第七讲 解析几何新题型
【考点透视】 一.直线和圆的方程
1.理解直线的斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程.
2.掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. 3.了解二元一次不等式表示平面区域. 4.了解线性规划的意义,并会简单的应用. 5.了解解析几何的基本思想,了解坐标法.
6.掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程. 二.圆锥曲线方程
1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质. 2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 4.了解圆锥曲线的初步应用. 【例题解析】 考点1.求参数的值
求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.
例1.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22
162
x y +=的右焦点重合,则p 的值为( )
A .2-
B .2
C .4-
D .4
考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.
解答过程:椭圆22
162
x y +=的右焦点为(2,0),所以抛物线22y px =的焦点为(2,0),则4p =,
故选D.
考点2. 求线段的长
求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用
距离公式解之.
例2.已知抛物线y-x 2
+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ,则|AB|等于
A.3
B.4
C.32
D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.
解:设直线AB 的方程为y x b =+,由22123
301y x x x b x x y x b
?=-+?++-=?+=-?
=+?,进而可求出AB 的中点11(,)22M b --
+,又由11
(,)22
M b --+在直线0x y +=上可求出1b =,
∴220x x +-=,由弦长公式可求出2
21114(2)32AB =+-?-=.
故选C
例3.如图,把椭圆22
12516
x y +=的长轴
AB 分成8等份,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部
分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点,F 是椭圆的一个焦点, 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.
解答过程:由椭圆22
12516
x y +=的方程知225, 5.a a =∴=
∴1
2345677277535.2
a PF P F P F P F P F P F P F a ?++++++==?=?= 故填35.
考点3. 曲线的离心率
曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的离心率e =a
c ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁);
(2) 双曲线的离心率e =a
c ∈(1, +∞) (e 越大则双曲线开口越大).
结合有关知识来解题.
例4.已知双曲线的离心率为2,焦点是(4,0)-,(4,0),则双曲线方程为
A .221412x y -=
B .221124x y -=
C .221106x y -=
D .22
1610
x y -= 考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念.
解答过程: 2,4,c e c a
===Q 所以22,12.a b ∴==故选(A).
小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念,要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会.
例5.已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于( )
A. 2
B.3
32 C. 2 D.4
考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e =a c ∈(1, +∞) 的有关知识的应用能
力.
解答过程:依题意可知 3293,322=+=+==b a c a . 考点4.求最大(小)值
求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.
例6.已知抛物线y 2
=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,则y 12+y 22
的最小值是 .
考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系,以及利用不等式求最大(小)值的方法. 解:设过点P (4,0)的直线为()()224,8164,y k x k x x x =-∴-+= ()()122222222
122
284160,
8414416232.k x k x k k y y x x k k ∴-++=+??∴+=+=?=+≥ ??
?
故填32.
考点5 圆锥曲线的基本概念和性质
圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性,都是考试的重点内容,要能够熟练运用;常用的解题技巧要熟记于心. 例7.
在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y =x 相切于坐标原
点O .椭圆9
2
2
2
y a
x +
=1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C 的方程;
(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ,使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.
若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
[考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力. [解答过程] (1) 设圆C 的圆心为 (m, n)
则,222,
m n n =-?
??
?=?? 解得2,2.
m n =-??
=? 所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-= (2) 由已知可得 210a = , 5a =.
椭圆的方程为 22
1259
x y += , 右焦点为 F( 4, 0) ;
假设存在Q 点()
222cos ,222sin θθ-++使QF OF =,
()(
)
22
22
2cos 4222sin 4θθ
-+-++=.
整理得 sin 3cos 22θθ=+, 代入 22sin cos 1θθ+=.
得:210cos 122cos 70θθ++= , 122812222cos 1θ-±-±==<-.
因此不存在符合题意的Q 点. 例8.
如图,曲线G 的方程为)0(22≥=y x y .以原点为圆心,以)0(>t t 为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的 正半轴相交于 A 与点B . 直线AB 与 x 轴相交于点C .
(Ⅰ)求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标c 的关系式;
(Ⅱ)设曲线G 上点D 的横坐标为2+a ,求证:直线CD 的斜率为定值. [考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识,主要涉及平面直角坐标素中的 两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系 ,考查运算能力与思维能力,综合分析问题的能力. [解答过程](I )由题意知,).2,(a a A
因为.2,||22t a a t OA =+=所以 由于.2,02a a t t +=>故有 (1)
由点B (0,t ),C (c ,0)的坐标知,直线BC 的方程为
.1=+t
y
c x
又因点A 在直线BC 上,故有,12=+t
a c
a
将(1)代入上式,得,1)
2(2=++
a a a c
a 解得 )2(22+++=a a c .
(II )因为))2(22(++a a D ,所以直线CD 的斜率为
1)
2(2)
2(2))2(22(2)2(22)2(2-=+-+=+++-++=-++=
a a a a a a c a a k CD ,
所以直线CD 的斜率为定值.
例9.已知椭圆22
22x y E :1(a b 0)a b +=>>,AB 是它的一条弦,M(2,1)是弦AB 的中点,若以
点M(2,1)为焦点,椭圆E 的右准线为相应准线的双曲线C 和直线AB 交于点N(4,1)-,若椭圆离心率e 和双曲线离心率1e 之间满足1ee 1=,求: (1)椭圆E 的离心率;(2)双曲线C 的方程.
解答过程:(1)设A 、B 坐标分别为1122A(x ,y ),B(x ,y ), 则2
2
1122
x y 1a b +=,22
2222x y 1a b
+=,二式相减得: 2
1212AB
2
1212y y (x x )b k
x x (y y )a
-+==-=-+2MN 22b 1(1)k 1a 24---===--, 所以2222a 2b 2(a c )==-,22a 2c =,
则c e a
==
(2)椭圆E
的右准线为2a x 2c c ===
,双曲线的离心率11
e e
==
设P(x,y)是双曲线上任一点,则:
|PM ||x 2c |==-
两端平方且将N(4,1)-代入得:c 1=或c 3=,
当c 1=时,双曲线方程为:22(x 2)(y 1)0---=,不合题意,舍去; 当c 3=时,双曲线方程为:22(x 10)(y 1)32---=,即为所求. 小结:(1)“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法; (2)求解圆锥曲线时,若有焦点、准线,则通常会用到第二定义. 考点6 利用向量求曲线方程和解决相关问题
利用向量给出题设条件,可以将复杂的题设简单化,便于理解和计算. 典型例题:
例10.双曲线C 与椭圆22
184
x y +=有相同的焦点,直线y =x 3为C 的一条渐近线.
(1)求双曲线C 的方程;
(2)过点P (0,4)的直线l ,交双曲线C 于A,B 两点,交x 轴于Q 点(Q 点与C 的顶点不重合).当12PQ QA QB λλ==u u u r u u u r u u u r
,且3
821-=+λλ时,求Q 点的坐标.
考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.
解答过程:(Ⅰ)设双曲线方程为2222
1x y a b
-=,
由椭圆22
184
x y +=,求得两焦点为(2,0),(2,0)-,
∴对于双曲线:2C c =,又3y x =为双曲线C 的一条渐近线 ∴3b a
= 解得 221,3a b ==,
∴双曲线C 的方程为2
213
y x -=
(Ⅱ)解法一:
由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零.
设l 的方程:114,(,)y kx A x y =+,22(,)B x y ,则4(,0)Q k
-.
1PQ QA λ=u u u r u u u r
Q ,11144(,4)(,)x y k
k
λ∴--=+.
1111111
14444()44x k k x k k y y λλλλ?=--??-=+??
∴?????-==-???
Q 11(,)A x y 在双曲线C 上, ∴212
11
11616()10k
λλλ+--=.
∴222211161632160.3
k k λλλ++--=∴2221116(16)32160.3
k k λλ-++-=
同理有:2222216(16)32160.3
k k λλ-++-=
若2160,k -=则直线l 过顶点,不合题意.2160,k ∴-≠
12,λλ∴是二次方程22216(16)32160.3k x x k -++-=的两根.
122
328
163k λλ∴+=
=--,24k ∴=,此时0,2k ?>∴=±. ∴所求Q 的坐标为(2,0)±.
解法二:由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程,11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+,则4(,0)Q k
-.
1PQ QA
λ=u u u r u u u r
Q , Q ∴分PA uu u r 的比为1λ. 由定比分点坐标公式得
111
11
11111144(1)14401x x k k y y λλλλλλλ??-==-+??+??→??
+??=-
=??+??
下同解法一
解法三:由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程:11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+,则4(,0)Q k
-.
12PQ QA QB λλ==u u u r u u u r u u u r
Q , 111222444(,4)(,)(,)x y x y k
k
k
λλ∴--=+=+.
11224y y λλ∴-==, 114y λ∴=-,22
4y λ=-,
又1283
λλ+=-, 12
1123
y y ∴+=,即12123()2y y y y +=.
将4y kx =+代入2
2
13
y x -=得222(3)244830k y y k --+-=. 230k -≠Q ,否则l 与渐近线平行.
212122224483,33k y y y y k k -∴+==
--.
222244833233k k k -∴?=?
--.2k ∴=±
(2,0)Q ∴±.
解法四:由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零,设l 的方程:4y kx =+,1122(,),(,)A x y B x y ,则4(,0)Q k
-
1PQ QA λ=u u u v u u u v Q ,11144
(,4)(,)x y k k
λ∴--=+.
∴1114
444k kx x k
λ-
==-++.同理 1244kx λ=-+. 1212448
443
kx kx λλ+=-
-=-++.
即
2121225()80k x x k x x +++=.
(*)
又 22413y kx y x =+??
?-=??
消去y 得2
2
(3)8190k x kx ---=.
当230k -=时,则直线l 与双曲线得渐近线平行,不合题意,230k -≠.
由韦达定理有: 12212283193k x x k x x k ?
+=??-?
?=-?-?
代入(*)式得
24,2k k ==±.
∴所求Q 点的坐标为(2,0)±.
例11.
设动点P 到点A (-l ,0)和B (1,0)的距离分别为d 1和d 2, ∠APB =2θ,且存在常数λ(0<λ<1=,使得d 1d 2 sin 2
θ=λ. (1)证明:动点P 的轨迹C 为双曲线,并求出C 的方程;
(2)过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点,试确定λ的范围, 使OM ·ON =0,其中点O 为坐标原点.
[考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.
[解答过程]解法1:(1)在PAB △中,2AB =,即222121222cos 2d d d d θ=+-, 2212124()4sin d d d d θ=-+,即2121244sin 212d d d d θλ-=-=-<(常数), 点P 的轨迹C 是以A B ,为焦点,实轴长221a λ=-的双曲线.
方程为:22
11x y λλ
-=-.
(2)设11()M x y ,,22()N x y ,
①当MN 垂直于x 轴时,MN 的方程为1x =,(11)M ,,(11)N -,在双曲线上. 即211151101λλλλ
λ-±-=?+-=?=-,因为01λ<<,所以51λ-=.
②当MN 不垂直于x 轴时,设MN 的方程为(1)y k x =-.
由22
11(1)x y y k x λλ
?-=?
-??=-?
得:2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ??--+---+=??, 由题意知:2(1)0k λλ??--≠??
,所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--,2
122
(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--.
于是:22
21212
2
(1)(1)(1)k y y k x x k
λλλ=--=
--. 因为0=?ON OM ,且M N ,在双曲线右支上,所以
2121222
122212(1)0(1)210
11310
01x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-?+=?-?=?>???+-+>??<<+--??????>+->>???-?
.
23
λ<.
解法2:(1)同解法1
(2)设11()M x y ,,22()N x y ,,MN 的中点为00()E x y ,. ①当121x x ==时,221101MB λλλλλ=-=?+-=-, 因为01λ<<
,所以λ;
②当12x x ≠
时,002
2222
12111
11
1y x k y x y x MN ?-=????????=--=--λλλ
λλ
λ. 又001
MN BE y k k x ==-.所以22
000(1)y x x λλλ-=-;
由2MON π=∠得2
22002MN x y ??+= ???,由第二定义得2
2
12()222MN e x x a ??+-??= ????
???
2
20001(1)21x x λλ
==+---. 所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-.
于是由22000222000(1),(1)2(1)(1),
y x x y x x λλλλλλλ?-=-??-=--+-??得2
0(1).23x λλ-=-
因为01x >,所以2
(1)123λλ
->-,又01λ<<,
23
λ<<
23
λ<.
考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题
C B
A o
y x
利用向量的数量积构造出等式或函数关系,再利用函数求最值的方法求最值,要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.
例12.设椭圆E 的中心在坐标原点O ,焦点在x 轴上,
过点C(1,0)-的直线交
椭圆E 于A 、B 两点,且CA 2BC =u u u r u u u r
,求当AOB ?的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方程.
,故可设椭圆方程为222x 3y t(t 0)+=>,直线方程为
my x 1=+,
由222x 3y t my x 1
?+=?=+?得:22(2m 3)y 4my 2t 0+-+-=,设1122A(x ,y ),B(x ,y ), 则122
4m y y 2m 3
+=+…………① 又CA 2BC =u u u r u u u r
,故1122(x 1,y )2(1x ,y )+=---,即12y 2y =-…………② 由①②得:12
8m y 2m 3
=
+,224m y 2m 3-=+, 则AOB 1221m
S |y y |6|
|2
2m 3
?=-=+
=
632|m ||m |
≤
+
当23m 2
=
,即m =AOB ?面积取最大值,
此时2122
222t 32m y y 2m 3(2m 3)-==-
++,即t
10=,
所以,直线方程为x 10+=,椭圆方程为222x 3y 10+=.
小结:利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易. 例13.
已知PA (x y)=u u u r
,PB (x y)=u u u r ,且|PA ||PB |6+=u u u r u u u r
, 求|2x 3y 12|--的最大值和最小值.
解答过程:设P(x,y)
,A(
,0),
因为|PA ||PB |6+=u u u r u u u r
,且|AB |6=,
所以,动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点,长轴长为6的椭圆, 椭圆方程为2
2
x y 19
4
+=,令x 3cos ,y 2sin =θ=θ,
则|2x 3y 12|--
=|)12|4
πθ+-,
当cos()14
πθ+=-时,|2x 3y 12|--
取最大值12+
当cos()14
πθ+=时,|2x 3y 12|--
取最小值12-
小结:利用椭圆的参数方程,可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算. 考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题
解析几何中求变量的范围,一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题.
例14.(2006年福建卷) 已知椭圆2
212
x y +=的左焦点为F ,
O 为坐标原点.
(I )求过点O 、F ,并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程; (II )设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ,求点G 横坐标的取值范围. 考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识,考 查平面解析几何的基本方法,考查运算能力和综合解题能力. 解答过程:(I )222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=-Q
Q 圆过点O 、F ,
∴圆心M 在直线12
x =-上.
设1(,),2
M t -则圆半径13()(2).22
r =---=
由,OM r =
3,2=
解得t =
∴
所求圆的方程为2219()(.2
4
x y ++=
(II )设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠ 代入2
21,2
x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=
Q 直线AB 过椭圆的左焦点F ,∴方程有两个不等实根.
记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y
则2
122
4,21
k x x k +=-+
AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k
-=--
令0,y =得
222002222211
.
2121212421
0,0,
2
G G k k k x x ky k k k k k x =+=-+=-=-+++++≠∴-< - 例15.已知双曲线C :22 22x y 1(a 0,b 0)a b -=>>,B 是右顶点,F 是右焦点,点A 在x 轴正半轴 上,且满足|OA |,|OB |,|OF |u u u r u u u r u u u r 成等比数列,过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ,垂足为P , (1)求证:PA OP PA FP ?=?u u u r u u u r u u u r u u r ; (2)若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D,E ,求双曲线C 的离心率e 的取值范围. 解答过程:(1)因|OA |,|OB |,|OF |u u u r u u u r u u u r 成等比数列,故22|OB |a |OA |c |OF |== u u u r u u u r u u u r ,即2 a A(,0)c , 直线l :a y (x c)b =--, 由2a y (x c) a a b b P(,)b c c y x a ?=--???? ?=?? , 故:22ab a ab b ab PA (0,),OP (,),FP (,)c c c c c =-==- u u u r u u u r u u r , 则:222a b PA OP PA FP c ?=-=?u u u r u u u r u u u r u u r ,即PA OP PA FP ?=?u u u r u u u r u u u r u u r ; (或PA (OP FP)PA (PF PO)PA OF 0?-=?-=?=u u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r ,即PA OP PA FP ?=?u u u r u u u r u u u r u u r ) (2)由44422 222222222222 a y (x c)a a a c ( b )x 2cx (a b )0b b b b b x a y a b ?=--??-+-+=??-=? , 由42 222124 22 a c (a b )b x x 0a b b -+=<-得:4422222b a b c a a e 2e >?=->?>?> (或由DF DO k k >?a b b a ->-?22222 b c a a e 2e =->?>?> 小结:向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重,而要运用数量积,必须先恰当地求出各个点的坐标. 例16.已知a (x,0)=r ,b (1,y)=r ,(a (a +⊥-r r , (1)求点P(x,y)的轨迹C 的方程; (2)若直线y kx m(m 0)=+≠与曲线C 交于A 、B 两点,D(0,1)-,且|AD ||BD |=, 试求m 的取值范围. 解答过程:(1)a +r =(x,0)y)(x =+, a r =(x,0)y)(x -=, 因(a (a ⊥r r ,故(a (a 0+?=r r , 即22 (x (x x 3y 30+?=--=, 故P 点的轨迹方程为2 2x y 13 -=. (2)由22 y kx m x 3y 3 =+??-=?得:222 (13k )x 6kmx 3m 30----=, 设1122A(x ,y ),B(x ,y ),A 、B 的中点为00M(x ,y ) 则2 2 2 2 2 (6km)4(13k )(3m 3)12(m 13k )0?=----=+->, 1226km x x 13k += -,1202x x 3km x 213k +==-,00 2 m y kx m 13k =+=-, 即A 、B 的中点为22 3km m (,)13k 13k --, 则线段AB 的垂直平分线为:22 m 13km y ()(x )13k k 13k -=----, 将D(0,1)-的坐标代入,化简得:24m 3k 1=-, 则由22 2 m 13k 04m 3k 1?+->??=-??得:2 m 4m 0->,解之得m 0<或m 4>, 又2 4m 3k 11=->-,所以1m 4 >- , 故m 的取值范围是1 (,0)(4,)4 -+∞U . 小结:求变量的范围,要注意式子的隐含条件,否则会产生增根现象. 考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题 存在性问题,其一般解法是先假设命题存在,用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐 平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、). (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠; < ②1212120l l A A B B ⊥?+=; 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 (1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).圆心??? ??--2,2E D ,半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ; 圆锥曲线第3讲抛物线 【知识要点】 一、抛物线的定义 平面内到某一定点F的距离与它到定直线l(l F?)的距离相等的点的轨迹叫抛物线,这个定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。 注1:在抛物线的定义中,必须强调:定点F不在定直线l上,否则点的轨迹就不是一个抛物线,而是过点F且垂直于直线l的一条直线。 注2:抛物线的定义也可以说成是:平面内到某一定点F的距离与它到定直线l(l F?)的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。 注3:抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时,这两者可以相互转化,这是利用抛物线的定义解题的关键。 二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种: (1) px y2 2= ( > p),其焦点为 )0, 2 ( p F ,准线为2 p x- = ; (2) px y2 2- =(0 > p),其焦点为 )0, 2 ( p F- ,准线为2 p x= ; (3) py x2 2= ( > p),其焦点为 ) 2 ,0( p F ,准线为2 p y- = ; (4) py x2 2- = ( > p),其焦点为 ) 2 ,0( p F- ,准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点 抛物线的标准方程px y 22±=(0>p )或py x 22±=(0>p )的特点在于:等号的一端 是某个变元的完全平方,等号的另一端是另一个变元的一次项,抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应:当抛物线的对称轴为x 轴时,抛物线方程中的一次项就是x 的一次项,且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向;当抛物线的对称轴为y 轴时,抛物线方程中的一次项就是y 的一次项,且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质 以标准方程 px y 22 =(0>p )为例,其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 (1)范围:0≥x ,R y ∈; (2)顶点:坐标原点)0,0(O ; (3)对称性:关于x 轴轴对称,对称轴方程为0=y ; (4)开口方向:向右; (5)焦参数:p ; (6)焦点: )0,2(p F ; (7)准线: 2p x - =; (8)焦准距:p ; (9)离心率:1=e ; (10)焦半径:若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=(0>p )上一点,则由抛物线的定义,有20p x PF + =; (11)通径长:p 2. 注1:抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22= 解析几何练习题 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行,则实数a 等于( ) A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3.若直线,直线与关于直线对称,则直线的斜率为 ( ) A . B . C . D . 4.在等腰三角形AOB 中,AO =AB ,点O(0,0),A(1,3),点B 在x 轴的正半轴上,则直线AB 的方程为( ) A .y -1=3(x -3) B .y -1=-3(x -3) C .y -3=3(x -1) D .y -3=-3(x -1) 5.直线对称的直线方程是 ( ) A . B . C . D . 6.若直线与直线关于点对称,则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l A . B . C . D . 7.已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y 轴上的截距为3 1,则m ,n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y 2=1的位置关系是( ) A 相切 B 直线过圆心 C .直线不过圆心但与圆相交 D .相离 9.圆x 2+y 2-2y -1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是( ) A.(x -2)2 +(y+3)2 =1 2 B.(x -2)2+(y+3)2=2 C.(x +2)2 +(y -3)2 =1 2 D.(x +2)2+(y -3)2=2 10.已知点在直线上移动,当取得最小值时,过点引圆的切线,则此切线段的长度为( ) A . B . C . D . 11.经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ,使点P 为弦AB 的中点,则 弦AB 所在直线方程为( ) A .50x y --= B .50x y -+= C .50x y ++= D .50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22 第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则高中数学平面解析几何知识点总结
高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)
高中数学解析几何测试题答案版(供参考)
(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总