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2020最新八年级数学下册期中试卷及答案

八年级(下)期中数学试卷

一、单项选择题(每小题2分,共20分)

1.下列根式中是最简二次根式的是( )

A .

B .

C .

D . 2.下列式子中正确的是( )

A .

B .

C .

D . 3.已知a=3,b=4,若a ,b ,c 能组成直角三角形,则c=( )

A .5

B .

C .5或

D .5或6

4.如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P 是BC 边上的动点,则AP 长不可能是( )

2020最新八年级数学下册期中试卷及答案

A .3.5

B .4.2

C .5.8

D .7

5.有下列四个命题,其中正确的个数为( )

①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形;

②一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形;

③两条对角线互相垂直的平行四边形是矩形;

④两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形.

A .4

B .3

C .2

D .1

6.如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S 1、S 2,则S 1+S 2的值为( )

2020最新八年级数学下册期中试卷及答案

A .16

B .17

C .18

D .19

7.若顺次连接四边形ABCD 各边中点所得四边形是矩形,则四边形ABCD 必然是( )

A .菱形

B .对角线相互垂直的四边形

C .正方形

D .对角线相等的四边形 8.已知点(x 1,y 1),(x 2,y 2)都在直线y=﹣x ﹣6上,如x 1>x 2,则y 1和y 2大小关系是( )

A .y 1>y 2

B .y 1=y 2

C .y 1<y 2

D .不能比较

9.若点A (2,4)在函数y=kx ﹣2的图象上,则下列各点在函数图象上的是( )

A .(0,﹣2)

B .(,0)

C .(8,20)

D .(,) 10.在同一平面直角坐标系中,若一次函数y=﹣x+3与y=3x ﹣5的图象交于点M ,则点M 的坐标为( )

A . C .

二、填空(每小题3分,共24分)

11.要使代数式有意义,则x 的取值范围是 . 12.如右图,Rt △ABC 的面积为20cm 2,在AB 的同侧,分别以AB ,BC ,AC 为直径作三个半圆,则阴影部分的面积为 .

2020最新八年级数学下册期中试卷及答案

13.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为 . 14.如图,在正方形ABCD 的外侧,作等边△ADE ,则∠AEB= .

2020最新八年级数学下册期中试卷及答案

15.当直线y=kx+b 与直线y=﹣2x+1平行,且y=kx+b 与y=x+4和x 轴交于一点,则y=kx+b 的解析式为 .

16.如图,正方形ABCD 的对角线长为8,E 为AB 上一点,若EF ⊥AC 于F ,EG ⊥BD 于G ,则

EF+EG= .

2020最新八年级数学下册期中试卷及答案

17.如图,已知函数y 1=k 1x+b 1和y 2=k 2x+b 2交于点(﹣3,1),k 1>0,k 2<0,如k 1x+b 1<k 2x+b 2,则x 的范围为 .

2020最新八年级数学下册期中试卷及答案

18.如图,边长为1的菱形ABCD 中,∠DAB=60°.连结对角线AC ,以AC 为边作第二个菱形ACEF ,使∠FAC=60°.连结AE ,再以AE 为边作第三个菱形AEGH 使∠HAE=60°…按此规律所作的第n 个菱形的边长是 .

三、解答(第19题9分,第20题,24题每题6分,第21题5分,第22题和第23题,25题每题7分,第26题9分,共计56分)

19.计算

(1)(2﹣3)÷

(2)2+3﹣﹣

(3)已知x=,y=,求x 2+y 2.

20.如图所示,矩形ABCD 中,AB=8,AD=6,沿EF 折叠,点B 恰好与点D 重合,点C 落在点G 处,求折痕EF 的长度.

21.如图,E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点,AE=CF .求证:四边形DEBF 是平行四边形.

22.如图,在矩形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,DE ∥AC ,CE ∥BD .

(1)求证:四边形OCED 为菱形;

(2)如AB=2,AC 与BD 所夹锐角为60°,求四边形OCED 的面积.

23.如图,△ABC中,CE和CF分别平分∠ACB和△ABC的外角∠ACD,一动点O在AC上运动,过点O作BD的平行线与∠ACB和∠ACD的角平分线分别交于点E和点F.

(1)求证:当点O运动到什么位置时,四边形AECF为矩形,说明理由;

(2)在第(1)题的基础上,当△ABC满足什么条件时,四边形AECF为正方形,说明理由.

24.已知y与x﹣1成一次函数关系,且当﹣2<x<3时,2<y<4,求y与x的函数解析式.

25.将直线y=﹣x+2先向右平移一个单位长度,再向上平移一个单位长度,所得新的直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点,另有一条直线y=x+1.

(1)求l的解析式;

(2)求点A和点B的坐标;

(3)求直线y=x+1与直线l以及y轴所围成的三角形的面积.

26.甲乙两工程队同时修路,两队所修路的长度相等,甲队施工速度一直没变,乙队在修了3小时后加快了修路速度,在修了5小时后,乙又因故施工速度减少到每小时5米,如图所示是两队所修公路长度y (米)与所修时间x(小时)的图象,请回答下列问题.

(1)直接写出甲队在0≤x≤5时间段内,y与x的函数关系式为;直接写出乙队在3≤x≤5时间段内,y与x的函数关系式为;

(2)求开修多长时间后,乙队修的长度超过甲队10米;

(3)如最后两队同时完成任务,求乙队从开修到完工所修长度为多少米.

2020最新八年级数学下册期中试卷及答案

八年级(下)期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题(每小题2分,共20分)

1.下列根式中是最简二次根式的是()

A.B.C.D.

【考点】最简二次根式.

【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行,或直观地观察被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2,且被开方数中不含有分母,被开方数是多项式时要先因式分解后再观察.

【解答】解:A、符合最简二次根式的定义,故A选项正确;

B、二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数,故B选项错误;

C、二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数,故C选项错误;

D、被开方数中含有分母,故D选项错误;

故选:A.

【点评】此题考查最简根式问题,在判断最简二次根式的过程中要注意:

(1)在二次根式的被开方数中,只要含有分数或小数,就不是最简二次根式;

(2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数),如果幂的指数等于或大于2,也不是最简二次根式.

2.下列式子中正确的是()

A.B.C.D.

【考点】二次根式的加减法.

【分析】根据二次根式的运算法则分别计算,再作判断.

【解答】解:A、不是同类二次根式,不能合并,故错误;

B、D、开平方是错误的;

C、符合合并同类二次根式的法则,正确.

故选C.

【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后,被开方数相同的二次根式.

二次根式的加减运算,先化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.

3.已知a=3,b=4,若a,b,c能组成直角三角形,则c=()

A.5 B.C.5或D.5或6

【考点】勾股定理的逆定理.

【分析】注意有两种情况一是所求边为斜边,二所求边位短边.

【解答】解:分两种情况:

当c为斜边时,c==5;

当长4的边为斜边时,c==(根据勾股定理列出算式).

故选C.

【点评】本题利用了勾股定理求解,注意要讨论c为斜边或是直角边的情况.

4.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P是BC边上的动点,则AP长不可能是()

A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7

【考点】含30度角的直角三角形;垂线段最短.

【分析】利用垂线段最短分析AP最小不能小于3;利用含30度角的直角三角形的性质得出AB=6,可知AP最大不能大于6.此题可解.

【解答】解:根据垂线段最短,可知AP的长不可小于3;

∵△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,

∴AB=6,

∴AP的长不能大于6.

故选:D.

【点评】本题主要考查了垂线段最短和的性质和含30度角的直角三角形的理解和掌握,解答此题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质得出AB=6.

5.有下列四个命题,其中正确的个数为()

①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形;

②一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形;

③两条对角线互相垂直的平行四边形是矩形;

④两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形.

A.4 B.3 C.2 D.1

【考点】命题与定理.

【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、以及正方形的判定方法逐一判定即可.

【解答】解:①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形;正确;

②一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形;正确;

③两条对角线互相垂直的平行四边形是矩形;错误;

④两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形;错误;

正确的个数为2个;

故选:C .

【点评】本题考查了命题与定理、平行四边形、矩形、菱形、以及正方形的判定方法;熟记平行四边形、矩形、菱形、以及正方形的判定方法是解决问题的关键.

6.如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S 1、S 2,则S 1+S 2的值为( )

A .16

B .17

C .18

D .19

【考点】勾股定理.

【分析】由图可得,S 2的边长为3,由AC=BC ,BC=CE=CD ,可得AC=2CD ,CD=2,EC=2;然后,分别算出S 1、S 2的面积,即可解答.

【解答】解:如图,

设正方形S 1的边长为x ,

∵△ABC 和△CDE 都为等腰直角三角形,

∴AB=BC ,DE=DC ,∠ABC=∠D=90°,

∴sin ∠CAB=sin45°==,即AC=BC ,同理可得:BC=CE=CD ,

∴AC=BC=2CD ,

又∵AD=AC+CD=6,

∴CD==2,

∴EC 2=22+22,即EC=2;

∴S 1的面积为EC 2=2×2=8;

∵∠MAO=∠MOA=45°,

∴AM=MO ,

∵MO=MN ,

∴AM=MN ,

∴M 为AN 的中点,

∴S 2的边长为3,

∴S 2的面积为3×3=9,

∴S 1+S 2=8+9=17.

故选B .

【点评】本题考查了勾股定理,要充分利用正方形的性质,找到相等的量,再结合三角函数进行解答.

7.若顺次连接四边形ABCD 各边中点所得四边形是矩形,则四边形ABCD 必然是( )

A .菱形

B .对角线相互垂直的四边形

C .正方形

D .对角线相等的四边形

【考点】矩形的判定;三角形中位线定理.

【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解;首先根据三角形中位线定理知:所得四边形的对边都平行且相等,那么其必为平行四边形,若所得四边形是矩形,那么邻边互相垂直,故原四边形的对角线必互相垂直,由此得解.

【解答】解:已知:如右图,四边形EFGH 是矩形,且E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点,求证:四边形ABCD 是对角线垂直的四边形.

证明:由于E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点,

根据三角形中位线定理得:EH ∥FG ∥BD ,EF ∥AC ∥HG ;

∵四边形EFGH 是矩形,即EF ⊥FG ,

∴AC ⊥BD ;故选B .

【点评】本题主要利用了矩形的性质和三角形中位线定理来求解.

8.已知点(x 1,y 1),(x 2,y 2)都在直线y=﹣x ﹣6上,如x 1>x 2,则y 1和y 2大小关系是( )

A .y 1>y 2

B .y 1=y 2

C .y 1<y 2

D .不能比较

【考点】一次函数图象上点的坐标特征.

【分析】根据一次函数中,当k <0时,y 随x 的增大而减小可以解答本题.

【解答】解:∵y=﹣x ﹣6,k=﹣<0,

∴在y=﹣x ﹣6的图象上y 随x 的增大而减小,

∵点(x 1,y 1),(x 2,y 2)都在直线y=﹣x ﹣6上,x 1>x 2,

∴y 1<y 2.

故选C .

【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是明确一次函数中,当k <0时,y 随x 的增大而减小.

9.若点A (2,4)在函数y=kx ﹣2的图象上,则下列各点在函数图象上的是( )

A .(0,﹣2)

B .(,0)

C .(8,20)

D .(,)

【考点】一次函数图象上点的坐标特征.

【分析】将点A (2,4)代入函数解析式求k ,再把点的坐标代入解析式,逐一检验.

【解答】解:把点A (2,4)代入y=kx ﹣2中,

得2k ﹣2=4,解得k=3;

所以,y=3x ﹣2,

四个选项中,只有A 符合y=3×0﹣2=﹣2.

故选A .

【点评】用待定系数法求函数解析式是确定解析式常用的方法.

10.在同一平面直角坐标系中,若一次函数y=﹣x+3与y=3x ﹣5的图象交于点M ,则点M 的坐标为( )

A . C .

【考点】两条直线相交或平行问题.

【分析】联立两直线解析式,解方程组即可.

【解答】解:联立,

解得,

所以,点M 的坐标为(2,1).

故选D .

【点评】本题考查了两条直线的交点问题,通常利用联立两直线解析式解方程组求交点坐标,需要熟练掌握.

二、填空(每小题3分,共24分)

11.要使代数式有意义,则x 的取值范围是 x . 【考点】二次根式有意义的条件;分式有意义的条件. 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于等于0,分母不等于0,就可以求解.

【解答】解:根据题意得:,

解得:x ≥.

故答案是:x ≥.

【点评】本题考查的知识点为:分式有意义,分母不为0;二次根式的被开方数是非负数.

12.如右图,Rt △ABC 的面积为20cm 2,在AB 的同侧,分别以AB ,BC ,AC 为直径作三个半圆,则阴影部

分的面积为 20cm 2 .

【考点】勾股定理.

【分析】根据阴影部分的面积等于以AC、CB为直径的两个半圆的面积加上△ABC的面积再减去以AB为直径的半圆的面积列式并整理,再利用勾股定理解答.

﹣π(AB)2,

【解答】解:由图可知,阴影部分的面积=π(AC)2+π(BC)2+S

△ABC

=(AC2+BC2﹣AB2)+S

△ABC

在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,

=20cm2.

∴阴影部分的面积=S

△ABC

故答案为:20cm2.

【点评】本题考查了勾股定理,阴影部分的面积表示,观察图形,准确表示出阴影部分的面积是解题的关键.

13.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为.

【考点】勾股定理.

【分析】本题可先用勾股定理求出斜边长,然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可.

【解答】解:由勾股定理可得:斜边长2=52+122,

则斜边长=13,

直角三角形面积S=×5×12=×13×斜边的高,

可得:斜边的高=.

故答案为:.

【点评】本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的综合运用,看清题中条件即可.

14.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则∠AEB= 15°.

【考点】正方形的性质;等边三角形的性质.

【分析】由四边形ABCD为正方形,三角形ADE为等比三角形,可得出正方形的四条边相等,三角形的三边相等,进而得到AB=AE,且得到∠BAD为直角,∠DAE为60°,由∠BAD+∠DAE求出∠BAE的度数,进而利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可求出∠AEB的度数.

【解答】解:∵四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,

∴AB=BC=CD=AD=AE=DE,∠BAD=90°,∠DAE=60°,

∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°,

又∵AB=AE,

∴∠AEB==15°.

故答案为:15°.

【点评】此题考查了正方形的性质,以及等边三角形的性质,利用了等量代换的思想,熟练掌握性质是解本题的关键.

15.当直线y=kx+b与直线y=﹣2x+1平行,且y=kx+b与y=x+4和x轴交于一点,则y=kx+b的解析式为y=﹣2x﹣8 .

【考点】两条直线相交或平行问题.

【分析】根据平行k相同可以求出k,求出直线y=x+4和x轴交点代入y=kx+b可以求出b,由此即可解决问题.

【解答】解:∵直线y=kx+b与直线y=﹣2x+1平行,

∴k=﹣2,

∵y=kx+b与y=x+4和x轴交于一点,

∴经过点(﹣4,0),

∴0=﹣2×(﹣4)+b,

∴b=﹣8,

∴y=kx+b的解析式为y=﹣2x﹣8,

故答案为y=﹣2x﹣8.

【点评】本题考查两直线平行或相交问题,记住两直线平行k相同,灵活应用待定系数法求函数解析式,属于中考常考题型.

16.如图,正方形ABCD 的对角线长为8,E 为AB 上一点,若EF ⊥AC 于F ,EG ⊥BD 于G ,则EF+EG= 4 . 【考点】正方形的性质. 【分析】正方形ABCD 的对角线交于点O ,连接0E ,由正方形的性质和对角线长为8,得出OA=OB=4;进一步利用S △ABO =S △AEO +S △EBO ,整理得出答案解决问题.

【解答】解:如图:

∵四边形ABCD 是正方形,

∴OA=OB=4,

又∵S △ABO =S △AEO +S △EBO ,

∴OAOB=OAEF+OBEG ,

即×4×4=×4×(EF+EG )

∴EF+EG=4.

故答案为:4.

【点评】此题考查正方形的性质,三角形的面积计算公式;利用三角形的面积巧妙建立所求线段与已知线段的关系,进一步解决问题.

17.如图,已知函数y 1=k 1x+b 1和y 2=k 2x+b 2交于点(﹣3,1),k 1>0,k 2<0,如k 1x+b 1<k 2x+b 2,则x 的范围为 x <﹣3 .

【考点】一次函数与一元一次不等式.

【分析】k 1x+b 1<k 2x+b 2就是y 1=k 1x+b 1的图象在y 2=k 2x+b 2的图象的下边时对应的x 的范围,根据图象即可判断.

【解答】解:根据图象可得x 的范围是x <﹣3.

故答案是:x <﹣3.

【点评】本题考查了利用一次函数图象解不等式以及一次函数的性质,确定两个函数的解析式与图象的对应关系是关键.

18.如图,边长为1的菱形ABCD 中,∠DAB=60°.连结对角线AC ,以AC 为边作第二个菱形ACEF ,使∠FAC=60°.连结AE ,再以AE 为边作第三个菱形AEGH 使∠HAE=60°…按此规律所作的第n 个菱形的边长是 ()n ﹣1 .

【考点】菱形的性质.

【分析】连接DB 于AC 相交于M ,根据已知和菱形的性质可分别求得AC ,AE ,AG 的长,从而可发现规律根据规律不难求得第n 个菱形的边长.

【解答】解:连接DB ,

∵四边形ABCD 是菱形,

∴AD=AB .AC ⊥DB ,

∵∠DAB=60°,

∴△ADB 是等边三角形,

∴DB=AD=1,

∴BM=,

∴AM=,

∴AC=,

同理可得AE=AC=()2,AG=AE=3=()3,

按此规律所作的第n 个菱形的边长为()n ﹣1,

故答案为()n ﹣1.

【点评】此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及学生探索规律的能力.

三、解答(第19题9分,第20题,24题每题6分,第21题5分,第22题和第23题,25题每题7分,第26题9分,共计56分)

19.计算

(1)(2﹣3)÷

(2)2+3﹣﹣

(3)已知x=,y=,求x2+y2.

【考点】二次根式的混合运算.

【分析】(1)先把括号内的各二次根式化为最简二次根式,然后合并后进行二次根式的除法运算;

(2)先把各二次根式化为最简二次根式,然后合并即可;

(3)先利用分母有理化化简x和y,再计算x+y与xy的值,然后利用完全平方公式把原式变形为(x+y)2﹣2xy,再利用整体代入的方法计算.

【解答】解:(1)原式=(8﹣9)÷

=﹣÷

=﹣

=﹣;

(2)原式=4+2﹣﹣

=2;

(3)x=﹣1,y=﹣(+1)=﹣﹣1,

所以x+y=﹣2,xy=﹣2,

所以原式=(x+y)2﹣2xy

=(﹣2)2﹣2×(﹣2)

=8.

【点评】本题考查了二次根式的计算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除运算,然后合并同类二次根式.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.

20.如图所示,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,沿EF折叠,点B恰好与点D重合,点C落在点G处,求折痕EF的长度.

【考点】矩形的性质;翻折变换(折叠问题).

【分析】作EM⊥CD,垂足为点M设DE=x,由折叠的性质得出∠DEF=∠BEF,BE=DE=x,得出AE=8﹣x,再由矩形的性质得出∠DEF=∠DFE,证出DE=DF,在Rt△ADE中,由勾股定理得出方程,解方程求出DE,得出AE、MF,由勾股定理求出EF即可.

【解答】解:作EM⊥CD,垂足为点M,如图所示:

设DE=x,

由折叠的性质得:∠DEF=∠BEF,BE=DE=x,

∴AE=8﹣x,

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠A=90°,AB∥CD,

∴∠DFE=∠BEF,

∴∠DEF=∠DFE,

∴DE=DF,

在Rt△ADE中,由勾股定理得:(8﹣x)2+62=x2,

解得:x=,

∴AE=DM=8﹣=,

又∵DF=DE=,

∴MF=DF﹣DM=﹣=,

又∵ME=AD=6,

∴EF===.

【点评】此题主要考查了翻折变换的性质矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定;熟练掌握翻折变换和矩形的性质,由勾股定理得出方程求出BE是解决问题的关键.

21.如图,E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF.求证:四边形DEBF是平行四边形.

【考点】平行四边形的判定与性质;全等三角形的性质.

【分析】首先连接BD,交AC于点O,由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对角线互相平分,即可求得OA=OC,OB=OD,又由AE=CF,可得OE=OF,然后根据对角线互相相平分的四边形是平行四边形.

【解答】证明:连接BD,交AC于点O,

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OA=OC,OB=OD,

∵AE=CF,

∴OA﹣AE=OC﹣CF,

即OE=OF,

∴四边形DEBF是平行四边形.

【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.

22.如图,在矩形ABCD中,AC与BD交于点O,DE∥AC,CE∥BD.

(1)求证:四边形OCED为菱形;

(2)如AB=2,AC与BD所夹锐角为60°,求四边形OCED的面积.

【考点】矩形的性质;菱形的判定.

【分析】(1)先根据DE∥AC、CE∥BD判定四边形ODEC是平行四边形,然后根据矩形的性质:矩形的对角线相等且互相平分,可得OC=OD,由此可判定四边形OCED是菱形.

(2)作DM⊥OC,垂足为点M,证明△COD为等边三角形,得出OC=CD=OD=2,得出CM=1,DM=CM=,菱形OCED面积=OCDM,即可得出结果.

【解答】(1)证明:∵DE∥AC,CE∥BD,

∴四边形OCED为平行四边形,

∵四边形ABCD为矩形,

∴AC=BD,OC=AC,OD=BD,

∴OC=OD,

∴四边形OCED为菱形;

(2)解:作DM⊥OC,垂足为点M,

∵OC=OD,∠COD=60°,

∴△COD为等边三角形,

∴OC=CD=OD,

∵AB=2,四边形ABCD是矩形,

∴CD=AB=2,

∴OC=CD=OD=2,

∵DM⊥OC,

∴CM=1,

∴DM=CM=,

∴菱形OCED面积=OCDM=2.

【点评】本题主要考查矩形的性质,平行四边形的判定、菱形的判定、等边三角形的判定与性质;熟练掌握矩形的性质和菱形的判定,证明三角形是等边三角形是解决问题(2)的关键.

23.如图,△ABC中,CE和CF分别平分∠ACB和△ABC的外角∠ACD,一动点O在AC上运动,过点O作BD的平行线与∠ACB和∠ACD的角平分线分别交于点E和点F.

(1)求证:当点O运动到什么位置时,四边形AECF为矩形,说明理由;

(2)在第(1)题的基础上,当△ABC满足什么条件时,四边形AECF为正方形,说明理由.

【考点】正方形的判定;矩形的判定.

【分析】(1)利用角平分线的性质以及平行线的性质得出OE=OF,即可得出结论;

(2)证出EF⊥AC,即可得出结论.

【解答】(1)证明:当点O运动到AC的中点位置时,四边形AECF为矩形;理由如下:

∵O为AC中点,

∴OA=OC,

∵EF∥BD,

∴∠CEO=∠ECB,

∵CE平分∠ACB,

∴∠BCE=∠ACE,

∴∠CEO=∠ECO,

∴OE=OC,

同理可证,OC=OF,

∴OE=OF,

∴四边形AECF为平行四边形,

又∵EF=2OE,AC=2OC,

∴EF=AC,

∴四边形AECF为矩形;

(2)解:当∠ACB=90°时,四边形AECF为正方形;

理由如下:∵EF∥BD,∠ACB=90°,

∴∠AOE=90°,

∴EF⊥AC,

∵四边形AECF为矩形,

∴四边形AECF为正方形.

【点评】本题考查了正方形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、等腰三角形的判定;熟练掌握平行四边形的判定方法,证出OE=OF是解决问题的关键.

24.已知y与x﹣1成一次函数关系,且当﹣2<x<3时,2<y<4,求y与x的函数解析式.

【考点】待定系数法求一次函数解析式.

【分析】进行分类讨论k大于0还是小于0,列出二元一次方程组求出k和b的值即可.

【解答】解:设y=k(x﹣1)+b(k≠0),依题意得:

当k>0时,2=﹣3k+b①,4=2k+b②,

由①②得:k=,B=,∴y=x+;

当k<0时,4=﹣3k+b①,2=2k+b②,

由①②得:k=﹣,b=,∴y=﹣x+;

综上所述:y与x的函数解析式为y=x+或y=﹣x+.

【点评】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式的知识,解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质,注意分类讨论.

25.将直线y=﹣x+2先向右平移一个单位长度,再向上平移一个单位长度,所得新的直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点,另有一条直线y=x+1.

(1)求l的解析式;

(2)求点A和点B的坐标;

(3)求直线y=x+1与直线l以及y轴所围成的三角形的面积.

【考点】一次函数图象与几何变换.

【分析】(1)根据图象平移的规律:左加右减,上加下减,可得答案;

(2)根据自变量与函数值的对应关系,可得答案;

(3)根据解方程组,可得交点坐标,根据三角形的面积公式,可得答案.

【解答】解:(1)直线y=﹣x+2先向右平移一个单位长度,再向上平移一个单位长度得

y=﹣(x﹣1)+2+1,化简得

y=﹣x+.

(2)当y=0时,0=﹣x+.解得x=7,即A(7,0);

当x=0时,y=,B(0,);

(3)将y=﹣x+和y=x+1联成方程组解得两直线交点为(,).

再求出两直线与y轴交点分别为(0,)和(0,1),

所以三角形面积为××(﹣1)=.

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换,利用图象平移的规律是解题关键.

26.甲乙两工程队同时修路,两队所修路的长度相等,甲队施工速度一直没变,乙队在修了3小时后加快了修路速度,在修了5小时后,乙又因故施工速度减少到每小时5米,如图所示是两队所修公路长度y (米)与所修时间x(小时)的图象,请回答下列问题.

(1)直接写出甲队在0≤x≤5时间段内,y与x的函数关系式为y=14x ;直接写出乙队在3≤x≤5时间段内,y与x的函数关系式为y=35x﹣85 ;

(2)求开修多长时间后,乙队修的长度超过甲队10米;

(3)如最后两队同时完成任务,求乙队从开修到完工所修长度为多少米.

【考点】一次函数的应用.

【分析】(1)甲的图象是过原点的直线,过(5,70),乙队在3≤x≤5的时间段内是一次函数,可以利用待定系数法求得函数的解析式;

(2)根据图象,可分两种情况:①3≤x≤5;②x>5.分别根据乙队修的长度超过甲队10米列出方程,求解即可;

(3)设乙队从开修到完工所修水渠的长度为m米,乙队在修筑5小时后,甲剩余(m﹣70)米,乙剩余(m﹣90)米,根据两队同时完成任务,即时间相等,即可列方程求解.

【解答】解:(1)设甲队在0≤x≤5时间段内,y与x的函数的解析式是y=kx,

根据题意得:5k=70,解得:k=14,

则甲的函数解析式是:y=14x.

②设乙队在3≤x≤5时间段内,y与x的函数的解析式是:y=mx+b,

根据题意得:,

解得:.

则函数解析式是:y=35x﹣85.

故答案为y=14x;y=35x﹣85;

(2)分两种情况:

①当3≤x≤5时,由题意得35x﹣85﹣14x=10,

解得x=;

②当x>5时,

乙队y与x的函数的解析式是:y=5(x﹣5)+90.

由题意得5(x﹣5)+90﹣14x=10,

解得x=.

答:开修或小时后,乙队修的长度超过甲队10米;

(3)由图象得,甲队的速度是70÷5=14(米/时).

设乙队从开修到完工所修长度为m米.

根据题意得: =,

解得m=.

答:乙队从开修到完工所修的长度为米.

【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题,待定系数法求函数的解析式,以及列方程解应用题,此类题是近年中考中的热点问题.