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光学答案第一章

第一章 光的干涉

波长为 500nm 的绿光投射在间距 d 为 0.022cm 的双缝上,在距离180cm 处的光屏

1. 上形成干涉条纹,求两个亮条纹之间的距离.若改用波长为 700nm 的红光投射到此双缝上, 两个亮条纹之间的距离又为多少?算出这两种光第 2 级亮纹位置的距离.

- y = r

0 λ

?y = y j +1 j d 解:由条纹间距公式

得 ?y = r 0 λ = 180

? 500 ?10 -7 = 0.409cm

1 1 d 0.02

2 180

?y = r 0 λ ? 700 ?10 -7 = 0.573cm

2 2 d 0.022 r 0

y 21 = j 2 λ1 = 2 ? 0.409 = 0.818cm

d r 0

y 22 = j 2 λ 2 = 2 ? 0.573 = 1.146cm

d ?y j 2 = y 22 - y 21 = 1.146 - 0.818 =

2.在杨氏实验装置中,光源波长为 640nm ,两狭缝间距为 0.4mm ,光屏离狭缝的距离为

50cm .试求:(1)光屏上第1亮条纹和中央亮条纹之间的距离;(2)若 p 点离中央亮条纹为 0.1mm ,问两束光在 p 点的相位差是多少?(3)求 p 点的光强度和中央点的强度之比.

?y = r

0 λ

d 解 :( 1)由公式

?y =

r 0 λ 50

? 6.4 ? 10 -5 = 8.0 ? 10 -2 cm d = 0.4

(2)由课本第 20 页图 1-2 的几何关系可知

r - r ≈ d sin θ ≈ d t an θ = d y = 0.04 0.01 = 0.8 ?10-5 cm 2 1 r 0

50

?? =

2π (r - r ) = 2π ? 0.8 ?10-5 = π 2 1 6.4 ?10-5

λ 4 I = A 2 + A 2 + 2AA cos ?? = 4A 2 cos 2

??

(3) 1

2

1

1

2 由公式

4A 2 cos 2 ?? cos 2 1 ? π 2 I p = A p =

2 = 2 4 1 = cos 2 π 4A 2 cos 2 ?

? 2 2 I 0 A cos 0? 8 0 0

1 2 1 + cos π = 2 + 2 = 4 = 0.8536 2 4

3 . 把折射率为 1.5 的玻璃片插入杨氏实验的一束光路中,光屏上原来第 5 级亮条纹所

在的位置为中央亮条纹,试求插入的玻璃片的厚度.已知光波长为 6×10-7m .

?? = ?r 解:未加玻璃片时, S 1 、 S 2 到 P

点的光程差,由公式 2π λ 可知为 λ

r 2 - r 1 = 2π ? 5 ? 2π = 5λ

Δr =

现在

S 1 发出的光束途中插入玻璃片时, P

点的光程差为

λ λ r 2 - ??(r 1 - h ) + nh

?? = ?? ' = ? 0 = 0 2π 2π

所以玻璃片的厚度为

h =

r 2 - r 1 = 5λ

= 10λ = 6 ?10-4 cm n - 1 0.5

4. 波长为 500nm 的单色平行光射在间距为 0.2mm 的双狭缝上.通过其中一个缝的能量 为另一个的 2 倍,在离狭缝 50cm 的光屏上形成干涉图样.求干涉条纹间距和条纹的可见度.

?y =

r 0 λ = 500 ? 500 ?10-6 = 1.25 d 0.2 mm

解:

A 1

= 2 I 1 = 2I 2 2 2 A 1 = 2 A

A 2

光学答案第一章

2(A1 / A2 )

=

2

= 0.9427 ≈0.94

∴V =

1+(A/ A )21+2

1 2

5. 波长为700nm 的光源与菲涅耳双镜的相交棱之间距离为20cm,棱到光屏间的距离L 为180cm,若所得干涉条纹中相邻亮条纹的间隔为1mm,求双镜平面之间的夹角θ。

-6

θ= sinθ=

(r+L)λ

=

(200 +1800) ?700 ?10

= 35 ?10-4

2r ?y 2 ? 200 ?1 弧度≈ 12'

解:

6. 在题1.6 图所示的劳埃德镜实验中,光源S到观察屏的距离为1.5m,到劳

埃德镜面的垂直距离为2mm。劳埃德镜长40cm,置于光源和屏之间的中央.(1) 若光波波长λ=500nm,问条纹间距是多少?(2)确定屏上可以看见条纹的区域大小,此区域内共有几条条纹?(提示::产生干涉的区域P1P2 可由图中的几何关系求得.)

P2

P1

P0

题1.6 图

?y=

r

0 λ=

1500

?500?10-6 =0.1875mm

d4

解:(1)干涉条纹间距

(2)产生干涉区域

P

1

P

2 由图中几何关系得:设

p

2 点为

y

2 位置、

P

1 点位置为

y

1则干涉区域

y=y

2

-y

1

1

d

2

1 1

y

2

=(r0 +r ')tanα2 =(r0 +r ')?

2 2 1(r

-r')

2

d (r0 +r')

2 (r0 -r')

2(1500 +400)3800

= = = =3.455mm

1500 - 400 1100

1 d y = 1 (r - r ') tan α = 1 (r - r ')

2 = d (r 0

- r ') 1 0 1 0 1 2 2 2 (r + r ') (r + r ') 0

2 = 2(1500 - 400) = 1.16mm 1500 + 400

y = y 2 - y 1 = 3.46 - 1.16 = 2.30mm

y

=

?y

∴ N 暗 (3) 劳埃镜干涉存在半波损失现象 7. 试求能产生红光(λ=700nm)的二级反射干涉条纹的肥皂膜厚度.已知肥皂膜折射率 为 1.33,且平行光与发向成 30°角入射.

解:根据题意

2d n 2 - n 2 sin 2 = (2 j + 10) λ 2

2

1

(2 j + 1)λ

(2 ? 2 +

1) ? 700 ∴d =

= = 710nm 2 ? 2 n 2 - n 2

sin 2

4 1.332 - sin

2 30

2 1 8. 透镜表面通常镀一层如 M gF 2(n=1.38)一类的透明物质薄膜,目的是利用干涉来

降低玻璃表面的反射.为了使透镜在可见光谱的中心波长(550nm )处产生极小的反射,则镀 层必须有多厚?

解:可以认为光是沿垂直方向入射的。即i 1 = i 2 = 0?

由于上下表面的反射都由光密介质反射到光疏介质,所以无额外光程差。 因此光程差δ = 2nh cos i 2 = 2nh 2 如果光程差等于半波长的奇数倍即公式

,则满足反射相消的条件

2nh = (2 j + 1) λ

2

因此有

h = (2 j + 1)λ ( j = 0,1,2 )

4n

所以

λ 550

= 99.64nm ≈ 10 -5 cm h

= = 当

j = 0 时厚度最小 min 4n 4 ? 1.38

9. 在两块玻璃片之间一边放一条厚纸,另一边相互压紧.玻璃片 l 长 10cm,纸厚为

0.05mm,从 60°的反射角进行观察,问在玻璃片单位长度内看到的干涉条纹数目是多少?设 单色光源波长为 500nm.

解:由课本 49 页公式(1-35)可知斜面上每一条纹的宽度所对应的空气尖劈的厚度的

λ ?h = h j + - h j

= 1 2 n 2 - n 2 sin 2

2 1 1 变化量为

λ

= = λ

2

? 3 ? 2 1 -

? ?

2 ? ? 如果认为玻璃片的厚度可以忽略不记的情况下,则上式中n 2 = n 2 = 1,i 1 =

60? 。 而厚度 h 所对应的斜面上包含的条纹数为

N =

= h = h

0.05

= 100 ?h λ 5000 ? 10 -7

故玻璃片上单位长度的条纹数为

N ' = N = 100 = 10

l 10 条/厘米

10. 在上题装置中,沿垂直于玻璃片表面的方向看去,看到相邻两条暗纹间距为 1.4mm 。

—已知玻璃片长 17.9cm,纸厚 0.036mm,求光波的波长。

= tan θ = d

解:依题意,相对于空气劈的入射角i 2

= 0, cos i 2 = 1.sin θ n 2 =

1.0

L λ λ = L λ ∴ ?L = = 2n 2θ c os i 2 2θ 2d

∴ λ =

2d ?L = 2 ? 0.036 ?

1.4 = 5.631284916 ? 10 -4 mm = 563.13nm L 179

11. 波长为 400 760nm 的可见光正射在一块厚度为 1.2×10-6m,折射率为 1.5 玻璃片

上,试问从玻璃片反射的光中哪些波长的光最强.

解:依题意,反射光最强即为增反膜的相长干涉,则有:

λ

δ = 2n 2 d = (2 j + 1) 2

4n 2

d λ = 2 j + 1 故

当 j = 0 时,

λ = 4n d = 4 ? 1.5 ? 1.2 ? 10 -3

= 7200nm 2

-3

λ = 4 ?1.5 ?1.2 ?10 = 2400nm

当 j = 1 时, 3 -3

λ = 4 ?1.5 ?1.2 ?10 = 1440nm

当 j = 2 时,

5

-3

λ = 4 ?1.5 ?1.2 ?10 = 1070nm

当 j = 3 时, 7 -3

λ = 4 ?1.5 ?1.2 ?10 = 800nm

当 j = 4 时, 9 -3

λ = 4 ?1.5 ?1.2 ?10 = 654.5nm

当 j = 5 时, 11 -3

λ = 4 ?1.5 ?1.2 ?10 = 553.8nm

当 j = 6 时, 13 -3

λ = 4 ?1.5 ?1.2 ?10 = 480nm

当 j = 7 时, 15 -3

λ = 4 ?1.5 ?1.2 ?10 = 423.5nm

当 j = 8 时, 17 -3

λ = 4 ?1.5 ?1.2 ?10 = 378nm

当 j = 9 时,

19 所以,在 390 ~ 760nm 的可见光中,从玻璃片上反射最强的光波波长为

423.5nm,480nm,553.8nm,654.5nm.

12. 迈克耳孙干涉仪的反射镜 M 2 移动

0.25mm 时,看到条纹移过的数目为 909 个,设光 为垂直入射,求所用光源的波长。

解:根据课本 59 页公式可知,迈克耳孙干涉仪移动每一条条纹相当 h 的变化为:

( j + 1)λ

j λ λ

?h = h 2 - h 1

=

-

=

2 cos i

2 cos i 2 cos i

2

2

2

?h = λ

i 2

= 0 , 2

现因 故 N = 909 所对应的 h 为

h = N ?h = N λ

2

λ = 2h = 2

? 0.25 = 5.5 ? 10 - 4 mm = 550nm

N 909 故

13. 迈克耳孙干涉仪平面镜的面积为4×4cm 2,观察到该镜上有 20 个条纹。当入射光 的波长为 589nm 时,两镜面之间的夹角为多大?

S = 4 ? 4cm 2

解: 因为

L = 4cm = 40mm

所以 ?L =

L = 40 = 2mm N 20

所以

λ

?L =

又因为

λ 589 = 147.25 ? 10 -6 (rad ) = 30.37' θ = = 2 ? 2 ? 10 6

2?L 所以

14. 调节一台迈克耳孙干涉仪,使其用波长为 500nm 的扩展光源照明时会出现同心圆

环条纹。若要使圆环中心处相继出现 1000 条圆环条纹,则必须将移动一臂多远的距离?若 中心是亮的,试计算第一暗环的角半径。(提示:圆环是等倾干涉图样。计算第一暗环角半 径是可利用θ≈sin θ及 c os θ≈1-θ2/2 的关系。)

解 :( 1)因为光程差δ每改变一个波长λ的距离,就有一亮条 A 纹移过。

?δ = N λ

所以 又因为对于迈克耳孙干涉仪光程差的改变量 ?δ = 2?d (Δd 为反射镜移动

的距离)

?δ = N λ = 2?d

所以 ?d = N λ = 1000 ? 500 = 25 ? 10 4 nm = 0.25mm

2 2 所以

(2)因为迈克耳孙干涉仪无附加光程差

i 1

= i 2 = 0

n 1 = n 2 =

1.0

并且 它形成等倾干涉圆环条纹,假设反射面的相位不予考虑 δ = 2d cos i 2 = 2d = 2 l 2 - l 1

所以光程差

即两臂长度差的 2 倍 2d = j λ

若中心是亮的,对中央亮纹有: (1)

λ 2d cos i 2 = (2 j - 1)

2 对第一暗纹有:

(2)

λ 2d (1 - cos i 2 ) =

2

(2)-(1)得:

2 i i ? i ? = di 2 = λ

2d 2 sin 2 2

= 4d sin 2 ≈ 4d 2

? 2 2 2 2 ?

2 ?

λ

1 i =

=

= 0.032rad = 1.8? 2

2d 1000

所以 这就是等倾干涉条纹的第一暗环的角半径,可见i 2 是相当小的。

15. 用单色光观察牛顿环,测得某一亮环的直径为 3mm ,在它外边第 5 个亮环的直径为

4.6mm ,所用平凸透镜的凸面曲率半径为 1.03m ,求此单色光的波长。

λ r j = (2 j + 1) R

j = 0,1,2,3, 2 解:对于亮环,有

( ) 1

1

2 2 r j

= ( j + )R λ r j +5

= ( j + 5 + )R λ 2 2

所以

2

2 2

2 r j +5 - r j d j +5 - d j λ =

= 2 2

= 4.6 - 3.0= 5.903 ?10 -4 mm = 590.3nm

5R

4 ?

5 ? R 4 ? 5 ?1030

所以

16. 在反射光中观察某单色光所形成的牛顿环。其第 2 级亮环与第 3 级亮环间距为 1mm ,

求第 19 和 20 级亮环之间的距离。

λ r j = (2 j + 1) R

j = 0,1,2,3, 2 解:对于亮环,有

( ) r = (1 + 1 )λR = (2 + 1

)λR r 1 2 2 2

所以

又根据题意可知

5 λR - 3 λR = 1mm r - r =

2

1

2 2

两边平方得

5 λR + 3 λR - 2

5 3 λ2 R 2 = 1 2 2 2 2

1

λR = 4 - 15

所以

? 1 ? ? 1 ?

r 20 - r 19 =

20 + ?λR - 19 + ?λR

2 ? 2 ? ? ? 故

41 ?

1 39 ?

1 =

-

2 2 4 -

15

4 -

15

= 0.039cm

17 牛顿环可有两个曲率半径很大的平凸透镜之间的空气产生(图)。平凸透镜 A 和 B

的曲率半径分别为 R A 和 R

B ,在波长为 600nm 的单射光垂直照射下观察到第 10 个暗环半径

r AB = 4mm 。若另有曲率半径为 R

C 的平凸透镜 C (图中未画出),并且 B 、C 组合和 A 、C

r 2

h =

解:

2R

2 2 2 r r r 1 1

∴h = h + h = AB + AB = AB ( + ) AB A B 2R 2R 2 R R A

B

A

B

= r BC ( 1 1 )

同理, h + BC 2 R R B

C = r AC ( 1 1 ) h + AC 2 R R

A

C δ = 2h - λ = (2 j + 1) λ

h = j λ 2 2 2 又对于暗环:

即 2

(

1

1 )

10λ = r + AB B

R A R B

(1) 2 ( 1

1 )

10λ = r + BC R B R C (2) 2 ( 1

1 )

10λ = r + AC R A R B

题 1.17 图

(3)

(1)(2)(3)联立并代入数据得: R

A =6.28m

R B

=4.64m R

C =12.4m

18 菲涅尔双棱镜实验装置尺寸如下:缝到棱镜的距离为 5cm ,棱镜到屏的距离为 95cm ,

α = 179 32'

n ' = 1.5 棱镜角为 构成棱镜玻璃材料的折射率 ,采用的是单色光。当厚度均匀

的肥皂膜横过双冷静的一半部分放置,该系统中心部分附近的条纹相对原先有 0.8mm 的位

移。若肥皂膜的折射率为n = 1.35 , 试计算肥皂膜厚度的最小值为多少?

s

s

O A

R A

d AB

R r AB

( d ) 1 θ ≈ θ ≈ (n '

- 1) A d = 2l θ = 2l (n '

- 1) A 2 l

由近似条件 和

(1) A 1

2A +α = π 按双棱镜的几何关系得 S 1 S S 2 α A = π -α = 14'

d 2 所以

(2) d y = j λ r 0

肥皂膜插入前,相长干涉的条件为 (3)

(a)

d y '

+ (n - 1)t = j λ 题 1.18 图

r 0

由于肥皂膜的插入,相长干涉的条件为 (4)

d ( y ' - y ) 2l (n '

-1)A ( y ' - y ) t = =

r 0 (n -1) r 0 (n -1) 由(3)和 (4)得

t = 4.94 ?10-7

m

代入数据得 19 将焦距为 50cm 的会聚透镜中央部分 C 切去(见题图),余下的 A 、B 两部分仍旧粘 起来,C 的宽度为 1cm 。在对称轴线上距透镜 25cm 处置一点光源,发出波长为 692nm 的红 宝

石激光,在对称轴线上透镜的另一侧 50cm 处置一光屏,平面垂直于轴线。试求: (1)干涉条纹的间距是多少?

(2)光屏上呈现的干涉图样是怎样的? 解:

(1) 透镜由 A 、B 两部分粘合而成,这两部分的主轴都不在该光学系统的中心 轴线上,A 部分的主轴在中心线上 0.5cm 处,B 部分的主轴在中心线下 0.5cm 处, 由

于单色点光源 P 经凸透镜 A 和 B 所成的像是对称的,故仅需考虑 P 经 B 的成 像位

置即可。

1 - 1 = 1 A C

B

s ' s f ' 得 s ' = -50cm β = y ' = s ' y ' = s ' y = 1cm

题 1.19 图

y s s 由因为

所以 即所成的虚像在 B 的主轴下方 1cm 处,也就是在光学系统对称轴下方 0.5cm 处,同理,单

色光源经 A 所成的虚像在光学系统对称轴上方 0.5cm 处,两虚像构成相干光源,它们之间

λ -3 ?y = r 0 d = 6.92 ?10 cm

的距离为 1cm ,所以

(2)光屏上呈现的干涉条纹是一簇双曲线。

20 将焦距为 5cm 的薄透镜 L 沿直线方向剖开(见题图)分成两部分 A 和 B ,并将 A

部分沿主轴右移至 2.5cm 处,这种类型的装置称为梅斯林对切透镜。若将波长为 632.8nm 的

θ

n ’

l 1

点光源 P 置于主轴上离透镜 L B 距离为 10cm 处,试分析:(1) 成像情况如何?(2)若在 L B 右 边 10.5cm 处置一光屏,则在光屏上观察到的干涉图样如何? 解 :( 1)如图(b )所示,该情况可以看作由两个挡掉一半的透镜 L A 和 L B 构成,其对称轴为 PO,但是主轴和光心却发生了平移.对于透镜 L A, 其光心移到 O A 处,而主轴上移 0.01cm 到 O A F A ;对于透镜 L B ,其光心移到 O B 处,而主轴下移 0.01cm 到 O B F B .点光源 P 恰恰在透镜的对称 轴上二倍焦距处.由于物距和透镜 L A 、L B 的焦距都不变,故通过 L A 、L B 成像的像距也不变。

L A

根据物像公式 1

- 1 = 1

p ' f '

p f '

将 p =-10cm 和 =5cm 代入上式,得

? p ' =5cm '

β =

y ' p y = p =-1

L B

y ' =-0.01 cm

题 1.20 图

由于 P 点位于透镜 L A 的光轴下方 0.01 cm,按透镜的成像规律可知,实像 P A 应在透镜 L A

主轴上方 0.01 cm 处;同理,P 点位于透镜 L B 主轴上方 0.01 cm 处, 实像 P B 应在主轴下方 0.01 cm 处.

两像点的距离为上方 0.01 cm 处.

y '

h

P A P B =d=2| |+

=0.04cm

(2)由于实像 P A 和 P B 构成了一对相干光源,而且相干光束在观察屏的区域上是相互交叠的, 故两束光叠加后将发生光的干涉现象,屏上呈现干涉花样.按杨氏干涉规律,两相邻亮条纹的 间距公式为

λ ?y = r 0

d

将数据代入得 ?y =1.582mm

如图所示,A 为平凸透镜,B 为平玻璃板,C 为金属柱,D 为框架,A 、B 间有空 21 隙,图中绘出的是接触的情况,而 A 固结在框架的边缘上。温度变化时,C 发生伸缩,而 假设 A 、B 、D 都不发生伸缩。以波长 632.8nm 的激光垂直照射。试问: (1)在反射光中观察时,看到牛顿环条纹移向中央,这表示金属柱 C 的长度在增加还是减小? (2)若观察到有 10 个亮条纹移向中央而消失,试问 C 的长度变化了对少毫米? 解 :( 1)因为:在反射光中观察牛顿环的亮条纹,

r 2

λ δ = 2h - λ/ 2 = - = j λ ( j = 1, 2, 3,...)

R 2

及干涉级 j 随着厚度 h 的增加而增大,即随着薄 膜厚度的增加,任意一个指定的 j 级条纹将缩小

A

B

P