2011年全国初中数学联赛武汉选拔赛试题及参考答案
2011年全国初中数学联赛武汉选拔赛试题及参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分)下列各题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填人题后的括号内）
1．如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，△A ˊOB ˊ可以看作是由△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到的．若点A ˊ在AB 上，则旋转角α的大小可以是( C )
A ．30°
B ．45 °
C ．60°
D ．90°
B '
A 'O B
A
解：∵∠AOB ＝90°，∠B ＝30°． ∴∠A ＝60°． 又OA'＝OA ∴∠A'OA ＝∠OA'A ＝∠A ＝60． ∴旋转α可以为60°选C.
2．四7位数13ab45c 能被792整除，则b
a b +的值为( A ) A ．O B ．1 C ．大于0且小于1 D ．大于1
解：792＝8×9×11，则45c 能被8整除 ∴c ＝6，∵ 13ab45c 能被9整除 ∴ a+b ＝17或a+b
＝8 ，∵ 13ab45c 能被11整除 ∴a －b ＝8或a －b ＝－3
，又a ，b 为0到9之间的整数∴a ＝8，b ＝0 选A ．
3．已知△ABC 是⊙O 的内接正三角形，△ABC 的面积等于a ，DEFG 是半圆O 的内接正方形，面积等于b ， 则b
a 的值为( D ) A ．2 B 、26 C 、533 D 、16
315 解：设⊙O 的半径为r ，则4332
r a =，5
42r b = 选D ． 4．若质数a ，b 满足2a －9b －4 ＝0，则数据a ，b ，2，3的中位数是( C )
A ．4
B ．7
C ．4或7
D ．4．5或6．5
解：(a+2)(a －2) ＝9b ，a ，b 是质数，∴??=-=+b a a 292或???=-=+922a b a 或???=+=-b a a 9212或???=+=-b a a 3232，∴???==57b a 或?
??==1311b a 2，3，5，7的中位数是4； 2，3，11 ，13的中位数是7 ， 选C ．
5．一动点P 从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向，以每前进5个单位，后退3个单位的程序运动．设P 点每秒前进或后退1个单位，x n 表示第n 秒P 点在数轴的位置所对应的数(如x 4＝4，x 5 ＝5，x 6＝4) ，则x 2011为( B )
A ．504
B ．505
C ．506
D ．507
解：2011 ＝8×251 +3，2 ×251 +3 ＝505 ，选B ．
6．如图，△ABC 中，D 是AB 的中点，E 在AC 上，且∠AED ＝90°+
21∠C ，则BC+2AE 等于( B )
A ．A
B B ．A
C C ．23AB
D ．2
3AC
E D
C B A
(第6题)解：作BF//DE 交AC 于F ，则∠BFC ＝∠DEF
，又∵ D 是AB 的中点，∴EF ＝AE ，∵∠DEF ＝∠BFC ＝180°—（90°+
21∠C ）＝90°—21∠C ，∠FBC ＝180°—∠BFC —∠C ＝90°—2
1∠C ，∴ ∠FBC ＝∠BFC ∴ BC ＝FC ∴ BC+2AE ＝AC ，选B 。 7．若正整数a ，m ，n 满足n m a -=-242，则这样的a ，m ，n 的取值（B ）
A ．有一组
B ．有两组
C ．多于两组
D ．不存在 解：mn n m a 2242-+=-
，则2a m n ?=+?a ，m ，n 为正整数 ∴???+==n m a mn 28 当m ＝1，n ＝8或m ＝8，n ＝1时，a2＝9，a ＝3 当m ＝2，n ＝4或m ＝4，n ＝2时，a 2 ＝ 6(不合题意)，∴符合条件的数组为(m ，n ，a) ＝ (1，8，3)或(m ，n ，a) ＝ (8，1 ，3) ，选B ．
8．直线l ：m(2x －y －5) +(3x －8y －14) ＝0被以A(1，O)为圆心，2为半径的⊙A 所截得的最短弦的长为( C )
A ．2
B ．3
C ．22
D ． 32
解：直线l 过定点B(2， －1)，且AB ＝2 <2 ∴点B 在⊙A 内，当直线l 与AB 垂直时，直线l 截得⊙A 的弦最短，最短弦的长为22，选C ．
9．已知F(x)表示关于x 的一个五次多项式，F(a)表示当x ＝ a 时F (x)的值．若F( －2) ＝F( －1) ＝F(O) ＝F(l) ＝0，F(2) ＝24，F(3) ＝360，则F(4)的值为( A )
A ．1800
B ．2011
C ．4020
D ．无法确定
解：设F(x) ＝x(x+2)(x+1)(x －1)(ax+b) 则???=+=+360
)3(12024)2(24b a b a ∴F(4)＝1800，选A ． 10．已知x ，y ，z 都是大于0且小于1的实数，则x(1－y) +y(1－z) +z(1－x)的值( C )
A ．大于1
B ．等于1
C ．小于1
D ．大于或等于1
解：作边长为1的等边三角形ABC (如图所示)D ，E ，F 分别为AC ，AB ，BC 边上的点， 设BF ＝x ， AE ＝y ， CD ＝z ， S △BEF ＝)1(43y x -，S △DEA ＝)1(4
3z y -，S △DFC ＝)1(43x z -，S △BEF + S △DEA + S △DFC ＝43【x(l －y) +y(1－z) +z(l －x)】＜S △ABC ＝4
3，∴x(l －y) +y(1－z) +z(l －x)＜1，选C 。
F E
D C B
A
二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）
11．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝24， ∠BAC ＝ 45°， ∠BAC 的平 分钱交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是__4_____．（答案：4）
N M D
C
B A
12．若521332412--
-=----+c c b a b a ，则a+b+c ＝___20___．（答案：20） 解：∵()()()0332122112
22=--+--+--c b a ，∴a ＝2，b ＝6，c ＝12∴ a+b+c ＝20．
13、已知实数a 、b 满足，6a ＝2010，335b ＝2010，则11a b
+的值是 ；（答案：1）
14、如图，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 与DEFG 都是正方形，面积分为为7cm 2，11cm 2，则△CDE 的面积为 ；
三、解答题（本大题共50分）
15．(本题25分) 如图，己知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，∠ABC 的平分线交AD于E，交CD的延长线于F，⊙O'是△DEF的外接圆，G是⊙0'上一点，且AG＝CD．求证：BG//OO' ．
证明：连O'G，O'A，O'C，O'D，O'E ，．：BE平分∠ABC，且ABCD为平行四边形，∠ABE ＝∠EBC ＝∠AEB ＝∠FED＝∠EFD ，∴AB＝AE，ED＝DF ，∴O'D 平分∠EDF，∴又∠O'ED＝∠O'DF ∴∠AEO' ＝∠ CDO' ∴△O'DC≌△O'EA，∴O'A ＝O'C，∴∠O'AC＝∠O'CA ，∴ABCD为平行四边形，∴0为AC中点，∴O'O⊥AC 又AG＝CD，∴△AGO'≌△CDO'，∴∠GAO' ＝∠DCO'，∴∠GAC＝∠DCA＝∠BAC，AG＝CD ＝AB，∴BG⊥AC，∴ BG//OO'．
16、(本题25分) 如图，已知BD，CE为△ABC的角平分钱，F为DE的中点，点F到AC，
AB，BC的距离分别为FG＝a，FH＝b，FM＝c，若c2－c－2ab+1
2
m2－2m+
5
2
＝0．
（1）求a，b，c，m的值；（2）求证：DG＝1
4
（BC－CD）．
16、解：作EQ⊥AC于点Q，EN⊥BC于点N，DK⊥BC于点K，∵CE为∠ACB的平分线，∴EQ＝EN，在△DEQ中，F为DE的中点，FG//EQ ∴EQ＝2FG＝2α，同理可得，DK
＝2FH＝2b，在四边形ENKD中，EN//FM//DK∴EN+DK＝2FM ，即是：2α+2b ＝2c，
c2－c－2ab+1
2
m2－2m+
5
2
＝0，利用△≥0，可求a＝b＝
1
2
c＝
1
2
．
（2）证明：由（1）知，EN＝DK，∴ED//BC，∴EC平分∠EBC，∴∠ECD＝∠ECB＝∠CED ，∴ED＝DC，同理，EB＝ED，∴△EQD≌△DKC，△EQD≌△ENB ，∴BN ＝DQ
＝CK，∴BC-CD＝BN + CK＝2DQ＝4DG，∴DG＝1
4
（BC－CD）．