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2020学年上海市延安中学高二上学期期末数学试题(解析版)

上海市延安中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知复数z ，“0z z +=”是“z 为纯虚数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】试题分析：当0z =时，满足0z z +=，此时z 为实数；而当z 为纯虚数时，0z z +=，所以“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件，故选B ．

【考点】1、复数的概念；2、充分条件与必要条件．

2．方程22

440x y y x --+--=对应的曲线是（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】22

440x y y x -+-=化简为22+=4,0,0x y x y ≥≥，即可选出

答案。【详解】

2222

22222

=4,0+=4440+=4,0,0

,0+=4=4x y

x x y x y y x x y x y y x y y x

?-≥??-+-=???≥≥??≥?-??故表示的为曲线为22+=4x y 在第一象限的部分。

故选D 【点睛】

本题考查函数的的图像，正确化简等式是解本题的关键，属于基础题。 3．已知椭圆C 的中心为原点O ，(5,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且4PF =，则椭圆C 的方程为（）

A ．22

1255

x y +=

B ．22

13616x y +

= C ．22

13010x y +

= D ．22

14525

x y +

【答案】B

【解析】由题意可得c=25，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知， ∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知， ∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．

在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=(

)

222PF 45

48FF -=

-='，

由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36，于是 b 2=a 2﹣c 2=36﹣

=16，

所以椭圆的方程为22

13616

x y +=．

故选：B ．

点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在．

4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 坐标为()31-，

，M N 、为圆221:12C x y +=上的动点，Q 为圆222:14C x y +=上的动点，则四边形AMQN 能

构成矩形的个数是（）个 A.0个 B.2个

C.4个

D.无数个

【答案】D

【解析】过A 作两条相互垂直的直线，交圆1C 于,M N 两点，求得MN 中点B 的坐标，求得A 关于B 的对称点Q 点的坐标，构造矩形AMQN .证明Q 点在圆2C 上，由此证得四边形AMQN 能构成矩形的个数是无数个. 【详解】

过A 作两条相互垂直的直线，交圆1C 于,M N 两点，设()()1122,,,M x y N x y ，

则221112x y +=①，22

2212x y +=②.由于AM AN ⊥，所以0AM AN ?=uuu r uuu r ，即

()()()()1122121212123,13,13100x y x y x x x x y y y y -+?-+=-+++++=③.

,M N 中点B 的坐标为1212,22x x y y B ++?? ???，则()3,1A -关于1212,2

2x x y y B ++??

??的对称点为()12123,1Q x x y y +-++.根据对称性可知BA BM BQ BN ===，

故四边形AMQN 是矩形.由于

()()

121231x x y y +-+++()()2222

112212121212231010x y x y x x x x y y y y =++++-+++++-????④，将①②③

代入④得()()2

12123114x x y y +-+++=，故Q 在圆2C 上.由于,AM AN 是任意的两条相互垂直的直线，所以四边形AMQN 能构成矩形的个数是无数个. 故选：D.

【点睛】

本小题主要考查点和圆的位置关系，考查两条直线垂直的向量表示，考查数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题. 二、填空题

5．2的平方根是_________. 【答案】2±

【解析】根据正实数的平方根的知识，求得2的平方根. 【详解】

正实数a 的平方根为a 2的平方根是2±. 故填：2±. 【点睛】

本小题主要考查正实数的平方根的知识，属于基础题. 6．若复数13z i =-，其中i 是虚数单位，则z z ?=_________. 【答案】10

【解析】先求得z 的共轭复数z ，进而求得z z ?的值. 【详解】

依题意13z i =+，所以()()2

13131310z z i i ?=-+=+=.

故填：10. 【点睛】

本小题主要考查共轭复数的概念，考查复数乘法运算，属于基础题. 7．已知直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则实数k =_________. 【答案】3±

【解析】利用圆心到直线的距离等于半径列方程，解方程求得k 的值. 【详解】

直线2y kx =+化为一般式得20kx y -+=，圆221x y +=的圆心为()0,0，半径为1，由于直线和圆相切，圆心到直线的距离等于半径，所以2

11k

=+，

解得3k =±. 故填：3±. 【点睛】

本小题主要考查根据直线和圆相切求直线的斜率，考查点到直线距离公式，考查圆的几何性质，属于基础题.

8．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是_______ 【答案】m<．

【解析】由D 2＋E 2－4F>0，得(－1)2＋12－4m>0，即m<

. 9．与椭圆22

194x y +

=有相同焦点，且长轴长为45_________. 【答案】22

12015

x y +

= 【解析】先求得椭圆22

194

x y +=的半焦距，再根据所求椭圆的长轴长求得,a b ，

进而求得所求椭圆的方程. 【详解】

椭圆22

194

x y +==c =x 轴

上，由于所求椭圆长轴长为2a =a =220515b =-=.所以

所求椭圆方程为22

12015x y +=.

故填：22

12015

x y +=.

【点睛】

本小题主要考查椭圆焦距、长轴等概念，考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的几何性质，属于基础题.

10．已知点()30A ，

和()30B -，，动点P 满足4PB PA -=，则P 的轨迹方程是_________.

【答案】()22

1045

x y x -

=> 【解析】根据双曲线的定义，判断出P 点的轨迹为双曲线的一支，由此求得P 点的轨迹方程. 【详解】

由于,A B 为定点，且4PB PA AB -=<，所以P 点的轨迹为双曲线的右支.由

24,3a c ==得222945b c a =-=-=，所以P 点的轨迹方程为

()22

1045

x y x -=>. 【点睛】

本小题主要考查双曲线的定义，考查动点的轨迹方程的求法，属于基础题.

11．已知双曲线Γ的渐近线方程为y =，且)P 是Γ上的一点，则双曲线Γ的标准方程为_________.

【答案】22

139

x y -

= 【解析】将双曲线的焦点分为在x 轴和y 轴上两种情况，根据双曲线的渐近线方程，设出双曲线的方程，将P 点坐标代入方程，由此求得双曲线的标准方程.

当双曲线焦点在x 轴上时，由渐近线方程y =可知

=b =，

设双曲线方程为22

2213x y a a

-=，代入)P 得226913a a -=，解得223,9a b ==，

故双曲线方程为22

139

x y -=.

当双曲线焦点在y 轴上时，由渐近线方程

y =可知a b =a ，设

双曲线方程为22

2213y x b b

-=，代入)P 得229613b b -=，无解.

故填：22

139

x y -=

【点睛】

本小题主要考查已知双曲线渐近线方程和双曲线上一点的坐标求双曲线标准方程，属于基础题.

12．设抛物线()2

=0y mx m >的准线与直线1x =的距离为3，则该抛物线方程为

_________. 【答案】28y x =

【解析】根据抛物线方程求得准线方程，结合题目所给准线与1x =的距离列方程，解方程求得m 的值，进而求得抛物线方程. 【详解】

由于0m >，所以抛物线的准线方程为4m x =-

，依题意准线4

x =-与直线1x =的距离为3，即13,84

m +==，所以抛物线方程为28y x =. 故填：28y x =. 【点睛】

本小题主要考查抛物线的准线方程，属于基础题.

13．在复平面上，若正方形OABC （按顺时针方向，O 表示原点）中的顶点A 对应复数为12i +，则顶点C 对应的复数为_________. 【答案】2i -

【解析】根据正方形的几何性质，A 对应的复数乘以i -，得到C 对应的复数.

由于顶点A对应复数为12i

+，OA顺时针旋转90o得到OC，故C对应的复数为()()

122

i i i

+?-=-.

故填：2i-.

【点睛】

本小题主要考查复数对应的点，考查复数的几何性质与乘法运算，属于基础题.

14．直线

x t

（t为参数）被双曲线221

x y

-=截得的弦长为_________.

【答案】10

【解析】将直线的参数方程代入双曲线方程，利用根与系数关系，结合弦长公式，求得弦长.

【详解】

将直线

x t

代入221

x y

-=得

+-=

????

，即

230

t t

-++=，2460

t t

--=，所以1212

4,6

t t t t

+=?=-，所以弦长为

()2

1212

41624210

t t t t

+-=+=.

故填：10

【点睛】

本小题主要考查利用直线参数方程中参数的几何意义求弦长，考查直线和双曲线的位置关系，属于基础题.

15．已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为_________米. 【答案】46

【解析】根据实际问题建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程并通过条件求解出方程，再利用所求的方程计算水面下降1米后水面的宽度. 【详解】

据题意，建立平面直角坐标如下，设抛物线标准方程为：()2

20x py p =->，

则如图所示：

根据条件可知：()0,2C -，()4,2B -，将B 代入()2

20x py p =->，解得：4p =，

所以抛物线方程为：28x y =-，

又因为()03E -，

，所以3D E y y ==-，所以224D x =，所以26D x =26DE =22646?=.

故答案为：46【点睛】

本题考查抛物线方程的实际应用，难度一般.处理抛物线方程有关的实际问题，关键是能通过题意正确将坐标系建立起来并设出抛物线方程的正确形式.

16．已知虚数αβ、满足221010p p ααββ++=++=、（其中p ∈R ），若

1αβ-=，则p =_________.

【答案】3【解析】根据题意得到虚数αβ、满足方程210x px ++=，利用求根公式求得两根，结合1αβ-=列方程，解方程求得p 的值. 【详解】

依题意可知，虚数αβ、满足的方程为210x px ++=，且240p -<.所以两

1αβ-===，23p =，所以p =

故填：【点睛】

本小题主要考查一元二次方程的虚数根，属于基础题.

17．已知曲线C 到两定点()()2020M N -，

、，距离乘积为常数16的动点P 的轨迹，以下结论正确的是_________. （1）曲线C 一定经过原点；

（2）曲线C 与x 轴有且只有两个交点；（3）曲线C 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称；（4）MPN ?的面积不大于8. 【答案】（2）

【解析】设出P 点坐标，根据P 到,M N 两点距离乘积为16列方程，化简后求得曲线C 的轨迹方程，由此对四个结论进行分析，从而得出正确结论的序号. 【详解】

设(),P x y ，由于P 到,M N 两点距离乘积为16，所以

16=①.

对于（1），将()0,0416=≠，故曲线C 不过原点，（1）错误.

对于（2），对①式令0y =得2

22416x x x -?+=-=，由于20x ≥，所以

2416,x x -==±，所以曲线C 与x 轴有两个交点()

±.（2）正确.

对于（4），由于（2）正确，所以,,M P N 不一定能围成三角形，故（4）错误.

对于（3），将(),x y -16=，故曲线C 关

于x 轴对称.将(),x y -16=，故曲线C

关于y 轴对称.故（3）错误. 综上所述，正确结论的序号为（2）.

故填：（2）【点睛】

本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查化归与转化的数学思想方法，考查曲线的对称性，属于中档题. 三、解答题

18．已知复数()()()

31234a i z i i -=-+?-，且1z =，则实数

a =_________. 【答案】2±

【解析】化简z 的表达式，根据1z =列方程，由此求得a 的值. 【详解】依题意，

()()()

3434a i z i i -=--?-()()()()

343434i i a i i ---?-=-4

2534a i i -??=-? ?

-??

()()()()4

34253434a i i i i ??-+=-???-+??

()4

34432525a a i ++-??=-?????，由于1z =，即

()4

344325125a a i ++-??

-?=????

，即

()()44

344334431252525a a i a a i ++-++-??==??

，即()2

43341

25255a a i -++=，即2

3443125255

a a +-????+= ? ?????，2

2525125a +=，24a =，解得2a =±. 故填：2± 【点睛】

本小题主要考查复数的除法、乘法和乘方运算，考查复数模的运算，考查运算求解能力，属于中档题. 19．已知z 是纯虚数，并使得2

1z i

+∈-R ，求z 【答案】-2i

【解析】设()z bi b R =∈，代入

21z i +-进行化简，根据2

1z i

+-为实数，列方程，解方程求得b 的值，也即求得z . 【详解】

设()z bi b R =∈，代入

21z i +-得()()()()

()212221112bi i b b i

bi R i i i ++-+++==∈--+，所以20b +=，解得2b =-.所以2z i =-.

【点睛】

本小题主要考查复数除法运算，考查复数是纯虚数、实数的概念和运算，属于基础题.

20．已知曲线C 上每一点到点()10F ，的距离比它到y 轴距离大1，求曲线C 的

方程.

【答案】24y x =

【解析】根据抛物线的定义求得曲线C 的方程. 【详解】

由于曲线C 上每一点到点()1,0F 的距离比它到y 轴距离大1，即曲线C 上每一点到点()1,0F 的距离等于它到直线1x =-的距离，故曲线C 上的点满足抛物线的定义，设曲线C 的方程为22y px =，则1,22

p ==，所以曲线C 的方程为24y x =. 【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的标准方程的求法，属于基础题. 21．已知12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，它们满足方程

()122195z i z i +-=+，求22

12z z +.

【答案】-190

【解析】根据12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，可知12,z z 互为共轭复数，由此设出12,z z 的表达式，代入()122195z i z i +-=+，由此求得12,z z ，进

而求得22

12z z +的值.

【详解】

由于12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，所以12,z z 互为共轭复数，设

12,,(,)z a bi z a bi a b R =+=-∈，代入()122195z i z i +-=+得

()()()2195a bi i a bi i ++--=+，化简得()395a b b a i i -+-=+，所以395

a b b a -=??

-=?，解得7,12a b ==.所以()()2222

122249144190z z a b +=-=-=-.

【点睛】

本小题主要考查实系数一元二次方程虚根成对，考查复数相等的概念，考查复数乘方运算，考查方程的思想，属于基础题.

22．若直线l 经过点()02，

，且与双曲线2

213

x y -=只有一个公共点，求直线l 的方程.

【答案】23y x =±

+或23

y x =±+ 【解析】求得双曲线渐近线的斜率，求得符合题意的两条直线l 的方程.设出直线l 的斜截式方程，联立直线方程和双曲线方程，利用判别式为零求得直线l 的斜率，由此求得合题意的两条直线l 的方程. 【详解】

双曲线的渐近线为y x =，斜率为±l 与渐近线平行时，与双曲

线只有一个公共点，此时直线l 的方程为23

y x =±

+. 当直线和双曲线相切时，设直线方程为2y kx =+，代入2

213

x y -=并化简得

()2

1312150k x

kx ---=，其判别式()222144601336600k k k ?=+-=-+=，

解得k =±

l 的方程为2y x =+.

综上所述，直线l 的方程为23y x =±+或23

y x =±+. 【点睛】

本小题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线渐近线，考查方程的思想，考查直线方程的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 23．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:1C mx ny +=的焦点在x 轴，焦

，虚轴长为2；（1）求实数m n 、的值:

（2）设椭圆222:41C x y +=，若M N 、分别为12C C 、上的动点，且OM ON ⊥，求证：点O 到直线MN 的距离为定值

【答案】（1）2,1m n ==-（2）证明见解析

【解析】（1）根据双曲线的焦距、虚轴长，结合222c a b =+，求得,,a b c 的值，进而求得,m n 的值.（2）当直线ON x ⊥轴时，根据等面积法求得O 到直线MN 的距离.当直线ON 与x 轴不垂直时，设出直线ON 的方程，分别代入双曲线和椭圆的方程，求得2

,OM ON ，利用等面积法求得O 到直线MN 的距离.由此证得点O 到直线MN 的距离为定值. 【详解】

（1）由于双曲线焦点在x 轴上，故0,0m n ><

，且222222c b c a b ?=?

=??=+?

，解得

1,22

a b c ===

，所以双曲线方程为2

2112x y -=，即2221x y -=，所以2,1m n ==-.

（2）设点O 到直线MN 的距离为d . 当直线ON x ⊥

轴时，1,ON OM MN ==

1122OMN S OM ON MN d ?=??=??

，解得3

d =.

当直线ON 与x 轴不垂直时，设直线ON 的方程为y kx =（显然0k ≠），则直线

OM 的方程为1=-y x k ，由2241y kx x y =??+=?，得222

1,44N N k x y k k ==++，所以2

2214k ON k +=+①.同理，由22121

y x k x y ?

=-???-=?可求得22

2121k OM k +=-②.根据等面积

法得1122

OMN S OM ON MN d ?=??=??，即222

2OM ON MN d ?=?，即

22OM ON OM ON

d MN

OM ON ??=

+，即222111

d OM ON =+

③.将①②代入③得2

13,d d ==综上所述，点O 到直线MN 的距离为定值. 【点睛】

本小题主要考查双曲线方程的求法，考查直线和椭圆、直线和双曲线的位置

关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题. 24．如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的下方），且．

(1)求圆的方程；

(2)过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：

．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析

【解析】分析：(1)设圆心坐标为，根据.可由勾股定理求出r，求得圆的方程。

(2)讨论当斜率不存在时；当斜率存在时，设出直线

方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出，表示出，即可判定。

详解：(1)由题可知圆心的坐标为∵

∴圆方程为:

(2) 由圆方程可得

①当斜率不存在时，

②当斜率存在时，设直线方程为:. 设

∴

综上所述

点睛：本题考查了求圆标准方程，直线与椭圆的关系，通过韦达定理解决相交弦问题，也是高考的常考点，属于难点。

上海高中高考数学知识点总结(大全)

上海高中高考数学知识点总结（大全）一、集合与常用逻辑 1．集合概念元素：互异性、无序性 2．集合运算全集U ：如U=R 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且并集：}{B x A x x B A ∈∈=?或补集：}{A x U x x A C U ?∈=且 3．集合关系空集A ?φ 子集B A ?:任意B x A x ∈? ∈ B A B B A B A A B A ??=??= 注：数形结合---文氏图、数轴 4．四种命题原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若p ?则q ? 逆否命题：若q ?则p ? 原命题?逆否命题否命题?逆命题 5．充分必要条件 p 是q 的充分条件：q P ? p 是q 的必要条件：q P ? p 是q 的充要条件：p ?q 6．复合命题的真值 ①q 真（假）?“q ?”假（真） ②p 、q 同真?“p ∧q ”真 ③p 、q 都假?“p ∨q ”假 7.全称命题、存在性命题的否定 ?∈M, p(x ）否定为: ?∈M, )(X p ? ?∈M, p(x ）否定为: ?∈M, )(X p ? 二、不等式

1．一元二次不等式解法若0>a ，02 =++c bx ax 有两实根βα,)(βα<，则 02<++c bx ax 解集),(βα 02>++c bx ax 解集),(),(+∞-∞βα 注：若0a 情况 2．其它不等式解法—转化 a x a a x <<-?a x a x >或a x - 0) () (>x g x f ?0)()(>x g x f ?>)()(x g x f a a )()(x g x f >（a >1） ?>)(log )(log x g x f a a f x f x g x ()()() >