107500-概率统计随机过程课件-第七章第三节(上)

第七章 统计量及其分布

第三节 统计量的分布 在数理统计中，统计量是对总体的分布或数字特征进行推断的基础。因此求统计量的分布是数理统计的基本问题之一。

一般地说，要确定一个统计量的精确分布是非常复杂的，但对于一些特殊情形，如正态总体，这个问题就有简单的方法。由于正态总体是最常见的总体，所以在这里只研究正态总体的统计量的分布。 一、正态总体样本的线性函数的分布

设总体),(~2

σμN X ，

n

X X X ,,,2

1

???是来自于X 的一个样本; (n X X X ,,,2

1

???相互独立且与X 有相同分布,

),(~2

σμN X i

,2

,σμ==i

i

DX EX ),

则样本的线性函数

b X a X a X a Y n n ++???++=2211 也服从正态分布，且它的数学期望和方差分别是 b a

EY n

i i

+=∑=1μ,

∑==n

i i a DY 1

2

2

σ

这里的n

a a a ,,,2

1

???是不全为零的常数,b 为常数。

上述结论，在概率论中的多维随机变量部分里得到证实(用归纳法或特征函数法证明).

特别地，当 n

a i

1

=，

n i ,,2,1???=,0=b 时,线性函数Y 正好

是样本的均值X ，即

∑==n i i

X n

X 1

1

服从正态分布，且 μ=X E ,

(μμμ=?===∑∑==n n

n EX n X E n

i n

i i

1

111

1

)

n

X D 2

σ

= ,

(2

2

2

1

2

2

1

2

1111σσσn

n n n

DX

n

X D n

i n i i

=?=

==∑∑==)

即),

(~2

n

N X σ

μ.

由此可见，X 的均值与总体X 的

均值相等,而方差等于总体方差的n 分之一.这就是说, n 越大,X 越向总体均值μ集中.

常用结论

)1,0(~N n

X σ

μ

-,

)1,0(~N X i

σ

μ

- ,

)1,0(~)(1

1

N X n

n i i

∑=-σμ ,

∑=-=-n

i i

j j X n X X X 1

1

)1,0(~1)11(2

σn n N X n X n j

i i j ---=∑≠ .

二、2

χ分布

定理 设n

X X X ,,,2

1

???相互独立，且都服从)1,0(N ，则随机变量

∑==n

i i

X 1

2

2

χ

的概率密度为

?

?

???≤>Γ=--0

,00,)

2(21

)(2

12

2y y e y n

y f y n

n , (7.3)

我们称2

χ服从自由度为n 的 2

χ分布，记作)(~2

2

n χχ.

证明 记2

χ的分布函数为)(y F 。因为 n

X X X ,,,21???相互独立，且都服从)1,0(N ，所以的n

X X X ,,,21???联合概率密度为

)21exp(21),,,(21

2

1

i

n

i n

x x x x f ∏

=-=???π

)2

1

exp()21(1

2

2

∑=-=n

i i

n

x π , 因此，当0≤y 时，0)(=y F ； 当0>y 时，有 }

{)(2

y P y F ≤=χ

n

n

i i

y

x n dx dx x n

i i

???-=

∑=≤??∑=1

1

2

2

)2

1

exp()

2(1122 π ,

为了计算上述积分，作变换 ??

?

?

??

?==-1

1

2

1

2

1

-n 2

1

1

sin sin cos cos cos cos cos θ

ρθθθρθθθρ＝n

n x x x

此变换的雅可比行列式为

)

,,(1

1

2

1

-??=

n n

x x x J θθρ ，（）

，，，),,(2

1

1

--=n n D θθρ

其中),,(2

1

-n D θθ 是2

1,,-n θθ 的函数，不包含变量ρ。于是

=)(y F

ρ

θθθθρππ

π

π

ππ

πρd d d D e n n y n n 1

1

2

02

2

22

1

1

2

2

),,()

2(12

---

-

---

???? ?--

=y

n n

d e C 0

1

2

2

ρρρ

其中

???-

-

---=

2

2

22

1

1

2

1

2

),,()

2(1π

π

π

ππ

πθθθθπn n n n d d D C

令t =2

ρ,

则 ?--?=y

n t n

dt t e C y F 0

12

2

2

1

)(

因为 ?∞

+--?=+∞=0

12

2

2

1

)(1dt t e C F n t n

du u e C n u

n n

u

t ?∞

+---==0

12

12

22

)2

(212n

C n n

Γ=-,

可得 )

2

(2112

n C n n

Γ=

- ,

代入前面的式子，可得

)

2

(21

)(2

n

y F n Γ=

?---y

n t

dt t e 0

12

2 上式两端对y 求导，即得式（7.3）

?

?

???≤>Γ=--0

,00,)2(21

)(2

12

2

y y e y n y f y n

n .

图7－1给出了当n ＝1,4,10时，

2

χ分布的密度函数曲.

显然分布函数)(y F 在),0[+∞上严格单增,

(),0(,0)()(+∞∈>='y y f y F ))1,0(),0(:→+∞F 是一一对应. 对于给定的正数10:<<αα， 方程α=)(y F ,存在唯一的解)(2

n α

χ,即满足αχα

=))((2

n F .

定义 对于给定的正数10:<<αα， 使满足

αχχχαχααχ==

≤=?∞

-)

(2

2222)()}({))((n dy y f n P n F ,

的点)(2

n α

χ，称为2

χ分布的（下侧）α分位点。

对于不同的α及n ，)(2

n α

χ的值可在附表四中查到。

例如，对于14,9.0==n α，查得064.21)14()(2

9

.02==χχαn ,即

9.0)(}064.21)14({064

.210

2

==≤?dy y f P χ .

当45>n 时，附表中没有列出，此时可用式

)(2

n αχ≈2

)12(2

1

-+n z α

求出)(2

n αχ的近似值。式中的α

z

是标准正态分布的α分位点,αα

=Φ)(z .

例1 设n

X X X ,,,2

1

???相互独立，且),(~2

i

i

i

N X σμ ,（n i ,,2,1???=），则

∑=-n

i i

i

i

n X 1

2

2

)(~]/)[(χσμ .

证 因为n

X X X ,,,2

1

???相互独立且服从正态分布，故 1

11/)(σμ-X ，222/)(σμ-X ，…，n

n n X σμ/)(-

亦相互独立，且服从)1,0(N ，由2

χ分布定义知

∑=-n

i i

i

i

n X 1

2

2

)(~]/)[(χσμ .

由上面的例子有

定理 设总体),(~2

σμN X ，n

X X X ,,,2

1

???是来自于X 的一个样本,

则 )(~)(

2

2

1

n X n

i i

χσ

μ

∑=- .

例2设（X 1

,X 2

,X 3

,X 4

）是取自正态总体X ～N(0,22

)的简单随机样本，且

2

4

3221)43()2(X X b X X a Y -+-=

若统计量Y 服从2

χ分布，求出b a ,的值，并求Y 的自由度。

解法一 2

4

3

2

2

1

)]43([)]2([X X b X X a Y -+-= 令)2(2

1

1

X X a Y -=，)43(4

32X X b Y -=，

则22

21Y Y Y +=。 为使)2(~2

χY ，必有)1,0(~),1,0(~2

1N Y N Y ，因而 1,0,1,02

211====DY EY DY EY

注意到 4

4321

====DX DX DX DX ，由

)

4()2()]2([2121211DX DX a X X aD X X a D DY +=-=-=

120)444(==?+=a a

)

169()43()]43([4343432DX DX b X X bD X X b D DY +=-=-=

1100)16494(==?+?=b b

分别得到100/1,20/1==b a 。这时)2(~2

χY ，自由度为2。

解法二 因为X i

～N(0,22

)且相互独立，所以有 )2(22

121X X X X -+=-

～)20,0(~)2)2(21,0)2(01(2

2

2

2

N N ?-+??-+?， )4(3434

3

4

3

X X X X -+=-

～)

100,0(~)2)4(23,0)4(03(2222

N N ?-+??-+?， 故 )

1,0(~20

221

N X X -，)

1,0(~100

4343

N X X

-。

为使

)

2(~/143/1222

432

21χ???

? ??-+???? ??-=b X X a X X Y ，必有

)

1,0(~/122

1

N a X

X -，)

1,0(~/14

34

3

N b

X

X -。

与上面两个服从标准正态分布的随

机变量比较得

100/1,20/1==b a ，即100/1,20/1==b a 。

2

χ分布的性质:

定理一 若)(~2

n X χ,则X 的数学期望和方差分别是 n EX =, n DX 2= .

证 由数学期望定义得

?∞

+--

Γ=0

12

22)

2

(21dx x e n x

EX n x n

dx x e n

n x n 2

2

2

)

2(21

?∞

+-Γ=

)2

()2()2

(21)12

(0

2

x d x

e n n

x -+∞

+-?Γ=

)2

()

12(2n n Γ+Γ= n n n n =ΓΓ=)2()

2(22 ,

?∞

+--Γ=012

2

2

2

2

)

2(21

dx x e x n

EX n x n ?∞

+-+-Γ=0

1)22

(2

)2()2()2(4x

d x

e n n

x )2

()

22(4n n Γ+Γ= )2()2

()

2(2)12

(4+=ΓΓ??+=n n n n n n , 于是 22

)(EX EX DX -=

n n n n 2)2(2

=-+= .

例3 设总体),(~2

σμN X , n

X X X ,,,2

1

???是来自于X 的一个样本，其中2σ已知，求])[(2

μ-X E 、])[(2

μ-X D 。

解 μ=X E ,n

X D 2

σ

=,

n

X D X E X E X E 2

2

2

])[(])[(σ

μ=

=-=-,

])/([])[(2

22n

X n D X D σμσμ-=-

2

24]/[n X D n σμσ-=,

由于)1,0(~/N n X σμ-，

所以)1(~]/[2

2

χσμn

X -,

由定理一知,

212)1(]/[2

2

=?==-χσμD n

X D ,

于是

2

4

2

2])[(n

X D σ

μ=- .

定理二 若)(~1

2

1

n X χ,

)(~2

2

2

n X χ，且1

X 与2

X 相互独立，则 )(~2

1

2

2

1

n n X X ++χ .

证 设X 1+ X 2

的分布密度为f （x ），则

)(x f =?∞

∞

--_2

1

)()(du u x f u f

其中)(),(2

1

u f u f 分别为X 1

和X 2

的概率密度，且

??

?

????≤>Γ=--0

00)

2(21)(21212111

u u e u n u f u n n ,

??

?

????≤>Γ=--0

00)

2(21)(21222222

u u e u n u f u

n n ,

当x ≤0时，0)(=x f

当x ＞0时，有

?

--

----Γ?

Γ=x

u x n n u n n du

e

u x n e u

n x f 0

2

12

2

2

2

121

2

2

2

11)

()2

(

21)2

(

21)(

=

?---+-ΓΓx x

n n

n n du e u x u n

n 0

212

122122121)()2

()2(21

则令u = xv

v

d v v

n n x

e x

f n n n n n n x ?--+-+-

-ΓΓ=

1

012

12

212

12

2

2

1

212

1)

1()2

()2(

2

)(

利用 ?+ΓΓΓ=

---1

11

)

()()()1(q p q p dv v v

q p

即可得

2

122

122121)

2

(21

)(x

n n n n e

x

n n x f --+++Γ=

由此可见，X 1

+ X 2

服从自由度为2

1

n

n +的2

χ分布。

定理三 设X 1 ，X 2，…，X n

相互独立，且都服从N （μ，σ2

），则 （1）X 与2

S 相互独立；

(2)

)1(~)

1(2

2

2

--n S n χσ

,(7.4)

这里的 ∑==n i i

X n

X 1

1

，

2

1

2

)(1

1

∑=--=n

i i

X X n S ,

2

2

)

1(S n σ-2

1

2

)(1

∑=-=

n

i i

X X

σ .

为了证明这个定理，我们首先建立下面的引理。

引理 设X 1

，X 2

，…，X n

相互独立，且都服从N （a ，σ2

）分布的随机变量，A 是n n ?阶正交矩阵。令

?????

???????=????????????n n X X X A Y Y Y 2121 ,

(*)

则Y 1

，Y 2

，…，Y n

也相互独立且都服从正态分布。

证明 由于X 1 ，X 2，…，X n

相互独立，且都服从N （a ，σ2

）分布，因此（X 1 ，X 2，…，X n

）具有密度函数

?

?

???

?--=∑=n

i i n n n a x x x x f 122

2/21)(21

exp )2(1

),,,(σσπ

??

?

???---=→→→→'2

2/))((21ex p )2(1

a x a x n n σσπ

其中),,,(2

1

n

x x x x =→

，),,,(a a a a =→

。 （*）

式所对应的函数变换是

?????

???????=?????

???????n n x x x A y y y 2121，

从而

?????

???????=????????????-n n y y y A x x x 21121，

即'

1'

→-→=y A x ，所以

'

11

'

'

1

'

'

'

)()()(-→

→

-→→-→→→

→

-=-=-=-A a y A a A y A a x a x ， A A a y a A y a x )(1

-→

→→→→→-=-=-，

'

11

1'

)()())((-→

→--→

→→

→→→--=--A a y AA A a y a x a x '

11

))((-→

→-→

→--=A a y A a y

变换的雅可比行列式是

1

1

2

1

2

1

)

,,,()

,,,(--==??=A

A

y y y x x x J n

n

，

因为A 是正交矩阵，所以1=J ，由此得到Y 1

，Y 2

，…，Y n

具有密度函数 ),,,(),,,(2121n

n x x x f J y y y g =

??

?

???---=-→→-→→'112

2/))((21ex p )2(1

A a y A a y n n σσπ

可见Y 1

，Y 2

，…，Y n

相互独立且都服从正态分布。

下面运用上面的引理来证明

定理三。

证明 作正交矩阵 ?

?

????????????=nn n n n a a a a a a n n

n A

2

1

22221

111, (1)

令

?????

???????=?????

???????n n X X X A Y Y Y 2121 , (2) 即 X

n X n

Y

n

i i

∑===

1

1

1

, (3)

∑==n

j j

ij

i

X a

Y 1

， i=2,3，…，n 。

有上面的引理知Y 1

，Y 2

，…，Y n

相互独立且都服从正态分布。又

2

1

1

)(,)(σ==Y D a n Y E ，(4) 而由正交性，当i=2,3,…，n 时，有

1)(1

1

=?=

=∑∑==n

i n

j ij

ij i

n

a a n a a Y E , （5）

2

1

2

2)(σσ

∑===n

i ij

i

a Y D , (6)

∑=+-=+++====+++n

i i n

n n n n n n n X

n X X X X X X X X X X X X X X A A X X X Y Y Y Y Y Y Y Y Y 1

2

2

2

2221'

2121'21'21'212122221)(),,,)(,,,(),,,(),,,(),,,)(,,,( ，

根据（3）是及上式，有

2

23222

1

222212)()(n n

i n i Y Y Y X n X X X X X ++=-+++=-∑=

即 ∑==-n

i i

Y S n 2

22

)1(， (7)

在由（5）、（6）、（7）式得

)1(~)1(22

22

2

-??

?

??=-∑=n Y S n n

i i χσσ。

由上面的证明知，Y 1

，Y 2

，…，Y n

相互独立，又由（3）、（7）式有

∑=-==

n i i Y n S n

Y X 22

2

1

11,，

从而，X 与S 2

相互独立。

例 4 设X ～N(0,1)，

∑==n

i i

X n X 1

1

，∑=--=n

i i

X X n S 1

2

2

)(1

1，求

服从自由度为（n －1）的2

χ分布的随机变量。

解 因X ～N(0,1)，故)1,0(~N X i

，又因12

=σ，由定理三知

)1(~)1(/)1(2

222--=-n S n S n χσ， 故此随机变量为2

)1(S n -。

例5 设总体),(~2

σμN X , n

X X X ,,,21???是来自于X 的一个样本，其中2

σ已知,求2ES ,2

DS .

解 22σ==DX ES ,(对任意总体

可证);

)

1(~)

1(222

--n S n χσ

,

])

1()

1([

2

2

2

2

S n n D DS σ

σ-?

-=])

1([

))

1((

22

22

S n D n σ

σ-?-=

)]1([))

1((

2

2

2

-?-=n D n χσ)1(2))

1((

22

-?-=n n σ

)

1(24

-=n σ .

概率论与数理统计 第七章习题附答案

习题7-1 1. 选择题 (1) 设总体X 的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而12,,,n X X X 为来自X 的样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( ) . (A) X 和S 2 . (B) X 和21 1()n i i X n μ=-∑ . (C) μ和σ2 . (D) X 和 21 1 ()n i i X X n =-∑. 解 选(D). (2) 设[0,]X U θ , 其中θ>0为未知参数, 又12,,,n X X X 为来自总体X 的样本, 则θ的矩估计量是( ) . (A) X . (B) 2X . (C) 1max{}i i n X ≤≤. (D) 1min{}i i n X ≤≤. 解 选(B). 3. 设总体X 的概率密度为 (1),01, (;)0, x x f x θθθ+<<=???其它. 其中θ>-1是未知参数, X 1,X 2,…,X n 是来自X 的容量为n 的简单随机样本, 求: (1) θ的矩估计量； (2) θ的极大似然估计量. 解 总体 X 的数学期望为 1 10 1 ()()d (1)d 2 E X xf x x x x θθθθ+∞ +-∞ +==+= +? ?. 令()E X X =, 即12 X θθ+=+, 得参数θ的矩估计量为 21?1X X θ-=-. 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… , X n 的一组观测值, 则似然函数为 1(1),01,0, n n i i i x x L θθ=?? ?+<0且 ∑=++=n i i x n L 1 ln )1ln(ln θθ, 令 1 d ln ln d 1 n i i L n x θ θ== ++∑=0, 得

概率论与数理统计浙大四版习题答案第七章

第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σ μ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）???>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==-Λ为未知参数。 解：（1）X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θn n n i i x x x c θ x f θL Λ 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL

概率论与数理统计教程第七章答案

. 第七章 假设检验 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为 解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。 解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, )n N σξμ~，此时 00000()P c P ξαξ=≥=

10 αμ-= ，由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他（c 为检验的拒绝域）

概率论与数理统计第7章例题

第7章例题 1.的无偏估计下列统计量是总体均值的样本为总体设,,,321X X X X 量的是B 3213 2161 3121. .X X X B X X X A ++++ 3213218 14121.2 12121. X X X D X X X C ++++ 2.的无偏估计下列统计量是总体均值的样本为总体设,,21X X X 量的是 D 2 1.X X A +213121. X X B + 214141.X X C + 212 1 21.X X D + 3.样本()()，则，，来自总体2 21,...,σμ==X D X E X X X X n B A. 的无偏估计是μi n i X ∑=1 B. 的无偏估计是μX C. ()的无偏估计是2 2 1σn i X i ≤≤ D. 的无偏估计是22 σX 4.设),(21X X 是来自任意总体X 的一个容量为2的样本，则在下列总体均值的无偏估计中，最有效的估计量是 D A. 213132X X + B. 2143 41X X + C. 215352X X + D . )(21 21X X + 5.从总体中抽取样本,,X X 12下面总体均值μ的估计量中哪一个最有效D A. 11X =μ B. 22X =μ C. 2134341X X +=μ D. 2142 1 21X X +=μ 6.从总体中抽取样本32,1, X X X 统计量 6 323211X X X ++=μ) , 4423212X X X ++=μ) 3333213X X X ++=μ) 中更为有效的是C A. 1μ) B. 2μ) C. 3μ) D. 以上均不正确 7.设21,X X 是取自总体()2σμ，N 的样本，已知21175.025.0X X +=μ 和2125.05.0X X +=μ都是μ的无偏估计量，则________更有效 8.设X 1，X 2， X 3， X 4是来自均值为λ的指数分布总体的样本，其中λ未知，设有估计量 )(3 1 )(6143211X X X X T +++=

概率统计第七章

习题七解答 1. 设的分布律为， 求（1）EX ，（2）)1(+-X E ，（3）)(2X E ，（4）DX 。 解 由随机变量X 所以 ()1111111 (1)01236261243E X =-?+?+?+?+?= ()1111112 1210(1)36261243E X -+=?+?+?+?+-?= ()211111135 1014364612424 E X =?+?+?+?+?= 2 2235197()()(())()24372 D X E X E X =-=-= 另外，也可根据数学期望的性质可得： ()()12 11133 E X E X -+=-+=-+= 2.设随机变量X 服从参数为()0>λλ的泊松分布，且已知 ()()[]232=--X X E ，求λ的值。 解 ()()[]()() ()()()()()()2 0452 652 6565322 2 22==+-+=+-+=+-=+-=--λλλλX E X E X D X E X E X X E X X E X

3. 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，试求2X 的数学期望() 2X E 。 解 ()4.0,10~B X 所以 ()()4.26.04.010,44.010=??==?=X D X E 故 ()()()()4.1844.2222=+=+=X E X D X E 4. 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X 是一个随机变量，它在[2000，4000]（单位：吨）上服从均匀分布。若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大？ 解 设随机变量Y 表示平均收益（单位：万元），进货量为a 吨 Y= ()a X a X 33-- a x a x ≥< 则 ()()() 80000001400022000 12000 13200014220004000-+-=+-=??a a dx a dx a x Y E a a 要使得平均收益()Y E 最大，所以 ()08000000 1400022 ='-+-a a 得 3500=a （吨） 5. 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3，假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部 件数，试求X 的数学期望()X E 和方差()X D 。 解 X 的可能取值为0，1，2，3，有 ()()()()006 .03.02.01.03092.03.08.01.03.02.09.07.02.01.02398.03.08.09.07.02.09.07.08.01.01504 .07.08.09.00=??===??+??+??===??+??+??===??==X P X P X P X P 所以X 的分布律为

概率论第七章5-7

§5 正态总体均值与方差的区间估计 一、复习正态总体的样本均值与样本方差的分布 1、(对一个正态总体) 设X 1,…,X n 是来自总体2~(,)X N μσ的样本, 则 (1) ~(0,1)X N μ? ~(1)X t n μ?? (3) 2 2 2 (1)~(1)n S n σ χ?? 2、(对两个正态总体) 设

,,,n X X X 112L 是来自总体211~(,)X N μσ的样本, ,,,n Y Y Y 212L 是来自总体222 ~(,)Y N μσ的样本, 且两个样本相互独立, 则有 ()() ~(0,1)X Y N μμ??? (2) 当222 1 2 σσσ==时 12()()~(2)X Y t n n μμ??+?? (3) 221222 1221 ~(1,1)S S F n n σσ ?? 二、正态总体均值、方差的置信区间 (置信水平为α?1)

一个正态总体均值与方差的置信区间 例1-2(P164) 有一大批糖果. 现从中随机取16袋, 称得重量(以克计)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似服从正态分布, 试求总体均值μ与总体标准差σ的置信水平为0.95的置信区间.

两个正态总体均值差与方差比的置信区间

例3(P 166) 为比较I, II 两种型号步枪子弹的枪口速度, 随机地取I 型子弹10发, 得到枪口速度的平均值1500(/)x m s =, 标准差s 1=1.10(m/s), 随机地取II 型子弹20发, 得到枪口速度的平均值2496(/)x m s =, 标准差s 2=1.20(m/s). 假设两总体都可认为近似地服从正态分布, 且由生产过程可认为方差相等. 求两总体均值差12μμ?的一个置信水平为0.95的置信区间. 例4(P 166) 为提高某一化学生产过程的得率, 试图采用一种新的催化剂. 为慎重起见, 在实验工厂先进行试验. 设采用原来的催化剂进行了

概率论与数理统计浙大四版习题答案第七章

第七章参数估计 1.［ 一］ 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以 求总体均值卩及方差b 2的矩估计，并求样本方差 S 2。 n 2 6 (X i x) 6 10 i 1 S 2 6.86 10 6。 ln L(e ) nln(e ) n e inc (1 e ) In d 寫⑹ (1) f (x) e c e x (e 1},x c 0,其它 其中c >0为已知， e >1, e 为未知参数。 (2) f(x) 、e x e 1,0 x 1 0,其它. 其中e >0, e 为未知参数。 (5) P(X x) m p x (1 p)m x ,x 0,1,2, ,m,0 p 1, p 为未知参数。 解： （ 1) E(X) xf(x)dx c e c e x e dx e c e c e 1 e 1 e c 令 e c X e 1, 令 e 1 X X c (2) E(X) xf (x)dx e x e dx - 丄匚,令- '-e X ,We ( X )2 2.［二］设X , X ,…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律 中的未知参数的矩估计量。 得e 1 e (5) -e 1 解：（1）似然函数 n L (e ) f (人)e n c n e (x 1 x 2 i 1 X n ) mm 计) 解：U,b 2的矩估计是 X 74.002 E （X ） = mp 令 mp = X ,解得?莖 m 3.［三］求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计 量。 ln x i 0

（解唯一故为极大似然估计 量） In X i nln c i 1 ⑵ L(B ) n n _ f (X i ) e 2(X 1X 2 X n ) 0 1 ,ln L(B ) n 2~ n ln( 0) (0 1) In X i i 1 dI nL(0) n d 0 2 1 0 1 n In X i 0, i 1 ? （n In x i ）2 0 （解唯一）故为极大似然 估 2.一 0 计量。 n m m n X i n mn 召 (5) L(p) P{X X i } p i1 (1 p) i1 , i - 1 X 1 X n n n n In L(p) In m X i x i In p (mn X i )l n(1 p), i 1 i 1 i 1 i 1 n mn x i i 1 0 1 p n X i d In L(p) i 1_ dp p n Xi - 解得 p q — —,（解唯一）故为极大似然估计量。 mn m 4.［四（2）］设X , X,…，X.是来自参数为入的泊松分布总体的一个样本，试求入 的极大似然估计量及矩估计量。 解：（1）矩估计 X ~ n 入）,E （ X ）=入，故*= X 为矩估计量。 （2）极大似然估计L （入） n P(X i ；入) 1 n X i *1 X 1 !X 2! X e n *, In L(入) i X i In In X i ! d In L(入) d 入 n X i i 1 入 0 ,解得* X 为极大似然估计 量。

概率论与数理统计练习题第七章答案

概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第七章 参数估计（一） 一、选择题： 1矩估计必然是 [ C ] （A ）无偏估计 （B ）总体矩的函数 （C ）样本矩的函数 （D ）极大似然估计 2．设12,X X 是正态总体(,1)N μ的容量为2的样本，μ为未知参数，μ的无偏估计是 [ D ] （A ） 122433X X + （B ）121244X X + （C ）123144X X - （D ）122355 X X + 3．设某钢珠直径X 服从正态总体(,1)N μ（单位：mm ），其中μ为未知参数，从刚生产的一大堆钢珠抽出9个，求的样本均值31.06X =，样本方差2 2 90.98S =，则μ的极大似然估计值为 [ A ] （A ）31.06 （B ）(- , 31.06 + 0.98) （C ）0.98 （D ）9×31.06 二、填空题： 1．如果1?θ与2?θ都是总体未知参数θ的估计量，称1?θ比2?θ有效，则1?θ与2 ?θ的期望与方差一定满 足 1212????,E E D D θθθθ=< 2．设样本1230.5,0.5,0.2x x x ===来自总体1 ~(,)X f x x θθθ-=，用最大似然法估计参 数θ时，似然函数为()L θ= 31(0.05)θθ- 3．假设总体X 服从正态分布2 12 (,),,,(1)n N X X X n μσ>为X 的样本， 1 2 211 ()n i i i C X X σ-+==-∑是2σ的一个无偏估计，则C = 12(1) n - 三、计算题： 1．设总体X 具有分布律，其中(01)θθ<<为未知参数， 已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，试求θ 2．设12,,,n X X X 是来自于总体10~()0x X f x θθ ?≤≤? =???其它 (0)θ>的样本, 试求：（1）θ的一个无偏估计1θ；（2）θ的极大似然估计2.θ 456()2(1)22.5')1(0.6 L L θθθθθθθθ=?-=-==解：该样本的似然函数.为 令得三 、 ??()2,()2()22 2 2(1)E X X X E E X θθθ θθ==?===?= 、

概率统计第七章参考答案

第七章参考答案 1、检验假设：0H ：18≤μ，1H ：18>μ 解：这是2σ已知的右边检验问题 选统计量：n X Z /0 σμ-= 05.0=α，645.105.0==z z α ∴拒绝域为：? ?????=≥-=645.1/05.00z n x x z σ 由于此处：62.4=σ，9=n ，180=μ，87.20=x ∴645.186.19 /62.41887.20/0 >≈-=-=n x z σμ ∴拒绝0H ，即认为影响了他的工作效率。 2、检验假设：0H ：4.38=μ，1H ：4.38≠μ 解：这是2σ未知关于μ的双边检验 检验统计量为：n s X t /0 μ-= 在 05.0=α，15=n ，1448.2)14()1(025.02/==-t n t α ∴拒绝域为：??????=>-=1448.2)14(/025.00 t n x x t σ 又由题知：%5.40=x ，%5.7=s ，%4.380=μ ∴ 1448.208.115 /%5.7%4.38%5.40<≈-=t 接受0H ，即认为脂肪摄取量的平均百分比为38.4%。 3、检验假设：0H ：42.8≥μ，1H ：42.8<μ

解：这是2σ未知关于μ的左边检验 检验统计量为：n s X t /0 μ-= 01.0=α，9=n ，8965.2)8()1(01.0==-t n t α ∴拒绝域为：? ?????-=-<-=8965.2)8(/01.00t n s x t μ 又由题知：3.8=x ，025.0=s ，42.80=μ ∴ 8965.24.149/025.042 .83.8/0 -<-=-=-=n s x t μ 拒绝0H ，即认为42.8<μ。 4、检验假设：0H ：46.72=μ，1H ：46.72≠μ 解：这是2σ未知关于μ的双边检验 检验统计量为：n s X t /0 μ-= 在 05.0=α，16=n ，1315.2)15()1(025.02/==-t n t α ∴拒绝域为：??????=≥-=1315.2)15(/025.00 t n x x t σ 又由题知：69.72=x =s 8.34，=0μ72.64 ∴ 1315.2024.016/34.864 .7269.72<≈-=t 接受0H ，即可认为某地区成年男子的平均体重为72.64。 5、检验假设：0H ：200≤μ，1H ：200>μ 解：这是2 σ未知关于μ的右边检验

概率论与数理统计 第7章参数估计习题及答案

第7章 参数估计 ----点估计 一、填空题 1、设总体X 服从二项分布),(p N B ，10<

α是未知参数， n X X X ,,21为一个样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计. 解：因? ?++=+= 10 1 1α1α1αdx x dx x x X E a )()()(2 α1 α2α1α102++= ++= +|a x 令2α 1α ++==??)(X X E X X --=∴112α ?为α的矩估计 因似然函数1212 (,, ;)(1)()n n n L x x x x x x ααα=+ ∑=++=∴n i i X n L 1α1αln )ln(ln ，由∑==++=??n i i X n L 1 01ααln ln 得， α的极大似量估计量为)ln (?∑=+-=n i i X n 1 1α 2、设总体X 服从指数分布 ,0 ()0,x e x f x λλ-?>=?? 其他 ，n X X X ,,21是来自X 的样本，（1）

浙大版概率论与数理统计答案---第七章

第七章 参数估计 注意： 这是第一稿（存在一些错误） 1、解 由θ θθμθ 2 ),()(0 1===? d x xf X E ，204103)(2 221θθθ=-==X D v ，可得θ的矩估计量为X 2^ =θ，这时θθ==)(2)(^X E E ，n n X D D 5204)2()(2 2 ^ θθθ= ? ==。 3、解 由)1(2)1(2)1(2)(21θθθθμ-=-+-==X E ，得θ的矩估计量为： 3 2 62121^ =-=- =X θ。 建立关于θ的似然函数：482232)1(4)1())1(2()()(θθθθθθθ-=--=L 令014 8))1ln(4ln 8()(ln =--=?-+?=??θ θθθθθθL ， 得到θ的极大似然估计值：32^=θ 4、解：矩估计： ()1012122μθλθλθλ=?+?+?--=--， ()()()()2 2 2 2222121νθλθθλλθλθλ=--++-++--, 11A =, 23 4 B = , 故()()()( ) 22 2 ??221,3??????????222121.4 θ λθλθθλλθλθλ?--=??--++-++--=?? 解得1?,43?.8λθ?=??? ?=?? 为所求矩估计。 极大似然估计： (){}()3 3214526837,0,2,11L P X X X X X X X X θλθλθλ==========--， ()()(),ln ,3ln 2ln 3ln 1l L θλθλθλθλ==++--，

()(),33 0,1,230.1l l θλθθθλθλλλθλ??=-=???--???=-=??--?解得3?,81?.4 θλ?=????=??即为所求。 5、解 由33)1(3)1(3)(222+-=-+-+=p p p p p p X E ，所以得到p 的矩估计量为 ^ p = = 建立关于p 的似然函数：32 10)1()2 )1(3()()2)1(( )(22n n n n p p p p p p p L ---= 令0)(ln =??p p L ，求得到θ的极大似然估计值：n n n n p 222 10^++= 6、解：(1)()1 1 12 EX x x dx θθθθ+= += +? ， 由?1?2X θθ +=+得21?1X X θ-=-为θ的矩估计量。 ()()()11 1,01, ,,0,n n n i i i i x x L f x θ θθλθ==?+∏<

概率论与数理统计第七章

第七章 参数估计 1． 样本均值74.002X = 样本方差8 2 261 1() 6.8571081i i S X X -==-=?-∑ 样本二阶中心矩 8 2261 1()6108i i S X X -==-=?∑ 均值与方差的矩估计值分别为： 2 674.002610μ σ-= =? 2．（1）矩估计 (1) ()1 c c c E X x c x dx c x dx θθθθθθθθ+∞ +∞ -+-=== -? ? 令 1c X θθ=-，得θ的估计量为 X X c θ=-，θ的估计值为 1 1 11n i i n i i x n x c n θ===-∑∑ （2）极大似然估计 (1)(1)(1)11()()()n n n L c x c x c x x θθθθθθθθθθ-+-+-+== 1 ln ()ln()(1)ln n i i L n c x θ θθθ==-+∑ 令1 ln ln ln 0n i i L n n c x θθ=?=+-=?∑ 得θ的估计值为 1 ln ln n i i n x n c θ ==-∑，θ的估计量为 1 ln ln n i i n X n c θ ==-∑ 3．（1） 矩估计 1214 33 X ++= = 22()122(1)3(1)32E X θθθθθ=?+?-+?-=- 令()E X X = 得θ的估计值为 5 6 θ = 极大似然估计 2256112233()()()()2(1)22L P X x P X x P X x θθθθθθθ=====?-?=- 令 ln 5101L θθθ?=-=?-，得θ的估计值为 56 θ=

浙江大学 概率论与数理统计 第七章数理统计习题__偶数答案

注意： 这是第一稿（存在一些错误） 第七章数理统计习题__偶数.doc 4解：矩估计： ()1012122μθλθλθλ=?+?+?--=--， ()()()()2 2 2 2222121νθλθθλλθλθλ=--++-++--, 11A =, 234 B = , 故() () ()( ) 2 2 2 ??221,3?? ????????222121. 4 θλ θλθθλ λ θλθλ? --=?? --++-++--=?? 解得1?, 43?. 8 λθ?=?? ? ?=?? 为所求矩估计。 极大似然估计： (){}()3 3 2 14526837,0,2,11L P X X X X X X X X θλθλ θλ==========--， ()()(),ln ,3ln 2ln 3ln 1l L θλθλθλθλ==++--， ()(),33 0,1,230.1l l θλθθθλθλλλθλ??=-=? ??--???=-=??--?解得3?,8 1?.4 θλ?=????=??即为所求。 6解：(1)()10 112 E X x x dx θ θθθ+= += +? ， 由 ?1 ?2 X θθ+=+得21 ?1X X θ-=-为θ的矩估计量。 ()()()1 1 1, 01,,,0,n n n i i i i x x L f x θ θθλθ==?+∏<

()()()1 ln 1ln , 01,,ln ,0,n i i n x x l L θθθλθλ=? ++<

概率论与数理统计教程(魏宗舒)第七章答案

. 第七章 假设检验 7.1 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 7.2 设1225,, ,ξξξ取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如 对检验问题 001:,:H H μμμμ =≠取检验的拒绝域： 12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥，试决定常数c ，使检验的显著性水平为0.05 解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =1.176。 7.3 设子样1225,, ,ξξξ取自正态总体20(,)N μσ，2 σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=0.05，2 0σ=0.004，α=0.05，n=9，求μ=0.65时不犯第二类错误 的概率。 解：（1）在0H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时

00000()P c P ξαξ=≥=≥ 10 αμ-= ，由此式解出010c αμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 101000 10 ()(P c P αξβξμ-=<=<=Φ=Φ=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ- -=-Φ- =-Φ-=Φ= 7.6 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ? ??其他其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=? ?其他 （c 为检验的拒绝域）

概率论概率论习题解答(第7章)

习 题 七 （A ） 三、解答题 1. 设总体X 服从几何分布，分布律为{},....2,1,)1(1=-==-k p p k X P k ，(10<

概率论及数理统计第七章答案

7.7 解：有题可得 σ=150 x =1637 α=5% n=26 设 0H ：0u u ==1600 1H :0u u ≠ u = =1.258 有表可查得0.97512 U U α - ==1.96 由1.258<1.96 可知不落在拒绝域内，则不拒绝原假设 ∴可认为这批产品的指标为1600h 7.9. 旧安眠剂 ξ~N(20.8,21.8) 新安眠剂 η~N(μ,2σ) 假设 o H : μ=23.8 1H : μ﹤23.8 由题意 x =24.2 *2n S =5.27 构造统计量 T= X -μ =0.461 不妨取α=0.1 1(6)t -α-=0.9(6)t -=-1.4398 拒绝域为(-∞, 1.4398-) 则T=0.461 不落在拒绝域内 所以不拒绝原假设 当α=0.1 时，新安眠剂已达新的疗效。 7.10解：母体2 (8,)N ξ σ 假设0H :8μ≥ 1H :8μ< 由题意得： 6.5x = 22 2 1002 4.04 1 99 n n n S S n *== ?=- 构造统计量7.46x T -= =- 当0.05α=时 有10.950.95(1)(99)(45) 1.6794t n t t α---=->-=- 所以拒绝域为1(,(99))t α--∞- 由于7.46T =-在拒绝域内 故拒绝原假设 所以在0.05α=时，根据调查结果，能支持该校长的看法 7.11解：由于子样来自同一母体，可设222 1 2σ =σ=σ （2σ未知）

0H ：12μ=μ 1H ：12μ≠μ ξ =3.7875， η =3.8875, 1 21n S = 2 1 1 ) i i n ∞ =(ξ-ξ∑=0.25609375 222n S =21 )i i ∞ =(η-η∑=0.25609375 1 21*n S = 111 n n -1 21n S = 87 ?2.04875=0.2926785714 2 22*n S = 221 n n -2 22n S = 87 ?2.04875=0.2926785714 w S = =0.3697 12 t α- （122n n +-）=0.975t （14）=2.1448 又因为 t<12 t α-（122n n +-） 不再拒绝域内 所以 不拒绝原假设 所以 甲乙两人测定无显著差异 7.14假设甲，乙加工产品直径服从正态分布N(1μ,21σ),N(2μ,22σ) 0H :21σ=22σ,1H :21σ≠22σ 由测得直径得1X =20，2M S =0.09, *2M S =0.10286 2X =20, 2N S =0.34, *2N S =0.39667 所以1μ=2μ，检验2 1 σ，22 σ *2*20.10290.2594 0.3967 M N S F S = = = 当α=0.05 /2F α(7,6)=0.1953 1/2F α-(7,6)=0.1953 所以拒绝域为0,0.1953 5.7,?????????∞ 所以不否定两机床加工精度无明显差异。

概率论与数理统计(理工类-第四版)吴赣昌主编课后习题答案第七章

写在前面：由于答案是一个个复制到word中，比较耗时耗力，故下载收取5分，希望需要的朋友给予理解和支持！ PS：网上有一些没经我同意就将我的答案整合、转换成pdf，放在文库里的，虽然是免费的，但是窃取了我的劳动成果，希望有心的朋友支持我一下，下载我的原版答案。 第七章假设检验 7.1 假设检验的基本概念 习题1 样本容量n确定后，在一个假设检验中，给定显著水平为α，设此第二类错误的概率为β，则必有(). (A)α+β=1;(B)α+β>1;(C)α+β<1;(D)α+β<2. 解答： 应选(D). 当样本容量n确定后，α,β不能同时都很小，即α变小时，β变大；而β变小时，α变大. 理论上，自然希望犯这两类错误的概率都很小，但α,β的大小关系不能确定，并且这两类错误不能同时发生，即α=1且β=1不会发生，故选(D). 习题2 设总体X～N(μ,σ2),其中σ2已知，若要检验μ,需用统计量U=Xˉ-μ0σ/n. (1)若对单边检验，统计假设为 H0:μ=μ0(μ0已知),H1:μ>μ0, 则拒绝区间为； (2)若单边假设为H0:μ=μ0,H1:μ<μ0,则拒绝区间为(给定显著性水平为α,样本均值为Xˉ,样本容量为n,且可记u1-α为标准正态分布的(1-α)分位数). 解答： 应填(1)U>u1-α;(2)U

概率论考题_第七章试题

第七章试题 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设总体X 服从[0，2θ]上的均匀分布（θ>0），x 1, x 2, …, x n 是来自该总体的样本，x 为样本均值，则θ的矩估计θ ?=（ ） A ．x 2 B ．x C ． 2 x D ． x 21 2．设总体n X X X N X ,,,),,(~212 σμ为来自总体X 的样本，2,σμ均未知，则2σ的无偏估计是（ ） A ． ∑=--n i i X X n 1 2 )(11 B ． ∑=--n i i X n 12)(11μ C ． ∑=-n i i X X n 1 2 )(1 D ． ∑=-+n i i X n 1 2)(1 1μ 3．设总体X ~ N （2,σμ），其中μ未知，x 1，x 2，x 3，x 4为来自总体X 的一个样本，则以下 关于μ的四个估计：)(41?43211x x x x +++=μ，321251 5151?x x x ++=μ ，2136 261?x x +=μ，147 1 ?x =μ中，哪一个是无偏估计？（ ） A ．1?μ B ．2?μ C ．3?μ D ．4?μ 二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 4.设总体X 具有区间[0，θ]上的均匀分布（θ>0），x 1，x 2，…，x n 是来自该总体的样本，则θ的矩估计θ? =___________。 5．设总体X 的概率密度为? ??≤>=-0,00,)(x x e x f x αα,x 1，x 2，…x n 为总体X 的一个样本，则未知 参数α的矩估计α ?=___________. 6．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，其中λ为未知参数.X 1，X 2，…，X n 为来自该总体