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高等数学典型习题及参考答案

第八章典型习题

一、填空题、选择题

1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离是

2、平行于向量}1,2,1{a -=?

的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为

且与平面过点=--+-z y x

4、.xoz y z y x :面上的投影柱面方程是在曲线??

?==++Γ2

10222

5、()==-=+=+=-δ

δλ则平行与设直线,z y x :l z y x :

l 1111212121

()23A ()12B ()32C ()21

6、已知k 2j i 2a ????+-=,k 5j 4i 3b ?

???-+=,则与b a 3??-平行的单位向量为 ( )

（A ）}11,7,3{（B ）}11,7,3{- （C ）}11,7,3{1291-±

（D ）}11,7,3{179

1-± 7、曲线???==++2

z 9

z y x 222在xoy 平面上投影曲线的方程为（）

（A ）???==+2z 5y x 22 （B ）???==++0z 9z y x 222（C ）???==+0

z 5y x 22 （D ）5y x 22=+

8、设平面的一般式方程为0A =+++D Cz By x ，当0==D A 时，该平面必( ) (A)平行于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9、设空间三直线的方程分别为251214:

1+=+=+z y x L ，6

313:2+=+=z y x L ，4

312:3-=

+=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L

10、设平面的一般式方程为0=+++D Cz By Ax ，当0==B A 时，该平面必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy 面 (D) 平行于xoy 面

11、方程05

z 3y 3x 2

22=-+所表示的曲面是（）

（A ）椭圆抛物面（B ）椭球面（C ）旋转曲面（D ）单叶双曲面

二、解答题

1、设一平面垂直于平面0=z ，并通过从点)1,1,1(-P 到直线??

=+-=0

z y x 的垂线，求该平面方程。

2、的平面且平行于直线求过直线

724532423-=-=+--=+=-z y x z y x .方程 3、()的且平行于直线求过点??

?=+-+=--+-0

120

12121z y x z y x ,,.直线方程 4、已知平面022:=-+x y π与直线???=+-=--0

2230

22:z y y x L ，求通过L 且与π垂直的平面方程。

5、求过球面0z 4y 2x 2z y x 222=-+-++的球心且与直线

22y 33x -=-+=-垂直的平面方程。 6、求经过直线

23y 54x =+=-与直线外的点)4,5,3(-所在的平面方程。

第九章典型习题

一、填空题、选择题 1、y x z +=

1的定义域为；1

1112

y x

z 的定义域为。

2、1

1lim

0-+→→xy xy

y x ；()xy

y x xy 1

01lim +→→；()x xy y x tan lim

0→→。 3、设()xy z ln =，

x z ??= ；设??

??=x y xf z ， x z ??= ；设xy z 3=， x z ??= ；设()22y x f z -=，()u f 是可微函数，其中22y x u -=，求

??。 4、设y e z x

sin =，求dz ；设y

z arctan =，求dz ；设x y

e z =，求dz 。

5、设03=--z xy z ，求x z ??；由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=，求x

z ??。 6、求曲线32,,

t z t y t x ===在2=t 处的切线方程；

7、求函数()()224,y x y x y x f ---=的驻点。8、设()222,,zx yz xy z y x f ++=，求()1,0,0xx

f ''。 9、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（）

A 、连续

B 、不连续

C 、不一定连续

D 、可微

10、求曲面1232222=++z x y 在点（1，-2，1）处的切平面方程；

求曲面xy z =在点（1，1，1）处的切平面方程。

11、()()y x y x f +=2sin 2,在点（0，0）处（）A 、无定义 B 、无极限 C 、有极限，但不连续 D 、连续 12、设22v u z +=，而y x v y x u -=+=,，求

??，y z ??； 13、如果()00,y x 为()y x f ,的极值点，且()y x f ,在()00,y x 处的两个一阶偏导数存在，则()00,y x 必为()y x f ,

的（）A 、最大值点 B 、驻点 C 、连续点 D 、最小值点 14、函数()y x f ,在()y x ,处的偏导数连续是它在该点可微的（）

A 、充分条件

B 、必要条件

C 、充要条件

D 、以上均不对 15、函数()y x f ,在()y x ,处的偏导数存在是它在该点可微的（）

A 、必要条件

B 、充分条件

C 、充要条件

D 、既非必要又非充分条件

16、如果函数()y x f ,在()00,y x 的某邻域内有连续的二阶偏导数，且()()()0,,,0000002

<-y x f y x f y x f yy xx xy ，

则()00,y x f （）A 、必为()y x f ,的极小值 B 、必为()y x f ,的极大值

C 、必为()y x f ,的极值

D 、不一定为()y x f ,的极值

二、解答题

1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。

2、为可微函数，，其中已知　f x y y x f z ??? ?

=,2y z x z ????,求。

3、设()y x z z ,=是由方程

y z z x ln =确定，求x

??，y z ??。 4、求函数22y x z +=在条件22=+y x 下的极值。

5、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。

6、将正数a 分成三个数之和，使它们的乘积为最大。

7、设?

? ??=y x x f z ,，求dz ；设0=-xyz e z

，求dz 。第十章、第十一章典型习题

一、填空题、选择题

1、将二重积分()dxdy y x f D

??,化为二次积分，其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成，下列各式

中正确的是（）A 、()dy y x f dx x

??20

4,2 B 、()dy y x f dx ??4

C 、()dx y x f dy y ??0

, D 、()dx y x f dy y

2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域，则=???Ω

xyzdxdydz

3、旋转抛物面2

2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=（）

A 、

dxdy y x y x ??

≤+--2

22221 B 、

dxdy y x y x ??

≤+++4

22221 C 、

dxdy y x y x ??

≤+--4

22221 D 、

dxdy y x y x ??

≤+++2

22221

4、若()=

??dy y x f dx x

2,1

()()

dx y x f dy y

y g ?

，则()=y g （）A 、y B 、y C 、2y D 、2x

5、利用球坐标计算三重积分()

???Ω

++dV z y x f 222，其中Ω：z z y x 2222≤++，下列定限哪一个是正确

的（）A 、()

r dr r f d d ???2

220

?θ B 、()

dr r r f d d ??θ?

ππsin 2cos 2020

?? C 、()

dr r r f d d ??θ?

sin 2cos 20

220

?? D 、()

rdr r f d d ?

???

π?θcos 20

6、曲线L 为圆122=+y x 的边界的负向曲线积分=+?L

xdy ydx

7、设D 是长方形区域：31,30≤≤≤≤y x ，则=??dxdy y D

8、设()y x f ,是连续函数，则二次积分()=??dy y x f dx x

,（）

A 、()dx y x f dy y ??010,

B 、()dx y x f dy ??1010,

C 、()dx y x f dy y

??010

, D 、()dx y x f dy y

??1

10,

9、曲线L 为x y =2从（1，-1）到（0，0），则=?L

xdy

10、设L 为圆()0222>=+a a y x 的边界，把曲线积分ds y x L

?+22化为定积分时的正确结果是（）

A 、θπ

d a ?022 B 、θπd a ?20

2 C 、θπd a ?20 D 、θπ

d a ?0

11、设D 是由2,0,0=+==y x y x 所围成的区域，则=??dxdy D

12、设D ：422≤+y x ，f 是域D 上的连续函数，则()

=+??dxdy y x

（）

A 、()dr r rf ?2

2π B 、()dr r rf ?2

4π C 、()d r r f ?2

22π D 、()dr r rf r

4π

13、三重积分中球面坐标系中体积元素为（）

A 、θ??d drd r sin 2

B 、θ??d drd r sin

C 、dz rdrd θ

D 、dz drd θ 14、()

=+?

?-dx y x

dy y a a

2022

0（）

A 、dr r d a

??0

θπ

B 、dr r d a

θπ

C 、dr r d a

θπ

D 、dr r d a

3230

θπ

15、下列曲线积分哪个与路径无关（）

A 、?+L

dx y dy x 22 B 、?-L

xdy ydx C 、()()

d y xy y x dx y xy L

?-+-2232366 D 、?

+-L

x xdy

ydx 2

2 16、设42,31,10:≤≤≤≤≤≤Ωz y x ，则=???Ω

dxdydz

17、设区域D 是圆122≤+y x 内部，则=??θdrd r D

18、利用柱坐标计算三重积分(

)

???Ω++dv z y x 222，其中Ω：10,222≤≤≤+z a y x ，下列定限哪一个是

正确的（）A 、dz r dr d a

???π

θ B 、()dz z r r dr d a

221

+???π

C 、dz r dr d a 210

???πθ D 、()

dz z r

dr d a 22

??πθ

19、设D 为环形区域：9422≤+≤y x ，则=??σd D

20、设Ω为球面1222=++z y x 所围成的闭区域，则=???Ω

dxdydz

21、设两点()()2,0,0,0,0,0A O ，则=?OA

yzds x 2

22、若()()()()

dx y x f dy dy y x f dx dy y x f dx y

y x

?--+-=+110

,,,?，则()=y ?

23、L 是曲线2x y =上点（0，0）与点（1，1）之间的一段弧，则=?ds y L

（）

A 、()dx x ?

21 B 、dx x x ?+1

212 C 、()dx x x ?+1

21 D 、dx x ?+1

24、设(){}

1,22≤+=y x y x D ，则=??+dxdy e D

y x

25、=?

?---2

y x x dz dy dx

26、三重积分柱面坐标系中体积元素为（）

A 、θ??d drd r sin 2

B 、θ??d drd r sin

C 、dz rdrd θ

D 、dz drd θ

27、设()y x f ,在区域(){}

0,,222>≤+=a a y x y x D 上连续，则()=??σd y x f D

,（）

A 、()rdr r r f d a

??0

sin ,cos θθθπ B 、()rdr r r f d a

??0

20sin ,cos 4θθθπ

C 、()rdr r r f dx x a x a a

?-----222

2sin ,cos θθ D 、()rdr r r f d a

??-θθθπ

sin ,cos 220

28、设D 由x 轴和[]π,0,sin ∈=x x y 所围成，则积分=??σd D

29、设K z y x ≤≤≤≤≤≤Ω0,10,10:，且4

???Ω

xdxdydz ，则=K 二、解答题

1、计算三重积分()

???Ω

+dv y x 22，其中Ω是由曲面()z y x =+222与平面4=z 所围成的区域。

2、求由曲面()222y x z +-=与22y x z +=所围立体的体积。

3、计算曲线积分()()dy x y dx y x L

-++?，其中L 是曲线1,1222+=++=t y t t x 上从点（1，1）到（4，2）

的一段弧。

4、计算()()

dy y x dx xy x L

223+++?，其中L 为区域10,10≤≤≤≤y x 的反向边界。

计算()()dy x y dx y x L

63542-+++-?，其中L 以（0，0）、（3，0）、（3，2）为顶点的三角形区域的正

向边界。

计算()()dy x y dx y x L

-++?，其中L 是沿从（1，1）到（1，2）再到（4，2）的折线段。

5、计算三重积分???Ω

zdxdydz ，其中Ω是为球面4222=++z y x 与抛物面z y x 322=+所围成的闭区域。

6、计算二重积分()

d xdy x y D

??-2，其中D 由直线2,2,===y x y x y 所围成的区域。

计算二重积分dxdy e D

y x

??+2

22，其中D 由422=+y x 与922=+y x 所围成的圆环形区域。

7、计算曲线积分?

+-L

y x xdy

ydx 2

2，其中L 是从（1，0）到（1,e ）的曲线段。

8、计算σd x y

??arctan ，D 是由圆周922=+y x ，422=+y x 及直线x y y ==,0所围成的在第一象限内的

闭区域。

9、计算曲线积分()()?-++L

dy x y dx y x ，其中L 为抛物线x y =2上从（1，1）、（4，2）的一段弧。

第十二章典型习题

一、填空题、选择题

1、下列级数是发散的为（）A 、∑

∞

=12

n n

B 、∑∞

sin

n n π

C 、∑∞

cos

n n π

D 、∑∞

tan

n n π

2、如果∑∞

n n u 收敛，则下列级数中一定收敛的是（）A 、∑∞

100n n u B 、()∑∞

=+1

100n n u C 、()∑∞

=-1

100n n u D 、∑∞

=1n n u

如果∑∞=1

n n u 收敛，则下列级数中一定收敛的是（）A 、∑∞=1n n u B 、∑∞=12

n n

u C 、()∑∞

=++11n n n u u D 、∑∞

n n u

3、如果11

=∑∞

=n n u ，则=∞

→n n u lim

4、函数()x +1ln 的麦克劳林级数展开式为（）A 、()n n n x n

∑

∞

=--1

11 B 、n n x n ∑∞

=11 C 、()n n n x n ∑∞

=--1

!1 D 、n n x n ∑∞=1!1 5、幂级数n n n x n ∑∞

=12

的收敛半径R= ；幂级数()n

n n x n 131-∑∞

=的收敛半径R= ；

6、下列级数中是收敛的级数为（）A 、∑∞

=+121n n n B 、∑∞=+-121n n n n C 、∑∞=13n n

D 、∑∞

=12

3n n

7、级数()∑

∞

=-11n n n α

是绝对收敛级数，则（）A 、0<α B 、10≤<α C 、2≥α D 、1>α

8、级数()∑

∞

=--1

311n n n

是（）

；级数

∑

∞

4cos n n

n π是（）

A 、绝对收敛

B 、条件收敛

C 、发散

D 、敛散性不定

9、设∑∞

n n u 为任意项级数，且∑∞

n n u 收敛，则（）

A 、原级数绝对收敛

B 、原级数条件收敛

C 、原级数发散

D 、原级数敛散性不定 10、幂级数()n n n x n ∑

∞

=--12

11的收敛区间是

11、设幂级数n n n x a ∑∞

在2-=x 发散，则它在3=x 是（）

A 、绝对收敛

B 、条件收敛

C 、发散

D 、敛散性不定 12、如果51

=∑∞

=n n u ，101

=∑∞

=n n v ，则()=-∑∞

32n n n u v

13、函数()x

x f 211

展开成x 的幂级数为（） A 、()()∑∞

=-1

21n n

x B 、∑∞

n n

x C 、()()∑∞

=-0

21n n

x D 、()∑∞

2n n

14、0lim =∞

→n n u 是级数∑∞

n n u 收敛的（）

A 、充要条件

B 、必要条件

C 、充分条件

D 、既不充分又不必要条件 15、设正项级数∑∞

n n u 与∑∞

n n v ，如果n n v u 100≤，且∑∞

n n u 发散，则∑∞

n n v （）

A 、一定收敛

B 、绝对收敛

C 、一定发散

D 、敛散性不定

16、级数∑∞

=+?

??01

52n n 满足（）

A 、发散

B 、收敛且其和为1

C 、收敛且其和为2

D 、收敛且其和为2/3

17、下列级数发散的是（）A 、∑∞

=121n n B 、()∑∞

=-1

1n n

n C 、∑∞=??? ??

-1cos 1n n π D 、∑∞=12cos n n π

18、设幂级数()n

n n x a 11

-∑∞

=在4=x 收敛，则它在1-=x 是（）

A 、绝对收敛

B 、条件收敛

C 、发散

D 、前三者都有可能 19、若n n n x a ∑∞

=1在0x x =收敛，则该级数收敛半径R 满足（）

A 、0x R =

B 、0x R <

C 、0x R ≤

D 、0x R ≥

20、设正项级数∑∞

n n u 的部分和数列为{}n S ，如果{}n S 有界，则级数∑∞

n n u （）

A 、收敛

B 、发散

C 、无法确定

D 、以上都不对 21、若级数∑∞

n n u 与∑∞

n n v 均发散，则()∑∞

=+1

n n n v u （）

A 、收敛

B 、发散

C 、可能收敛也可能发散

D 、绝对收敛 22、级数()()∑

∞

=+-1

12121

n n n 的和是（）A 、2 B 、0 C 、∞ D 、1/2

23、若级数()∑

∞=-1

1n n n α

为条件收敛级数，则常数α的范围是（）

A 、10≤<α

B 、1>α

C 、2≥α

D 、10<<α 24、下列级数中条件收敛的级数是（）A 、()∑

∞

=+-11

1n n n n B 、

()

∑∞

=-1

1n n

n C 、()∑∞

=-1311n n

n D 、()∑∞

=-1

1n n n

25、将()x x f -=41展开成x 的幂级数为（）A 、∑∞=04n n x B 、()∑∞=-01n n

n x C 、∑∞=+014n n n x D 、()∑∞

=+-01

41n n n n x 26、幂级数∑∞

=0!n n n x 的和函数是（）；幂级数()∑∞=-0

!1n n n n x

的和函数是（）

A 、x e

B 、x e -

C 、()x +1ln

D 、x arctan 27、收敛级数加括号后所成的级数（）

A 、收敛但级数和会改变

B 、发散且级数和不变

C 、发散

D 、敛散性不确定 28、若级数∑∞

=1n n u 收敛，则∑

∞

=11

n n

u （） A 、绝对收敛 B 、条件收敛 C 、发散 D 、敛散性不确定

二、解答题

1、判别级数∑∞

=12sin n n π

的敛散性；判别级数∑∞

5sin 3n n n

的敛散性；判别级数∑∞

=13

3n n n 的敛散性；

判别级数∑∞

=1!2n n n n n 的敛散性并说明理由；判别级数∑∞

7tan 3n n n π

的敛散性。

2、求幂级数∑∞

=1n n n x 的和函数；求幂级数()∑∞

=-2

1n n

n n x 的和函数。

3、判别级数()∑∞

=+1121n n n 的敛散性，若收敛并求和S 。4、判别级数()∑

∞

=--1

cos

1n n n n π

的敛散性。 5、求幂级数()∑

∞

=--1

11n n n x n

的收敛区间及其和函数。6、求幂级数

()∑

∞

=?-1

21n n n n

x 的收敛区间。

第八章典型习题答案

一、1、5； 2、{}1,2,16

-±

； 3、3

12-+=-=z y x ； 4、622=+z x ； 5、B ；6、D ；7、C ；8、D ；9、D ；10、D ；11、C 。

二、1、 012=++y x ； 2、0153101623=-+-z y x ；3、1

11231

-=--=+z y x ；

4、022=-+-z y x ；

5、03z y 2x 3=---；

6、0103z 8y 21x 10=---。

第九章典型习题答案

一、1、(){}0,>+y x y x ；(){}

1,1,22>

()xy y y y ;

f f ;y ln ;yf x y x x x ????

''--- ? ?????

22332

4、

5、

6、

41==； 7、（2，-2）； 8、2； 9、C ； 10、

11-16

二、

1、()()()0161412=-+-+-z y x ;6

1-=-=-z y x

2、

2212f x

f xy x z '-'=??；2121f x f x y z '+'=??。 3、()

y z y z

y z y z x z ln 1ln ,ln 1ln 1-+=??-+=?? 4、极小值54525452,542

=??

??+??? ??=??? ??z 5、长、宽、高分别为2，2，1m 时，…

6、3/,3/,3/a a a

7、xy e xzdy

yzdx dz dy y x dx f y f dz z -+=-???

? ??'+'=;1221 第十、十一章典型习题答案

一、

二、

第十二章典型习题答案

一、

二、

1、收敛；收敛；收敛；发散；收敛。

2、∑∞

1 ln

；()()()

∑∞

3、收敛，S=1/2

4、绝对收敛

5、（-1，1]，()()x

S+

ln 6、[-1，3）

高等数学下册典型例题精选集合.doc

最新高等数学下册典型例题精选集合第八章多元函数及其微分法最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿的定义域是从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护与z? = / 1 定义域的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)

法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂，T() 丿解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<

而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂〉?T O 〉?T O兀十〉于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿法2利用无穷小与有界函数的乘积是无穷小的性质。因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以

高等数学求极限的常用方法附例题和详解

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f

高数典型例题解析

第一章函数及其图形例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（）解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设

解：在令t=cosx-1，得又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有。 5：例 f(2)没有定义。注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有。因此，所给函数是有界的，即应选择B。例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定

大一下学期高等数学考试题

大一下学期高等数学考试题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() 、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） . C． D. 4、二次积分交换次序后为（） . . 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值

C.某邻域内单调增加 D.取极大值二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。

四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令则所以切平面的法向量为：切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则

高中数学典型例题详解和练习- 求分段函数的导数

求分段函数的导数例求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数．解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='．指出函数的复合关系例指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常

见的基本函数，逐步确定复合过程．解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果．求函数的导数例求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．

高数下典型习题及参考答案

第八章典型习题一、填空题、选择题 1、y x z += 1的定义域为； 2、1 1lim 0-+→→xy xy y x ； 3、设xy z 3=， x z ??= ； 4、 z z x ?==?设则 5、由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=，求dz 。 6、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（） A 、连续 B 、不连续 C 、不一定连续 D 、可微二、解答题 1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。 2、2,y z f x y f x ? ?= ?? ?已知　，其中为可微函数，y z x z ????,求。 3、设()y x z z ,=是由方程 y z z x ln =确定，求x z ??，y z ??。 4、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。第九章、第十章典型习题一、填空题、选择题 1、将二重积分()dxdy y x f D ??,化为二次积分，其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成，下列各式中正确的是（）A 、()dy y x f dx x ??2 04 ,2 B 、()dy y x f dx ??4 4 , C 、()dx y x f dy y ??0 40 , D 、()dx y x f dy y ? ?0 40 , 2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域，则=???Ω xyzdxdydz 3、旋转抛物面2 2 2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=（）

大学高等数学下考试题库(及答案)

一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为（）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21

10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）

关于高等数学方法与典型例题归纳

关于高等数学方法与典型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五曲天尧编写一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)YM

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题 1．已知过去几年产量和利润的数据如下：解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f (x )=ax +b ，求[] 621()i i i u y ax b ==-+∑的最小值，即求解方程组 6662111661 1,6.i i i i i i i i i i i a x b x y x a x b y =====?+=????+=??∑∑∑∑∑ 把(x i ,y i )代入方程组，得 29834402240034026320a b a b +=??+=? 解得 a =0.884, b =-5.894 即 y =0.884x -5.894, 当x =120时，y =100.186(310元). 2．求下列伯努利方程的通解： 2(1)(cos sin );y y y x x '+=- 解：令121z y y --==，则有

d d (12)(12)(cos sin )sin cos d d z z z x x z x x x x +-=--?-=- (1)d (1)d e (sin cos )e d e e (sin cos )d e sin x x x x x z x x x c x x x c c x ----????=-+???? ??=-+=-???? 1e sin x c x y ?=- 即为原方程通解. 411(2)(12)33 y y x y '+=-. 解：令3d 21d z z y z x x -=?-=-. d d e 21e (21)e d x x x z x c x x c -????==--+-+???? ? 3(e 21)1x y c x ?--= 即为原方程通解. 3．证明：22 d d x x y y x y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．证：22x P x y =+，22 y Q x y =+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且． ()2 222??-==??+P Q xy y x x y ，(x ,y )∈G 因此22 d d x x y y x y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分．由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y y d x y x y x y ++??==+??++?? 知()()221ln ,2 u x y x y =+． 4．应用格林公式计算下列积分： (1)()()d d 24356+-++-?x y x y x y Γ，其中 L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界； (2)()()222d d cos 2sin e sin 2e x x L x y x y x xy x y x x y ++--?，其中L 为正向星形线()22 23330x y a a +=>；

高等数学试题库

高等数学试题库第二章导数和微分一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数

高等数学下册试题及答案解析

高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（）（A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；

2019高数(下)试题及答案

第二学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是（）（A ）通过y 轴（B ）通过x 轴（C ）垂直于y 轴（D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的（）（A ）充要条件（B ）充分但非必要条件（C ）必要但非充分条件（D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（）（A ）e （B ）()e dx dy +

（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）（A ）敛散性不确定（B ）发散（C ）条件收敛（D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（）（A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==，求该平面方程．四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数，试求z x ??和2z x y ???．五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???，其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤．六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，

高等数学典型习题及参考答案

第八章典型习题一、填空题、选择题 1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离就是 2、平行于向量}1,2,1{a -=? 的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为且与平面过点=--+-z y x 4、.xoz y z y x :面上的投影柱面方程是在曲线?? ?==++Γ2 10222 5、()==-=+=+=-δ λ δλ则平行与设直线,z y x :l z y x : l 1111212121 ()23A ()12B ()32C ()21 D 6、已知k 2j i 2a ????+-=,k 5j 4i 3b ? ???-+=,则与b a 3??-平行的单位向量为 ( ) (A )}11,7,3{(B )}11,7,3{- (C )}11,7,3{1291-± (D )}11,7,3{179 1-± 7、曲线???==++2 z 9 z y x 222在xoy 平面上投影曲线的方程为( ) (A )???==+2z 5y x 22 (B )???==++0z 9z y x 222(C )???==+0 z 5y x 22 (D )5y x 22=+ 8、设平面的一般式方程为0A =+++D Cz By x ,当0==D A 时,该平面必( ) (A)平行于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9 、设空间三直线的方程分别为 251214: 1+=+=+z y x L ,67313:2+=+=z y x L ,4 1312:3-=+=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L 10、设平面的一般式方程为0=+++D Cz By Ax ,当0==B A 时,该平面必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy 面 (D) 平行于xoy 面 11、方程05 z 3y 3x 2 22=-+所表示的曲面就是( ) (A )椭圆抛物面 (B )椭球面 (C )旋转曲面 (D )单叶双曲面二、解答题

关于高等数学经典方法与典型例题归纳

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22 +- ++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。【解】22 21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限【说明】 (1)常见等价无穷小有：

高等数学典型例题与应用实例

例利用二重积分的性质，估计积分 2 222(2)d D x y x y σ+-?? 的值，其中D 为半圆形区域2 2 4,0x y y +≤≥．解我们先求函数2 2 2 2 (,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值．由2 2 220,420,x y f x xy f y x y '?=-=??'=-=??解得D 内驻点为(2,1)±，(2,1)2f ±=．在边界1:0L y =(22)x -≤≤上，2 ()(,0)g x f x x ==在1L 上(,)f x y 的最大值为4，最小值为0．在边界22 2:4L x y +=(0)y ≥上， 242()(,4)58(22)h x f x x x x x =-=-+-≤≤ 由3 ()4100h x x x '=-=得驻点123550,,22 x x x ==- =，(0)(0,2)8h f ==． 5537 ()(,)2224 h f ± =±=．综上，(,)f x y 在D 上的最大值为8，最小值为0．又D 的面积为2π，所以由二重积分的估值性质知 222202(2)d 82D x y x y πσπ?≤+-≤???，即 22220(2)d 16D x y x y σπ≤+-≤??．例设D 为xoy 平面上以(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形区域， 1D 为D 在第一象限的部分，则 (cos sin )( )D xy x y dxdy +=??．（A ）1 2 cos sin D x y dxdy ?? （B ）1 2D xy dxdy ?? （C ）1 4 (cos sin )D xy x y dxdy +?? （D ）0

大学高等数学下考试题库附答案

大学高等数学下考试题库附答案 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. .4 C 向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（）. A.a ∥b B.a ⊥b 3,π=b a .4,π =b a 3.函数1 122 2 22-++ --=y x y x y 的定义域是（）. (){}21,22 ≤+≤y x y x .(){} 21,22<+p 1≥p 幂级数∑∞ =1n n n x 的收敛域为（）. []1,1-()1,1-[)1,1-(]1,1-幂级数n n x ∑∞ =??? ??02在收敛域内的和函数是（）. x -11x -22x -12x -21 微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. x ce y =x e y =x cxe y =cx e y =二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.

(超级总结吐血推荐)考研数学二经典知识点题型技巧总结(高数线代)综合网上及个人线代心得

高等数学(数二> 一.重点知识标记高等数学科目大纲章节知识点题型重要度等级高等数学第一章函数、极限、连续 1 .等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限★★★★★ 2 .函数连续的概念、函数间断点的类型 3 .判断函数连续性与间断点的类型★★★ 第二章一元函数微分学 1 .导数的定义、可导与连续之间的关系按定义求一点处的导数，可导与连续的关系★★★★ 2 .函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值★★★★ 3.闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用★★★★★ 第三章一元函数积分学 1 .积分上限的函数及其导数变限积分求导问题★★★★★ 2 .有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分★★ 第四章多元函数微分学 1 .隐函数、偏导数、的存在性以及它们之间的因果关系 2 .函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系★★ 3 .多元复合函数、隐函数的求导法求偏导数，全微分★★★★★ 第五章多元函数积分学 1. 二重积分的概念、性质及计算 2.二重积分的计算及应用★★ 第六章常微分方程 1.一阶线性微分方程、齐次方程， 2.微分方程的简单应用，用微分方程解决一些应用问题★★★★ 一、函数、极限、连续部分：

极限的运算法则、极限存在的准则(单调有界准则和夹逼准则>、未定式的极限、主要的等价无穷小、函数间断点的判断以及分类，还有闭区间上连续函数的性质(尤其是介值定理>，这些知识点在历年真题中出现的概率比较高，属于重点内容，但是很基础，不是难点，因此这部分内容一定不要丢分。二、微分学部分：主要是一元函数微分学和多元函数微分学，其中一元函数微分学是基础亦是重点。一元函数微分学，主要掌握连续性、可导性、可微性三者的关系，另外要掌握各种函数求导的方法，尤其是复合函数、隐函数求导。微分中值定理也是重点掌握的内容，这一部分可以出各种各样构造辅助函数的证明，包括等式和不等式的证明，这种类型题目的技巧性比较强，应多加练习。函数的凹凸性、拐点及渐近线，也是一个重点内容，在近几年考研中常出现。多元函数微分学，掌握连续性、偏导性、可微性三者之间的关系，重点掌握各种函数求偏导的方法。多元函数的应用也是重点，主要是条件极值和最值问题。三、积分学部分：一元函数积分学一个重点是不定积分与定积分的计算。在计算过程中，会用到不定积分/定积分的基本性质、换元积分法、分部积分法。其中，换元积分法是重点，会涉及到三角函数换元、倒代换，如何准确地进行换元从而得到最终答案，却是需要下一番工夫的。定积分的应用同样是重点，常考的是面积、体积的求解，多练掌握解题技巧。对于定积分在物理上的应用(数二有要求>，如功、引力、压力、质心、形心等，近几年考试基本都没有涉及，考生只要记住求解公式即可。多元函数积分学的一个重点是二重积分的计算，其中要用到二重积分的性质，以及直角坐标与极坐标的相互转化。这部分内容，每年都会考到，考生要引起重视，需要明白的是，二重积分并不是难点。四、微分方程：这里有两个重点：一阶线性微分方程。二阶常系数齐次/非齐次线性微分方程。线性第一章行列式 1.行列式的运算 2.计算抽象矩阵的行列式★★★ 第二章矩阵 1. 矩阵的运算 2. 求矩阵高次幂等★★★ 3. 矩阵的初等变换、初等矩阵与初等变换有关的命题★★★★★ 第三章向量 1. 向量组的线性相关及无关的有关性质及判别法 2. 向量组的线性相关性★★★★★ 3. 线性组合与线性表示判定向量能否由向量组线性表示★★★★

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