材料力学习题答案1教学总结

材料力学习题答案1

2.1 试求图各杆1-1、2-2、3-3 截面上的轴力，并作轴力图。

解：(a) ()1140302050F kN -=+-=，()22302010F kN -=-=，()3320F kN -=-

(b) 11F F -=，220F F F -=-=，33F F -= (c) 110F -=，224F F -=，3343F F F F -=-= 轴力图如题2. 1 图( a) 、( b ) 、( c) 所示。

2.2 作用于图示零件上的拉力F=38kN ，试问零件内最大拉应力发生在哪个截面上? 并求其值。

解 截面1-1 的面积为

()()21502220560A mm =-?=

截面2-2 的面积为

()()()2215155022840A mm =+-=

因为1-1截面和2-2 截面的轴力大小都为F ，1-1截面面积比2-2 截面面积小，故最大拉应力在截面1-1上，其数值为：

()3max

11381067.9560

N F F MPa A A σ?====

2.9 冷镦机的曲柄滑块机构如图所示。镦压工件时连杆接近水平位置，承受的镦压力F=1100kN 。连杆截面是矩形截面，高度与宽度之比为 1.4h b

=。材料为45钢，许用应力

[]58MPa σ=，试确定截面尺寸h 及b 。

解 连杆内的轴力等于镦压力F ，所以连杆内正应力为F A

σ=

。 根据强度条件，应有[]F F A bh σσ==≤，

将 1.4h

b

=代入上式，解得

()()0.1164116.4b m mm ≥≤==

由 1.4h b

=，得()162.9h mm ≥

所以，截面尺寸应为()116.4b mm ≥，()162.9h mm ≥。

2.12 在图示简易吊车中，BC 为钢杆，AB 为木杆。木杆AB 的横截面面积

21100A cm =，许用应力[]17MPa σ=；钢杆

BC 的横截面面积216A cm =，许用拉应力

[]2160

MPa

σ=。试求许可吊重F 。

解 B 铰链的受力图如图(b)所示，平衡条件为

0x

F =∑， cos300NBC NAB F F -+=o （1） 0y

F

=∑， sin 300NBC F F -=o （2）

解（1）、（2）式，得

2NBC F F =，NAB F = (３)

(1) 按照钢杆的强度要求确定许可吊重

钢杆的强度条件为：[]222

NBC

F A σσ=≤ 由上式和(３)式可得

[]()()642211

160106104800048222

NBC F F A N kN σ-=

==????== (2) 按木杆的强度要求确定许可吊重 木杆的强度条件为：[]111

NAB

F A σσ=≤ 由上式和(３)式可得

])()()64

11710100104041540.4F A N kN σ-=

==???== 比较上述求得的两种许可吊重值，可以确定吊车的许可吊重为

[]()40.4F kN =。

2.14 某铣床工作台进给油缸如图(a)所示，缸内工作油压2p MPa =，油缸内径D= 75mm ，活塞杆直径d=18mm 。已知活塞杆材料的许用应力[]50MPa σ=，试校核活塞杆的强度。

解 活塞杆的受力图(b)所示，由平衡条件可得其承受的拉力为：

()224

N p D d F π-=

活塞杆的应力：

()()()

()()

222262222

2

2100.0750.0184

0.0184 3270000032.7N p D d p D d F d A

d Pa MPa πσπ--??-==

=

=

?? ???

==

与许用应力[]50MPa σ=比较可知，活塞杆可以安全工作。

2.18 变截面直杆的受力如图(a)所示。已知：

218A cm =，224A cm =，200E GPa =。求杆的总伸长

l ?。

解 杆的轴力图如图(b)所示，各段的伸长分别为：

1111N F l l EA ?=

，2222

N F l

l EA ?= 则总的伸长为

()()

3311221294

941220100.240100.2

2001081020010410 0.0000750.075N N F l F l l l l EA EA m mm ---?????=?+?=+=+??????==

2.20 设图(a)中CG 杆为刚体(即CG 杆的弯曲变形可以忽略)，BC 杆为铜杆，DG 杆为钢杆，两杆的横截面面积分别为1A 和2A ，弹性模量分别为1E 和2

E

。如要求CG 杆

始终保持水平位置，试求x 。

解 CG 杆的受力图如图(b)所示，其平衡条件为

0c

M =∑， 2N Fx F l = ①

0y

F

=∑， 12N N F F F += ②

由拉压胡克定律得二杆的轴向变形为：11111N F l l E A ?=

，22222

N F l

l E A ?= 欲使CG 杆始终保持水平状态，必须12l l ?=?，即

1122

1122

N N F l F l E A E A = ③ 联立①、②、③式，解得：122

211122

ll E A x l E A l E A =+。

2.43 在图(a)所示结构中，假设AC 梁为刚杆，杆1、2、3的横截面面积相等，材料相同。试求三杆的轴力。

解 杆ABC 的受力图如图(b)所示，平衡条件为：

0y

F

=∑， 123N N N F F F F ++= ①

0A

M

=∑， 2320N N F a F a += ②

变形的几何关系如图(b)所示，变形协调方程为

1322l l l ?+?=? ③

利用胡克定律将③式变为

1322N N N F l F l F l

EA EA EA

+= ④ 联立①、②、④式，解得

156N F F =

，213N F F =，316

N F F =-

2.44 如图(a)所示刚杆AB 悬挂于1、2 两杆上，杆1的横截面面积为602mm ，杆2为1202mm ，且两杆材料相同。若F=6kN ，试求两杆的轴力及支座A 的反力。

解 杆1、2的受力图如图(b)

所示，这是个一次超静定问题，可利用的平衡方程只有一个。

0A

M

=∑， 12123N N F F F ?+?=? ①

变形协调方程为：

61111

126

212222212010134601023

N N N N N N F F l F l EA l EA F l F F --???=?=?==??? ② 解①、②式，得 ()1 3.6N F kN =，()27.2N F kN = 由平衡条件：0y F =∑， 120N N RAy F F F F +--= 得：()4.8RAy F kN =。

2.58 图示凸缘联轴节传递的力偶矩为e M =200 N ·m ，凸缘之间用四只螺栓连接，螺栓内径10d mm ≈，对称地分布在080D mm =的圆周上。如螺栓的

剪切许用应力[]60MPa τ=，试校核螺栓的剪切强度。

解 假设每只螺栓所承受的剪力相同，都为S F

。四个螺栓所受剪力对联轴节

轴线的力矩之和与联轴节所传递的力偶矩e M 平衡，所以有：

42

e S

D M F = 因此，每只螺栓所承受的剪力为：

()()3

0200

1250 1.25228010

e S M F N kN D -=

===?? 每只螺栓内的切应力为：

()()[]()224412501590000015.9600.01

S S F F Pa MPa MPa A d ττππ?=

====<=? 所以，螺栓能安全工作。

2.59 一螺栓将拉杆与厚为8mm 的两块盖板相连接。各零件材料相同，许用应力为[]80MPa σ=，

[]60MPa τ=，[]160bs MPa σ=。若拉杆的厚度δ

=15mm ，拉力F=120 kN ，试设计螺栓直径d 及拉杆宽度b 。

解 (1) 按拉伸强度要求设计拉杆的宽度 拉杆的轴力N F F =，其强度条件为：

[]N F F F A A b σσδ

=

==≤ 解上式，得

[]()()3

36

120100.110015108010

F

b m mm δσ-?====??? (2) 按剪切强度要求设计螺栓的直径

螺栓所承受的剪力为2

S F

F =

，应满足剪切强度条件为： []2

422F F A d ττπ=

=≤? 解上式，得

()()

0.035735.7

d m mm

≥===

(3) 按挤压强度要求设计螺栓的直径

①拉杆挤压强度条件为：

[]

bs bs

bs

F F

A d

σσ

δ

==≤

解上式，得

[]

()()

3

36

12010

0.0550

151016010

bs

F

d m mm

δσ-

?

≥===

???

②盖板的挤压强度条件为：

[]

33

/2/2

8101610

bs bs

bs

F F F

A d d

σσ

--

===≤

??

解上式，得

[]

()()

3

336

12010

0.04747

1610161016010

bs

F

d m mm

σ

--

?

≥===

????

比较以上三种结果，取d=50mm

，b=100mm。

3.1 作图示各杆的扭矩图。

解 图(a)，分别沿1-1、2-2 截面将杆截开，受力图如图(a1)所示。应用平衡条件可分别求得：

12e T M =-，2e T M =-

根据杆各段扭矩值，作出的扭矩图如图(a2)所示。

用同样的方法，可作题图(b)、(c)所示杆的扭矩图，如图(b1)、(c1)所示。

3.8 阶梯形圆轴直径分别为d 1=40mm ，d 2=70mm ，轴上装有三个皮带轮，如图(a)所示。已知由轮3输入的功率为P 3=30kW ，轮1输出的功率为P 1=13kW ，轴作匀速转动，转速n=200r/min ，材料的剪切许用应力

[]60MPa τ=，G=80GPa ，许用扭转角[]2/m ?'=o 。试

校核轴的强度和刚度。

解 首先作阶梯轴的扭矩图

()1

1139549=9549621200e P M N m n =?

?=g ()3330

9549=95491433200

e P M N m n =??=g

阶梯轴的扭矩图如图(b)所示。 (1) 强度校核

AC 段最大切应力为：

()()[]()113116214940000049.4600.04

16

e t t M T Pa MPa MPa W W ττπ=

====<=? AC 段的最大工作切应力小于许用切应力，满足强度要求。

CD 段的扭矩与AC 段的相同，但其直径比AC 段的大，所以CD 段也满足强度要求。

DB 段上最大切应力为：

()()[]()3232214332130000021.3600.07

16

e t t M T Pa MPa MPa W W ττπ=

====<=? 故DB 段的最大工作切应力小于许用切应力，满足强度要求。 (2) 刚度校核

AC 段的最大单位长度扭转角为：

()[]4

9180621

180

1.77/2/0.04

801032

P T m m GI ??ππ

π

''=

?=?

=<=???

o o

DB 段的单位长度扭转角为：

()[]4

91801433180

0.435/2/0.07801032

P T m m GI ??ππ

π

''=

?=?=<=???

o o 综上所述可知，各段均满足强度、刚度要求。

3.11 实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已知轴的转速n=100r/ min ，传递的功率P=7.5kW ，材料的许用切应力

[]τ=40MPa 。试选择实心轴的直径d 1和内外径比

值为0.5的空心轴的外径D 2。

解 轴所传递的扭矩为

()7.59549=9549716100

P T N m n =?

?=g 由实心圆轴的强度条件

[]max 31

16t T T W d ττπ=

=≤ 可得实心圆轴的直径为：

()()10.04545d m mm ≥

=

== 空心圆轴的外径为：

()()20.04646D m mm ≥

=== 3.13 桥式起重机如图所示。若传动轴传递的力偶矩Me=1.08kN ·m ，材料的许用应力[]τ=40MPa ，G=80GPa ，同时规定[]()0.5/m ?'=o 。试设计轴的直径。

解 由圆轴扭转的强度条件

[]max 316e

t M T W d

ττπ=

=≤

可确定轴的直径为：

()()0.051651.6d m mm ≥

===

由圆轴扭转的刚度条件

[]4

32180180e P M T GI G d ??πππ

''=

?=?≤

可确定轴的直径为

()()0.06363d m mm ≥=== 比较两个直径值，取轴的直径()63d mm =。

3.14 传动轴的转速n=500r/min ，主动轮1输入功率P 1=368kW ，从动轮2、3分别输出功率P 2=147kW ，P 3=221kW 。已知[]τ=70MPa ，[]1/m ?'=o ，G=80GPa 。

(1) 试确定AB 段的直径1d 和BC 段的直径d 2。 (2) 若

AB 和BC 两段选用同一直径，试确定直径d 。 (3) 主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?

解 首先计算外力偶矩

()()1

13689549=954970287030500e P M N m N m n =?

?=≈g g ()33221

9549=95494220500e P M N m n =??=g

应用以上外力偶矩数值，作轴的扭矩图如图(b)所示。 (1) 确定AB 段的直径1d 和BC 段的直径2d 根据强度条件：[]1

3

116e AB AB t M T W d ττπ=

=≤ 可确定轴AB 段的直径为：

()()10.08080d m mm ≥

=

== 由刚度条件 []14

132180180

e AB P M T GI G d ??πππ

''=

?=?≤ 可确定轴AB 段的直径为：

()()10.084684.6d m mm ≥

=== 比较由强度条件和刚度条件计算的AB 段的直径值，取185d mm =。 根据强度条件确定轴BC 段的直径为：

()()20.067567.5d m mm ≥

=

==

根据刚度条件确定BC 段的直径为：

()()20.074574.5d m mm ≥

===

比较由强度条件和刚度条件计算的AB 段的直径值，取275d mm =。 (2) 若AB 和BC 段选用同一直径，则轴的直径取185d mm =。

(3) 主动轮放在两从动轮之间，可使最大扭矩取最小值，所以，这种安排较合理。

4.1 试求图(c)和(f)所示各梁中截面1-1、2-2、3-3上的剪力和弯矩，这些截面无限接近于截面C 或截面D 。设F 、q 、a 均为已知。

解 (c) 截面1-1内力为：

12S F F qa qa =+=， 22113

22

M Fa qa qa =--=-

截面2-2内力为：

22S F F qa qa =+=，22211

22

C M M Fa qa qa =--=-

(f) 截面1-1内力为：

1S F qa =-， 211

2

M qa =-

()0C i M F =∑，2

21202R C

F a M Fa qa --+= 由上式可得：215

222

R F qa qa qa qa =+-=

截面2-2内力为：

223

2

S R F F F qa =-+=-，222C M M Fa qa =--=-。

4.4 设图(a)、(d)、(h)、(j)和(l)所示各梁的载荷F 、q 、Me 和尺寸a 。(1)列出梁的剪力方程和弯矩方程；(2)作剪力图和弯矩图；(3) 确定max S F 及max M 。