四. 证明题. (20分) 1. 证明函数2||)(z z f =除去在0=z 外,处处不可微.
2. 设
)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个数R
及M ,使得当
R z ≥||时
n z M z f |||)(|≤,
证明:)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数.
《复变函数》考试试题(六)
1.
一、填空题(20分) 1. 若21
(1)1n n n z i n n
+=++-,则lim n z =___________. 2. 设
21
()1
f z z =+,则()f z 的定
义
域
为
____________________________.
3. 函数sin z 的周期为_______________________.
4.
22sin cos z z +=_______________________.
5. 幂级数
n
n nz
+∞
=∑的收敛半径为________________.
6. 若0z 是()f z 的m 阶零点且1m >,则0z 是()f z '的____________零点.
7. 若函数()f z 在整个复平面处处解析,则称它是______________.
8. 函数()f z z =的不解析点之集为__________.
9. 方程5
3
2380z z z -++=在单位圆内的零点个数为___________.
10. 公式cos sin ix
e x i x =+称为_____________________. 二、计算题(30分)
1、2lim 6n
n i →∞
-?? ???
. 2、设2371
()C f z d z
λλλλ++=-?,其中{}:3C z z ==,试求(1)f i '+. 3、设2()1
z
e f z z =+,求Re ((),)s f z i .
4、求函数3
6
sin z z 在0z <<∞内的罗朗展式.
5、求复数1
1
z w z -=+的实部与虚部. 6、求3
i e
π
-的值.
三、证明题(20分)
1、 方程7
6
3
9610z z z ++-=在单位圆内的根的个数为6.
2、 若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析,(,)v x y 等于常数,
则()f z 在D 恒等于常数.
3、 若0z 是()f z 的m 阶零点,则0z 是1
()
f z 的m 阶极点.
6.计算下列积分.(8分) (1)
2
2
sin ()2
z z
dz z π
=-?
; (2) 2242
(3)
z z dz z z =--?. 7.计算积分
20
53cos d π
θ
θ
+?
.(6分)
8.求下列幂级数的收敛半径.(6分)
(1) 1
(1)n
n
n i z ∞
=+∑; (2) 21(!)n
n n n z n ∞
=∑.
9.设3232
()()f z my nx y i x lxy =+++为复平面上的解析函数,试确定l ,
m ,n 的值.(6分)
三、证明题.
1.设函数()f z 在区域D 内解析,()f z 在区域D 内也解析,证明()f z 必为常数.(5分)
2.试证明0az az b ++=的轨迹是一直线,其中a 为复常数,b 为实常数.(5分)
试卷一至十四参考答案
《复变函数》考试试题(一)参考答案
二.填空题
1. 2101i n n π=??≠?
; 2. 1; 3. 2k π,()k z ∈; 4. z i =±; 5.
1
6. 整函数;
7. ξ;
8. 1
(1)!
n -; 9. 0;
10. ∞.
三.计算题.
1. 解 因为01,z << 所以01z <<
111()(1)(2)12(1)2
f z z z z z ==-
----001()22n
n n n z z ∞
∞===-∑∑. 2. 解 因为
2
2
2
12Re ()lim
lim 1cos sin z z z z s f z z z
π
ππ
π
→
→=
+
===--,
2
2
2
12Re ()lim
lim 1cos sin z z z z s f z z z
π
ππ
π
→-
→-=-
-
===-. 所以
22
2
1
2(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-=
=+=?. 3. 解 令2
()371?λλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内,
()
()2()c f z dz i z z ?λπ?λ=
=-?.
所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i π?ππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则
222222
122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a b
w z z a b a b a b -+-+=
=-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re(
)11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z b
z a b
-=+++. 四. 证明题.
1. 证明 设在D 内()f z C =.
令2
222
(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.
两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)
0(2)x x y
y uu vv uu vv +=??+=?
因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为
00
x x x x uu vv vu uv +=??
-=?. 消去x u 得, 22
()0x u v v +=. 1) 若2
2
0u v +=, 则 ()0f z = 为常数.
2)
若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =,
0y v =.
所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数). 所以12()f z c ic =+为常数. 2.
证明()f z =
0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的
z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.
由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角
增加π. 所以
()f z =2
π
. 由已知所取分支在支割线上岸取正值,
于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2
π
,
故2
(1)i
f e
π
-==.
《复变函数》考试试题(二)参考答案
二. 填空题
1.1,2π-, i ;
2. 3(1sin 2)i +-;
3. 2101
i n n π=??≠?; 4. 1;
5. 1m -.
6. 2k i π,()k z ∈.
7. 0;
8. i ±;
9. R ;
10. 0.
三. 计算题
1. 解 3212163
3
00
(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞
∞==--==++∑∑.
2. 解 令i z re θ
=.
则22
(),(0,1)k i
f z k θπ+===.
又因为在正实轴去正实值,所以0k =.
所以4
()i
f i e
π=.
3. 单位圆的右半圆周为i z e θ
=, 2
2
π
π
θ-
≤≤
.
所以
222
2
2i
i i i
z dz de e
i ππ
θ
θππ
---
===?
?.
4. 解
dz z z
z ?
=-2
2
)
2
(sin π
2
)(sin 2ππ=
'
=z z i 2cos 2π
π=
=z z
i =0.
四. 证明题. 1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数).
令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====.
即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析.
(充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-,
因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以
,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.
比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故
()f z 在D 内为常数.
2. 即要证“任一 n 次方程 1
01100
(0)n n n n a z a z a z a a --++???++=≠
有且只有 n 个根”. 证
明
令
1011()0
n n n n f z a z a z a z a --=++???++=, 取
10max ,1n a a R a ??+???+??
>??????
, 当z 在:C z R =上时, 有
111110()()n n n n n n z a R a R a a a R a R ?---≤+???++<+???+<.
()f z =.
由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程1
0110n n n n a z a z a z a --++???++= 与
00n a z = 有相
同个数的根. 而 00n
a z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R < 内有n 个根.
《复变函数》考试试题(三)参考答案
二.填空题.
1.{}
,z z i z C ≠±∈且; 2. 2()k i
k z π∈; 3. 1ei -+; 4. 1; 5.
21
01
i n n π=??
≠?; 6. 1; 7. i ±; 8. (21)z k i π=+; 9. ∞;
10.
1
(1)!
n -.
三. 计算题.
1. 解 12
22
2
011(1)2!!
n z
n z
z e z z z n -+∞
==+++???=∑. 2. 解 11
!(1)11
lim lim lim()lim(1)(1)!n n n n n n n n n n c n n n e c n n n n +→∞→∞→∞→∞+++=?==+=+.
所以收敛半径为e .
3. 解 令 22()(9)z e f z z z =-, 则 2001
Re ()99z z z e s f z z ====--.
故原式022Re ()9
z i i s f z ππ===-
.
4. 解 令 962
()22f z z z z =-+-, ()8z z ?=-.
则在:C 1z =上()()f z z ?与均解析, 且()6()8f z z ?≤<=, 故
由儒歇定理有
(,)(,)1N f C N f C ??+=+=. 即在 1z < 内, 方程只有一个根. 四. 证明题.
1. 证明 证明 设在D 内()f z C =. 令2
2
2
2
(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.
两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)
0(2)x x y
y uu vv uu vv +=??+=?
因为函数在
D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变
为
00
x x x x uu vv vu uv +=??
-=?. 消去x u 得, 22
()0x u v v +=.
1) 22
0u v +=, 则 ()0f z = 为常数. 2)
若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =,
0y v =.
所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数). 所以12()f z c ic =+为常数.
2. 证明 取
r R >, 则对一切正整数 k n > 时,
()
1!()!(0)2n k k k z r k f z k Mr f dz z r
π+=≤≤?. 于是由r 的任意性知对一切k n >均有()
(0)0k f =.
故0
()n
n n
k f z c z
==
∑, 即()f z 是一个至多n 次多项式或常数.
《复变函数》考试试题(四)参考答案
.
二. 填空题. 1.
12, 12
; 2. ξ; 3. 2()k i k z π∈; 4.
20
(1)(1)n n
n z
z ∞
=-<∑; 5. 整函数;
6. 亚纯函数;
7. 0;
8. 0z =;
9. ∞; 10.
1
(1)!
n +.
三. 计算题. 1.
i i z i z i
i z k k i k z z 232135sin 35cos
1sin cos 2
3
213sin 3cos 2
,1,03
2sin 32cos
1:3213-=+=-=+=+=+==+++=?-=πππππππ
πππ解
2. 解 11Re ()12z z z e e s f z z ====+, 111Re ()12
z z z e e
s f z z -=-=-==
+-. 故原式1
1
1
2(Re ()Re ())()z z i s f z s f z i e e ππ-==-=+=-.
3. 解 原式2
2Re ()295
z i
z i
z i s f z i
z π
ππ=-=-===
-.
4. 解 z e z
111--=)1(1
-+-z z
e z e z ,令0)1(=-z e z ,得i k z z π2,0==, ,2,1±±=k
而 z z z
z z z z z z ze e e z e e z z e +--=-+-=--→→→11lim )1(1lim )111(lim 000
21
lim 0-=++-=→z z z z z ze e e e 0=∴z 为可去奇点
当i k z π2=时,
01),0(≠+-≠z
e z k 而
[]0
212)1(≠=+-=='-i
k z ze e
i k z z
e
z
z
z
ππ i k z π2=∴为
一阶极点. 四. 证明题.
1. 证明 设()()F z f z =, 在下半平面内任取一点0z , z 是下半平面内异于0z 的点, 考虑 0
00000000
()()()()()()
lim
lim lim z z z z z z F z F z f z f z f z f z z z z z z z →→→---==---. 而0z , z 在上半平面内, 已知()f z 在上半平面解析, 因此
00()()F z f z ''=, 从而()()F z f z =在下半平面内解析.
2. 证明 令()63f z z =-+, 4
()z z ?=, 则()f z 与()z ?在全平面解析, 且在1:2C z =上, ()15()16f z z ?≤<=,
故在2z <内11(,)(,)4N f C N C ??+==.
在2:1C z =上, ()3()1f z z ?≥>
=,
故在1z <内22(,)(,)1N f C N f C ?+==.
所以f ?+在12z <<内仅有三个零点, 即原方程在12z <<内仅有三个根.
《复变函数》考试试题(五)参考答案
一. 判断题.
1.√2.√ 3.×4.√5.× 6.× 7.× 8.√ 9.√ 10.√. 二. 填空题.
1.2, 3
π
-
, 1; 2. 2(,)a k i
k z a π+∈为任意实数; 3. (21)k i π+, ()k z ∈; 4. 2,()k i k z π∈; 5. 0;
6. 0;
7. 亚纯函数; 8.
20
(1)(1)n n
n z
z ∞
=-<∑; 9. 0; 10.
21
01
i n n π=??
≠?. 三. 计算题.
1. 解 令z a bi =+, 则
222222
122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a b
w z z a b a b a b -+-+=
=-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re(
)11(1)z a z a b -+=-+++, 22
12Im()1(1)z b
z a b -=+++. 2. 解 连接原点及1i +的直线段的参数方程为 (1)01z i t
t =+≤≤, 故{}11001Re Re[(1)](1)(1)2
c i
zdz i t i dt i tdt +=++=+=???.
3. 令i z e θ
=, 则dz d iz
θ=. 当0a ≠时
212()(1)
12cos 1()z a az a a a z z a z
θ----+=-++=
,
故11()(1)z dz I i z a az ==
--?, 且在圆1
z <内1
()()(1)
f z z a az =--只以z a =为
一
级
极
点
,
在
1z =上无奇点,
故
211
Re (),(01)11z a z a
s f z a az
a ===
=
<<--, 由残数定理有 2
122Re (),(01)1z a I i s f z a i a ππ===≤<-.
4. 解 令(),f z z =- 则(),()f z z ?在1z ≤内解析, 且在:C 1z =上, ()1()z f z ?<=,
所以在1z <内, (,)(,)1N f C N f C ?+==, 即原方程在 1z <内只有一个根. 四. 证明题. 1.
证
明
因
为
22(,),(,)0
u x y x y v x y =+≡, 故
2,2,0x y x y u x u y v v ====.
这四个偏导数在z 平面上处处连续, 但只在0z =处满足..C R -条件,
故()f z 只在除了0z =外处处不可微.
2. 证明 取 r R >, 则对一切正整数 k n > 时,
()
1!()!(0)2n k k k z r k f z k Mr f dz z r
π+=≤≤?. 于是由r 的任意性知对一切k n >均有()
(0)0k f =.
故0
()n
n n
k f z c z
==
∑, 即()f z 是一个至多n 次多项式或常数.
《复变函数》考试试题(六)参考答案
二、填空题:1. 1ei -+ 2. 1z ≠± 3. 2π 4. 1 5. 1
6. 1m -阶
7. 整函数
8. 9. 0 10. 欧拉公式 三、计算题: 1.
解:因为
21,6i -==< 故2lim(
)06
n
n i →∞
-=. 2.
解:
13,i +=<
1()
()2C f f z d i z
λλπλ∴=
-? 2371
.C d z
λλλλ++=-? 因此 2
()2(371)f i λπλλ=++ 故2
()2(371)f z i z z π=++
1(1)2(67)2(136)2(613)i f i i z i i i πππ+'+=+=+=-+.
3.解:211
()
12z z e e z z i z i =?+++-
Re ((),).2i
e s
f z i ∴=
4.解:321
3
(1)()sin ,(21)!n n n z z n +∞
=-=+∑
363
60
sin (1).(21)!n n n z z z n ∞
-=-∴=+∑
5.解:设z x iy =+, 则2222
11(1)211(1)z x iy x y yi
w z z iy x y --++-+===+++++. 2222
22
12Re ,Im .(1)(1)x y y
w w x y x y +-∴=
=
++++
6
.解:3
1
cos()sin()(1).332
i e
i π
ππ-=-+-=-
四、1. 证明:设6
73()9,()61,f z z z z z ?==+-
则在1z =上,()9,
()1618,f z z ?=≤++= 即有()()f z z ?>.
根据儒歇定理,()f z 与()()f z z ?+在单位圆内有相同个数的零点,而()f z 的零点个数为6,故7
6
3
9610z z z ++-=在单位圆内的根的个数
为6.
2.证明:设(,)v x y a bi =+,则0x y v v ==, 由于()f z u iv =+在内D 解析,因此(,)x y D ?∈有 0x y u v ==, 0y x u v =-=.
于是(,)u x y c di ≡+故()()()f z a c b d i =+++,即()f z 在内D 恒为常数.
3.证明:由于0z 是()f z 的m 阶零点,从而可设
0()()()m
f z z z
g z =-,
其中()g z 在0z 的某邻域内解析且0()0g z ≠, 于是
0111
()()()
m f z z z g z =?- 由0()0g z ≠可知存在0z 的某邻域1D ,在1D 内恒有()0g z ≠,因此
1()
g z 在内1D 解析,故0z 为
1
()
f z 的m 阶极点.
《复变函数》模拟考试试题
《复变函数》考试试题(一)
一、 判断题(4x10=40分):
1、若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导。( )
2、有界整函数必在整个复平面为常数。( )
3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。( )
4、cos z 与sin z 在复平面内有界。( )
5、若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。( )
6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件,则f (z )在z 0解析。( )
7、若)(lim 0
z f z z →存在且有限,则z 0是函数的可去奇点。( )
8、若f (z )在单连通区域D 内解析,则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=?C
dz z f 。( )
9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数,则它在D 内有任意阶导数。( )
10、若函数f (z )在区域D 内的解析,且在D 内某个圆内恒为常数,则在区域D 内恒等于常数。( ) 二、填空题(4x5=20分)
1、若C 是单位圆周,n 是自然数,则=-?
C n
dz z z )(1
__________。
2、设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222,则
=+→)(lim 1z f i
z _________。
3、设1
1
)(2+=
z z f ,则f (z )的定义域为___________。 4、∑+∞
=0
n n nz 的收敛半径为_________。
5、=)0,(Res n z
z e _____________。
三、计算题(8x5=40分):
1、设)2)(1(1
)(--=
z z z f ,求)(z f 在}1
||0:{<<=z z D 内的罗朗展式。
2、求
??==+--+3||1
||1)4)(1(21sin z z z z z dz
i zdz e π。
3、求函数)2sin(3
z 的幂级数展开式。 4、求)
2)(1(1
)(--=
z z z f 在+∞<<|z |2内的罗朗展式。
5、求0154=+-z z ,在|z |<1内根的个数。
《复变函数》考试试题(二)
一、判断题(4x10=40分):
1、若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续。( )
2、有界整函数必为常数。( )
3、若}{n z 收敛,则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。( )
4、若f (z )在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数)。( )
5、若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。( )
6、若f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件。( )
7、若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析。( )
8、若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析。( )
9、若幂级数的收敛半径大于零,则其和函数必在收敛圆内解析。( )
10、cos z 与sin z 的周期均为πk 2。( ) 二、填空题(4x5=20分)
1、=-?=-1||00)
(z z n
z z dz
__________。 2、设1
1
)(2+=
z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________。 3、若函数f (z )在复平面上处处解析,则称它是___________。 4、=+z z 2
2
cos sin _________。
5、若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D 内的_____________。
三、计算题(8x5=40分):
1、.cos 1
1
||?=z dz z
2、求).,1(
Res 2
i z e iz
+ 3、.62lim n
n i ??? ??-∞→
4、求)
2)(1(1
)(--=
z z z f 在+∞<<|z |2内的罗朗展式。
5、求02822
69=--+-z z z z 在|z |<1内根的个数。
《复变函数》考试试题(三)
一、判断题(3x10=30分):
1、若函数f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件,则f (z )在z 0解析。( )
2、若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导。( )
3、如z 0是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0
z f z z 一定不存在。( )
4、若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析。( )
5、若函数f (z )=u (x ,y )+ iv (x ,y )在D 内连续,则二元函数u (x ,y )与(x ,y )。( )
6、函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界。( )
7、若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。( )
8、若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。( ) 9、存在整函数)(z f 将复平面映照为单位圆内部。( )
10、若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数。( ) 二、填空题(2x10=20分) 1、若n n n
i n n z )1
1(12++-+=
,则=∞→n z n lim __________。
2、若C 是单位圆周,n 是自然数,则=-?C n
dz z z )(1
__________。
3、函数z sin 的周期为___________。
4、设1
1
)(2+=
z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________。 5、幂级数∑∞
=0
n n
nx 的收敛半径为__________
6、若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点。
7、若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D 内_________。、
8、函数||)(z z f =的不解析点之集为________。
9、=)0,(Res n z
z
e ____________,其中n 为自然数。
10、公式x i x e ix sin cos +=称为_____________. 三、计算题(8x5=40分):
1、设?-++=C d z
z f λλλλ1
73)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f + 2、求??==+--+
3||1
||1)
4)(1(21sin z z z z z dz
i zdz e π。
3、设1
)(2-=z e z f z
,求).),((Re ∞z f s
4、求函数z
e 1在+∞<<||0z 内的罗朗展式。 5、求复数1
1
+-=
z z w 的实部与虚部。 6、求.21212
2
??? ??-+??? ??+i i
四、证明题(6+7+7=20分):
1、设∞是函数f (z )的可去奇点且C A z f z ∈=∞
→)(lim ,试证:
))((lim )),((Re A z f z z f s z --=∞∞
→。
2、若整函数f (z )将复平面映照为单位圆内部且0)0(=f ,则
)(0)(C z z f ∈?≡。
3、证明0364=+-z z 方程在2||1<《复变函数》考试试题(四)
一、判断题(3x10=30分):
1、若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导。( )
2、如果z 0是f (z )的本性奇点,则0
lim ()z z
f z →一定不存在。( )
3、若)(lim 0
z f z z →存在且有限,则z 0是f (z )的可去奇点。( )
4、若函数f (z )在z 0可导,则它在该点解析。( )
5、若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛。( )
6、若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析。( )
7、若幂级数的收敛半径大于0,则其和函数必在收敛圆内解析。( )
8、存在整函数f (z )将复平面映照为单位圆内部。( )
9、若函数f (z )是区域D 内的解析函数,且在D 内的某个圆内恒等于常数,则f (z )在区域D 内恒等于常数。( ) 10、)(1|sin |C z z ∈?≤。( ) 二、填空题(2x10=20分) 1、函数e z 的周期为__________。 2、幂级数
∑+∞
=0
n n
nz
的和函数为__________。
3、函数e z 的周期为__________。
复变函数试题及答案
1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z = 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题(每小题2分) 1、设α为任意实数,则α1=( ) A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是( ) A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是( ) A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数
4、根式31-的值之一是( ) A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是( ) A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为( ) A ()∑∞ =+-02121n n n n z (z <1) B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z (z <1) C ()∑∞ =++-012121n n n n z (z <1) D ()∑∞=-0 221n n n n z (z <1) 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1w 的分式线性变换是( ) A )1(1>--=a z a a z e w i β B )1(1<--=a z a a z e w i β C )1(>--=a a z a z e w i β D )1(<--=a a z a z e w i β 三、判断题(每小题2分)
复变函数_期末试卷及答案
一、单项选择题(本大题共15小题,每小题2分,共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列复数中,位于第三象限的复数是( ) A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2.下列等式中,不成立的等式是( ) 3.下列命题中,正确..的是( ) A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4.关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是( ) A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5.下列函数中,在整个复平面上解析的函数是( ) 6.在复平面上,下列命题中,正确..的是( ) A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 .在下列复数中,使得z e i =成立的是( ) 8.已知3 1z i =+,则下列正确的是( ) 9.积分 ||342z dz z =-??的值为( ) A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10.设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于( ) A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11.以下关于级数的命题不正确的是( ) A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内,幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上,条件收敛 12.0=z 是函数(1cos ) z e z z -的( ) A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点
《复变函数》-期末试卷及答案(A卷)
《复变函数》试卷 第1页(共4页) 《复变函数》试卷 第2页(共4页) XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分,请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项,并将其前面的字母填在题中括号内。) 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续,处处不可导 C.处处连续,仅在点0= z 处可导 D.处处连续,仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1,则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=,,则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ,i 2sin π=?dz z z C n ,则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ,则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<-复变函数经典习题及答案
练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是( A ); A 1212()Arg z z Argz Argz =+; B 1212()arg z z argz argz =+; C 1212()ln z z lnz lnz =+; D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是( B ); A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件; B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件; C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件; D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=( 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ), 主值为( 4 5(arctan )3 ln i π+- ). 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =( 0 ). 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛,那么该级数在45 z i =处的敛散性为( 绝对收敛 ). 6、 311z -的幂级数展开式为( 30n n z ∞=∑ ),收敛域为( 1z < ); 7、 sin z z -在0z =处是( 3 )阶的零点; 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是( 4 )阶的极点; 二、计算下列各值 1.3i e π+; 2.tan()4i π -; 3.(23)Ln i -+; 4 . 5.1i 。 解:(略)见教科书中45页例2.11 - 2.13
复变函数考试试题与答案各种总结
《复变函数》考试试题(一) 一、 判断题(20分): 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛,则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析,且 0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分) 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.(n 为自然数) 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ,则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. = )0,(Re n z z e s ,其中n 为自然数.
复变函数试题及标准答案样本
二.判断题(每题3分,共30分) 1.n z z (在0=z解析。【】 f= z )
2.)(z f 在0z 点可微,则)(z f 在0z 解析。【 】 3.z e z f =)(是周期函数。【 】 4. 每一种幂函数在它收敛圆周上处处收敛。【 】 5. 设级数∑∞=0n n c 收敛,而||0∑∞=n n c 发散,则∑∞ =0n n n z c 收敛半径为1。【 】 6. 1tan()z 能在圆环域)0(||0+∞<<<复变函数与积分变换(A)参照答案与评分原则 (.7.5) 一.填空(各3分) 1.3ln 2i k e +-π; 2. 三级极点 ; 3. 23z ; 4. 0 ; 5. 0 ; 6. e 1 ;7. 322)1(26+-s s ;8. 0; 9. 0 ;10. )]2()2()2(1)2(1[ 21++-+++-ωπδωπδωωj j 。 二.判断1.错;2.错;3.对的; 4. 错 ;5.对的 ;6.错; 7.错 ; 8. 错 ;9. 对的 ;10. 错 。 三(8分) 解:1)在2||1<复变函数测试题及答案
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1.当i i z -+= 11时,50 75100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3 )2(π = +z arc ,6 5)2(π = -z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2321+- (D )i 2 123+- 3.复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是( ) (A ))]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i (B ))]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i (C ))]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i (D ))]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小 5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转 3 π ,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数是( ) (A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3
7.使得2 2 z z =成立的复数z 是( ) (A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( ) (A )i +- 43 (B )i +43 (C )i -43 (D )i --4 3 9.满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是( ) (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无界闭区域 10.方程232= -+i z 所代表的曲线是( ) (A )中心为i 32-,半径为2的圆周 (B )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (C )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D )中心为i 32-,半径为2的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为( ) (A ) 22 1 =+-z z (B )433=--+z z (C ) )1(11<=--a az a z (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A )i 44-- (B )i 44+ (C )i 44- (D )i 44+- 13.0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→( ) (A )等于i (B )等于i - (C )等于0 (D )不存在 14.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是( ) (A )),(y x u 在),(00y x 处连续 (B )),(y x v 在),(00y x 处连续 (C )),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续(D )),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续
复变函数期末考试题大全(东北师大)
____________________________________________________________________________________________________ 一、填空题(每小题2分) 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3、若01=+z e ,则z = 4、()i i +1= 5、积分()? +--+i dz z 22 22= 6、积分?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题(每小题2分) 1、设α为任意实数,则α 1=( ) A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是( ) A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是( ) A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是( ) A i 2321- B 223i - C 223i +- D i 2 321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是( ) A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ?=-123z z dz B ?=-12 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为( ) A ()∑∞ =+-02121n n n n z (z <1) B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z (z <1) C ()∑∞ =++-012121n n n n z (z <1) D ()∑∞=-0 221n n n n z (z <1) 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1w 的分式线性变换是( ) A )1(1>--=a z a a z e w i β B )1(1<--=a z a a z e w i β
复变函数与积分变换期末试题(附有答案)
复变函数与积分变换期末试题 一.填空题(每小题3分,共计15分) 1. 2 3 1i -的幅角是( 2,1,0,23±±=+-k k ππ);2. )1(i Ln +-的主值是 ( i 4 32ln 21π + );3. 211)(z z f +=,=)0() 5(f ( 0 ),4.0=z 是 4sin z z z -的( 一级 )极点;5. z z f 1 )(=,=∞]),([Re z f s (-1 ); 二.选择题(每题3分,共15分) 1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为( ); (A ) y x iu u z f +=')(; (B )y x iu u z f -=')(; (C ) y x iv u z f +=')(; (D )x y iv u z f +=')(. 2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f ( ),则0d )(=?C z z f . (A ) 23-z ; (B )2)1(3--z z ; (C )2)2()1(3--z z ; (D )2 ) 2(3 -z . 3.如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛,则级数在 (A )2-=z 点条件收敛 ; (B )i z 2=点绝对收敛;
(C )i z +=1点绝对收敛; (D )i z 21+=点一定发散. 4.下列结论正确的是( ) (A )如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析; (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析,则 0)(=? C dz z f (C )如果 0)(=? C dz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析; (D )函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数. 5.下列结论不正确的是( ). (A) 的可去奇点;为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点;为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三.按要求完成下列各题(每小题10分,共40分) (1).设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求 .,,,d c b a 解:因为)(z f 解析,由C-R 条件
复变函数试题与答案
复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1.当i i z -+= 11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3 )2(π = +z arc ,6 5)2(π = -z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2 321+- (D )i 2 1 23+- 3.复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是( ) (A ))]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i (B ) )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i (C ))]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i (D ))]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小
5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转 3 π ,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数是( ) (A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3 7.使得2 2z z =成立的复数z 是( ) (A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( ) (A )i +- 43 (B )i +43 (C )i -4 3 (D )i -- 4 3 9.满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是( ) (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无 界闭区域 10.方程232=-+i z 所代表的曲线是( )
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【最新整理,下载后即可编辑】 【最新整理,下载后即可编辑】 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题(一) 1、 =-?=-1||00)(z z n z z dz __________.(n 为自然数) 2.=+z z 2 2 cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数0 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________,其中 n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点,则___ )(lim 0=→z f z z . 三.计算题(40分): 1. 设)2)(1(1 )(--= z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的 罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 试证 : ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. 《复变函数》考试试题(二) 二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z 2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f i z ________. 3. =-?=-1||0 0)(z z n z z dz _________.(n 为自然数)
复变函数试题及答案
一、填空题(每小题2分) 1、复数i 212-- 的指数形式是 2、函数w =z 1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z = 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 2222= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题(每小题2分) 1、设α为任意实数,则α1=( ) A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是( ) A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是( ) A 函数()z z f =在z 平面上处处连续
B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是( ) A i 232 1- B 2 23i - C 223i +- D i 2 3 21+ - 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是( ) A z 1sin 1 B z 1 cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =- 1 2 3 z z dz B ?=- 1 2 1 z z dz C ?=++12 42z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为( ) A ()∑∞ =+-0 2121n n n n z (z <1) B () ∑∞ =+-0 1 221n n n n z (z <1) C ()∑∞ =++-0 1 2121n n n n z (z <1) D () ∑∞ =-0 221n n n n z (z <1) 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1复变函数测试题及答案
第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1.当i i z -+= 11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小 5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是( )
(A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转 3 π ,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数是( ) (A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3 i (A )中心为i 32-,半径为2的圆周 (B )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (C )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D )中心为i 32-,半径为2的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为( ) (A ) 22 1 =+-z z (B )433=--+z z
(C ) )1(11<=--a az a z (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A )i 44-- (B )i 44+ (C )i 44- (D )i 44+- 0) Im()Im(z z -) 1 1.设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ,则=z 2.设)2)(32(i i z +--=,则=z arg 3.设4 3)arg(,5π = -=i z z ,则=z
复变函数测试试题库
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《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题(一) 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.(n 为自然数) 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ,则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________,其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点,则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题(40分): 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2,其中 }3|:|{==z z C ,试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内
复变函数期末考试复习题及答案详解
《复变函数》考试试题(一) 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.(n 为自然数) 2.=+z z 2 2 cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ,则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8. =)0,( Re n z z e s ________,其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点,则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题(40分): 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ,求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2,其中 }3|:|{==z z C ,试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数, 那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两 个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1 z =-的值. 《复变函数》考试试题(二) 二. 填空题. (20分)
复变函数及积分变换试题及答案
第一套 第一套 一、选择题(每小题3分,共21分) 1. 若( ),则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续; B. (,)u x y 在区域D 内连续; C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续; D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =,根据柯西-黎曼方程求出其虚部为( )。 A.cos x e y C -+; B cos x e y C -+; C sin x e y C -+; D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?( ) 。 A. i π2; B. 0; C. i π4; D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为( )。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的( )。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞,0,1分别映射成点0,1,∞的分式线性映射是( )。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =()L ( ),(()Re 0s >)。 A. 22k s k +; B.22k s s +; C. k s -1; D. k s 1 . 二、填空题(每小题3分,共18分) 1. 23 (1)i += [1] ; ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ----------------------------------------------------
复变函数题库(包含好多试卷,后面都有答案)
《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题(一) 一、 判断题(20分): 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛,则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析,且 0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分) 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.(n 为自然数) 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________,其中n 为自然数.
(完整版)复变函数试题库
《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题(一) 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.(n 为自然数) 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________,其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是 )(z f 的极点,则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题(40分): 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ,求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2,其中 }3|:|{==z z C ,试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数, 那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两 个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.