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第二讲双曲线中常用的结论及解法技巧(教师版)

第二讲双曲线中常用的结论及解法技巧

【知识要点】

一．双曲线三大定义

定义 1．到两定点距离之差的绝对值（小于两定点距离）为定值的点的轨迹是双曲线．几何性质：双曲线上任一点到两焦点的距离之差的绝对值为定值．

定义 2．到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为定值（大于1）的点的轨迹是双曲线．

几何性质：双曲线上任一点到左（右）焦点的距离与到左（右）准线的距离之比为离心率e ．定义 3．到两个定点的斜率之积为定值（大于0）的点的轨迹是双曲线．

几何性质：双曲线上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为22

b ．

二．双曲线经典结论汇总

1．AB 是双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 的不平行于对称轴的弦，),(00y x M 为AB 的中点，

则22a b k k AB

OM =?，即 0

2y a x b k AB =．等价形式：21,A A 是双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 上关于原点对称的任意两点，B 是双曲

线上其它任意一点，直线B A B A 21,的斜率存在，则22

21a

b k k B

A B A =?． 2．双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为双曲线上异于实轴端点

的任意一点θ=∠21PF F 则（1）2

122||||1cos b PF PF θ

=-；（2）双曲线的焦点角形的面积为

tan 221θb S PF F =

?．

3．过双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 上任一点),(00y x A 任意作两条倾斜角互补的直线交双

曲线于C B ,两点，则直线BC 有定向且0

2y a x b k BC

-= （常数）．

4．P 为双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 上任一点，21,F F 为二焦点，A 为双曲线内一定点，

则||||2||12PF PA a AF +≤-，当且仅当P F A ,,2三点共线且P 和2,F A 在y 轴同侧时，等号成立．

5．已知双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x ，O 为坐标原点，Q P ,为双曲线上两动点，且

OP OQ ⊥，（1）22

221111||||OP OQ a b +=-；（2）2

2||||OQ OP +的最大值为22224a b b a -；（3）OPQ S ?的最小值是22

a b b a -．

6．双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 的两个顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a ，与y 轴平行的直线

交双曲线于21,P P 时11P A 与22P A 交点的轨迹方程是22

1x y a b

+=． 7．双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 的焦半径公式：

),0,(),0,(21c F c F -当),(00y x M 在右支上时，.

||,||0201a ex MF a ex MF -=+=

当),(00y x M 在左支上时，.||,||0201a ex MF a ex MF --=+-=

8．若),(000y x P 在双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 内，则被0P 所平分的中点弦的方程是

2202020b

y a x b y y a x x -=-． 9．若),(000y x P 在双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是

20202222b

y a x x b y a x -=-． 10．若),(000y x P 在双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 上，则过0P 的双曲线的切线方程是

12020=-b

y a x x ． 11．若),(000y x P 在双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 外，则过0P 作双曲线的两条切线切点为

21,P P ，则切点弦 21P P 的直线方程是

12020=-b

y a x x ． 12．设双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 的两个焦点为P F F ,,21（异于实轴端点）为双曲线上

任意一点，在21F PF ?中，记12F PF α∠=，12PF F β∠=，12F F P γ∠=，则有

sin (sin sin )c

e a

αγβ==±-．

13．若P 为双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 上异于实轴端点的任一点，21,F F 是焦点，

12PF F α∠=，21PF F β∠=，则2cot 2tan βα=+-a c a c （或2

cot 2tan αβ=+-a c a c ）．

14．设B A ,是双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 的实轴两端点，P 是双曲线上的一点，

PAB α∠=， PBA β∠=，BPA γ∠=，e c 、分别是双曲线的半焦距离心率，则有

(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-； (2)2

tan tan 1e αβ=-；(3) 222

2cot PAB a b S b a

γ?=+．

15．过双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于N M ,两点，

弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则

||||2

PF e

MN =．

16．已知双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x ，B A ,是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线

与x 轴相交于点)0,(0x P ，则220a b x a +≥或22

0a b x a

+≤-．

17．点P 处的切线PT 平分21F PF ?在点P 处的内角．

18．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点Q P ,，21,A A 为双曲线实轴上的顶点，P A 1和Q A 2交于点M ，P A 2和Q A 1交于点N ，则NF MF ⊥．

【例题解析】

【例1】设双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交

两渐近线于B A ,两点，与双曲线的其中一个交点为P ，设O 为坐标原点，若

),(R n m OB n OA m OP ∈+=→

→→，且9

mn ，则该双曲线的离心率为（） A ．

223 B ．553 C ．423 D ．8

【例2】双曲线13

4:2

2=-y x C 的左、右顶点分别为21,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率

的取值范围是]2,1[，那么直线1PA 斜率的取值范围是（）

A ．]43

,21[ B ．]43,83[ C ．]1,21[ D ．]1,4

3[ 【答案】 B

【例3】已知斜率为3的直线l 与双曲线()0,01:22

22>>=-b a b

y a x C 交于B A ,两点，若点

)2,6(P 是AB 的中点，则双曲线C 的离心率等于（）

A ．2

B ．3

C ．2

D ．22

【例4】已知双曲线()0,01:22

22>>=-b a b

y a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，直线l 过点1F 且

与双曲线C 的一条渐进线垂直，直线l 与两条渐进线分别交于N M ,两点，若

||2||11MF NF =，则双曲线C 的渐进线方程为（）

A ．x y 33±

= B ．x y 3±= C ．x y 2

2±= D ．x y 2±=

【例5】设F 为双曲线()0,01:22

22>>=-b a b

y a x C 的左焦点，过坐标原点的直线依次与双曲

线C 的左、右支交于点Q P ,，若||3||PF FQ =，060=∠FPQ ，则该双曲线的离心率为（） A ．3 B ．31+ C ．32+ D ．323+

【例6】已知双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x ，若存在过右焦点F 的直线与双曲线交于B A ,

两点，且→

→

=BF AF 3，则双曲线离心率的最小值为（）

A ．2

B ．3

C ．2

D ．22

【例7】已知直线()0y kx k =≠与双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>交于A ，B 两点，以AB 为

直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为24a ，则双曲线的离心率为（）

A B C ．2

【答案】D 【解析】由题意可得图像如下图所示：F '为双曲线的左焦点， ∵AB 为圆的直径，∴90AFB ∠=?，

根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形，∴1

ABF AFBF FBF S S S ''==△△，

又2224tan45FBF b S b a '===?

△，可得225c a =，∴25e e =?=．故选D ．

【例8】已知双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 的左右焦点分别为21,F F ，O 为双曲线的中心，

P 是双曲线右支上的点，21F PF ?的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作

直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则（）

A ．||||OA e O

B = B ．||||OB e OA =

C ．||||OB OA =

D ．||OA 与||OB 关系不确定

【例9】如图，已知双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，4||21=F F ，

P 是双曲线右支上的一点，P F 2与y 轴交于点A ，1APF ?的内切圆在1PF 上的切点为Q ，

若1||=PQ ，则双曲线的离心率是（）

A ．3

B ．2

C ．3

D ．2

【课堂练习】

【1】如图，21,F F 是双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线

的左、右两支分别交于点B A ,．若2ABF ?为等边三角形，则双曲线的离心率为（）

A ．4

B ．7

C ．

2 D ．3

【2】如图，21,F F 是双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 的左、右焦点，点P 在第一象限，

且满足0)(2211=?+→

→

P F F F P F ，a P F =→

||2，线段2PF 与双曲线交于点Q ，若→

→

=Q F P F 225，则双曲线的渐近线方程为（）

A ．x y 2

= B ．x y 55±= C ．x y 552±= D ．x y 33±=

【3】已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，02160=∠PF F ，则

||||21PF PF ?等于( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8 【答案】B 由双曲线的方程得a ＝1，c ＝2，

由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得

|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2| ＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝22＋|PF 1|·|PF 2|，解得|PF 1|·|PF 2|＝4.

【4】已知双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，由2F 向双曲线

的一条渐近线作垂线，垂足为H ，若21HF F ?的面积为2b ，则双曲线的渐近线方程为____________．

【5】已知点P 为双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦

点，且a

b F F 2

21||=，I 为21F PF ?的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ???+=λλ成立，则λ的值为

_______．

【6】设双曲线13

2=-

x 的左、右焦点分别为21,F F ，若点P 在双曲线上，且21PF F ?为锐角三角形，则||||21PF PF +的取值范围是_______．

【7】已知点P 为双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 右支上一点，其右焦点为2F ，若直线2PF 的

斜率为3，M 为线段2PF 的中点，且||||22M F OF =，则该双曲线的离心率为_______．

【课后作业】【1】双曲线

的左右焦点分别为

，

，焦距

，以右顶点

为圆心的圆与直线相切于点，设与交点为，，若点恰为

线段的中点，则双曲线

的离心率为（） A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C 【解析】由直线方程可得直线过双曲线的左焦点，倾斜角为

，

直线与圆相切，则：

，即

是直角三角形，结合

，可得：

，联立直线与双曲线的方

程可得：，则：，

据此有：，结合，整理可得：，

据此可得关于离心率的方程：

，即，∵双曲线中，

．

【2】(2019年全国2卷理数)设F 为双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点，O 为坐

标原点，以OF 为直径的圆与圆222

x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率

为( )

B C ．2 D 【答案】A 解析：设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又

||PQ OF c ==，||,2

PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，

∴||2c OA =，,22c c P ??∴ ???，又P 点在圆222

x y a +=上，22

244

c c a ∴+=，即

2222

2,22c c a e a

=∴==．e ∴=，故选A ．

【3】已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x C ：的左右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线与C

的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若以21F F 为直径的圆过点B ，且A 为B F 1的中点，则C 的离心率为（ B ）

A ．13+

B ．2

C ．3

D ．2

【4】设双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左焦点为F ，直线02034=+-y x 过点F

且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点， OP OF =,则双曲线C 的离心率为（ A ）

53 D. 5

【5】设1F ，2F 是双曲线()22

22:10,0x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若

126PF PF a +=，且12PF F △的最小内角为30?，则C 的离心率为（）

A B ．

C D 【答案】C 【解析】因为1F ，2F 是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上一点，且满足126PF PF a +=，不妨设P 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知122PF PF a -=，

所以122F F c =，14PF a =，22PF a =，

a c <，212PF F F ∴<，2PF ∴为12PF F △最小边， 12PF F ∴△的最小内角1230PF F ∠=?，根据余弦定理，

222

2121121122cos PF F F PF F F PF PF F =+-∠，

即2224416224a c a c a =+-?? 22

30c a ∴-+=，c ∴=，所以c

e a

=C ．

【6】如图所示，已知双曲线()22

2210x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲

线的渐近线于,A B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（） A.

324 B. 233 C. 305 D. 5

思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用,,a b c 表示，再寻找一个等量关系解出,,a b c 的关系。双曲线的渐近线方程为b

y x a

=±

，由直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍可得：

221OA b

a k

b a b a ==--，确定直线l 的方程为()22

2ab y x c a b =--，与渐近线联立方程得

()222222

2223ab y x c abc abc a b

y or y b a b a b y a ?=-??-?=-=?

-+?=±??

将2AF FB =转化为坐标语言，则2A B y y =- ，即

2222

2223abc abc

a b a b =?

+-，解得::3:1:2a b c =，从而2

e =

答案：B

【7】已知F 是双曲线2221x a b

y －＝()0,0a b >>的左焦点，E

是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ?是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（）

A ． ()1,+∞

B ． ()1,2

C ． (

)

1,12+

D ． ()

2,12+

思路：从图中可观察到若ABE ?为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角。由对称性可得只需

0,4AEF π??

∠∈ ???

即可。且,AF FE 均可用,,a b c 表示，AF 是通径的一半，得：2b AF a =，

FE a c =+，

所以()2tan 1AF

b AEF FE a a

c ==<+()22112c a c a

e a a c a

--?

（2）本题还可以从直线AE 的斜率入手，()2,0,,b E a A c a ??

- ??

?，利用()1,0AE k ∈-即可求

出离心率

【8】双曲线的离心率，右焦点为，点是双曲线

的一条渐近线上位于第一象限内的点，，AOF △的面积为，则

双曲线的方程为（）

A ．

B ．

C ．

D ．【答案】C 【解析】由点所在的渐近线为三个该渐近线的倾斜角为

，则

，

AOF OAF ∠=∠，所以直线的倾斜角为2α，

2222tan 2tan21tan ab

a b ααα=

--，

与0bx ay -=联立解得

122AOF

ab S c ab c ∴=??==△

，因为双曲线的离心率

b a ∴

=，与联立得3a

=，b =故双曲线的方程为．故选C ．【9】已知双曲线与轴交于、两点，点，则面积的最大值为（）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8 【答案】A

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>

>e =F A C AOF OAF ∠

=∠C 22

13612x y -=22

1186x y -=22

193x y -=2

213

x y -=A 0,bx ay -=

αAF 3

=ab =22

193

x y -=22

214x y b b

-=-()02b <

【解析】由双曲线方程可得，，所以的面积，因为

，则

，当且仅当，即时，等号成立，此时的面积，即三角形面积的最大值为，故选

【10】双曲线的右焦点为，

左顶点为，以为圆心，过点

的圆交双曲线的一条渐近线于两点，若不小于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由题设,圆心到渐近线的距离,故,由题意

,即,也即,解之得,故应选C.

【11】

已知双曲线

124

x y

-=的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（）

B. (

C. ??

D. ??

思路：由

124

x y

-=可得渐近线方程为：y x

=，若过右焦点的直线与右支只有一个交点，则直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线斜率的绝对值，即333

k k

≤?-≤≤

答案：C

【12】（2019年全国1卷理数）已知双曲线C：

1(0,0)

x y

a b

-=>>的左、右焦点分

()

B ABC

S b

=?02

<<0

()22

b b

==22

4b b

-=b=

ABC

S≤ABC

()

10,0

x y

a b

-=>>F A F A

,P Q PQ

(]

1,2((]1,3[)

3,+∞

d=2

)

(

PQ-

)

(

2≥

)

≥

1≤

别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ?=，则C 的离心率为____________．

【答案】2 【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥由120

F B F B ?=，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠

又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠= 又渐近线OB

的斜率为

tan 60b

=?=

2c e a =

===．

【13】已知直线与双曲线交于，两点，为双曲线上不同于，的点，当直线，的斜率，存在时，．【答案】【解析】联立得,设因为为双曲线上不同于的点,设且满足,,

, 1

y x =22194x y -=A B P A B PA PB PA k PB k PA PB k k ?=94?????=-=1

492122y x x y 7712114472±=?=x x B

A ,776,7712???

??,776,7712???

??--P B A ,()y x P ,14

=-y

x 7712776--

=x y k PA 771277

=x y k PB

,故填.

【14】已知在等腰梯形中，AB CD ∥，，60ABC ∠=?，双曲线以，为焦点，且与线段，（包含端点，）分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是__________．

【答案】

【解析】以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则双曲

线，．设双曲线方程为，只需点在双曲线右支图像的上方（包

括在图像上）即可，也即

，两边乘以得，由于，所以上式化为

，

，故．

---?=--=+

+?--

?∴7144736

4947144736771277677127762222x x x y x y x y k k PB

PA 9494ABCD 24AB CD ==A B AD BC D C (

1??AB 2c =(C 22

221x y a b

-=C 22131a b

-≤22a b 22223b a a b -≤22224b c a a =-=-()

2222434a a a a --≤-12a ≤<112a <≤11c a

<≤

精双曲线中常见结论

双曲线中常见结论： 1、离心率e=a c =21）（a b 2、焦半径 3、通径及通径长a b 2 2 4、焦点到准线的距离c b 2，中心到准线的距离c a 2

8、双曲线λ=-2222b y a x (λ≠0)和122 22=-b y a x 有相同的渐近线和相同的离心率。 9、P 为双曲线上一点，则21F PF ?的面积为S= θsin b 2 121212线的离心率为e= α ββαsin sin sin -+）（

例（湖南卷）已知双曲线22a x －22 b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为2 2 a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（D ） A ．30o B ．45o C ．60o D ．90o 例双曲线）（0122≠=-m n n y m x 的离心率为2，则n m 的值为（） A ．3 B ． 3 1 C ．3或 3 1 D ．以上都不对

椭圆的几何性质一、教学目标 (一)知识教学点通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用． (二)能力训练点通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． (三)学科渗透点使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．二、教材分析 1．重点：椭圆的几何性质及初步运用． (解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．) 2．难点：椭圆离心率的概念的理解． (解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．) 3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变． (解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．) 三、活动设计提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结．四、教学过程 (一)复习提问 1．椭圆的定义是什么？

椭圆与双曲线的必背的经典结论

椭圆与双曲线的必背的经典结论椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即0202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆 22 22 1x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.

双曲线中常见结论

双曲线中常见结论: 1、离心率e=a c =21）（a b 2、焦半径 3、通径及通径长a b 2 2 4、焦点到准线得距离c b 2,中心到准线得距离c a 2 12

8、双曲线λ=-2222b y a x (λ≠0)与122 22=-b y a x 有相同得渐近线与相同得离心率。 9、P 为双曲线上一点,则21F PF ?得面积为S=θ θ cos sin b -12

离心率为e= α ββαsin sin sin -+）（例(湖南卷)已知双曲线22a x －22 b y ＝1(a ＞0,b ＞0)得右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A, △OAF 得面积为2 2 a (O 为原点),则两条渐近线得夹角为 (D )

A.30o B.45o C.60o D.90o 例双曲线）（0122≠=-m n n y m x 得离心率为2,则n m 得值为( ) A.3 B. 3 1 C.3或 3 1 D.以上都不对椭圆得几何性质一、教学目标 (一)知识教学点通过椭圆标准方程得讨论,使学生掌握椭圆得几何性质,能正确地画出椭圆得图形,并了解椭圆得一些实际应用. (二)能力训练点通过对椭圆得几何性质得教学,培养学生分析问题与解决实际问题得能力. (三)学科渗透点使学生掌握利用方程研究曲线性质得基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程得关系概念得理解,这样才能解决随之而来得一些问题,如弦、最值问题等. 二、教材分析 1.重点:椭圆得几何性质及初步运用. (解决办法:引导学生利用方程研究曲线得性质,最后进行归纳小结.) 2.难点:椭圆离心率得概念得理解. (解决办法:先介绍椭圆离心率得定义,再分析离心率得大小对椭圆形状得影响,最后通过椭圆得第二定义讲清离心率e 得几何意义.) 3.疑点:椭圆得几何性质就是椭圆自身所具有得性质,与坐标系选择无关,即不随坐标系得改变而改变. (解决办法:利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明.) 三、活动设计提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结. 四、教学过程

圆锥曲线常用的二级结论

圆锥曲线常用的二级结论椭圆与双曲线对偶结论椭圆双曲线标准方程 () 22 22 10 x y a b a b +=>> 焦点()() 12 ,0,,0 F c F c - () 22 22 10,0 x y a b a b -=>> 焦点()() 12 ,0,,0 F c F c - 焦半径 1020 , PF a ex PF a ex =+=- e为离心率， x为点P的横坐标. 1020 , PF ex a PF ex a =+=- e为离心率， x为点P的横坐标. 焦半径范围 a c PF a c -≤≤+ P为椭圆上一点，F为焦点. PF a c ≥- P为双曲线上一点，F为焦点. 通径过焦点与长轴垂直的弦称为通径. 通径长为 2 2b a 过焦点与实轴垂直的弦称为通径. 通径长为 2 2b a 如图，直线l过焦点 1 F与椭圆相交于,A B 两点.则 2 ABF △的周长为4a. （即 22 4 F A F B AB a ++=）如图，直线l过焦点 1 F与双曲线相交于 ,A B两点.则 22 4 F A F B AB a +-=. 焦点弦倾斜角为α的直线l过焦点F与椭圆相交于,A B两点. 焦点弦长()2 2222 2 sin ab AB a b b α = -+ . 最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径. 倾斜角为α的直线l过焦点F与双曲线相交于,A B两点. 焦点弦长()2 2222 2 sin ab AB a b b α = +- .

AF与BF 数量关系直线l过焦点F与椭圆相交于,A B两点，则 2 112a AF BF b +=. 直线l过焦点F与双曲线相交于,A B两点，则 2 112a AF BF b +=. 已知点P是椭圆上一点，O坐标原点，则b PO a ≤≤. 已知点P是双曲线上一点，O坐标原点，则PO a ≥. 焦三角形如图，P是椭圆上异于长轴端点的一点，已知 12 F PFθ ∠=， 12 PF Fα ∠=， 21 PF Fβ ∠=，则（1） 12 2tan 2 PF F S b θ = △ ；（2）离心率 sin sin sin e θ αβ = + . 如图，P是双曲线上异于实轴端点的一点，已知 12 F PFθ ∠=， 12 PF Fα ∠=， 21 PF Fβ ∠=，则（1） 12 2 2cot 2tan 2 PF F b S b θ θ == △ ；（2）离心率 sin sin sin e θ αβ = - . 垂径定理如图，已知直线l与椭圆相交于,A B两点，点M为AB的中点，O为原点，则 2 2 OM AB b k k a =-. 如图，已知直线l与双曲线相交于,A B两点，点M为AB的中点，O为原点，则 2 2 OM AB b k k a =. （注：直线l与双曲线的渐近线相交于,A B 两点，其他条件不变，结论依然成立）

高考中圆锥曲线常见结论

高考中解析几何有用的经典结论一、椭圆 1. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 2. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 3. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 4. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 5. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 6. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即020 2y a x b K AB -=。 7. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 8. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b +=+. 二、双曲线 1. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 2. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线

第二讲双曲线中常用的结论及解法技巧(学生版)

第二讲双曲线中常用的结论及解法技巧【知识要点】一．双曲线三大定义定义 1．到两定点距离之差的绝对值（小于两定点距离）为定值的点的轨迹是双曲线．几何性质：双曲线上任一点到两焦点的距离之差的绝对值为定值．定义 2．到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为定值（大于1）的点的轨迹是双曲线．几何性质：双曲线上任一点到左（右）焦点的距离与到左（右）准线的距离之比为离心率e ．定义 3．到两个定点的斜率之积为定值（大于0）的点的轨迹是双曲线．几何性质：双曲线上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为22 a b ．二．双曲线经典结论汇总 1．AB 是双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 的不平行于对称轴的弦，),(00y x M 为AB 的中点，则22a b k k AB OM =?，即 0 20 2y a x b k AB =．等价形式：21,A A 是双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 上关于原点对称的任意两点，B 是双曲线上其它任意一点，直线B A B A 21,的斜率存在，则22 21a b k k B A B A =?． 2．双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为双曲线上异于实轴端点的任意一点θ=∠21PF F 则（1）2 122||||1cos b PF PF θ =-；（2）双曲线的焦点角形的面积为 2 tan 221θb S PF F = ?． 3．过双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 上任一点),(00y x A 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于C B ,两点，则直线BC 有定向且0 20 2y a x b k BC -= （常数）． 4．P 为双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 上任一点，21,F F 为二焦点，A 为双曲线内一定点，则||||2||12PF PA a AF +≤-，当且仅当P F A ,,2三点共线且P 和2,F A 在y 轴同侧时，等号成立． 5．已知双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x ，O 为坐标原点，Q P ,为双曲线上两动点，且

椭圆与双曲线的必背的经典结论

椭圆与双曲线的必背的经典结论案场各岗位服务流程销售大厅服务岗： 1、销售大厅服务岗岗位职责： 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点； 2、销售大厅服务岗工作及服务流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。班中工作程序服务流程行为规范迎接指引递阅资料上饮品（糕点）添加茶水工作1）眼神关注客人，当客人距3米距离侯客迎询问客户送客户

注意事项 15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！” 3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人； 4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）； 7）在满座位的情况下，须先向客人致

待；阶段工作及服务流程班中工作程序工作要求注意事项饮料（糕点服务） 1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用托盘； 2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一下，请问您需要什么饮品”为起始； 3）服务方向：从客人的右面服务； 4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时，必须询问客人是否需要再添一杯，在二次服务中特别注意瓶口绝对不可以与客人使用的杯子接触； 5）在客人再次需要饮料时必须更换杯子；下班程序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导； 2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会； 4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班

双曲线中常见结论

双曲线中常见结论: 1 离心率e=C= '1 +(b)2 a . a 2、焦半径 3、通径及通径长 b 2 2 4、焦点到准线的距离—，中心到准线的距离— c c

2 2 2 2 8、双曲线笃一驚=、（入工0）和笃_笃 /有相同的渐近线和相同的离心率。 a2b2a2b2 也PF F2的面积为S=b2 sin8

1 - cosO 的离心率为sin （一：」宀） 9、P为双曲线上一点，则

2 2 例双曲线 ?丄 =1(mn = 0的离心率为2,则m 的值为( m n n 1 1 A. 3 B . C. 3 或 3 3 2 2 例（湖南卷）已知双曲线 § —与=1 （a >0, b >0）的右焦点为F ,右准线与一条渐近线 a 2 b 2 2 交于点A ,A OAF 的面积为 —（0为原点），则两条渐近线的夹角为 2 (D ) A. 30o B . 450 C. 600 D. 900 ） D.以上都不对

椭圆的几何性质一、教学目标（一）知识教学点通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．（二）能力训练点通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．（三）学科渗透点使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．二、教材分析1．重点：椭圆的几何性质及初步运用．（解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．） 2．难点：椭圆离心率的概念的理解．（解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义.） 3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．（解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．）三、活动设计提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结．四、教学过程（一）复习提问 1．椭圆的定义是什么？ 2 ?椭圆的标准方程是什么? 学生口述，教师板书.

史上最全双曲线二级结论大全

双曲线 1.122PF PF a -= 2.标准方程22 221x y a b -= 3.11 1PF e d => 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点. 9．双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b +=. 10．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是 00221x x y y a b -=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 12．AB 是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=. 13．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b -=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b -=-. 15．若PQ 是双曲线22 221x y a b -=（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则 122222 121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22 221x y a b -=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为 1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 2211A B a b -=+ ;(2) L =.

双曲线中常见结论

双曲线中常见结论： 1、离心率e=a c =2 1）（a b 2、焦半径 3、通径及通径长a b 2 2 4、焦点到准线的距离c b 2，中心到准线的距离c a 2 5、焦点到渐近线的距离为b ，垂足恰好在准线上。

6、P为双曲线上任一点，三角形PF 1F 2 的内切圆圆心在直线x=a或x=-a上。 7、P为双曲线上任一点，以PF 1 直径的圆和x2+y2=a2相切。

8、双曲线λ=-2222b y a x (λ≠0)和122 22=-b y a x 有相同的渐近线和相同的离心率。 9、P 为双曲线上一点，则21F PF ?的面积为S= θ sin b 2 10、F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上任一点，∠PF 1F 2=α ，∠PF 1F 2=β。则双曲线的离心率为e=α ββαsin sin sin -+）（设PF 1=m ，PF 2=n 。则）（βααβαβ+=--==sin c sin sin n m sin n sin m 2 α ββαβααβsin sin sin e sin c sin sin a -+=?+=-）（）（22

双曲线拓展知识常用结论(填空)

双曲线常用结论一、双曲线的第一定义: 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的____________________等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．（口诀：看到____________________，想到____________________）二、双曲线的第二定义: 1、一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个),1(+∞内常数e ，那么这个点的轨迹叫做双曲线其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于122 22=-b y a x ，左准线____________________；右准线____________________ 对于12222=-b x a y ，下准线c a y l 2 1:-=；上准线c y l 22:= 2、焦半径圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。主要作用是：____________________ 双曲线上的点到焦点距离的最小值 ____________________ 二、双曲线的第三定义: 在双曲线()22 22C 10x y a b a b +=：中，A 、B 是关于_____________ 的两点，P 是双曲线上异于A 、B 的一点，若PA PB k k 、存在，则有： =PA PB k k ?_____________ 三、双曲线的焦点三角形: 1、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例，弦AB 。坐标：()————,c A ，()————,c B 弦AB 长度： =AB _____________ 2、焦点三角形解题主要关系式： 3、涉及焦点三角形面积时，可设|PF 1|= m ，|PF 2|=n ，主要用结果：①定义_____________； ②|F 1F 2|=_____________ ；③余弦

高中数学双曲线二级结论大全

双曲线二级结论大全 1.122PF PF a -= 2.标准方程22 221x y a b -= 3.11 1PF e d => 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点. 9．双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、 P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b +=. 10．若000(,)P x y 在双曲线22 22 1x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 12．AB 是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=. 13．若000(,)P x y 在双曲线22 2 21x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b -=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线 22 22 1x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 222x x y y x y a b a b -=-. 15．若PQ 是双曲线22 221x y a b -=（b ＞ a ＞0）上对中心张直角的弦，则 122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22 221x y a b -=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 2211A B a b -=+ ;(2) 2222||L a A b B =-. 17．给定双曲线1C ：22 2 2 22 b x a y a b -=（a ＞b ＞0）, 2C ：22 2 2 2 2 22 2 ()a b b x a y ab a b +-=-,则(i)对1C 上任意

双曲线中常见结论之欧阳家百创编

双曲线中常见结论：欧阳家百（2021.03.07） 1、离心率e=a c =21）（a b + 2、焦半径 3、通径及通径长a b 22 4、焦点到准线的距离 c b 2，中心到准线的距离c a 2 5、焦点到渐近线的距离为 b ，垂足恰好在准线上。 6、P 为双曲线上任一点，三角形PF 1F 2的内切圆圆心在直线x=a 或x=-a 上。 7、P 为双曲线上任一点，以PF 1直径的圆和x 2+y 2=a 2相切。 8、双曲线 λ=-2222b y a x (λ≠0)和12222=-b y a x 有相同的渐近线和相同的离心率。 9、P 为双曲线上一点，则21F PF ?的面积为S=θθ cos sin b -12

10、F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上任一点，∠PF 1F 2=α ，∠PF 1F 2=β。则双曲线的离心率为e= αββαsin sin sin -+）（例（湖南卷）已知双曲线22a x －22b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（D ） A ．30o B ．45o C ．60o D ．90o 例双曲线）（0122≠=-m n n y m x 的离心率为2，则 n m 的值为（） A ．3 B ．31 C ．3或31 D ．以上都不对椭圆的几何性质一、教学目标 (一)知识教学点设PF 1=m ，PF 2=n 。则）（βααβαβ+=--==sin c sin sin n m sin n sin m 2 αββαβααβsin sin sin e sin c sin sin a -+=?+=-）（）（22

椭圆双曲线的经典结论

椭圆双曲线的经典结论一、椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角、 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹就是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点、 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离、 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切、 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程就是00221x x y y a b +=、 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦 P 1P 2的直线方程就是00221x x y y a b +=、 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=、 8. 椭圆22 221x y a b +=(a ＞b ＞0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y )、 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 与AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF 、 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 与A 2Q 交于点M,A 2P 与A 1Q 交于点N,则MF ⊥NF 、 11. AB 就是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-, 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程就是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+、 13. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程就是

高中数学椭圆与双曲线的经典性质50条--(必背的经典结论)

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是

双曲线结论性归纳

双曲线结论性归纳一.双曲线于矩形相交基本题：如图，已知反比例函数y ＝k x 图象的一支曲线经过矩形OABC 的边AB 、BC 的中点E 、F ，且四边形OEBF 的面积为4．则反比例函数的解析式 . 变式1：如图，A 、M 是反比例函数图象上的两点，过点M 作直线MB ∥x 轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．BM ∶DM ＝8∶9，当四边形OADM 的面积为274 时，k ＝ . 变式2：如图，反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相交于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为 . 变式3：如图所示，正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝m x 的图象交于点A (－3，2)．（1）试确定上述正比例函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象回答，在第二象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）P (m ，n )是反比例函数图象上的一动点，其中－3＜m ＜0，过点P 作直线PB ∥x 轴，交y 轴于点B ，过点A 作直线AD ∥y 轴，交x 轴于点D ，交直线PB 于点C ．当四边形OACP 的面积为6时，请判断线段BP 与CP 的大小关系，并说明理由．

变式4：直角梯形OABC 中，BC ∥OA ，∠OAB ＝90°，OA ＝4，腰AB 上有一点D ，AD ＝2，四边形ODBC 的面积为6，建立如图所示的直坐标系，反比例函数y ＝m x （x ＞0）的图象恰好经过点C 和点D ，则CB 与BD 的比值是 . 变式5：如图，直线y ＝－x +1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，P （a ，b ）为双曲线y ＝12x (x ＞0)上的一点，PM ⊥x 轴于M ，交AB 于E ，PN ⊥y 轴于N ，交AB 于F ．（1）用含a ，b 的代数式表示E 、F 两点的坐标及△EOF 的面积；（2）△EOF 与△BOE 是否相似？如果相似，请证明；如果不相似，请说明理由；（3）无论点P 在双曲线第一象限部分上怎样移动，证明∠EOF 是一个定值．二.双反比例函数图像共存基本题：如图，两个反比例函数y 1＝5x 和y 2＝3x ，在第一象限内的图象依次是C 1和C 2，设点P 在C 1上，PC ⊥x 轴于点C ，交C 2于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交C 2于点B ，则四边形P AOB 的面积为 .

双曲线中的一些常见结论

双曲线中的一些常见结论一、椭圆的常用结论： 1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF1F2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦 P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+；

双曲线二级结论大全

双曲线中常见结论

双曲线中常见结论: 1 离心率 e= C = 1 (b )2 a \ a 2、焦半径 b 2 a 2 4、焦点到准线的距离，中心到准线的距离 - c c 3、通径及通径长 2b

8、双曲线 2 x -2 a b2 2 2 （入工0）和笃爲1有相同的渐近线和相同的离心率。 a b 线的离心率为e=-Sin

例（湖南卷）已知双曲线 2 x ~2 a 2 y 2 = 1 （a> 0, b>0）的右焦点为F,右准线与一条渐近线 b2 交于点A，△ OAF的面积为 2 —（O为原点），则两条渐近线的夹角为 2 (D) A. 30o45o C. 60o D. 90o 2 例双曲线— m 1 (mn 0的离心率为2,则m的值为（ n C. 3 或- 3 D .以上都不对

椭圆的几何性质一、教学目标（一）知识教学点通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．（二）能力训练点通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．（三）学科渗透点使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．二、教材分析 1．重点：椭圆的几何性质及初步运用．（解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．） 2．难点：椭圆离心率的概念的理解．（解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义.） 3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．（解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．）三、活动设计提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结．四、教学过程（一）复习提问 1．椭圆的定义是什么？ 2 ?椭圆的标准方程是什么？学生口述，教师板书.

第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧(教师版)

精双曲线中常见结论

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