2021年湖北大学数学与统计学学院810数学分析考研核心题库之解答题精编

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本书根据历年考研大纲要求并结合历年考研真题对该题型进行了整理编写，涵盖了这一考研科目该题型常考试题及重点试题并给出了参考答案，针对性强，考研复习首选资料。

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一、2021年湖北大学数学与统计学学院810数学分析考研核心题库之解答题精编

1．设函数f(x)满足条件：，问此函数在内的傅里叶级数满足什么特性.

【答案】

在上式右端第一个积分中令，则得

于是有；

同理有

因此函数f(x)在内的傅里叶级数的特性为：

2．讨论Dirichlet函数，Riemann函数的可积性

【答案】(1)Dirichlet函数

对[0，1]区间的任一分割，其振幅，由可积的充要条件，可知D(x)在[0，1]不可积。

(2)Riemann函数

的至多有有限个，设为，共k个，，取，对[0，1]上的

任一分割，当时，的区间必包括，这样的区间至多有2k个，设其区间长度为，在这些区间上振幅.

显然有

由第二充要条件可知R(x)在[0，1]可积.

对任意分割，其Darboux下和，故得

3．设f(x)在点a的一个邻域内有定义，，在点处可导为自然数。

(1)求，

(2)求，

(3)求.

【答案】(1)由于于是

(2)由(1)得故

(3)

4．椭圆的切线与两坐标轴分别交于A，B两点。

(1)求AB两点间距离的最小值；

(2)求的最小面积.

【答案】设切点为，则过切点的切线方程为.

该切线与两坐标轴交点分别为.

(1)

令，推得

由题可知，距离|AB|存在最小值，必满足.即

(2)

故，当或时.

5．求，其中S是的上半球面下侧.

【答案】设，可得

6．设(1)求A的值；(2)设在D上连续，且满足条件

，则，使得

【答案】(1)

其中

，所以

(2)反证法，若对都有，由f(x，y)在D上连续知在D上连续，于是存在点，使得，从而由已知条件得

矛盾，故，使得。

7．试求函数项级数

和

的收敛域(绝对收敛或条件收敛)，并讨论它们在收敛域内的一致收敛性.

【答案】对，x固定后，可看为数项级数，由比较判别法可知

绝对收敛.但是

因此，在上非一致收敛.

由Dirichlet判别法可知收敛，而发散，因此条件收敛.对

，n充分大时，单调减少趋于0,且有，即在上一

致有界，由Dirichlet判别法可知在上一致收敛.

8．在变力作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面第一象限的点

，问取何值时，F所做的功W最大，并求W的最大值。

【答案】设，则.所以F是有势场，