),(,),u u f x y x y x y ??--=?∈Ω?? :01,01x y Ω≤≤≤≤ 内点差分格式。 P75+课件 4、构造椭圆型方程边值问题的差分格式. P101 (4)题 5、构建一维热传导方程220,(0)u u Lu a a t x ??=-=>??的数值差分格式(显隐格式等)。 参考P132-135相关知识点 6、设有逼近热传导方程22(0)u u Lu a f a const t x ??≡-==>??的带权双层格式 ()()1111111122(1)2k k j j k k k k k k j j j j j j u u a u u u u u u h θθτ++++-+-+-??=-++--+?? 其中[0,1]θ∈，试求其截断误差。并证明当2 1212h a θτ=-时，截断误差的阶最 高阶为24()O h τ+。 P135+P165+课件 7、传播因子法证明抛物型方程22(0)u u Lu a f a const t x ??≡-==>??的最简显隐和六点CN 格式稳定性。 P156+课件 8、对一阶常系数双曲型方程的初边值问题 0,0,0,0,(,0)(),0,(0,)(),0, u u a t T x a t x u x x x u t t t T φψ???+=<≤<<∞>?????=≤<∞??=≤≤?

偏微分方程数值解法答案

1. 课本2p 有证明 2. 课本812,p p 有说明 3. 课本1520,p p 有说明 4. Rit2法，设n u 是u 的n 维子空间，12,...n ???是n u 的一组基底，n u 中的任一元素n u 可 表为1n n i i i u c ?==∑ ，则,11 11()(,)(,)(,)(,)22j n n n n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ???=== -=-∑∑是12,...n c c c 的二次函数，(,)(,)i j j i a a ????=，令 () 0n j J u c ?=?，从而得到12,...n c c c 满足1 (,)(,),1,2...n i j i j i a c f j n ???===∑，通过解线性方程组，求的i c ，代入1 n n i i i u c ?==∑， 从而得到近似解n u 的过程称为Rit2法 简而言之，Rit2法：为得到偏微分方程的有穷维解，构造了一个近似解，1 n n i i i u c ?== ∑， 利用,11 11()(,)(,)(,)(,)22j n n n n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ???===-=-∑∑确定i c ，求得近似解n u 的过程 Galerkin 法：为求得1 n n i i i u c ? == ∑形式的近似解，在系数i c 使n u 关于n V u ∈，满足(,)(,) n a u V f V =，对任 意 n V u ∈或（取 ,1j V j n ?=≤≤） 1 (,)(,),1,2...n i j i j i a c f j n ???===∑的情况下确定i c ，从而得到近似解1 n n i i i u c ?==∑的过程称 Galerkin 法为 Rit2-Galerkin 法方程： 1 (,)(,)n i j i j i a c f ???==∑ 5. 有限元法：将偏微分方程转化为变分形式，选定单元的形状，对求解域作剖分，进而构 造基函数或单元形状函数，形成有限元空间，将偏微分方程转化成了有限元方程，利用 有效的有限元方程的解法，给出偏微分方程近似解的过程称为有限元法。 6. 解：对求解区间进行网格剖分，节点01......i n a x x x x b =<<<<=得到相邻节点1,i i x x -

偏微分方程组解法

偏微分方程组解法 某厚度为10cm 平壁原温度为20C ?，现其两侧面分别维持在20C ?和120C ?，试求经过8秒后平壁温度分布，并分析温度分布随时间的变化直至温度分布稳定为止。 22x t a t ??=??τ 式中a 为导温系数，/s m c 2；2=a 。 解： 模型转化为标准形式： 2 21x t t a ??=??τ 初始条件为： ()200,=x t 边界条件为： ()120,0=τt ，()20,1.0=τt 函数： pdefun.m %偏微分方程(一维动态传热) function [c,f,s]=pdefun(x,t,u,dudx) c=1/2e-4;f=dudx;s=0; icbun.m %偏微分方程初始条件(一维动态传热) function u0=icbun(x) u0=20; bcfun.m %偏微分方程边界条件(一维动态传热) function [pl,ql,pr,qr]=bcfun(xl,ul,xr,ur,t) pl=ul-120;ql=0;pr=ur-20;qr=0; 命令： x=linspace(0,10,20)*1e-2; t=linspace(0,15,16); sol=pdepe(0,pdefun,icfun,bcfun,x,t); mesh(x,t,sol(:,:,1)) %温度与时间和空间位置的关系图 %画1、2、4、6、8、15s 时刻温度分布图

plot(x,sol(2,:,1)) 1s时刻，（因为本题sol第一行为0时刻） hold on plot(x,sol(3,:,1)) plot(x,sol(5,:,1)) plot(x,sol(7,:,1)) plot(x,sol(9,:,1)) plot(x,sol(16,:,1)) 计算结果： %第8秒时温度分布 x sol(9,:,1) 经过8秒时的温度分布为： x/cm 0 0.5263 1.0526 1.5789 2.1053 2.6316 3.1579 t/C ?120.0000 112.5520 105.1653 97.8994 90.8100 83.9477 77.3562 x/cm 3.6842 4.2105 4.7368 5.2632 5.7895 6.3158 6.8421 t/C ?71.0714 65.1202 59.5200 54.2784 49.3930 44.8518 40.6338 x/cm 7.3684 7.8947 8.4211 8.9474 9.4737 10.0000 t/C ?36.7095 33.0419 29.5877 26.2982 23.1207 20.0000 或者求第8秒时，x=0,2,4,,6,8,10cm处的温度 [uout,duoutdx]=pdeval(0,x,sol(9,:,:),[0,2,4,6,8,10]*1e-2) 120.0000 92.2279 67.5007 47.5765 32.3511 20.0000

偏微分方程数值解(试题)

偏微分方程数值解试题 1、考虑一维的抛物型方程： 2200, [0,], 0t T (,), (,)(,0)() x x u u x t x u x t u u x t u u x x ππνπ?==??=∈≤≤??=== （1）导出时间离散是一阶向前Euler 格式，空间离散是二阶精度的差分格式； （2）讨论（1）中导出的格式的稳定性； （3）若时间离散为二阶精度的蛙跳格式， 11 2n n n t t u u u t t +-=?-= ?? 空间离散是二阶精度的中心差分，问所导出的格式稳定吗？为什么？ 2、考虑Poission 方程 2(,)1, (,)0, in AB and AD (,)0, in BC and CD u x y x y u n u x y -?=∈Ω ?=?= 其中Ω是图1中的梯形。 使用差分方法来离散该方程。由于梯形的对称性，可以考虑梯形的一半，如图2， 图2 从物理空间到计算区域的几何变换 图1 梯形

为了求解本问题，采用如下方法：将Ω的一半投影到正方形区域?Ω ，然后在?Ω上使用差分方法来离散该方程。在计算区域?Ω 上用N N ?个网格点，空间步长为1/(1)N ξη?=?=-。 （1）引入一个映射T 将原区域Ω（带有坐标,x y ）变换到单位正方形?Ω（带有坐标,ξη）。 同时导出在新区域上的方程和边界条件。 （2）在变换区域，使用泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。 3、对线性对流方程0 constant >0u u a a t x ??+=??，其一阶迎风有限体积法离散格式为 1?n j u +=?n j u a t x ?-?（?n j u 1?n j u --） （1）写出0a <时的一阶迎风有限体积法的离散格式； （2）写出a 为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。 （3）使用0 u u u t x ??+=??说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。 4、对一维Poission 方程 , (0,1) (0)(1)0 x xx u xe x u u ?-=∈? ==? 将[]01，分成(1)n +等分，写出用中心差分离散上述方程的差分格式，并问： （1）该差分格式与原微分方程相容吗？为什么？ （2）该差分格式稳定吗？为什么？ （3）该差分格式是否收敛到原微分方程的解？为什么？ （4）取(1)6n +=，写出该差分格式的矩阵表示。 5、叙述二重网格方法的执行过程，并对一维常微分方程边值问题 2 25, (0,1) (0)(1)0 xx u x x x u u πππ?-=∈? ==?（sin(5)+9sin(15)） 给出限制算子和延拓算子矩阵（以细网格h ：7n =，粗网格2h ：3n =为例）。 6、对一阶波动方程 01(,0)sin(), (0,1)2(0,)(1,)u u t x u x x x u t u t π???+=???? ? =∈?? =??? （1）写出用中心差分进行空间离散，用一阶向后Euler 进行时间离散的差分格式；

求解偏微分方程三种数值方法

数值模拟偏微分方程的三种方法介绍 （有限差分方法、有限元方法、有限体积方法） I．三者简介 有限差分方法（Finite Difference Methods）是数值模拟偏微分方程最早采用的方法，至今仍被广泛使用。该方法包括区域剖分和差商代替导数两个步骤。首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解区域。其次，利用Taylor级数展开等方法将偏微分方程中的导数项在网格节点上用函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知量的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且十分成熟的数值方法。 差商代替导数后的格式称为有限差分格式，从格式的精度来考虑，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间离散形式来考虑，有中心格式和迎风格式。对于瞬态方程，考虑时间方向的离散，有显格式、隐格式、交替显隐格式等。目前常见的差分格式，主要是以上几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于结构网格，网格的大小一般根据问题模型和Courant 稳定条件来决定。 有限元方法（Finite Element Methods）的基础是虚位移原理和分片多项式插值。该方法的构造过程包括以下三个步骤。首先，利用虚位移原理得到偏微分方程的弱形式，将计算区域划分为有限个互不重叠的单元（三角形、四边形、四面体、六面体等），在每个单元上选择合适的节点作为求解函数的插值点，将偏微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的分片插值基函数组成的线性表达式，得到微分方程的离散形式。利用插值函数的局部支集性质及数值积分可以得到未知量的代数方程组。 有限元方法有较完善的理论基础，具有求解区域灵活（复杂区域）、单元类型灵活（适于结构网格和非结构网格）、程序代码通用（数值模拟软件多数基于有限元方法）等特点。有限元方法最早应用于结构力学，随着计算机的发展已经渗透到计算物理、流体力学与电磁学等各个数值模拟领域。

偏微分方程数值解法试题与答案

x 1 ?若步长趋于零时，差分方程的截断误差 R m 0,则差分方程的解 U i m 趋近于微分方 程的解U m ?此结论 ________ (错或对)； 1 2.一 阶 Sobolev 空间 H ( ) f (x,y) f , f x , f y L ?() 关于内积(f,g )1 _____________________________________ 是Hilbert 空间； 3 ?对非线性(变系数)差分格式，常用 ____________ 系数法讨论差分格式的 ________ 稳定性； 4?写出y x 3在区间［1,2］上的两个一阶广义导数： ______________________________________ _____ ____ ______________ _ ____ ________ ; 5 ?隐式差分格式关于初值是无条件稳定的 ?此结论 ________ (错或对)。 (13分)设有椭圆型方程边值问题 0.1作正方形网格剖分 。 (1) 用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； (2) 用截断误差为 O (h 2)的差分法将第三边界条件离散化; (3) 整理后的差分方程组为 U C 三.(12)给定初值问题 u x,0 x 1 取时间步长 0.1，空间步长h 0.2。试合理选用一阶偏心差分格式(最简显格式) 2 u ~2 x 2 u ~2 y 0 x 0.3 0.2 x 0.3 2y 1, — u n 2x y 0.2

并以此格式求出解函数u(x,t)在x 0.2,t 0.2处的近似值。 x

1.所选用的差分格式是： 2 .计算所求近似值： 1 a k 1 四.（12分）试讨论差分方程 u l 1 k k k 1 u | r u | 1 u | , r h a 1 h 逼近微分方程 u a u 0 t x 的截断误差阶R 。 思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（ l+1/2,k+1/2 ）展开的。 思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格 式。 2 —2 ,考虑 Du Fort-Frankel 格式 X 试论证该格式是否总满足稳定性的 Von-Neumann 条件？ 六. （12分）（1 ）由Green 第一公式推导 Green 第二公式: （2） 对双调和方程边值问题 n 2 选择函数集合（空间）为： 推导相应的双线性泛函和线性泛函: A （u,v ） F （v ） 相应的虚功问题为： 极小位能问题为 七. （ 12分）设有常微分方程边值问题 y y f （x ） , a x b y a 1, y b 1 五.（12分） 对抛物型方程 U |k1 U |k 2 |k 1 (U |k1 U |k1) U |k 1 ) 2 (u)vdxdy G (u) u vdxdy :[v v u ]ds n f (x,y) (x,y) g 1(x , y), g 2(x, y) (x,y),

偏微分方程数值解例题答案

二、改进的Euler 方法 梯形方法的迭代公式(1.10)比Euler 方法精度高,但其计算较复杂,在应用公式(1.10)进行计算时,每迭代一次,都要重新计算函数),(y x f 的值,且还要判断何时可以终止或转下一步计算.为了控制计算量和简化计算法,通常只迭代一次就转入下一步计算.具体地说,我们先用Euler 公式求得一个初步的近似值1+n y ,称之为预测值,然后用公式(1.10)作一次迭代得1+n y ,即将1+n y 校正一次.这样建立的预测－校正方法称为改进的Euler 方法: 预测: ),,(1n n n n y x hf y y +=+ 校正 : )].,(),([2 111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y (1.15) 这个计算公式也可以表示为 11(,), (,), 1(). 2p n n n c n n p n p c y y hf x y y y hf x y y y y ++?=+??=+?? ?=+??? 例1 取步长0.1h =，分别用Euler 方法及改进的Euler 方法求解初值问题 d (1),01, d (0) 1. y y xy x x y ?=-+≤≤???=? 解 这个初值问题的准确解为()1(21)x y x e x =--. 根据题设知 ).1(),(xy y y x f +-= (1) Euler 方法的计算式为 )],1([1.01n n n n n y x y y y +?-=+ 由1)0(0==y y , 得 ,9.0)]101(1[1.011=?+??-=y ,8019.0)]9.01.01(9.0[1.09.02=?+??-=y 这样继续计算下去，其结果列于表9.1. (2) 改进的Euler 方法的计算式为 110.1[(1)],0.1[(1)], 1(), 2p n n n n c n p n p n p c y y y x y y y y x y y y y ++?=-?+?=-?+??? ?=+??? 由1)0(0==y y ，得

偏微分方程的数值解法

《偏微分方程数值解法》试题 (专业:凝聚态物理学号:2013201260 姓名:鄢建军) 1.考虑定解问题 （1）用迎风格式(P、45)求解 1,0 (,0) 0,0 t x u u x u x x += ? ? ≤ ? ? =? ?> ? ? 。 利用迎风格式编写Fortran程序语言,运行结果如下: Fig 1、迎风格式求解结果 （2）用Beam-Warming格式(P、51)求解。 利用Beam—Warming格式编写Fortran程序语言,运行结果如下 :

Fig 2、 Beam —Warming 格式求解结果 （3） 比较两种方法结果的异同。 将两种格式运行的结果绘制在一起,要求时间步长与空间步长在两种格式中都相同,运行结果如下图所示: Fig 3、 迎风格式与Beam-Warming 格式求解结果比较 从两种格式的运行结果来瞧,都存在边缘的误差现象,相比而言,Beam-Warming 格式的运行结果差一些。但就是理论上分析,迎风格式的截断误差为()h οτ+,而Beam-Warming 格式的截断误差为22()h h οττ++。稳定性上来分析,迎风格式的稳定性较好,要求1(/)a h λλτ≤=,Beam-Warming 格式的稳定性条件为2(/)a h λλτ≤=。 2. 考虑定解问题212 1110,04(,0)sin ,0(0,)(,)0u u a x l t t u x x x l l u t u l t π???-=<

常微分方程数值解法

i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。

偏微分方程数值解法

《偏微分方程数值解法》 课程设计 题目: 六点对称差分格式解热传导方程的初边 值问题 姓名: 王晓霜 学院: 理学院 专业: 信息与计算科学 班级: ０91１01２ 学号: ０９１10１218 指导老师：翟方曼 ２０12年12月14

日 一、题目 用六点对称差分格式计算如下热传导方程的初边值问题 222122,01,01(,0),01 (0,),(1,),01x t t u u x t t x u x e x u t e u t e t +???=<<<≤?????=≤≤??==≤≤??? 已知其精确解为 2(,)x t u x t e += 二、理论 1.考虑的问题 考虑一维模型热传导方程 （1.１) )(22x f x u a t u +??=??,T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.１)的定解问题分两类: 第一,初值问题（Cauch ｙ 问题)：求足够光滑的函数()t x u ,,满足方程（１.1）和初始条件： (1.２) ()()x x u ?=0,， ∞<<∞-x 第二,初边值问题（也称混合问题）:求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(１.１)和初始条件： ()13.1 ()()x x u ?=0,， l x l <<- 及边值条件 ()23.1 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑,并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。 现在考虑边值问题（１.1),（1.３)的差分逼近 取 N l h = 为空间步长,M T =τ为时间步长,其中N ,M 是自然数,