高中数学选修测试题
2012-2013年下学期期中模拟试题
（高二数学理科选修2-2部分）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、 曲线2x y =在(1,1)处的切线方程是（ ） A
230
x y ++=B 032=--y x C 210x y ++= D.
012=--y x
2、定义运算
a b ad bc c d
=- ，则符合条件
1142i
i
z z -=+ 的复数z 为（ ）Ａ．3i - Ｂ．13i + Ｃ．3i
+ Ｄ．13i -
3、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ）
A ．
假设至少有一个钝角 B ．假设至少有两个钝角
Ｃ．假设没有一个钝角 Ｄ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
4.观察按下列顺序排列的等式：9011?+=，91211?+=，
92321?+=，93431?+=，…，猜想第*()n n ∈N 个等式应
考号
姓名
班级
学校
线
封
为（ ）
Ａ．9(1)109n n n ++=+ Ｂ．9(1)109n n n -+=- Ｃ．9(1)101n n n +-=-
Ｄ．9(1)(1)1010n n n -+-=- 5、曲线3πcos 02y x x ??= ??
?≤≤
与x 轴以及直线3π
2
x =所围图形的面积为（ ）Ａ．4 Ｂ．2 Ｃ．5
2
Ｄ．3
6、平面几何中，有边长为a 的正三角形内任一点到三边
，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（
）Ａ．
3
a
Ｂ．
3a
Ｃ．4a
Ｄ．4
a 7、若'
0()3f x =-，则000
()(3)
lim
h f x h f x h h →+--=
（ ）
A ．3-
B ． 12-
C ．9-
D ．6- 8、复数z=
5
34+i
,则z 是（ ） A ．25 B ．5 C ．1 D ．7
9、一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设
密
计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动（1步的距离为1个单位长度）．令()P n 表示第n 秒时机器人所在位置的坐标，且记(0)0P =，则下列结论中错误的是（ ）
Ａ．(3)3P =Ｂ．(5)1P =Ｃ．(2007)(2006)P P >Ｄ．(2003)(2006)P P <
10、如图是导函数/()y f x =的图象，那么函数()y f x =在下面
哪个区间是减函数
A. 13(,)x x
B. 24(,)x x
C.46(,)x x
D.56(,)x x
11、设*211111
()()123S n n n
n n n n
=+
++++∈+++N ，当2n =时，(2)S =（ ）Ａ．12Ｂ．1123+Ｃ．111
234
++
Ｄ．1111
2345
+++
12、如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹
簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，则克服弹力所做的功为（ ）
(A) (B) (C) (D)
13. 曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为（ ）
（A ）38 （B ）37 （C ）3
5
（D ）3
4
14. 已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为（ ）
（A ）e 1 （B ）e 1- （C ）e
2
（D ）e
2-
15. 有一段“三段论”推理是这样的：
对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.
以上推理中（ ）
A ．大前提错误
B ． 小前提错误
C ．推理形式错误
D ．结论正确
16. 在复平面内, 复数1 + i 与31+i 分别对应向量和,
其中O 为坐标原点,则=（ ） A.2 B.2 C.
10 D. 4
17. 某个命题与正整数有关，若当
)(*
N k k n ∈=时该命题成
立，那么可推得当=n 1+k 时该命题也成立，现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得( )
(A)当6=n 时，该命题不成立 (B)当6=n 时，该命题成立
(C)当4=n 时，该命题成立 (D)当4=n 时，该命题不成立
18. 若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋3
4
上移动，经过点
P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )
A ．[0，π2)
B ．[0，π2)∪[2π3，π)
C ．[2π
3
，π) D．[0，
π2)∪(π2，2π3] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
19、=---?dx x x )2)1(1(1
02
20、设1Z = i 4 + i 5+ i 6+…+ i 12 ,2Z = i 4 · i 5·i 6·…· i 12，则Z 1 ，2Z 关系为
21．已知32()3f x x x a =++（a 为常数），在[33]-，上有最小值3，
那么在[33]-，
上()f x 的最大值是
22．函数g (x )＝ax 3
＋2(1－a )x 2
－3ax 在区间?
????－∞，a 3内单调
递减，则a 的取值范围是________．
三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
23、（本小题10分） 20()(28)(0)x
F x t t dt x =+->?．
（1）求()F x 的单调区间；（2）求函数()F x 在[13]，上的最值．
24．（本小题10分）设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+． （1）求()y f x =的表达式；
（2）若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．
25、（本小题10分）某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间定价为每天１８０元时，房间会全部住满；房间单价增加１０元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费２０元的各种维护费用。房间定价多少时，宾馆利润最大
26、（本小题10分）已知数列{}n a 的前n 项和
*1()n n S na n =-∈N ．
（1） 计算1a ，2a ，3a ，4a ；
（2）
猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
答题卷
（满分：150分；时间：120分钟） 一、选择题（每题5分，共60分）
二、填空题（每题5分，共20分） 13、 14、
15、 16、
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17、
18、
19、
20、
21
22、
参考答案
13、
14
-π
14、1Z =2Z 15、57 16、 91
17、（本小题10分）已知等腰梯形OABC 的顶点A B ，在复平面上对应的复数分别为12i +、26i -+，且O 是坐标原点，
OA BC ∥．求顶点C 所对应的复数z ．
解：设i()z x y x y =+∈R ，．
由OA BC ∥，OC AB =，得OA BC k k =，C B A z z z =-，
即2612y x -?=?+=， OA BC ≠，3x ∴=-，4y =舍去． 5z ∴=-．
18、（本小题12分） 20()(28)(0)x
F x t t dt x =+->?． （1）求()F x 的单调区间；
（2）求函数()F x 在[13]，上的最值． 解：依题意得，
232320011()(28)8833x
x F x t t dt t t t x x x ??=+-=+-=+- ???
?，定义域是(0)+∞，．
（1）2()28F x x x '=+-,
令()0F x '>，得2x >或4x <-， 令()0F x '<，得42x -<<，
由于定义域是(0)+∞，
，
∴函数的单调增区间是(2)+∞，，单调递减区间是(02)，．
（2）令()0F x '=，得2(4)x x ==-舍， 由于20(1)3F =-
，28
(2)3
F =-，(3)6F =-， ()F x ∴在[13]，上的最大值是(3)6F =-，最小值是28
(2)3
F =-
． 19．（本小题12分）设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+． （1）求()y f x =的表达式；
（2）若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值． 解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠， 则()2f x ax b '=+．
由已知()22f x x '=+，得1a =，2b =．
2()2f x x x c ∴=++．
又方程220x x c ++=有两个相等的实数根，
440c ∴?=-=，即1c =．
故2()21f x x x =++；
（2）依题意，得0
221(21)(21)t
t x x dx x x dx ---++=++??，
32320
1
1133t
t
x x x x x x ---????∴++=++ ? ???
??
，
整理，得3226610t t t -+-=，即32(1)10t -+=，
1t ∴=
20、（本小题12分）某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间定价为每天１８０元时，房间会全部住满；房间单价增加１０元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费２０元的各种维护费用。房间定价多少时，宾馆利润最大？
解：设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润
)(x L =)20)(10
180
50(---
x x =.680180,13607010
12
<<-+-
x x x 令,0705
1
)('=+-=x x L 解得350=x .
当)350,180(∈x 时，,0)('>x L 当)680,180(∈x 时0)(' 因此, 350=x 时是函数)(x L 的极大值点,也是最大值点.所以,当每个房间每天的定价为350元时,宾馆利润最大 21、（本小题满分12分） 证明：要证 b a a b b a +≥+， 只需证)(b a ab b b a a +≥+ 即证)())((b a ab b a ab b a +≥+-+ 即证ab ab b a ≥-+ 即证ab b a 2≥+，即0)(2≥-b a 该式显然成立，所以 b a a b b a +≥+ 22、（本小题12分）已知数列{}n a 的前n 项和 *1()n n S na n =-∈N ． （1）计算1a ，2a ，3a ，4a ； （2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 解：（1）依题设可得111212a = = ?，211623a ==?，311 1234 a ==?，411 2045 a = = ?； （2）猜想：1 (1) n a n n = +． 证明：①当1n =时，猜想显然成立． ②假设*()n k k =∈N 时，猜想成立， 即1 (1) k a k k = +． 那么，当1n k =+时，111(1)k k S k a ++=-+， 即111(1)k k k S a k a +++=-+． 又11 k k k S ka k =-=+， 所以 111(1)1 k k k a k a k +++=-++， 从而111 (1)(2)(1)[(1)1] k a k k k k += =+++++． 即1n k =+时，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立．