江西省新余市第四中学2017年“庆元旦”八年级数学竞赛试卷含答案
新余市第四中学2017年“元旦杯”八年级数学竞赛试卷
（满分：120分钟 完卷时间：2小时）
一、选择题（每小题4分，共40分） 1．下列四组数据中，不能．．
作为直角三角形的三边长的是【 】 A ． 7,24,25 B ．6,8,10 C ．9,12,15 D ．3,4,6
2设M=(x －3)(x －7)，N=(x －2)(x －8)，则M 与N 的关系为【 】 A.M ＜N B.M ＞N C.M=N D ．不能确定
3．观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187… 解答下列问题：3+32+33+34+…+32015的末位数字是【 】 A ．0 B ．1 C ．3 D ．9
4．若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=．则下列式子一定成立的是【 】 A ．0x y z ++= B ．20x y z +-= C ． 20y z x +-= D ． 20z x y +-=
5．已知△ABC 中，AB=AC ，高BD 、CE 交于点O ，连接AO ，则图中全等三角形的对数为【 】
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
第5题图 第6题图
6．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则PQ+BQ 的最小值是【 】 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 7．点(3,5)P -关于y 轴对称的点的坐标为【 】
A ． (3,5)--
B ．(5,3)
C ．(3,5)-
D ．(3,5) 8．下列四个命题中，真命题有【 】
① 两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
② 如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2. ③ 三角形的一个外角大于任何一个内角． ④ 如果02>x ，那么0>x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9.平面直角坐标系中，已知定点A (1，0)和B (0，1)，若动点C 在x 轴上运动，则使△ABC 为等腰三角形的点C 有【 】个
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
10．当x =1时，ax +b +1的值为﹣2，则（a +b ﹣1）（1﹣a ﹣b ）的值为【 】
A ．﹣16
B ． ﹣8
C ． 8
D ． 16
二、填空题（每小题4分，共40分）
11．在△ABC 中，∠B=60°，∠C ＞∠A ，且2
22B A )C (）（）（∠+∠=∠,则△ABC 的形状
是 。
12．观察下列式子：181092+?=；198100992+?=；199810009992+?=，……，按规律写出=2999999 。（填写具体数字） 13．若532+y x b a 与x y b a 2425-是同类项，则xy= .
14．如图，直线l ∥m ，将含有45°角的三角板ABC 的直角顶点C 放在直线m 上，则 ∠1+∠2的度数为 ．
15．如果2222(2)(2)45a b a b +++-=，则a 2+b 2的值为 ． 16．已知2(25)1000a +=，则(15)(35)a a ++的值为 ．
17．计算1111111111234523456????----++++ ???????1111111111234562345????
------+++ ???????
的结果是 ．
18．如图，在△ABC 中，I 是三内角平分线的交点，∠BIC=130°，则∠A= ． 19．如图，钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 13P 14=P 14A ，则∠A 的度数是 .
第14题 第18题图 第19题图
20．用[]x 表示不大于数x 的最大整数．己知正整数n 的平方的十位数字是7，那么，100100n n ??
-????的所有可能值的和等于 ．
三、解答题（21、22每小题6分，23、24每小题8分，25题12分，共40分） 21．已知：3a =2，3b =6，3c =18，试确定a 、b 、c 之间的数量关系.
22．已知a=2015x+2014，b=2015x+2015，c=2015x+2016． 求a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca 的值．
O
E D
C B
A
Q P C B A D I
C B A 姓名 学校_ 班级 学号
----------------------------装------------------------订---------------------线--------------------
23、如图，在△ABC 中，AC=7，BC=4，D 为AB 中点，E 为AC 边上一点，
且∠AED=90°+2
1
∠C 求CE 的长。
24．已知△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=3:4:2，AD 、BE 是角平分线． 求证：AB+BD=AE+BE ．
25．直线a 平行于直线b ，a 上有5个点125,,,A A A L ，b 上有5个点125,,,B B B L ，连接线段i j A B （,1,2,3,4,5i j ）．所得到的图形中，三角形最多有多少个？(说明理由)
参考答案
二、解答题（每小题10分，共40分）
21．已知：3a=2，3b=6，3c=18，试确定a、b、c之间的数量关系.
（2b=a+c）
22．已知a=2015x+2014，b=2015x+2015，c=2015x+2016．
求a2+b2+c2－ab－bc－ca的值=3
23．作BF∥DE交AC于F，作∠ACB的角平分线交AB于G，交BF于H.........................1分
则∠AED=∠AFB=∠CHF+错误！未找到引用源。∠C.........................2分
因为∠AED=90°+错误！未找到引用源。∠C，所以∠CHF=90°=∠CHB................................................................4分
又∠FCH=∠BCH，CH=CH....................................................................5分
所以△FCH≌△BCH............................................................6分
所以CF=CB=4.........................................................................................7分
所以AF=AC-CF=3.................................................................8分
因为AD=DB，BF∥DE.....................................................................................9分
所以AE=EF=1.5..................................................................................10分
所以CE=5.5..................................................................................12分
24．已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=3:4:2，AD、BE是角平分线．
求证：AB+BD=AE+BE．
E
D C
B
A
证明：延长AB到F,使BF=BD,连DF,
所以∠F=∠BDF
因为∠ABC=80
所以∠F=40°
因为∠ACB=40度
所以∠F=∠ACB,
因为AD是平分线
所以∠BAD=∠CAD
又AD为公共边
所以△ADF≌△ADC
所以AF=AC
因为AD是角平分线，
所以∠CBE=∠ABC/2=40
所以∠EBD=∠C
所以BE=EC,
所以BE+AE=EC+AE=AC=AF=AB+BF=AB+BD。
25.
解：连接直线a上的点和直线b上的点，所得到的线段称为“正规线段”．
分类计数所得三角形个数：
第1类：三角形的三个顶点都在直线a和直线b上，
其中2个顶点在直线a上，第3个顶点在直线b上，这类三角形有：
()
1
551550
2
??
??-?=
?
??
个．
类似，其中2个顶点在直线b上，第3个顶点在直线a上，这类三角形也有50个；
第2类：三角形的2个顶点在直线a和直线b上，第3个顶点为两条“正规线段”的交点，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D D C A A A B A 题号11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案锐角
三角
形
999998000001-2 4507 900 1/680°12°20
显然，这类三角形与直线a 和直线b 上的4个点有关，且各有2个点，构成1组． 共有()()1155155122????
??-???-
? ?????1010100=?=组． 每组可构成4个三角形，且各组之间无公共三角形时（见下图）， 则此类三角形最多有4100400?=个；
第3类：三角形的1个顶点在直线a 或者直线b 上，另2个顶点为“正规线段”的交点， 此类三角形与直线a 和直线b 上的5个点有关， 且两平行直线各有3个点和2个点，构成1组，共有
()()11255155122????
???-???- ? ?????
21010200=??=组， 每组构成2个三角形，且各组之间无公共三角形时（见图）， 则此类三角形最多有2200400?=个三角形；
第4类：三角形的3个顶点都是“正规线段”的交点， 此类三角形与直线a 和直线b 上的6个点有关．
其中三个点在a 上，另外三个点在b 上，构成1组，共有
()()1155155122????
??-???- ? ?????
1010100=?=组， 每组构成1个三角形，且各组无公共三角形时，最多有100个三角形．
综上，满足条件的三角形共有1004004001001000+++=个．