2.2 提公因式法(有答案)

2.2 提公因式法

A卷：基础题

一、选择题

1．下列各组代数式中，没有公因式的是（）

A．5m（a－b）和b－a B．（a+b）2和－a－b

C．mx+y和x+y D．－a2+ab和a2b－ab2

2．下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（）

A．x2－y B．x2+2x C．x2+y2 D．x2－xy+y2

3．下列用提公因式法分解因式不正确的是（）

A．12abc－9a2b2c=3abc（4－3ab） B．3x2y－3xy+6y=3y（x2－x+2y）

C．－a2+ab－ac=－a（a－b+c） D．x2y+5xy+y=y（x2+5x+1）

4．（－2）2007+（－2）2008等于（）

A．2 B．22007 C．－22007 D．－22008

5．把代数式xy2－9x分解因式，结果正确的是（）

A．x（y2－9） B．x（y+3）2 C．x（y+3）（y－3） D．x（y+9）（y－9）二、填空题

6．9x2y－3xy2的公因式是______．

7．分解因式：－4a3+16a2b－26ab2=_______．

8．多项式18x n+1－24x n的公因式是______，提取公因式后，另一个因式是______．

9．a，b互为相反数，则a（x－2y）－b（2y－x）的值为________．

10．分解因式：a3－a=______．

三、解答题

11．某中学有三块草坪，第一块草坪的面积为（a+b）2m2，第二块草坪的面积为a（?a+b）m2，第三块草坪的面积为（a+b）bm2，求这三块草坪的总面积．

12．观察下列等式，你得出了什么结论？并说明你所得的结论是正确的．1×2+2=4=22；

2×3+3=9=32；

3×4+4=16=42；

4×5+5=25=52；

…

B卷：提高题

一、七彩题

1．（巧题妙解题）计算：1233695101571421 13539155152572135??+??+??+??

??+??+??+??

.

2．（多题一思路路）

（1）将m2（a－2）+m（2－a）分解因式，正确的是（） A．（a－2）（m2－m） B．m（a－2）（m+1）

C．m（a－2）（m－1） D．m（2－a）（m－1）（2）若x+y=5，xy=10，则x2y+xy2=_______；

（3）mn2（x－y）3+m2n（x－y）4分解因式后等于_______．

二、知识交叉题

3．（科内交叉题）你对分解因式的了解是不是多了一些？请你猜一猜：

32005－4×32004+?10×32003能被7整除吗？

4．（科内交叉题）已知串联电路的电压U=IR1+IR2+IR3，当R1=12.9Ω，R2=18.5Ω，R3=18.6Ω，I=2.3A时，求U的值．

三、实际应用题

5．在美丽的海滨步行道上，整齐地排着十个花坛，栽种了蝴蝶兰等各种花奔，?每个花坛的形状都相同，中间是矩形，两头是两个半圆形，半圆的直径是中间矩形的宽，若每个花坛的宽都是6m，每个花坛中间矩形长分别为36m，25m，30m，28m，?25m，?32m，24m，24m，22m和32m，你能求出这些花坛的总面积吗？你用的方法简单吗？

四、经典中考题

6．（2008，重庆，3分）分解因式：ax－ay=______．

7．（2007，上海，3分）分解因式：2a2－2ab=_______．

C 卷

1．（规律探究题）观察下列等式：

12

+2×1=1×（1+2）；

22+2×2=2×（2+2）；

32+2×3=3×（3+2）；

…

则第n 个等式可以表示为_______．

2．（结论开放题）如图2－2－1，由一个边长为a 的小正方形与两个长，宽分别为a ，?b

的小矩形组成图形ABCD ，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式．

3．（阅读理解题）先阅读下面的例子，再解答问题．求满足4x （2x －1）－3（1－2x ）=0的x 的值．

解：原方程可变形为（2x －1）（4x+3）=0．

所以2x －1=0或4x+3=0，所以x 1=12，x 2=－34

． 注：我们知道两个因式相乘等于0，那么这两个因式中至少有一个因式等于0；?反过来，如果两个因式中有一个因式为0，它们的积一定为0，请仿照上面的例子，求满足5x （x －2）－4（2－x ）=0的x 的值．

3.先阅读下面的材料，再分解因式：

要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出a；?把它的后两项分成一组，并提出b，从而得到a（m+n）+b（m+n）．这时，由于a（m+n）+b （m+n）?又有公因式（m+n），于是可提公因式（m+n），从而得到（m+n）（a+b）．因此有am+?an+?bm+bn=（am+an）+（bm+bn）=a（m+n）+b（m+n）=（m+n）（a+b）．这种因式分解的方法叫做分组分解法．?如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式了．请用上面材料中提供的方法分解因式：

（1）a2－ab+ac－bc；（2）m2+5n－mn－5m．

参考答案

A卷

一、1．C 点拨：A中公因式是（a－b），B中公因式是（a+b），D中公因式是（a－b）． 2．B 点拨：x2+2x=x（x+2）．

3．B 点拨：3x2y－3xy+6y=3y（x2－x+2）．

4．B 点拨：（－2）2007+（－2）2008=（－2）2007+（－2）2007×（－2）

=（－2）2007×（1－2）=（－1）×（－2）2007=22007．

5．C 点拨：xy2－9x=x（y2－9）=x（y2－32）=x（y+3）（y－3）．

二、6．3xy 点拨：9x2y－3xy2=3xy·3x－3xy·y=3xy（3x－y）．

7．－2a（2a2－8ab+13b2）点拨：－4a3+16a2b－26ab2=－2a（2a2－8ab+13b）．

8．6x n；3x－4 点拨：18x n+1－24x n=6x n·3x－6x n·4=6x n（3x－4）．

9．0 点拨：因为a+b=0，

所以a（x－2y）－b（2y－x）=a（x－2y）+b（x－2y）=（x－2y）（a+b）=0．

10．a（a+1）（a－1）点拨：a3－a=a（a2－1）=a（a+1）（a－1）．

三、11．解：（a+b）2+a（a+b）+b（a+b）

=（a+b）[（a+b）+a+b]=（a+b）（2a+2b）=2（a+b）2（m2）

点拨：本题是整式的加法运算，利用提公因式法，很快得到运算结果．

12．解：结论是：n（n+1）+（n+1）=（n+1）2．

说明：n（n+1）+（n+1）=（n+1）（n+1）=（n+1）2．

点拨：本题是规律探究题，把所给等式竖着排列，易于观察它们之间存在的规律．

B卷

一、1．解：原式=

3333

3333

123(1357)1232 135(1357)1355???+++??

==

???+++??

．

点拨：本题的巧妙之处是利用提公因式法分解因式可使计算过程简化，且不易出错． 2．（1）C （2）50 （3）mn（x－y）3（n+mx－my）

点拨：（1）m2（a－2）+m（2－a）=m2（a－2）－m（a－2）=m（a－2）（m－1），

故选C．

（2）x2y+xy2=xy（x+y）．因为x+y=5，xy=10，所以原式=10×5=50．

（3）mn2（x－y）3+m2n（x－y）4=mn（x－y）3[n+m（x－y）]

=mn（x－y）3（n+mx－my）．

以上三题的思路是一致的，都是利用提公因式法分解因式，其中第（2）?题分解

因式后再代入求值．

二、3．解：能，理由：32005－4×32004+10×32003=32003×（32－4×3+10）=32003×7，

故能被7整除．

点拨：对一个算式进行运算，运算的结果若有因数7，说明它能被7整除．

4．解：U=IR1+IR2+IR3=I（R1+R2+R3）=2.3×（12.9+18.5+18.6）=2.3×50=115（V）．点拨：遇到运算比较复杂的题目，可尝试用分解因工的方法把式子化简．

三、5．解：S=（π·32+36×6）+（π·32+25×6）+（π·32+30×6）+…+（π·32+32×6）

=10×π·32+6×（36+25+30+…+32）≈1951（m2）．

四、6．a（x－y） 7．2a（a－b）

C卷

1．n2+2n=n（n+2）

2．解：a（a+b）+ab=a（a+2b）；a（a+2b）－ab=a（a+b）；

a（a+2b）－a2=2ab；a2+2ab=a（a+2b）；

a（a+2b）－a·2b=a2；a（a+2b）－a（a+b）=ab．

点拨：答案不唯一，从上述等式中任写三个即可．

3．解：5x（x－2）－4（2－x）=0，5x（x－2）+4（x－2）=0，（x－2）（5x+4）=0，

所以x－2=0?或5x+4=0，所以x1=2，x2=－4

5

．

点拨：观察以上解题特点发现等号左边为0，左边为因式乘积的形式，所以只要把5x（x－2）－4（2－x）=0左边因式分解即可．

3.解：（1）a2－ab+ac－bc=（a2－ab）+（ac－bc）

=a（a－b）+c（a－b）=（a－b）（a+c）．

（2）m2+5n－mn－5m=（m2－mn）+（5n－5m）

=m（m－n）+5（n－m）=m（m－n）－5（m－n）=（m－n）（m－5）．

(完整版)提公因式法因式分解练习题

因式分解---------提公因式法 下列从左到右的变形中，哪些是因式分解，哪些不是。 （1）)2(3362 2 3 b a a b a a -=- （2）)1(2 3 2 x x x x --=+- （3）))((2 2 b ab a b a ++-33b a -= （4）)3)(2(--x x 652+-=x x （5）㎡=m ×m （6）㎡+m=m 3（ ） 二、用提公因式法因式分解(一) （1）332168b a ab - （2）22mn n m +- （3）2 515x xy -- （4）3224 1ab b a - （5）ab b a b a -+2233 （6） 3 22316128ay y a y a -+- （7）am m a m a 126323+--（8）xy y x y x ++-2 2 3 2 用提公因式法因式分解(二) （1）2 )()(b a b a +-+ （2）)()(x y y y x x -+- （3）)(2)(62 n m n m +-+（4）)(2)(32 y x x y -+- （5）)()(3y x x y x ----（6）2 2 )()(m n n n m m --- （7）)(4)(6p q q q p p +-+ （8）)(4)(122 x y ab y x b a --- （9）))(())((y x b a y x b a -+-++ 用提公因式法因式分解(三) （1）)(2)(72a b y b a x --- （2） )3()3(52 2x a x --- （3） 23)()(2b a b a +-+ （4）2 22)3()3(a b x b a x --- 5）)(3)(2p q b q p a ---（6）2 2 3 )1(8)1(6x p x p --- （7）2 )1()1(---a a a （8）2 2 )()()(b a b a b a --+- （9）)1()1(2)1(3x c x b x a -+---- （10）)32()23()1(2x x x -+-- 用提公因式法因式分解(四) （1）2 )())((y x x y x y x x +--+

最新因式分解分类练习(提公因式法、公式法、十字相乘法)

因式分解：提公因式法 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、2 3 ()()___()a b b a a b --=- 12、2 4 6 ()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、2 82m n mn + 5、2 3 2 2 2515x y x y - 6、2 2 129xyz x y - 7、2 336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、3 2 3612ma ma ma -+- 12、3 2 2 22 561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+--- 13、333(1)(1)x y x z --- 14、22()()ab a b a b a --+- 15、()()mx a b nx b a --- 16、(2)(23)5(2)(32)a b a b a b a b a ----- 17、(3)(3)()(3)a b a b a b b a +-+-- 18、2()()a x y b y x -+- 19、232()2()()x x y y x y x ----- 20、32()()()()x a x b a x b x --+-- 21、234()()()y x x x y y x -+--- 22、2123(23)(32)()()n n a b b a a b n +----为自然数

初一数学：提公因式法同步练习及答案

初一数学：提公因式法同步练习及答案 12.2提公因式法 一、选择题 1.下列各组代数式中，没有公因式的是( ) A.5m(a-b)和b-a B.(a+b)2和-a-b C.mx+y和x+y D.-a2+ab和a2b-ab2 2.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( ) A.x2-y B.x2+2x C.x2+y2 D.x2-xy+y2 3.下列用提公因式法分解因式不正确的是( ) A.12abc-9a2b2c=3abc(4-3ab) B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y) C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c) D.x2y+5xy+y=y(x2+5x+1) 4.(-2)2019+(-2)2019等于( ) A.2 B.22019 C.-22019 D.-22019 5.把代数式xy2-9x分解因式，结果正确的是( ) A.x(y2-9) B.x(y+3)2 C.x(y+3)(y-3) D.x(y+9)(y-9) 二、填空题 6.9x2y-3xy2的公因式是______. 7.分解因式：-4a3+16a2b-26ab2=_______. 8.多项式18xn+1-24xn的公因式是______，提取公因式后，另一个因式是______. 9.a，b互为相反数，则a(x-2y)-b(2y-x)的值为________. 10.分解因式：a3-a=______.

三、解答题 11.某中学有三块草坪，第一块草坪的面积为(a+b)2m2，第二块草坪的面积为a(?a+b)m2，第三块草坪的面积为(a+b)bm2，求这三块草坪的总面积. 12.观察下列等式，你得出了什么结论?并说明你所得的结论是正确的. 12+2=4=22; 23+3=9=32; 34+4=16=42; 45+5=25=52; 参考答案 一、1.C 点拨：A中公因式是(a-b)，B中公因式是(a+b)，D 中公因式是(a-b). 2.B 点拨：x2+2x=x(x+2). 3.B 点拨：3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2). 4.B 点拨：(-2)2019+(-2)2019=(-2)2019+(-2)2019(-2) =(-2)2019(1-2)=(-1)(-2)2019=22019. 5.C 点拨：xy2-9x=x(y2-9)=x(y2-32)=x(y+3)(y-3). 二、6.3xy 点拨：9x2y-3xy2=3xy3x-3xyy=3xy(3x-y). 7.-2a(2a2-8ab+13b2) 点拨： -4a3+16a2b-26ab2=-2a(2a2-8ab+13b). 8.6xn;3x-4 点拨：18xn+1-24xn=6xn3x-6xn4=6xn(3x-4).

因式分解提公因式法含答案

【知能点分类训练】 知能点1 因式分解的意义 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）． A．（x+3）（x－3）=x2－9 B．x2－9+x=（x+3）（x－3）－x C．xy2－x2y=xy（y－x） D．x2+5x+4=x（x+5+） 2．下列变形不属于分解因式的是（）． A．x2－1=（x+1）（x－1） B．x2+x+1 4 =（x+ 1 2 ）2 C．2a5－6a2=2a2（a3－3） D．3x2－6x+4=3x（x－2）+4 3．下列各式从左到右的变形中，哪些是整式乘法哪些是因式分解哪些两者都不是 （1）ad+bd+cd+n=d（a+b+c）+n （2）ay2－2ay+a=a（y－1）2 （3）（x－4）（x+4）=x2－16 （4）x2－y2+1=（x+y）（x－y）+1知能点2 提公因式法分解因式

4．多项式－7ab+14abx－49aby的公因式是________． 5．3x2y3，2x2y，－5x3y2z的公因式是________． 6．下列各式用提公因式法分解因式，其中正确的是（）． A．5a3+4a2－a=a（5a2+4a） B．p（a－b）2+pq（b－a）2=p（a－b）2（1+q） C．－6x2（y－z）3+x（z－y）3=－3x（z－y）2（2x－z+y） D．－x n－x n+1－x n+2=－x n（1－x+x2） 7．把多项式a2（x－2）+a（2－x）分解因式等于（）． A．（x－2）（a2+a） B．（x－2）（a2－a） C．a（x－2）（a－1） D．a（x－2）（a+1） 8．下列变形错误的是（）． A．（y－x）2=（x－y）2 B．－a－b=－（a+b） C．（a－b）3=－（b－a）3 D．－m+n=－（m+n）

八年级数学教案-《因式分解-提公因式法》知识点归纳

《因式分解-提公因式法》知识点归纳 ★★知识体系梳理◆因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式；（化和为积）注意：1、因式分解对 象是多项式；2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能 再分解为止；3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验 因式分解的正确性；◆分解因式的作用分解因式是一种重 要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。◆分解因式的一些原则（1）提公因式优先的原则．即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。（2）分解彻底的原则．即分解因式必须进行到每一个多 项式因式都再不能分解为止。（3）首项为负的添括号原 则．即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“－”号的括号，并遵循添括号法则。◆因式分解的首要方法―提公因 式法1、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫 做这个多项式各项的公因式。2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。3、使用提取公 因式法应注意几点：（1）提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。（2）公因式必须是 多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。（找最高公因式）（3）对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。◆提公因式 法分解因式的关键：1、确定最高公因式；（各项系数的最大

公约数与相同因式的最低次幂之积）2、提出公因式后另一因 式的确定；（用原多项式的每一项分别除以公因式） ★★典型例题、方法导航◆考点一：因式分解的意义【例1】判断下列变形哪些是因式分解？（1） ------------ ---------------（）（2） -------------------（）（3） -------------------- （）（4） ----------------------------------（）（5） -------------------------------（）【例2】根据整式乘法与因式分解的关 系连线 【例3】已知关于的多项式分解因式为，求的值。 ◎ 变式议练一1、下列从左边到右边的变形，是因式分解 的是（）a、 b、c、 d、 2、辨析下列因式分解是否正确，若 错误请改正。（1）分解因式不彻底：（2）提出公因式后漏项：◆考点二：提公因式法【例4】分解因式： （1）（2）（3） （4）（5）

因式分解之提取公因式法和运用公式法(教师版)

课题：因式分解之提取公因式法和公式法 知识精要： 一、因式分解的概念 1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解 因式分解 多项式（和差形式） 整式的积（积的形式） 整式乘法 二、提取公因式法 1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++ （1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数； （2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数． 2、步骤： （1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式． 3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法： （1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积． （2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式． 4、提取公因式法应注意的事项： （1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题． 二、公式法 1、平方差公式： 22 ()()a b a b a b -=+- 2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=± 3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：

提公因式法同步练习题及答案

提公因式法同步练习题 及答案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】

提公因式 法 一、请你填一填 (1)单项式-12x 12y 3与8x 10y 6的公因式是________． (2)-xy 2(x ＋y )3＋x (x ＋y )2的公因式是________． (3)把4ab 2-2ab ＋8a 分解因式得________． (4)5(m -n )4-(n -m )5可以写成________与________的乘积． 二、认真选一选 (1)多项式8x m y n -1-12x 3m y n 的公因式是( ) A ．x m y n B ．x m y n-1 C ．4x m y n D ．4x m y n-1 (2)把多项式-4a 3＋4a 2-16a 分解因式( ) A ．-a (4a 2-4a ＋16) B ．a (-4a 2＋4a -16) C ．-4(a 3-a 2＋4a ) D ．-4a (a 2-a ＋4) A ．c -b ＋5ac B ．c ＋b -5ac C ．c -b ＋51 ac D ．c ＋b -51ac (4)用提取公因式法分解因式正确的是( ) A ．12abc -9a 2b 2＝3abc (4-3ab ) B ．3x 2y -3xy ＋6y ＝3y (x 2-x ＋2y ) C ．-a 2＋ab -ac ＝-a (a -b ＋c ) D ．x 2y ＋5xy -y ＝y (x 2＋5x ) 三、请分解因式 (1)x (x -y )-y (y -x ) (2)-12x 3＋12x 2y -3xy 2

因式分解专题1_用提公因式法(含答案)

1、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式 变换。 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 ) 243)((]2)(2))[(() (2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987521136898745613689872681368987123?+?+?+?

提公因式法-平方差公式法习题

提公因式法： 一、填空题 1．因式分解是把一个______化为______的形式． 2．ax 、ay 、－ax 的公因式是______；6mn 2、－2m 2n 3、4mn 的公因式是______． 3．因式分解a 3－a 2b ＝______． 二、选择题 4．下列各式变形中，是因式分解的是（ ） A ．a 2－2ab ＋b 2－1＝（a －b ）2－1 Ｂ．)11(22222x x x x +=+ C ．（x ＋2）（x －2）＝x 2－4 D ．x 4－1＝（x 2＋1）（x ＋1）（x －1） 5．如果多项式x 2＋mx ＋n 可因式分解为（x ＋1）（x －2），则m 、n 的值为（ ） A ．m ＝1，n ＝2 B ．m ＝－1，n ＝2 C ．m ＝1，n ＝－2 D ．m ＝－1，n ＝－2 6．（－2）10＋（－2）11等于（ ） A ．－210 B ．－211 C ．210 D ．－2 三、计算题 7．x 4－x 3y 8．12ab ＋6b 9．5x 2y ＋10xy 2－15xy 10．3x （m －n ）＋2（m －n ） 11．3（x －3）2－6（3－x ） 12．y 2（2x ＋1）＋y （2x ＋1）2 13．y （x －y ）2－（y －x ）3 14．a 2b （a －b ）＋3ab （a －b ） 15．－2x 2n －4x n 16．x （a －b ）2n ＋xy （b －a ）2n ＋1 四、解答题 17．应用简便方法计算： （2）4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8 思考：说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除． 平方差公式法 一、填空题 1．在括号内写出适当的式子： （1）0.25m 4＝（ ）2；（2） =n y 29 4（ ）2；（3）121a 2b 6＝（ ）2． 2．因式分解：（1）x 2－y 2＝（ ）（ ）； （2）m 2－16＝（ ）（ ）； （3）49a 2－4＝（ ）（ ）;（4）2b 2－2＝______（ ）（ ）． 二、选择题 3．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ） A ．y 2－49x 2 B ．449 1x - C ．－m 4－n 2 D ．9)(4 12-+q p 4．a 2－（b －c ）2有一个因式是a ＋b －c ，则另一个因式为（ ） A ．a －b －c B ．a ＋b ＋c C ．a ＋b －c D ．a －b ＋c

(完整版)七年级数学提取公因式法测试题

9.1～9.2 因式分解提取公因式法同步练习 【基础能力训练】 一、因式分解 1．下列变形属于分解因式的是（） A．2x2－4x+1=2x（x－2）+1 B．m（a+b+c）=ma+mb+mc C．x2－y2=（x+y）（x－y）D．（m－n）（b+a）=（b+a）（m－n） 2．计算（m+4）（m－4）的结果，正确的是（） A．m2－4 B．m2+16 C．m2－16 D．m2+4 3．分解因式mx+my+mz=（） A．m（x+y）+mz B．m（x+y+z）C．m（x+y－z）D．m3abc 4．20052－2005一定能被（）整除 A．2 008 B．2 004 C．2 006 D．2 009 5．下列分解因式正确的是（） A．ax+xb+x=x（a+b）B．a2+ab+b2=（a+b）2 C．a2+5a－24=（a－3）（a－8）D．a（a+ab）+b（1+b）=a2b（1+b） 6．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x－3）（x+1），则b，c的值是（）A．b=3，c=1 B．b=－c，c=2 C．b=－c，c=－4 D．b=－4，c=－6 7．请写出一个二次多项式，再将其分解因式，其结果为______． 8．计算：21×3.14+62×3.14+17×3.14=_________． 二、提公因式法 9．多项式3a2b3c+4a5b2+6a3bc2的各项的公因式是（） A．a2b B．12a5b3c2C．12a2bc D．a2b2 10．把多项式m2（x－y）+m（y－x）分解因式等于（） A．（x－y）（m2+n）B．（x－y）（m2－m） C．m（x－y）（m－1）D．m（x－y）（m+1） 11．（－2）2001+（－2）2002等于（） A．－22001B．－22002C．22001D．－2 12．－ab（a－b）2+a（b－a）2－ac（a－b）2的公因式是（） A．－a（a－b）B．（a－b）2C．－a（a－b）（b－1）D．－a（a－b）2 13．观察下列各式： （1）abx－cdy （2）3x2y+6y2x （3）4a3－3a2+2a－1 （4）（x－3）2+（3x－9）（5）a2（x+y）（x－y）+12（y－x）（6）－m2n（x－y）n+mn2（x－y）n+1 其中可以直接用提公因式法分解因式的有（） A．（1）（3）（5）B．（2）（4）（5） C．（2）（4）（5）（6）D．（2）（3）（4）（5）（6） 14．多项式12x2n－4n n提公因式后，括号里的代数式为（） A．4x n B．4x n－1 C．3x n D．3x n－1 15．分解下列因式： （1）56x3yz－14x2y2z+21xy2z2 （2）（m－n）2+2n（m－n） （3）m（a－b+c）－n（a+c－b）+p（c－b+a）

因式分解一_提取公因式法和公式法_超经典

因式分解（一） ——提取公因式与运用公式法 【学习目标】（1）让学生了解什么是因式分解； （2）因式分解与整式的区别； （3）提公因式与公式法的技巧。 【知识要点】 1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意： （1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的， 并且注意括号内其它各项要变号。 （2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。 （3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公因式， 这时要特别注意各项的符号）。 （4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。 （5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： ()()22a b a b a b -=+-； ()2 222a ab b a b ±+=±。 平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同； (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领： （1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。 （3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。 （4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。 【经典例题】 例1、找出下列中的公因式： (1) a 2b ，5ab ，9b 的公因式 。 (2) －5a 2，10ab ，15ac 的公因式 。 (3) x 2y(x －y)，2xy(y －x) 的公因式 。

北师大八年级下册数学2《提公因式法》

2 提公因式法 第1课时直接提公因式因式分解 总体说明: 本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历从乘法的分配律的逆运算到提取公因式的过程，让学生体会数学的主要思想——类比思想，运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．(1)学生的技能基础：在上一节课的基础上，学生基本上解了分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，能通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，这为今天的深入学习提供了必要的基础．（2）学生活动经验基础：学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验． 一、教学目标 1．学会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解． 2．通过与因数分解的类比，感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想．

3．通过对因式分解的教学，培养学生“换元”的意识． 二、教学重难点 1．教学重点：直接提公因式因式分解． 2．教学难点：正确找出多项式中各项的公因式． 三、教学过程 环节1自学提纲，生成问题 阅读教材P95～P96的内容，完成下面练习． 1．多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式． 2．如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法． 3．当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数．在提出“－”号时，多项式的各项要变号． 4．把多项式6a2b＋10ab2分解因式时，应提取的公因式是2ab. 环节2合作探究，解决问题 活动1小组讨论 例1多项式6ab2c－3a2bc＋18a2b2中各项的公因式是() A．abc B．3a2b2 C．3ab D．3a2b2c 互动探索：(引发学生思考)如何确定一个多项式各项的公因式？ 分析：多项式中各项的公因式为3ab.

提公因式法及公式法因式分解练习题

1.把一个多项式__________________________，这样的式子变形，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式______________。 2. 在括号内填入适当的多项式，使等式成立。 (1)-4ab-4b=-4b( )(2)8x 2y-12xy 3=4xy( ) (3)9m 3+27m 2=( )(m+3) (4)-15p 4-25p 3q=( )(3p+5q) (5)2a 3b-4a 2b 2+2ab 3=2ab( ) (6)-x 2+xy-xz=-x( ) (7)2 1a 2-a=2 1a( ) 3. 在横线上填入“+”或“-”号，使等式成立。 (1)a-b=______(b-a) (2)a+b=______(b+a) (3)(a-b)2=______(b-a)2 (4)(a+b)2=______(b+a)2 (5)(a-b)3=______(b-a)3 (6)(-a-b)3=______(a+b)3 1.把下列各式分解因式 (1)x 2-5xy (2)-3m 2+12mn (3)12b 3-8b 2+4b (4)-4a 3b 2-12ab 3 (5)-x 3y 3+x 2y 2+2xy (1)9m 2n-3m 2n 2 (2)4x 2-4xy+8xz (4)6x 4-4x 3+2x 2 1、24x - 2、29y - 3、21a - 4、224x y - 5、2125b - 6、222x y z - 10、2249x y - 11、220.8116a b - 12、222549p q - 13、2422a x b y - 14、41x - 15、4416a b - 1、53x x - 2、224ax ay - 3、322ab ab - 4、316x x - 5、2433ax ay - 6、2(25)4(52)x x x -+- 1、221x x ++ 2、2441a a ++ 3、 2169y y -+ 4、2 14 m m ++ 5、 221x x -+ 6、2816a a -+ 7、2144t t -+ 8、21449m m -+ 9、222121b b -+ 10、214 y y ++ 11、2258064m m -+ 12、243681a a ++ 13、2 2 42025p pq q -+ 14、2 24 x xy y ++ 15、2244x y xy +- 1、221222 x xy y ++ 2、42232510x x y x y ++ 3、2232ax a x a ++ （1）232x x ++ （2）276x x -+ （3）2421x x -- （4）2215x x -- （ 5）298x x ++ （6）2712x x -+ （7）2421a a --+ （8）2328b b -- 2215x x --

八年级数学下册 2.2 提公因式法同步练习集 北师大版

2.2 提公因式法 一、目标导航 1.理解公因式及提公因式法； 2.用提公因式法把多项式进行因式分解. 二、基础过关 1.把21042ab b a +分解因式时，应提取的公因式是 . 2.多项式92-x 与962++x x 的公因式为 . 3.分解因式：)2(2)2(32+-+a a =______________. 4.在括号内填上适当的因式：(1) ()-=--1x ；(2)() -=+-a c b a 5.分解因式：()xy xy y x y x 62418123223=+- 6.多项式2126abc bc -各项的公因式为（ ） A.2abc B.23bc C.4b D.6bc 7.观察下列各组整式，其中没有公因式的是( ) A ．b a +2和b a + B.)(5b a m -和b a +- C.)(3b a +和b a -- D. y x 22-和2 8.把下列各式分解因式： （1）xy y x 632- （2）2332255y x y x - （3）m m m 2616423-+- （4）3)3(22+--a a （5）2)(2)(3x y y x m --- （6）32)(12)(18b a b a b --- （7）3222320515y x y x y x -+ （8）)(4)(6y x y y x x +-+

（9）)()()(a x c x a b a x a ---+- （10）))(())((q p n m q p n m -+-++ 三、能力提升 9.把多项式)2()2(2a m a m -+-分解因式等于（ ） A.))(2(2m m a +- B.))(2(2m m a -- C.)1)(2(--m a m D.)1)(2(+-m a m 10.如果5=+y x ，2=xy ，则22xy y x += ，22y x += ． 11.分解因式：_________________22=+++n n n a a a . 12.观察下列各式：21112?=+；32222?=+；43332?=+；……，请你将猜想到的规律用自 然数)1(≥n n 的式子表示出来 . 13.已知24724x x ++=，求2 1221x x --的值. 四、聚沙成塔 不解方程组2631 x y x y +=??-=? ，求237(3)2(3)y x y y x ---的值. 2.2提公因式法

北师大版八年级数学下册 4.2提公因式法同步练习(包含答案)

4.2提公因式法同步练习 一、选择题 1．下列各式公因式是a的是（） A. ax＋ay＋5 B．3ma－6ma2C．4a2＋10ab D．a2－2a＋ma 2．－6xyz＋3xy2－9x2y的公因式是（） A.－3x B．3xz C．3yz D．－3xy 3．把多项式（3a－4b）（7a－8b）＋（11a－12b）（8b－7a）分解因式的结果是（） A．8（7a－8b）（a－b）; B．2（7a－8b）2 ;C．8（7a－8b）（b－a）; D．－2（7a－8b） 4．把（x－y）2－（y－x）分解因式为（） A．（x－y）（x－y－1） B．（y－x）（x－y－1） C．（y－x）（y－x－1） D．（y－x）（y－x＋1） 5．下列各个分解因式中正确的是（） A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c） B．（a－b）3－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1） C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1） D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a） 6．观察下列各式: ①2a＋b和a＋b，②5m（a－b）和－a＋b，③3（a＋b）和－a－b，④x2－y2和x2+y2。其中有公因式的是（） A．①② B.②③ C．③④ D．①④ 二、填空题 7．当n为_____时，（a－b）n＝（b－a）n；当n为______时，（a－b）n＝－（b －a）n。（其中n为正整数） 8．多项式－ab（a－b）2＋a（b－a）2－ac（a－b）2分解因式时，所提取的公因式应是_____。 9．（a－b）2（x－y）－（b－a）（y－x）2＝（a－b）（x－y）×________。

《因式分解--提公因式法》教案

《15．4．1因式分解——提公因式法》教案 广西桂平市社步一中黄郁贞 一、教学目标 ㈠、知识与技能：（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。 （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法。 ㈡、过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观 察能力，进一步发展学生的类比思想。 （2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力。 （3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力。 ㈢、情感态度与价值观：让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。 二、教学重点和难点 重点：因式分解的概念及提公因式法。 难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。

-1)= 个整式的

五、学生学习活动评价设计 在本节教学设计中，对学生的评价方式：自评、互评、教师评价等。通过多样化的评价方式，激励、促进学生积极参与自主学习、实验探究、讨论交流中，并学会和同伴合作的良好学习习惯。例如： 1.个人回答问题次数：正确次数：改正人： 2.小组自评实验结论：活动1：正确、不完善、错误； （在所属情况下面打对勾）活动2：正确、不完善、错误。 活动…… 3.例题完成情况：小组内互评并把同伴错误之处改正过来。 4.课堂完成情况练习：小组内互评并把同伴错误之处改正过来。 六、教学反思 ㈠、教材分析 本节课选自人教版数学八年级上册第十五章第四节第一个内容（P165-167）。因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它在以后的代数学习中有着重要的应用，如：多项式除法的简便运算，分式的运算，解方程（组）以及二次函数的恒等变形等，因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义。

八年级数学 提公因式法(一)

八年级数学提公因式法（一） ●教学目标 （一）教学知识点 让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式. （二）能力训练要求 通过找公因式，培养学生的观察能力. （三）情感与价值观要求 在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用. ●教学重点 能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来. ●教学难点 让学生识别多项式的公因式. ●教学方法 独立思考——合作交流法. ●教具准备 投影片两张 第一张（记作§2.2.1 A） 第二张（记作§2.2.1 B） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 投影片（§2.2.1 A） ［师］从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法. Ⅱ.新课讲解 1.公因式与提公因式法分解因式的概念. ［师］若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地

的面积为ma+mb+mc,或m（a+b+c），可以用等号来连接. ma+mb+mc=m（a+b+c） 从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？ ［生］等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式（a+b+c）的乘积，从左边到右边是分解因式. ［师］由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式. 由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m 从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 2.例题讲解 ［例1］将下列各式分解因式： （1）3x+6; （2）7x2－21x; （3）8a3b2－12ab3c+abc （4）－24x3－12x2+28x. 分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来. ［师］请大家互相交流. ［生］解：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）; （2）7x2－21x=7x·x－7x·3=7x（x－3）; （3）8a3b2－12ab3c+abc =8a2b·ab－12b2c·ab+ab·c =ab（8a2b－12b2c+c） （4）－24x3－12x2+28x =－4x（6x2+3x－7） 3.议一议 ［师］通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤. ［生］首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4. 其次找各项中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有ab,相同字母的指数取次数最低的. 4.想一想 ［师］大家总结得非常棒.从例1中能否看出提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？ ［生］提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式. Ⅲ.课堂练习

因式分解一 提取公因式法和公式法

因式分解(一) —-提取公因式与运用公式法 【学习目标】(１)让学生了解什么就是因式分解; (２)因式分解与整式得区别; (3)提公因式与公式法得技巧、 【知识要点】 1、提取公因式:型如,把多项式中得公共部分提取出来、 ☆提公因式分解因式要特别注意: (1)如果多项式得首项系数就是负得,提公因式时要将负号提出,使括号内第一项得系数就是正得, 并且注意括号内其它各项要变号、 (２)如果公因式就是多项式时,只要把这个多项式整体瞧成一个字母,按照提字母公因式得办法提出。 (3)有时要对多项式得项进行适当得恒等变形之后(如将ａ+b-c变成-(c—a－ｂ)才能提公因式,这 时要特别注意各项得符号)。 (4)提公因式后,剩下得另一因式须加以整理,不能在括号中还含有括号,并且有公因式得还应继续提、 (5)分解因式时,单项式因式应写在多项式因式得前面、 2、运用公式法:把我们学过得几个乘法公式反过来写就变成了因式分解得形式: ; 。 平方差公式得特点就是:(1) 左侧为两项;(２) 两项都就是平方项;(3) 两项得符号相反。 完全平方公式特点就是: (１) 左侧为三项;(2) 首、末两项就是平方项,并且首末两项得符号相同; (3) 中间项就是首末两项得底数得积得２倍、 ☆运用公式法分解因式,需要掌握下列要领: (1)我们学过得三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解,然后再选择适当公式。(2)各个乘法公式中得字母可以就是数,单项式或多项式。 (3)具体操作时,应先考虑就是否可提公因式,有公因式得要先提公因式再运用公式、 (４)因式分解一定要分解到不能继续分解为止,分解之后一定要将同类项合并。 【经典例题】 例1、找出下列中得公因式: (1) aｂ,5ａb,９b得公因式。 (2) -５ａ２,10ab,15aｃ得公因式。 (3) x2y(ｘ-y),2ｘy(y-x) 得公因式、 (4) ,,得公因式就是、 例2、分解下列因式: (1) (２)